22.1二次函数的图象和性质 同步练习2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.1二次函数的图象和性质 同步练习2025-2026学年人教版数学九年级上册 学校:___________姓名:___________班级:___________学号:___________ 一、单选题 1．对于抛物线，下列判断不正确的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．当时，有最大值1 C．对称轴为直线 D．当时，随的增大而增大 2．下列对二次函数的图象的描述，正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．经过原点 D．顶点在x轴的上方 3．下列函数关系中，是二次函数的是（ ） A. 生产100吨钢材，工作效率与工作时间之间的关系 B. 当速度为时，汽车行驶的路程与时间之间的关系 C. 长方形的周长一定时，长方形的长与宽之间的关系 D. 圆的面积与半径之间的关系 4．若将抛物线向左平移1个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 5．二次函数的图象大致是（   ） A．   B．   C．   D．   6．已知二次函数的图象关于直线对称，当时，y有最小值，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．抛物线经过，，三点，且该抛物线与x轴的交点位于y轴两侧，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．已知一个二次函数的自变量与函数值的几组对应值如下表： … －1 0 3 4 5 … … 0 －6 0 10 24 … 下列结论：①这个函数的图象开口向上；②这个函数图象的对称轴为直线；③当时，函数值随的增大而增大；④这个函数的最小值为．其中正确的是（    ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 二、填空题 9．二次函数的顶点坐标是 ． 10．已知点在直线（b为常数）上，若的最小值为，则 ． 11．有一条抛物线,两位同学分别说了它的一个特点. 甲:对称轴是直线. 乙:顶点到轴的距离为2. 请你写出一个符合条件的函数表达式:____________________________________. 12．已知二次函数，时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值为__. 13．一个二次函数的图象经过，，三点，则这个二次函数的表达式为____________________. 14．二次函数，当时，对于每一个的值，始终成立，则的取值范围是 ． 15．［中］如图，正方形四个顶点的坐标依次为，，，，若抛物线与正方形的边有公共点，则实数的取值范围是____________． 三、解答题 16．已知二次函数 +2x−1(k为常数)． (1)求k的值． (2)当x=0.5时,y的值是多少? 17．已知抛物线y=a(x-h)2,当x=2时,有最大值,且抛物线过点(1,-3). (1)求抛物线的解析式; (2)当y随x的增大而增大时,求x的取值范围; (3)求抛物线与y轴的交点坐标. 18．已知抛物线 经过点 . （1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标. （2）直线 交抛物线于点 ， ， 为正数.若点 在抛物线上且在直线 下方（不与点 ， 重合），分别求出点 横坐标与纵坐标的取值范围. 19．已知抛物线L1:y=a(x+1)2-4(a≠0)经过点A(1,0). (1)求抛物线L1的函数表达式. (2)将抛物线L1向上平移m(m>0)个单位得到抛物线L2.若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上,求m的值. (3)把抛物线L1向右平移n(n>0)个单位得到抛物线L3,若点B(1,y1),C(3,y2)在抛物线L3上,且y1>y2,求n的取值范围. 20．已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴为直线. （1） 求二次函数的表达式； （2） 若点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； （3） 当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围. 参考答案 1．【答案】C 【分析】根据解析式，可判定抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，有最大值1，当时，随的增大而增大，解答即可． 【详解】解：∵中， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值1，当时，随的增大而增大， 故A，B，D正确，C错误， 故选C． 2．【答案】C 【分析】将二次函数的解析式化为顶点式得出二次函数图象的开口向上，对称轴为直线，函数的最小值为，顶点坐标为，当时，，由此即可得解． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象的开口向上，对称轴为直线， 顶点坐标为，在x轴的下方，故错误， 当时，，因此图象经过原点，故C正确. 故选C． 3．【答案】D 4．【答案】B 【分析】平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据图象的平移规律，可得答案． 【详解】解：原抛物线为，其顶点为；向左平移1个单位后，顶点变为，平移后的函数解析式为：对应选项B； 选项A为向右平移的结果，C和D改变了常数项，属于上下平移，与题意不符． 故选B． 5．【答案】D 【分析】根据二次函数的顶点式即可判断大致图象． 【详解】解：二次函数的顶点式为， ，顶点坐标为， 二次函数图象是开口向上，以顶点坐标为的抛物线， 故选D． 6．【答案】C 【分析】当自变量的取值范围在对称轴一边时，则根据增减性求出最值；当自变量的取值范围在对称轴两边时，则顶点取到最大值或最小值．首求先根据函数的对称轴求出a的值，然后根据函数的增减性求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的图象关于直线对称， ∴，解得， 则二次函数， 当时，函数有最小值； ∵当时，y有最小值， ∴， 解得， 故选C． 7．【答案】A 【分析】先根据该抛物线与x轴的交点位于y轴两侧判断a的正负，再根据二次函数的性质求解． 【详解】解：设抛物线与x轴的交点横坐标为， ∵该抛物线与x轴的交点位于y轴两侧， ∴， ∴， ∴抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大， ∵抛物线对称轴为直线，， ∴． 故选A． 8．【答案】B 【分析】根据表格确定函数解析式并化为顶点式，开口方向由的符合决定，对称轴公式为，增减性需结合开口方向和对称轴位置，最值在顶点处，据此即可解答． 【详解】解：由表格可知，二次函数的图象经过点和， 对称轴为， ， ， 二次函数的图象经过点， ， 二次函数的图象经过点， ， ， ，， 二次函数的解析式为， 二次函数的图象开口向上， 故①正确； 这个函数图象的对称轴为直线， 故②错误； 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，函数值随的增大而增大； 当时，函数值随的增大而增大； 故③正确； ， 这个函数的最小值为， 故④正确； 综上所述，正确的有①③④， 故选B． 9．【答案】 【分析】根据解析式写出顶点坐标即可． 【详解】二次函数的顶点坐标是． 10．【答案】 【分析】先将点的坐标代入关系式，可得，进而得，再根据二次函数的性质讨论极值即可． 【详解】解：因为点在直线上， 所以， 所以． 因为抛物线的开口向上， 所以当时，有最小值，即， 解得． 11．【答案】（答案不唯一） 【解析】 对称轴是直线, 顶点的横坐标为 顶点到轴的距离为2, 顶点的纵坐标为2或, 抛物线的顶点坐标为或, 抛物线的表达式可设为或,其中可取任意不为0的数,例如令,则抛物线的表达式为或. 12．【答案】18 【解析】时的函数值与时的函数值相等， 抛物线的对称轴为直线，则， 抛物线的表达式为， 当时的函数值为.故答案为18. 13．【答案】 【解析】设二次函数的表达式为.根据题意，得解得 该二次函数的表达式为. 14．【答案】或 【分析】记，则得对称轴为直线．分；两种情况，结合二次函数z在时的增减情况即可求解． 【详解】解：， 记，则对称轴为直线． 当时，如图1．当时，随的增大而增大． 当时，．则，成立． 即．解得． ． 当时，如图2．当时，随的增大而减小． 当时，，则成立． 即．而恒成立． 综上，或时，始终成立． 15．【答案】 【解析】当抛物线经过点时，；当抛物线经过点时,．观察图像可知．故答案为. 16．【答案】 (1) ． 【详解】 (1)由题意得k2−3k+4=2,且k−1≠0, 解得k=2． (2)当k=2时,y=x2+2x−1． 把x=0.5代入,得 ． 17．【答案】见解析 【解析】(1)∵抛物线y=a(x-h)2,当x=2时,有最大值,∴抛物线的解析式为y=a(x-2)2. ∵抛物线过点(1,-3),∴-3=a(1-2)2,∴a=-3, ∴此抛物线的解析式为y=-3(x-2)2. (2)∵抛物线的对称轴为直线x=2,且抛物线开口向下,∴当x<2时,y随x的增大而增大,∴x的取值范围为x<2. (3)当x=0时,y=-3×(0-2)2=-12,∴抛物线y=-3(x-2)2与y轴的交点坐标为(0,-12). 18．【答案】 （1） 【解】把 代入 得 ，解得 ， 抛物线的函数表达式为 ， 抛物线的顶点坐标为 . （2） 把 代入 得 ， ， . 把 代入 得 ，解得 或 ， 或 . 为正数， ， . 抛物线开口向上，顶点坐标为 ， 抛物线顶点在 下方， ， . 19．【答案】(1)∵抛物线L1：y＝a(x＋1)2－4(a≠0)经过点A(1，0)，∴4a－4＝0，∴a＝1，则y＝(x＋1)2－4＝x2＋2x－3，∴抛物线L1的函数表达式为y＝x2＋2x－3. (2)∵y＝(x＋1)2－4，∴抛物线L1的顶点坐标为(－1，－4)．∵将抛物线L1向上平移m(m＞0)个单位得到抛物线L2，∴抛物线L2的顶点坐标为(－1，－4＋m)，∴点(－1，－4＋m)关于原点的对称点为(1，4－m)．把(1，4－m)代入y＝x2＋2x－3，得1＋2－3＝4－m，∴m＝4. (3)抛物线L1向右平移n(n＞0)个单位得到抛物线L3，则抛物线L3的函数表达式为y＝(x－n＋1)2－4.∵点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3上，∴y1＝(2－n)2－4，y2＝(4－n)2－4.∵y1＞y2，∴(2－n)2－4＞(4－n)2－4，解得n＞3，∴n的取值范围为n＞3. 20．【答案】（1） 【解】设二次函数的表达式为.把代入得，解得，. （2） 点平移后得到的点的坐标为 点平移后恰好落在的图象上，，解得或（舍），的值为4. （3） 当时，最大值与最小值的差为，解得，不符合题意；当时，最大值与最小值的差为，符合题意；当时，最大值与最小值的差为，解得，，不符合题意. 综上所述，的取值范围为. 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$