第二十六章 反比例函数 章末复习 课件 -2025-2026学年人教版数学九年级下册

第二十六章 反比例函数 第6课 反比例函数章末复习 反比例函数的概念 反比例函数的图象与性质 图象——双曲线 性质 k>0，在每一个象限内，y随x的增大而①__________ k<0，在每一个象限内，y随x的增大而②__________ 减小 增大 k的几何意义 在反比例函数图象上任取一点，过这一点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值③_________ 在反比例函数图象上任取一点，过这一点向一个坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形面积是定值④_________ |k| |k| 　　考点1 反比例函数的图象与性质 　　1． 【典例1】关于反比例函数y＝ ，下列结论正确的是(　C　) A． 图象位于第二、第四象限 B． 图象与坐标轴有公共点 C． 图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小 D． 若图象经过点(a，a＋2)，则a＝1 C 　　►跟踪训练 　　2． (2024河北)节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度 电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是(　C　) A． 若x＝5，则y＝100 B． 若y＝125，则x＝4 C． 若x减小，则y也减小 D． 若x减小一半，则y增大一倍 C 　　3． 已知点A(2，2)在反比例函数y＝ 的图象上． 　　(1)m的值为 ⁠． 1 　　(2)完成表格，并在平面直角坐标系中画出其函数图象． x … －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 … y … ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ … 　　解：函数图象如图所示． －1 － －2 －4 4 2 ​ 1 　　(3)根据图象回答： 　　①函数图象位于 象限，在每个象限内，y随x的增大 而 ⁠； 　　②若点(x1，y1)，(x2，y2)在该函数图象上，且x1<x2<0，则y1 ⁠ y2；(填“>”“<”或“＝”) 　　③若 ≤x＜2，则y的取值范围是 ⁠． 第一、第三 减小 > 2＜y≤8 　　考点2 反比例函数中k的几何意义 　　4． 【典例2】如图，点P是反比例函数图象上任意一点，过点P作 PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B． 　　(1)若反比例函数的解析式为y＝－ ，则矩形PAOB的面积 为 ⁠； 2 　　(2)若矩形PAOB的面积为12，则这个反比例函数的解析式是 ⁠ ⁠． y＝－ 　　►跟踪训练 　　5． (北师九上P157习题T3变式)如图，A，B两点在双曲线y＝ 上， 分别过A，B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影＝1.7，则S1＋S2等于 (　C　) A． 4 B． 4.2 C． 4.6 D． 5 C 　　6． (2024西宁)如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCO的顶点 O是坐标原点，顶点A在反比例函数y＝ (k≠0，x<0)的图象上，对角线 OB在x轴上．若菱形ABCO的面积是8 ，则k的值为(　B　) A． 4 B． －4 C． 2 D． －2 B 　　考点3 反比例函数的实际应用 　　7． 【典例3】跨学科某气球内充满了一定量的气体，当温度不变 时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如 图所示． 　　(1)求p关于V的函数解析式； 　　解：(1)设p＝ (k≠0)． 　　由题意知120＝ . 　　∴k＝96. 　　∴p＝ . 　　(2)当气体体积为1 m3时，气压是多少？ 　　(2)当V＝1 m3时，p＝ ＝96kPa． 　　(3)当气球内的气压大于140 kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气 体的体积应不小于多少？(精确到0.01 m3) 　　(3)当p＝140 kPa时，V＝ ≈0.69m3． 　　∴为了安全起见，气体的体积应不小于0.69 m3． 　　►跟踪训练 　　8． 跨学科(台州中考)科学课上，同学用自制密度计测量液体的密 度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h(单位：cm)是液 体的密度ρ(单位：g/cm3)的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1 g/cm3的 水中时，h＝20 cm. 　　(1)求h关于ρ的函数解析式； 　　解：(1)设h关于ρ的函数解析式为h＝ (k≠0)． 　　把ρ＝1，h＝20代入解析式，得k＝1×20＝20. 　　∴h关于ρ的函数解析式为h＝ . 　　(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25 cm，求该液体的密度ρ. 　　(2)当h＝25时，25＝ . 　　解得ρ＝0.8. 　　∴该液体的密度ρ为0.8 g/cm3. 　　考点4 反比例函数与一次函数综合 　　9． 【典例4】(2024东营)如图，一次函数y＝mx＋n(m≠0)的图象与 反比例函数y＝ (k≠0)的图象交于点A(－3，a)，B(1，3)，且一次函数 与x轴，y轴分别交于点C，D． 　　(1)求反比例函数和一次函数的表达式； 　　解：(1)∵y＝mx＋n(m≠0) 　　的图象与y＝ (k≠0)的图象交于点A(－3，a)，B(1，3)， 　　∴k＝1×3＝－3A． ∴k＝3，a＝－1. 　　∴反比例函数的表达式为y＝ . 　　∵一次函数y＝mx＋n的图象过A(－3，－1)，B(1，3)， 　　∴ 解得 　　∴一次函数的表达式为y＝x＋2. 　　(2)根据图象直接写出不等式mx＋n> 的解集； 　　(2)由图象可知，不等式mx＋n> 的解集为－3<x<0或x>1. 　　(3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP＝4S△OBD，求点P的坐标． 　　(3)在一次函数y＝x＋2中，当x＝0时，y＝2； 　　当y＝0时，x＝－2. 　　∴C(－2，0)，D(0，2)． 　　∴S△OBD＝ ×2×1＝1. 　　∴S△OCP＝4S△OBD＝4. 　　设点P的坐标为(p， ). 　　∴ ×2× ＝4.解得p＝－ . 　　∴P(- ，-4). 　　►跟踪训练 　　10． 如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，点F是AB上的一 个动点(点F不与点A，B重合)，过点F的反比例函数y＝ (x>0)的图象 与BC边交于点E. 　　(1)当点F为AB的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标． 　　解：(1)∵OA＝3，OC＝2，∴B(3，2)． 　　∵点F为AB的中点，∴F(3，1)． 　　∵点F在反比例函数y＝ (x>0)的图象上， 　　∴k＝3×1＝3. 　　∴该函数的解析式为y＝ (x>0)． 　　把y＝2代入y＝ ，得x＝ . 　　∴E(，2). 　　(2)当k为何值时，△CEF的面积最大，最大面积是多少？ 　　(2)由题意知，E(，2)，F(3， ). 　　∴S△CEF＝ CE·BF＝ · k·(2- k)＝ k－ k2＝－ (k－3)2＋ . 　　∵点F在边AB上，不与点A，B重合， 　　∴0< <2.∴0<k<6. 　　∴当k＝3时，△CEF的面积最大，最大值为 . 　　11． 一题多问如图，将矩形OABC放置在平面直角坐标系中，OA＝ 2，OC＝3，点E是AB的中点，反比例函数的图象过点E且与BC相交于 点F. 　　(1)求反比例函数的解析式． 　　解：(1)∵四边形OABC是矩形，OA＝2，OC＝3， 　　∴B(2，3)．又点E是AB的中点，∴E(2， ). 　　设反比例函数的解析式是y＝ (k≠0)． 　　把点E的坐标代入，得k＝2× ＝3. 　　∴反比例函数的解析式为y＝ . 　　(2)反比例函数图象的另一支位于哪个象限？点(－1，－2)是否在这个 函数的图象上？ 　　(2)反比例函数图象的另一支位于第三象限． 　　∵(－1)×(－2)＝2≠3， 　　∴点(－1，－2)不在这个函数的图象上． 　　(3)已知点(3，y1)，(－2，y2)，(－3，y3)都在这个反比例函数的图象 上，试比较y1，y2，y3的大小． 　　(3)∵反比例函数y＝ 中的比例系数k＝3>0， 　　∴在每一象限内，y的值随x值的增大而减小． 　　又(3，y1)，(－2，y2)，(－3，y3)都在y＝ 的图象上， 　　∴y1>0，y2<y3<0. 　　∴y2<y3<y1. 　　(4)点P是这个反比例函数图象上的一点(不与点F重合)，若OF＝ OP，求点P的坐标． 　　(4)当y＝3时，3＝ . 　　∴x＝1.∴点F的坐标为(1，3)． 　　∵反比例函数y＝ 的图象关于原点对称， 　　∴当点P与点F关于原点对称时，OF＝OP，此时点P的坐标为(－ 1，－3)． 　　∵反比例函数y＝ 的图象关于直线y＝x对称， 　　∴当点P与点F关于直线y＝x对称时，OF＝OP，此时点P的坐标 为(3，1)． 　　∵反比例函数y＝ 的图象关于直线y＝－x对称， 　　∴当点P与点F关于直线y＝－x对称时，OF＝OP，此时点P的坐 标为(－3，－1)． 　　综上所述，点P的坐标为(－1，－3)或(3，1)或(－3，－1)． 　　(5)连接OE，OF，求四边形OEBF的面积． 　　(5)S四边形OEBF＝S矩形OABC－S△OCF－S△OAE＝2×3－ ×1×3－ ×2× ＝3. 　　(6)点Q为y轴上一动点，当QE＋QF的值最小时，求点Q的坐标． 　　(6)如图，作点E关于y轴的对称点E1，连接E1F，与y轴交于点Q， 点Q即为所求． 　　∵点E与点E1关于y轴对称，∴点E1的坐标为(-2， ). 　　设直线E1F的解析式为y＝ax＋b(a≠0)． 　　∴ 解得 　　∴直线E1F的解析式为y＝ x＋ . 　　令x＝0，得y＝ . 　　∴点Q的坐标为(0， ). $$