附录 充要条件（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块同步教案（人教版2021）

对应学生课时P279 [基础过关] 1．“△ABC是等腰三角形”是“△ABC是等腰直角三角形”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[△ABC是等腰三角形不能推出△ABC是等腰直角三角形，而△ABC是等腰直角三角形能推出△ABC是等腰三角形，所以是必要不充分条件．] 2．“x＝2”是“|x|＝2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[x＝2能推出|x|＝2，而|x|＝2不能推出x＝2，还可能x＝－2，所以是充分不必要条件．] 3．“xy＝0”是“x、y至少有一个为零”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：C　[xy＝0能推出x、y至少有一个为零，而x、y至少有一个为零也能推出xy＝0，所以是充要条件．] 4．“x∈(1,2)”是“x∈(0,3)”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[“x∈(1,2)”可以推出“x∈(0,3)”，反之不成立，所以，“x∈(1,2)”是“x∈(0,3)”充分不必要条件．] 5．下列命题中，条件p是结论q的充要条件的是(　　) A．p：|x|>1，q：x>1 B．p：A∩B＝A，q：A＝B C．p：a＝2或a＝－2，q：|a|＝2 D．p：sin α＝，q：α＝ 解析：C　[绝对值即可．] 6．“a∈N＋”是“a∈N”的　________　条件． 解析：a∈N＋⇒a∈N 答案：充分不必要 7．“四边相等的四边形”是“正方形”的　________　条件． 解析：四边相等的四边形⇐正方形 答案： 必要不充分 8．“a≠0”是“ab≠0”的　________　条件． 解析：a≠0⇐ab≠0 答案：必要不充分 9．已知p是q的充分条件，s是r的必要条件，p是s的充要条件，则q与r有什么关系？ 解：根据已知可得p⇒q，r⇒s，p⇔s，所以r⇒s，s⇔p，p⇒q，即r⇒s⇒p⇒q. 所以r⇒q，即r是q的充分条件，q是r的必要条件． [能力提升] 10．“x＋4＝0”是“x2－16＝0”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[x＋4＝0⇒x2－16＝0，所以是充分不必要条件．] 11．在“M⊆N”成立的条件下，以下说法错误的是(　　) A．M＝N B．集合N中的元素都是集合M的元素 C．集合M中的元素都是集合N的元素 D．M＝{1,2}，N＝{3,2,1} 解析：B　[根据子集的概念可得．] 12．设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[由A∩B＝A∩C，不一定有B＝C，反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C.∴“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件．] 13．“x<－2”是“不等式x2－4>0成立”的　________　. 解析：不等式x2－4>0，解得x>2或x<－2. 答案：充分不必要 14．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则s是q的　________　条件． 解析：根据概念可得． 答案：充要 15．说明下列各题中集合A与B之间的关系： (1)A＝{x|x是整数}， B＝{x|x是自然数}； (2)A＝{x|x是等腰直角三角形}， B＝{x|x直角三角形}； (3)A＝{x|x是正偶数}， B＝{x|x＝2n，n∈N＋}； (4)A＝{x|x是等腰三角形}， B＝{x|x是有两内角相等的三角形}． 解：(1)因为x是自然数⇒x整数，所以B⊆A； (2)因为x是等腰直角三角形⇒x是直角三角形，所以A⊆B； (3)因为x是正偶数⇔x＝2n，n∈N＋，所以A＝B； (4)因为x是等腰三角形⇔x是有两内角相等的三角形，所以A＝B. 学科网（北京）股份有限公司 $$充要条件 附录　 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 附录 充要条件 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 附录 充要条件 数学基础模块（RJ） 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 附录 充要条件 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 附录 充要条件 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 附录 充要条件 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 附录 充要条件 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 附录 充要条件 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 附录 充要条件 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 附录 充要条件 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 附录 充要条件 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 附录 充要条件 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 附录 充要条件 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 附录 充要条件 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 附录 充要条件 　 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 附录 充要条件 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 附录 充要条件 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 附录 充要条件 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 附录 充要条件 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 附录 充要条件 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 附录 充要条件 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 附录 充要条件 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 附录 充要条件 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 附录 充要条件 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 附录 充要条件 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 附录 充要条件 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 附录 充要条件 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 附录 充要条件 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 附录 充要条件 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 附录 充要条件 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 附录 充要条件 课程标准 素养解读 1．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系． 2．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系. 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系. 通过对充分条件、必要条件、充要条件的学习和 理解，体会充分条件、必要条件、充要条件在数学表 达、论证等方面的作用，重点提升逻辑推理与数学抽 象素养． 某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能独立控制这盏灯．这就是电器上常用的“双刀”开关，如图所示． 那么，(1)A开关闭合时B灯一定亮吗？(2)B灯亮时A开关一定闭合吗？ [知识点一]　充分、充要条件 1．推出符号 “如果p，则q”是真命题，即由　p可推出q　，用符号记作p⇒q，读作p推q. 2．充分、必要条件 “如果p，则q”是真命题，即　p推出q　，我们说p是q的　充分条件　，q是p的　必要条件　.也就是说，“如果p，则q”是真命题，等价于p⇒q，或p是q的充分条件，或q是p的必要条件． 3．充要条件 如果p是q的充分条件(p⇒q)，p又是q的必要条件(q⇒p)，则称p是q的　充分必要条件　，简称充要条件，记作p⇔q，也读作“p与q等价”，“p当且仅当q”． [知识点二]　集合与充要条件 设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B. 1．p是q的充分不必要条件⇔p⇒q，q⇒p⇔A⊆B； 2．p是q的必要不充分条件⇔q⇒p，p⇒q⇔B⊆A； 3．p是q的充要条件⇔A＝B. 1.p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出的关系是否相同？ 提示：相同，都是p⇒q. 2．以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？ 提示：这五种表述形式是等价的． 1．俗语云：“好人有好报．”这句话的意思是，“好人”是“有好报”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．无法判断 解析：A　[这句话的意思中“好人”⇒“有好报”，所以“好人”是“有好报”的充分条件．] 2．“x＝3”是“x2＝9”的(　　) A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[x＝3时，x2＝9；但x＝－3时，仍有x2＝9，据此即可作出判断．] 3．“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的(　　) A．充分不必要的条件 B．必要不充分的条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：C　[因为由“三角形的三条边相等”可以得出“三角形为等边三角形”，由“三角形为等边三角形”也可以得出“三角形的三条边相等”，所以“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的的充要条件．] 充分必要条件的判定 　指出下列各组的条件p是结论q的什么条件： (1)p：x＝3，q：(x－1)(x－3)＝0； (2)p：x>1，q：x>3； (3)p：x＝y，q：(x－y)2＝0. [思路点拨]　分清命题的条件和结论，判断是由条件推出结论，还是由结论推出条件． [解]　(1)由条件x＝3成立能够推出结论(x－1)(x－3)＝0成立，因此p是q的充分条件；而由结论(x－1)(x－3)＝0成立不能够推出条件x＝3一定成立，因为当x＝1时，(x－1)(x－3)＝0也成立，所以p不是q的必要条件，故p是q的充分不必要条件． (2)由条件x>1成立不能推出结论x>3，如x＝2时，2>1但2<3，因此p不是q的充分条件；而由结论x>3成立能够推出条件x>1成立，p是q的必要条件，故p是q的必要不充分条件． (3)由条件x＝y成立能够推出结论(x－y)2＝0成立，而由结论(x－y)2＝0成立也能够推出条件x＝y成立，因此p是q的充要条件． 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． [变式训练] 1．判断下列问题中，p是q的什么条件？ (1)p：x2≥y2，q：x≥y； (2)p：x∈A∪B，q：x∈A∩B； (3)p：x>3，q：x>2； (4)p：a是有理数，q：a＋2是有理数． 解：(1)既不充分也不必要条件； (2)必要不充分条件； (3)充分不必要条件； (4)充要条件． 子集和推出关系 　判断下列集合A与B的关系． (1)A＝{x|x是矩形}， B{x|x是平行四边形}； (2)A＝{x|x是2的倍数}， B{x|x是4的倍数}； (3)A＝{x|x>3}， B{x|x>7}． [思路点拨]　先判断是“p⇒q”还是“q⇒p”，再确定集合之间的关系． [解]　(1)因为x是矩形⇒x是平等四边形，所以A⊆B. (2)因为x是4的倍数⇒x是2的倍数，所以B⊆A. (3)因为x>7⇒x>3，所以B⊆A. 如果p，q成立的对象构成的集合分别为A，B则 p⇒q⇔A⊆B q⇒p⇔B⊆A p⇔q⇔A＝B. [变式训练] 2．说明下列集合A与B之间的关系． (1)A＝{x|x是等边三角形}， B＝{x|x是等腰三角形}； (2)A＝{x|x2－4＝0}， B＝{x|x＋2＝0}； (3)A＝{x|3x－6>0}， B＝{x|x>2}． 解：(1)因为x是等边三角形⇒x是等腰三角形，所以A⊆B. (2)因为x＋2＝0⇒x2－4＝0，所以B⊆A. (3)因为3x－6>0⇔x>2，所以A＝B. 1．“x>5”是“x>6”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[x>5不能推出x>6，而x>6能推出x>5，所以x>5是x>6的必要不充分条件．] 2．“四边形ABCD为梯形”是“四边形ABCD为正方形的”(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：D　[梯形不能推出正方形，正方形也不能推出梯形，所以是既不充分也不必要条件．] 3．“x＝2”是“x2－2x＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[x＝2能推出x2－2x＝0，而x2－2x＝0不能推出x＝2，因为还可能x＝0，所以是充分不必要条件．] 4．“同旁内角互补”是“两直线平行”的　________　条件． 解析：同旁内角互补⇔两直线平行 答案：充要 $$ 课程标准 素养解读 1．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系． 2．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系. 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系. 通过对充分条件、必要条件、充要条件的学习和理解，体会充分条件、必要条件、充要条件在数学表达、论证等方面的作用，重点提升逻辑推理与数学抽象素养． 某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能独立控制这盏灯．这就是电器上常用的“双刀”开关，如图所示． 那么，(1)A开关闭合时B灯一定亮吗？(2)B灯亮时A开关一定闭合吗？ [知识点一]　充分、充要条件 1．推出符号 “如果p，则q”是真命题，即由　p可推出q　，用符号记作p⇒q，读作p推q. 2．充分、必要条件 “如果p，则q”是真命题，即　p推出q　，我们说p是q的　充分条件　，q是p的　必要条件　.也就是说，“如果p，则q”是真命题，等价于p⇒q，或p是q的充分条件，或q是p的必要条件． 3．充要条件 如果p是q的充分条件(p⇒q)，p又是q的必要条件(q⇒p)，则称p是q的　充分必要条件　，简称充要条件，记作p⇔q，也读作“p与q等价”，“p当且仅当q”． [知识点二]　集合与充要条件 设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B. 1．p是q的充分不必要条件⇔p⇒q，q⇒p⇔A⊆B； 2．p是q的必要不充分条件⇔q⇒p，p⇒q⇔B⊆A； 3．p是q的充要条件⇔A＝B. 1.p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出的关系是否相同？ 提示：相同，都是p⇒q. 2．以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？ 提示：这五种表述形式是等价的． 1．俗语云：“好人有好报．”这句话的意思是，“好人”是“有好报”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．无法判断 解析：A　[这句话的意思中“好人”⇒“有好报”，所以“好人”是“有好报”的充分条件．] 2．“x＝3”是“x2＝9”的(　　) A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[x＝3时，x2＝9；但x＝－3时，仍有x2＝9，据此即可作出判断．] 3．“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的(　　) A．充分不必要的条件 B．必要不充分的条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：C　[因为由“三角形的三条边相等”可以得出“三角形为等边三角形”，由“三角形为等边三角形”也可以得出“三角形的三条边相等”，所以“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的的充要条件．] 充分必要条件的判定 　指出下列各组的条件p是结论q的什么条件： (1)p：x＝3，q：(x－1)(x－3)＝0； (2)p：x>1，q：x>3； (3)p：x＝y，q：(x－y)2＝0. [思路点拨]　分清命题的条件和结论，判断是由条件推出结论，还是由结论推出条件． [解]　(1)由条件x＝3成立能够推出结论(x－1)(x－3)＝0成立，因此p是q的充分条件；而由结论(x－1)(x－3)＝0成立不能够推出条件x＝3一定成立，因为当x＝1时，(x－1)(x－3)＝0也成立，所以p不是q的必要条件，故p是q的充分不必要条件． (2)由条件x>1成立不能推出结论x>3，如x＝2时，2>1但2<3，因此p不是q的充分条件；而由结论x>3成立能够推出条件x>1成立，p是q的必要条件，故p是q的必要不充分条件． (3)由条件x＝y成立能够推出结论(x－y)2＝0成立，而由结论(x－y)2＝0成立也能够推出条件x＝y成立，因此p是q的充要条件． 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． [变式训练] 1．判断下列问题中，p是q的什么条件？ (1)p：x2≥y2，q：x≥y； (2)p：x∈A∪B，q：x∈A∩B； (3)p：x>3，q：x>2； (4)p：a是有理数，q：a＋2是有理数． 解：(1)既不充分也不必要条件； (2)必要不充分条件； (3)充分不必要条件； (4)充要条件． 子集和推出关系 　判断下列集合A与B的关系． (1)A＝{x|x是矩形}， B{x|x是平行四边形}； (2)A＝{x|x是2的倍数}， B{x|x是4的倍数}； (3)A＝{x|x>3}， B{x|x>7}． [思路点拨]　先判断是“p⇒q”还是“q⇒p”，再确定集合之间的关系． [解]　(1)因为x是矩形⇒x是平等四边形，所以A⊆B. (2)因为x是4的倍数⇒x是2的倍数，所以B⊆A. (3)因为x>7⇒x>3，所以B⊆A. 如果p，q成立的对象构成的集合分别为A，B则 p⇒q⇔A⊆B q⇒p⇔B⊆A p⇔q⇔A＝B. [变式训练] 2．说明下列集合A与B之间的关系． (1)A＝{x|x是等边三角形}， B＝{x|x是等腰三角形}； (2)A＝{x|x2－4＝0}， B＝{x|x＋2＝0}； (3)A＝{x|3x－6>0}， B＝{x|x>2}． 解：(1)因为x是等边三角形⇒x是等腰三角形，所以A⊆B. (2)因为x＋2＝0⇒x2－4＝0，所以B⊆A. (3)因为3x－6>0⇔x>2，所以A＝B. 1．“x>5”是“x>6”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[x>5不能推出x>6，而x>6能推出x>5，所以x>5是x>6的必要不充分条件．] 2．“四边形ABCD为梯形”是“四边形ABCD为正方形的”(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：D　[梯形不能推出正方形，正方形也不能推出梯形，所以是既不充分也不必要条件．] 3．“x＝2”是“x2－2x＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[x＝2能推出x2－2x＝0，而x2－2x＝0不能推出x＝2，因为还可能x＝0，所以是充分不必要条件．] 4．“同旁内角互补”是“两直线平行”的　________　条件． 解析：同旁内角互补⇔两直线平行 答案：充要 对应学生课时P279 [基础过关] 1．“△ABC是等腰三角形”是“△ABC是等腰直角三角形”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[△ABC是等腰三角形不能推出△ABC是等腰直角三角形，而△ABC是等腰直角三角形能推出△ABC是等腰三角形，所以是必要不充分条件．] 2．“x＝2”是“|x|＝2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[x＝2能推出|x|＝2，而|x|＝2不能推出x＝2，还可能x＝－2，所以是充分不必要条件．] 3．“xy＝0”是“x、y至少有一个为零”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：C　[xy＝0能推出x、y至少有一个为零，而x、y至少有一个为零也能推出xy＝0，所以是充要条件．] 4．“x∈(1,2)”是“x∈(0,3)”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[“x∈(1,2)”可以推出“x∈(0,3)”，反之不成立，所以，“x∈(1,2)”是“x∈(0,3)”充分不必要条件．] 5．下列命题中，条件p是结论q的充要条件的是(　　) A．p：|x|>1，q：x>1 B．p：A∩B＝A，q：A＝B C．p：a＝2或a＝－2，q：|a|＝2 D．p：sin α＝，q：α＝ 解析：C　[绝对值即可．] 6．“a∈N＋”是“a∈N”的　________　条件． 解析：a∈N＋⇒a∈N 答案：充分不必要 7．“四边相等的四边形”是“正方形”的　________　条件． 解析：四边相等的四边形⇐正方形 答案： 必要不充分 8．“a≠0”是“ab≠0”的　________　条件． 解析：a≠0⇐ab≠0 答案：必要不充分 9．已知p是q的充分条件，s是r的必要条件，p是s的充要条件，则q与r有什么关系？ 解：根据已知可得p⇒q，r⇒s，p⇔s，所以r⇒s，s⇔p，p⇒q，即r⇒s⇒p⇒q. 所以r⇒q，即r是q的充分条件，q是r的必要条件． [能力提升] 10．“x＋4＝0”是“x2－16＝0”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[x＋4＝0⇒x2－16＝0，所以是充分不必要条件．] 11．在“M⊆N”成立的条件下，以下说法错误的是(　　) A．M＝N B．集合N中的元素都是集合M的元素 C．集合M中的元素都是集合N的元素 D．M＝{1,2}，N＝{3,2,1} 解析：B　[根据子集的概念可得．] 12．设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[由A∩B＝A∩C，不一定有B＝C，反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C.∴“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件．] 13．“x<－2”是“不等式x2－4>0成立”的　________　. 解析：不等式x2－4>0，解得x>2或x<－2. 答案：充分不必要 14．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则s是q的　________　条件． 解析：根据概念可得． 答案：充要 15．说明下列各题中集合A与B之间的关系： (1)A＝{x|x是整数}， B＝{x|x是自然数}； (2)A＝{x|x是等腰直角三角形}， B＝{x|x直角三角形}； (3)A＝{x|x是正偶数}， B＝{x|x＝2n，n∈N＋}； (4)A＝{x|x是等腰三角形}， B＝{x|x是有两内角相等的三角形}． 解：(1)因为x是自然数⇒x整数，所以B⊆A； (2)因为x是等腰直角三角形⇒x是直角三角形，所以A⊆B； (3)因为x是正偶数⇔x＝2n，n∈N＋，所以A＝B； (4)因为x是等腰三角形⇔x是有两内角相等的三角形，所以A＝B. 学科网（北京）股份有限公司 $$