第21章 一元二次方程 单元试卷 2025-2026学年人教版数学九年级上册

第21章 一元二次方程 单元试卷 2025-2026学年人教版数学九年级上册 学校:___________姓名:___________班级:___________学号:___________ 一、单选题 1．下列关于的方程：；；；；，其中一元二次方程的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2．解一元二次方程最适宜的方法是（ ） A. 直接开平方法 B. 公式法 C. 因式分解法 D. 配方法 3．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．用配方法解方程时，原方程应变形为（    ） A． B． C． D． 5．若是方程的一个解，则m的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 6．三角形两边的长分别是7和11，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是（ ） A. 23 B. 23或33 C. 24 D. 24或30 7．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 8．现要在一个长为，宽为的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草.如图所示，要使种植花草的面积为，那么小道的宽度应是（ ） A. B. C. D. 9．某种防疫物资原价为50元/件，经过连续两次降价后售价为28元/件，每次降价的百分率均为x，根据题意所列方程正确的是（    ） A．B． C． D． 10．定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（    ） A．有一个实根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 二、填空题 11．若一元二次方程的二次项系数为3，则该方程的常数项是______. 12．方程的解是 . 13．已知关于的方程是一元二次方程，则______，这个一元二次方程是 . 14．若一元二次方程的两个根分别是与，则 . 15．若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ． 16．小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物.而立之年督东吴，早逝英年两位数.十位恰小个位三，个位平方与寿同.哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是，则可列方程为______________________. 三、解答题（本大题共6小题） 17．按要求解下列方程. （1） （用直接开平方法求解）； （2） （用因式分解法求解）； （3） （用配方法求解）； （4） （用公式法求解）. 18．已知关于的一元二次方程. （1） 求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根. （2） 若方程的两根为,，是否存在这样的值，使方程的两根的平方和为2?若存在，求出值；若不存在，请说明理由. 19．江苏省第十八届运动会由徐州、淮安联合承办，省运会特许商品也备受欢迎.甲、乙两家省运会小专卖店七月份销售额分别为6万元和9万元，甲店九月份销售额比乙店多6万元.已知甲店八、九月份销售额的月平均增长率是乙店八、九月份月平均增长率的2倍. （1） 若设乙店八、九月份销售额的月平均增长率为，则甲店九月份的销售额为____________万元，乙店九月份的销售额为____________万元.（用含的代数式表示） （2） 甲店、乙店八、九这两个月份销售额的月平均增长率各是多少？ 20．某地今年种植12万千克的莲藕，计划在甲、乙两地销售，其中在乙地的销售量为 （万千克），所获利润情况如下表. 地区 甲 乙 利润（万元/万千克） 2 （1） 若在甲地销售莲藕2万千克，求销售完这批莲藕的总利润； （2） 若在甲、乙两地销售完所有莲藕后，获得的总利润为28.8万元，求 的值； （3） 若在乙地销售莲藕 万千克与 万千克所获总利润相同，且 ，请直接写出 与 所满足的关系式. 21．某牧场准备利用现有的一堵“7”字形的墙（粗线 表示墙）建饲养场，已知 ， 米， 米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场 ，并在每个区域开一扇宽2米的门，如图（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆 隔开），点 可能在线段 上，也可能在线段 的延长线上. （1）如图（1），当点 在线段 上时，设 的长为 米. ① ___________米；（用含 的代数式表示） ②若围成的饲养场 的面积为132平方米，求饲养场的宽 的长. （2）如图（2），当点 在线段 的延长线上时，所围成的饲养场 的面积能否为156平方米？如果能，求出 的长；如果不能，请说明理由. 22．【阅读与理解】将分解因式，我们可以按下面方法： ①竖分二次项与常数项：，. ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项） . ③横向写出两因式：. 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”. 根据乘法原理：若，则或.所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得，所以原方程的解为，. 【解决问题】 （1） 试用上述方法和原理解下列方程： ；；. （2） 解方程. 参考答案 1．【答案】A 【解析】①当时，不是一元二次方程；是分式方程，不是一元二次方程；是一元二次方程；是一元二次方程；，整理后不含的二次项，不是一元二次方程.故选. 【技巧总结】 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程. 2．【答案】C 【解析】解一元二次方程最适宜的方法是因式分解法.故选. 3．【答案】A 【分析】先把方程的左边按照平方差公式进行整理，再移项把方程化为从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴方程的一般形式为 故选A. 4．【答案】B 【分析】利用解一元二次方程——配方法进行计算即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选． 5．【答案】D 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴，解得， 故选D． 6．【答案】B 【解析】,，，， 长为7，11，5的线段和长为7，11，15的线段都能组成三角形， 该三角形的周长是或，故选. 【思路分析】 用因式分解法求出方程的解即可得到第三边的长，确定三角形周长时需检验一下三边长是否满足三角形三边关系定理. 7．【答案】A 【分析】先根据判别式＞0，求出m的范围，进而即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：m＜9， m的值可能是：8． 故选A. 8．【答案】B 【解析】设小道的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形.依题意得，整理，得，解得，（不合题意，舍去），， 小道的宽度应为.故选. 9．【答案】B 【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格降低的百分率，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：设每次降价的百分率均为x，则列方程为 ， 故选B． 10．【答案】B 【分析】将按照题中的新运算方法展开，可得，所以可得，化简得：，，可得，即可得出答案. 【详解】解：根据新运算法则可得：， 则即为， 整理得：， 则， 可得： ， ； ， 方程有两个不相等的实数根； 故此题答案为B. 11．【答案】 【解析】化为一般形式为，若二次项系数为3，则该方程的常数项是，故答案为. 12．【答案】 【解析】，，. 13．【答案】； 【解析】 方程是一元二次方程，，，， 这个方程为，故答案为，. 14．【答案】4 【解析】由题意得两根不相等.，， 方程的两个根互为相反数，，解得， 一元二次方程的两个根分别是2与，，.故答案为4. 15．【答案】6 【分析】根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴ 16．【答案】 【解析】 周瑜去世时年龄的十位数字是， 个位上的数字是.由题意可得.故答案为. 17．【答案】 （1） 【解】,， ，，. （2） ，，即，则或，解得，. （3） ，，即，则，，. （4） ，，，，. 18．【答案】（1） 【证明】，， 无论取何值，方程总有两个不相等的实数根. （2） 【解】不存在.理由:假设存在这样的值，使方程的两根的平方和为2.根据根与系数的关系得，，则，，方程无实数解， 不存在这样的值，使方程的两根的平方和为2. 19．【答案】（1） ； （2）见详解 【解析】（1） 乙店八、九月份销售额的月平均增长率为， 甲店九月份的销售额为万元，乙店九月份的销售额为万元.故答案为，. （2）由题意得，，解得，（舍去），. 答：甲店、乙店八、九这两个月份销售额的月平均增长率分别是，. 20．【答案】 （1） 若在甲地销售莲藕2万千克，则在乙地销售莲藕 （万千克），则销售完这批莲藕的总利润为 （万元）. （2） 在乙地的销售量为 万千克， 在甲地的销售量为 万千克.根据题意可得 ，解得 或 , 的值为3或8. （3） .若在乙地销售莲藕 万千克，则在甲地销售莲藕 万千克；若在乙地销售莲藕 万千克，则在甲地销售莲藕 万千克.根据题意可得 ，化简得 ，即 或 ， 或 .又 , 与 所满足的关系式为 . 21．【答案】见详解 【详解】① 的长为 米， 米.故答案为 . ② 依题意得 ，整理得 ，解得 ， .当 时， ，不合题意，舍去；当 时， ，符合题意. 答：饲养场的宽 的长为11米. （2） 不能.理由如下：设 的长为 米，则 米.依题意得 ，整理得 ， 该方程没有实数根，即当点 在线段 的延长线上时，所围成的饲养场 的面积不能为156平方米. 22．【答案】 （1） 【解】①方程左边因式分解，得，或，，. ②方程左边因式分解，得，或，，. ③方程左边因式分解，得，或，，. （2） 方程左边因式分解，得，或，，. 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$