专题2充要条件（讲义） -2026版黑龙江春季高考一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：2026版黑龙江春季高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》及黑龙江春季高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含11个模块共42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是2026版黑龙江春季高考一轮复习《数学知识点清单》的第2个专题：充要条件。本专题涵盖充分条件与必要条件、充要条件等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 2026版黑龙江春季高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题02 充要条件（讲义） 知识点： 1．命题 ①命题的概念 在数学中，我们将可判断真假的陈述句叫作命题.其中判断为真的语句叫作真命题，判断为假的语句叫作假命题. ②命题的形式 数学中，许多命题可表示为“如果，那么”或“若，则”的形式，其中叫作命题的条件，叫作命题的结论. 2．充分条件与必要条件 如果“若，则”为真命题，是指由通过推理可以得出，我们就说由可以推出，记作，并且说是的充分条件，是的必要条件； 如果“若，则”为假命题，那么由条件不能提出结论，记作，我们就说不是的充分条件，不是的必要条件； 3.充要条件 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，就记作 此时则是的充分条件，也是的必要条件，我们就说是的充分必要条件，简称为充要条件． 如果，那么与互为充要条件. 1.（黑龙江省职教高考模拟）下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 2.（2022年黑龙江省职教高考）"a+c>b+d"是"a>b且c>d"的（ ） A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 3.（2023年黑龙江省职教高考） 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.（2024年黑龙江省职教高考）“x>3是x>4”的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.（黑龙江省职教高考模拟）在中，是的（ ）条件. A. 充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 1．sin=sinβ是=β的（ ）条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 2．“a是2的倍数”是“a是6的倍数”的（ ） A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 3．“a＞2”是“a＞5”的( ) A. 充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4.设x，y为实数，则x2 = y2的充分必要条件是（ ） A．x = y B．x = –y C．x3 = y3 D．| x | = | y | 5.下列命题中，正确的是（ ） A．若a>b，则ac>bc B．若ac2 >bc2，则a>b C．若a>b，则ac2 >bc2 D．若a>b，c>d，则ac>bd 6.（ ） A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分有不必要条件 7．设 ,则“”是“”的（ ）条件。 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 8．“x=1”是“”的（ ） A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 9．设集合，，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件. C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 10．下列说法正确的是（    ） A．是的充要条件 B．是的既不充分也不必要条件 C．是的充分不必要条件 D．是的必要不充分条件 11.命题p：x=2，命题q：=4，则p是q的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 12.设a,b∈R，则“a>b”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 13.“sinθ= ​”是“θ= ​”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 14. 命题p：x>1，命题q：<1，则p是q的 ______ 条件。 15.若A={x∣x>2}，B={x∣x>a}，且“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则a的取值范围是 ______。 ​ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：2026版黑龙江春季高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》及黑龙江春季高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含11个模块共42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是2026版黑龙江春季高考一轮复习《数学知识点清单》的第2个专题：充要条件。本专题涵盖充分条件与必要条件、充要条件等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 2026版黑龙江春季高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题02 充要条件（讲义） 知识点： 1．命题 ①命题的概念 在数学中，我们将可判断真假的陈述句叫作命题.其中判断为真的语句叫作真命题，判断为假的语句叫作假命题. ②命题的形式 数学中，许多命题可表示为“如果，那么”或“若，则”的形式，其中叫作命题的条件，叫作命题的结论. 2．充分条件与必要条件 如果“若，则”为真命题，是指由通过推理可以得出，我们就说由可以推出，记作，并且说是的充分条件，是的必要条件； 如果“若，则”为假命题，那么由条件不能提出结论，记作，我们就说不是的充分条件，不是的必要条件； 3.充要条件 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，就记作 此时则是的充分条件，也是的必要条件，我们就说是的充分必要条件，简称为充要条件． 如果，那么与互为充要条件. 1.（黑龙江省职教高考模拟）下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B​ 【分析】考查不等式变形中符号方向与变量取值的关系（如乘负数反向、平方/立方函数的单调性）。判断命题是否为充分、必要或充要条件（如立方函数的双向可逆性）。 【解析】A项：xy>yz 若 y<0，则 x<z，命题不成立。B项：⇔x=y（立方函数单调递增，一一对应）。C项：=0⇒x=±y，不一定是 x=y。D项：x>y且z=0 时，x=y，命题不成立。 2.（2022年黑龙江省职教高考）" a + c > b + d "是" a > b 且 c > d "的（ ） A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】考查不等式加法性质：和的比较与单项比较的关系。条件逻辑：分析条件的必要性与充分性（反例验证）。​ 【解析】必要性：若a>b且c>d，则a+c>b+d必然成立。充分性：反例a=2,b=1,c=0,d=−1满足a+c>b+d，但不满足c>d。结论：必要不充分条件。 3.（2023年黑龙江省职教高考） 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B​ 【分析】考查绝对值性质：绝对值的对称性（x=±y）。必要条件：明确“x=y”是“∣x∣=∣y∣”的必要条件。 【解析】∣x∣=∣y∣推不出x=y（如x=1,y=−1）。但x=y能推出∣x∣=∣y∣。结论：必要不充分条件。 4.（2024年黑龙江省职教高考）“x>3是x>4”的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B​ 【分析】考查不等式范围：子集关系与条件逻辑（小范围推大范围是必要条件）。 【解析】x>4能推出x>3，但x>3推不出x>4（如x=3.5）。结论：必要不充分条件。 5.（黑龙江省职教高考模拟）在中，是的（ ）条件. A. 充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 【答案】C​ 【分析】考查三角函数性质：正弦函数的周期性及三角形内角关系（互补角正弦值相等）。必要不充分条件：明确角相等是正弦值相等的必要条件。 【解析】在△ABC中，sinA=sinB等价于A=B或A+B=π（后者在三角形中不可能）。结论：充要条件。 1．sin=sinβ是=β的（ ）条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 【答案】B​ 【分析】考查三角函数周期性：正弦函数的对称性与周期性（α=π−β+2kπ）。 【解析】sinα=sinβ时，α与β可能相差2π的整数倍或互补（如α=π/6,β=5π/6），但α=β必然有sinα=sinβ。结论：必要不充分条件。 2．“a是2的倍数”是“a是6的倍数”的（ ） A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B​ 【分析】考查倍数关系：因数和倍数的包含关系（6的倍数必是2的倍数）。 【解析】6的倍数一定是2的倍数，但2的倍数不一定是6的倍数（如a=4）。结论：必要不充分条件。 3．“a＞2”是“a＞5”的( ) A. 充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】考查不等式范围​：必要条件的定义（大范围推小范围不成立）。​ 【解析】a>5能推出a>2，但a>2推不出a>5（如a=3）。结论：必要条件。 4.设x，y为实数，则x2 = y2的充分必要条件是（ ） A．x = y B．x = –y C．x3 = y3 D．| x | = | y | 【答案】D​ 【分析】考查平方与绝对值​：x2 = y2⇔∣x∣=∣y∣（绝对值是充要条件）。 【解析】⇔∣x∣=∣y∣（平方与绝对值等价）。A、B项是充分不必要，C项不充分（如x=1,y=−1满足但）。 5.下列命题中，正确的是（ ） A．若a>b，则ac>bc B．若ac2 >bc2，则a>b C．若a>b，则ac2 >bc2 D．若a>b，c>d，则ac>bd 【答案】B​ 【分析】考查不等式变形规则：乘正数保号性（>0时不等号方向不变）。反例验证​：通过特殊值（如 c=0）排除错误选项。 【解析】A项：c≤0 时不成立。B项：>0，两边可约去，正确。C项：c=0时不成立。D项：a,b,c,d符号不确定时不成立（如a=1,b=0,c=−1,d=−2）。 6.（ ） A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分有不必要条件 【答案】A​ 【分析】考查绝对值非负性​：∣a∣+∣b∣=0 等价于 a=b=0。充分条件​：零乘积是绝对值和为零的充分但不必要条件。 【解析】∣a∣+∣b∣=0⇒a=b=0⇒ab=0。但ab=0推不出∣a∣+∣b∣=0（如a=1,b=0）。结论：充分不必要条件。 7．设 ,则“”是“”的（ ）条件。 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A​ 【分析】考查平方函数的单调性：a>3 是的充分不必要条件（负值也满足平方）。 【解析】因为a>3，所以 ，充分性成立，当时，解得得a>3或a<-3 故必要性不成立。所以答案选A 8．“x=1”是“”的（ ） A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A​ 【分析】考查平方根的解：平方运算的非单射性（x=±1）。 【解析】：x=1能推出=1，但=1时x还可为−1。结论：充分不必要条件。 9．设集合，，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件. C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A​ 【分析】考查集合包含关系：子集定义与充分必要条件的联系（N⊆M 的多种情况）。 【解析】a=−1时N={1}⊆M。但N⊆M时可为1或2（如a=）。结论：充分不必要条件。 10．下列说法正确的是（    ） A．是的充要条件 B．是的既不充分也不必要条件 C．是的充要条件 D．是的必要不充分条件 【答案】C​ 【分析】考查集合运算与条件：A∩B=A⇔A⊆B（充要条件）。立方函数单调性​：>1⇔x>1（充要条件，选项B错误）。 【解析】A项：x=1是充分条件，但非必要（如x=−2也满足方程）。B项：x>1能推出>1，且>1时x>1，应为充要条件。C项：A∩B=A⇒A⊆B，但A⊆B时A∩B=A也成立，应为充要条件。D项：A∩B=A与A=∅无直接必要关系。 11.命题p：x=2，命题q：：=4，则p是q的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】A​ 【分析】x=2能推出=4，但=4时x还可能为−2，故p是q的充分不必要条件。 12.设a,b∈R，则“a>b”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】C​ 【分析】立方函数f(x)=在R上单调递增，故 a>b⇔。 13.“sinθ= ​”是“θ= ​”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】B​ 【分析】θ= 时sinθ= ​，但sinθ= 时θ还可以是等，故是必要不充分条件。 14. 命题p：x>1，命题q：<1，则p是q的 ______ 条件。 【答案】充分不必要条件​ 【分析】分式不等式：<1的解集（x<0或x>1）。充分不必要条件：x>1是解集的子集。 解析：x>1时<1 成立，但<1时x还可能为负数（如x=−1）。 15.若A={x∣x>2}，B={x∣x>a}，且“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则a的取值范围是 ______。 【答案】 【分析】必要不充分条件意味着B⊊A，即a<2。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$