专题1集合（讲义） -2026版黑龙江春季高考一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：2026版黑龙江春季高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》及黑龙江春季高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含11个模块共42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是2026版黑龙江春季高考一轮复习《数学知识点清单》的第1个专题：集合。本专题涵盖集合及其表示、集合之间的关系、集合的运算等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 2026版黑龙江春季高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题01 集合（讲义） 知识点一：集合及其表示 1．集合的概念 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的． (4)集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的． 2．元素与集合的关系 知识点 关系 概念 记法 读法 元素与集合的关系 属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A a∈A “a属于A” 不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a ∉A “a不属于A” 3．常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 4．集合的表示方法　 (1)列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． (2)描述法 一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 1．下列各组对象能构成集合的是（  ） A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形 C．著名的数学家 D．1，2，3，3，4，4，4，4 【答案】：B​ 【解析】：A中“充分接近”不明确；C中“著名”无标准；D有重复元素（集合元素互异性）。 2.已知集合，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】：D​ 【解析】：M = (-2, 1)，-π/2 ≈ -1.57 ∈ (-2, 1)，正确。其他选项：√5 ≈ 2.24 ∉ M；0 ∈ M；1 ∉ M。 3.下列给出的表示法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】：A​ 【解析】：a是{a}的元素，正确。B应为{a} ⊆ {a, b}；C中0 ∈ N；D中2√7 ∈ R。 4．下列关系中，正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】：C​ 【解析】：空集是任何集合的子集，正确。其他选项：√3 ∉ N；1/4 ∉ Z；1/2 ∈ Q。 5．以下六个写法中：①；②；③；④；⑤；正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】：B​ 【解析】：②∅ ⊆ {1,2}和④{0,1,2} = {2,0,1}正确。①应为{0} ⊆ {0,1,2}；③∅与{0}无关；⑤∅无元素。 6． 已知集合 ，且 ，则实数m的值为（   ） A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3 【答案】：A​ 【解析】：由2 ∈ A，可能m = 2或m² - 3m + 2 = 2。解得m = 3（m = 0时重复，舍去）。 7．已知集合，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】：D​ 【解析】：由集合相等得a + b = 0且b/a = 1，解得a = -1, b = 1。 8.集合中的最小整数为 . 【答案】：-3​ 【解析】：解|x - 2| ≤ 5得-3 ≤ x ≤ 7，最小整数为-3。 9.集合只有一个元素，则实数a的可能值构成的集合为 . 【答案】：{0, 1}​​ 【解析】：a = 0时方程为2x + 1 = 0，解唯一；a ≠ 0时Δ = 0 ⇒ a = 1。 10.若集合，若A中元素至多有一个，则m的取值范围是 . 【答案】：m ≥ 9/8或m = 0​ 【解析】：m = 0时方程线性，解唯一；m ≠ 0时Δ ≤ 0 ⇒ m ≥ 9/8。 知识点二：集合之间的关系 1．子集、真子集、集合相等的相关概念 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 AB (或BA) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 结论：集合{a1，a2，…，an}的子集有2n个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． 2．Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 3．子集的性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C. 4．空集 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集． 1.下列给论中，正确的是（ ） A.是空集 B.是空集 C.与不是同一个集合 D.方程的解集为 【答案】：B​ 【解析】：x² + x + 2 = 0无实数解，为空集。A中{0}非空；C中集合与顺序无关；D解集应为{2}（元素唯一）。 2.四个式子：①，②，③，④中，正确的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】：B​ 【解析】：③∅ ⊆ {0}和②∅ ∈ {0}（若{0}中有空集元素）正确。①{0} ≠ ∅；④0 ∉ ∅。 3.在下列式子中，① ② ③ ④⑤，其中错误的个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】：A​ 【解析】：②错误（应为{1} ⊆ {0,1,2}）。其他均正确。 4.下列四个推理：① ② ③ ④其中正确的个数为（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】：B​ 【解析】：②和③正确。①a可能在B中；④需A ∩ B = A。 5.已知集合，则集合S的子集个数为 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】：D​ 【解析】：2² = 4个子集：∅, {0}, {2}, {0,2}。 6.下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】：A​ 【解析】：0 ∈ {0}正确。B应为{0} ⊆ {0}；C中∅不是元素；D空集无元素。 7．设集合，则下列表述正确的有　　 ①；②；③；④有4个子集． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】：C​ 【解析】：M = {-2, 2}。①{2} ⊆ M；②-2 ∈ M；③M ∩ ∅ = ∅ ≠ M；④子集有4个（2²）。 8．已知，，若，则实数取值的集合为　　 A． B． C． D． 【答案】：D​ 【解析】：A = {1, 2}。B ⊆ A ⇒ B = ∅（a = 0）或B = {1}（a = 1）或B = {2}（a = 1/2）。 9.集合，则A的子集个数为 . 【答案】：16​ 【解析】：2⁴ = 16。 10.集合,A的真子集个数 . 【答案】：7​ 【解析】：2³ - 1 = 7（排除自身）。 知识点三：集合的运算 1．交集 (1)自然语言： 集合A与B的交集是所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，记作（读作“A交B”）. (2)符号语言： (3)图形语言 2．并集 (1)自然语言： 集合A与B的并集是所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，记作（读作“A并B”）. (2)符号语言： (3)图形语言 3．补集 (1)全集：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U. (2)补集 自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 ∁UA 符号语言 ∁UA＝ {x|x∈U且x∉A} 图形语言 1.（2021年黑龙江省职教高考）已知集合，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】：C​ 【解析】：A = (-1,4), B = (2,5]，并集为(-1,5]。 2.（2022年黑龙江省职教高考）已知集合 A ={x | x－a =0}| |, B ={x | ax－1=0}|，若 A ∩ B = A ，则实数 a =（ ） A . 1 B．－1 C．1或－1 D．1或－1或0 【答案】：D​ 【解析】：A = {a}，B = {1/a}（a ≠ 0）。若A ∩ B = ∅，则a = 0或1/a ≠ a ⇒ a = 0或±1。 3.（2023年黑龙江省职教高考） 集合，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】：D​ 【解析】：A ∪ B = {0,1,2,4} ⇒ a = 4。 4．（2024年黑龙江省职教高考）设集合，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】：C​ 【解析】：A = [1,5), B = [2,6)，交集为[2,5)。 5.（2022年黑龙江省职教高考）设全集I={1,2,3,4,5,6}，集合A ={1,2,3}, B ={2,4,6}，则 = . 【答案】：{5}​​ 【解析】：C_I A = {4,5,6}, C_I B = {1,3,5}，交集为{5}。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】：B​ 【解析】：{-1,0,2,3}。 2．若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】：C​ 【解析】：{2,3}。 3．设全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】：C​ 【解析】：U = {3,4,...,11}，补集为{4,5,8,10}。 4.集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】：B​ 【解析】：[2,4]。 5.（ ） A. B. C. D. 【答案】：B​ 【解析】：C_U N = {1,2}，与M交为{1,2}。 6.集合（ ） A. B. C. D. 【答案】：A​ 【解析】：并集为A本身。 7．设全集U=R，，则 . 【答案】：(-∞, -2] ∪ [3, +∞)​​ 【解析】：补集为M的区间之外。 8．设集合，集合，则 . 【答案】：(1/3, 1)​​ 【解析】：A = (1,2)，B = (1/3,1)，交集为(1/3,1)。 9．若全集U=R，集合，则= . 【答案】：[0,2]​​ 【解析】：A ∪ B = (-∞,0) ∪ (-1, +∞)，补集为[0,2]。 10．设集合，集合，则 . 【答案】：(-∞, -2] ∪ [√3, +∞)​​ 【解析】：A = (-∞, -√3) ∪ (√3, +∞)，B = (-∞, -2] ∪ [-1, +∞)，交集为(-∞, -2] ∪ (√3, +∞)。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：2026版黑龙江春季高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》及黑龙江春季高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含11个模块共42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是2026版黑龙江春季高考一轮复习《数学知识点清单》的第1个专题：集合。本专题涵盖集合及其表示、集合之间的关系、集合的运算等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 2026版黑龙江春季高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题01 集合（讲义） 知识点一：集合及其表示 1．集合的概念 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的． (4)集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的． 2．元素与集合的关系 知识点 关系 概念 记法 读法 元素与集合的关系 属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A a∈A “a属于A” 不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a ∉A “a不属于A” 3．常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 4．集合的表示方法　 (1)列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． (2)描述法 一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 1．下列各组对象能构成集合的是（  ） A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形 C．著名的数学家 D．1，2，3，3，4，4，4，4 2.已知集合，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 3.下列给出的表示法中正确的是（ ） A. B. C. D. 4．下列关系中，正确的是　　 A． B． C． D． 5．以下六个写法中：①；②；③；④；⑤；正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 6． 已知集合 ，且 ，则实数m的值为（   ） A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3 7．已知集合，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 8.集合中的最小整数为 . 9.集合只有一个元素，则实数a的可能值构成的集合为 . 10.若集合，若A中元素至多有一个，则m的取值范围是 . 知识点二：集合之间的关系 1．子集、真子集、集合相等的相关概念 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 AB (或BA) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 结论：集合{a1，a2，…，an}的子集有2n个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． 2．Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 3．子集的性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C. 4．空集 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集． 1.下列给论中，正确的是（ ） A.是空集 B.是空集 C.与不是同一个集合 D.方程的解集为 2.四个式子：①，②，③，④中，正确的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 3.在下列式子中，① ② ③ ④⑤，其中错误的个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.下列四个推理：① ② ③ ④其中正确的个数为（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.已知集合，则集合S的子集个数为 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 7．设集合，则下列表述正确的有　　 ①；②；③；④有4个子集． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．已知，，若，则实数取值的集合为　　 A． B． C． D． 9.集合，则A的子集个数为 . 10.集合,A的真子集个数 . 知识点三：集合的运算 1．交集 (1)自然语言： 集合A与B的交集是所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，记作（读作“A交B”）. (2)符号语言： (3)图形语言 2．并集 (1)自然语言： 集合A与B的并集是所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，记作（读作“A并B”）. (2)符号语言： (3)图形语言 3．补集 (1)全集：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U. (2)补集 自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 ∁UA 符号语言 ∁UA＝ {x|x∈U且x∉A} 图形语言 1.（2021年黑龙江省职教高考）已知集合，那么（ ） A. B. C. D. 2.（2022年黑龙江省职教高考）已知集合 A ={x | x－a =0}| |, B ={x | ax－1=0}|，若 A ∩ B = A ，则实数 a =（ ） A . 1 B．－1 C．1或－1 D．1或－1或0 3.（2023年黑龙江省职教高考） 集合，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 4．（2024年黑龙江省职教高考）设集合，那么（ ） A. B. C. D. 5．（2022年黑龙江省职教高考）设全集I={1,2,3,4,5,6}，集合A ={1,2,3}, B ={2,4,6}，则 = . 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．设全集，则（ ） A. B. C. D. 4.集合，则（ ） A. B. C. D. 5.（ ） A. B. C. D. 6.集合（ ） A. B. C. D. 7．设全集U=R，，则 . 8．设集合，集合，则 . 9．若全集U=R，集合，则= . 10．设集合，集合，则 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$