7.2.4 第1课时 二项式定理（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块同步教案（人教版2021）

7．2.4　二项式定理 第1课时　二项式定理 课程标准 素养解读 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 1.通过二项式定理的学习，培养逻辑推理的素养． 2．借助二项式定理及展开式的通项公式解题，提升数学运算的素养. 牛顿的故事 牛顿善于观察日常生活中的小事，结果取得了科学史上一个个重要的发现．作为大学教授，牛顿常常忙得不修边幅，往往不打领带，不系好鞋带和马裤的纽扣，就走进了大学餐厅．有一次，他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差，他脑海中只剩下了无穷量的二项式定理．他抓住姑娘的手指，错误地把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞，痛得姑娘大叫，离他而去．牛顿也因此终生未娶．那么，什么是二项式定理？二项式定理的无穷魅力在哪里？ [知识点]　二项式定理及相关概念 二项式定理 (a＋b)n＝Canb0＋Can－1b＋…＋Can－m·bm＋…＋Ca0bn(n∈N＋)　，　上式可简写成(a＋b)n＝an－kbk　 二项展开式 　右边的多项式　 二项式系数 各项的系数　C(n∈{0,1,2，…，n})　 二项展开式的通项 Tm＋1＝　Can－mbm　 通项中的注意点 (1)展开式共有n＋1项． (2)Tm＋1是展开式中的第m＋1项，而不是第m项． (3)公式中a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置． (4)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题． (5)对二项式(a－b)n展开式的通项要特别注意符号问题． 二项式系数与项的系数、项与项数有什么区别？ 提示：(1)二项展开式中的二项式系数是指C，C，…，C这些组合数，与a，b无关． (2)展开式中项的系数则是展开式中关于某一个(或两个)字母的系数，与a，b有关，项的系数未必是正数． (3)项是指项的系数和含字母的式子的积，项数是指该项在展开式中的位置． 1．(x－)n的展开式共有11项，则n等于(　　) A．9 B．10 C．11 D．8 解析：B　[(x－)n的展开式共有n＋1项，所以n＋1＝11，故n＝10.] 2．(1＋2x)9的展开式中第2项的二项式系数为(　　) A．C B．C C．C D．C 解析：B　[(1＋2x)9的展开式的第2项的二项式系数为C.] 3.10的二项展开式的第6项为(　　) A．252x B．252 C. D．252 解析：D　[T6＝C()55＝C＝252.] 求二项展开式 　求3的展开式． [思路点拨]　直接运用公式将其展开，也可先变形，后展开． [解]　法一　3＝Cx30＋Cx21＋Cx2＋Cx03＝x3＋3x＋＋. 法二　3＝＝(x6＋3x4＋3x2＋1)＝x3＋3x＋＋. 运用二项式定理的解题策略 求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开． [变式训练] 1．(1)写出(a＋b)7的展开式； (2)写出(1＋x)n的展开式． 解：(1)因为C＝C＝1，C＝C＝7，C＝C＝21，C＝C＝35，所以(a＋b)7＝Ca7＋Ca6b＋Ca5b2＋Ca4b3＋Ca3b4＋Ca2b5＋Cab6＋Cb7＝a7＋7a6b＋21a5b2＋35a4b3＋35a3b4＋21a2b5＋7ab6＋b7 (2)在二项式定理中，令a＝1，b＝x，可得(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn. 求展开式中的特定项 　(1)求(2x－1)7的展开式的第4项； (2)求(2x－)12的展开式中的常数项． [思路点拨]　利用二项式的通项可以求常数项、有理项、指定项等，只要涉及这些内容，就应想到二项式的通项．另外，一定要注意化简的准确性． [解]　(1)(2x－1)7的展开式的第4项是T4＝T3＋1＝C×(2x)7－3×(－1)3＝C×24×(－1)3·x4＝35×(－16)·x4＝－560x4. (2)设此展开式中第m＋1项是常数项，则Tm＋1＝C(2x)12－mm＝(－1)mC212－m·x，依题意可得＝0，所以m＝8，即常数项T9＝7 920. 1．求二项展开式的特定项的常见题型 (1)求第m＋1项，Tm＋1＝Can－mbm； (2)求含xm的项(或xpyq的项)； (3)求常数项； (4)求有理项． 2．求二项展开式特定项的步骤 [变式训练] 2．求5的展开式中含x3的项． 解：Tm＋1＝Cx5－mm＝C·x5－2m.依题意，得5－2m＝3.解得m＝1.即二项展开式中含x3的项为第2项，此项为T2＝Cx3＝5x3. 求二项展开式特定项的有关系数 　求(1－2x)7的展开式中，第四项的二项式系数和第四项的系数． [思路点拨]　先求通项，再根据通项求第四项的二项式系数和系数． [解]　在(1－2x)7的展开式的通项为Tm＋1＝C·1·(－2x)m，所以第四项为T3＋1＝C(－2x)3＝－280x3，第四项的二项式系数是C＝35；第四项的系数是C(－2)3＝－280. 某项(a＋b)n的二项式系数和项的系数的区别，这是两个不同的概念，“二项式系数”仅指C，C，C，C，…，C这些组合数，不包括字母a，b所表示式子中的系数，而对应的项的系数不仅与C有关，也与a，b的值有关． [变式训练] 3．已知n的二项展开式的第3项系数等于6，求n的值． 解：T3＝Cxn－22＝xn－2，依题意可得＝6，即＝66，解得n＝12或n＝－11，故n＝12. 求近似值 　求1.9975精确到0.001的近似值． [思路点拨]　1.9975＝(2－0.003)5.利用二项展开式和精确度的要求求解． [解]　1.9975＝(2－0.003)5≈25－C×0.003×24＋C×0.0032×23＝32－0.24＋0.000 72≈31.761. (1＋a)n的近似计算的处理方法如下： 当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式(1＋a)n≈1＋na因为这时展开式的后面部分Ca2＋Ca3＋…＋Can很小，所以可以忽略不计，但是使用这个公式时应注意a的条件，以及对精确度的要求．若精确度要求较高，则可使用更精确的近似公式(1＋a)n≈1＋na＋a2等． [变式训练] 4．求1.003 55精确到0.001的近似值． 解：1.003 55＝(1＋0.003 5)5≈1＋5×0.003 5＝1.017 5≈1.018. 1．(x＋1)n的展开式共12项，则n等于(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 解析：C　[由n＋1＝12，可知n＝11.] 2．(y－2x)8展开式中的第6项的二项式系数是(　　) A．C B．C(－2)5 C．C D．C(－2)6 解析：C　[由题意可知第6项的二项式系数为C.] 3．在二项式(x2－)5的展开式中，含x4的项的系数是(　　) A．－10 B．10 C．－5 D．5 解析：B　[∵(x2－)5的展开式的通项为Tm＋1＝Cx2(5－m)(－1)mx－m＝(－1)mCx10－3m，令10－3m＝4，∴m＝2，∴x4的系数为C＝10.] 4．(1－x)10的展开式中第7项为　________　. 解析：T7＝C(－x)6＝210x6. 答案：210x6 学科网（北京）股份有限公司 $$色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 分层训练 课后·素养提升 高数提能 对应学生课时P268 【基础过关] 1.(c十2y的展开式共有12项，则n等于() A.9 B.10 C.11 D.8 解析：C[因为(a+by的展开式共有n+1项，而(x十2y的展开式共有12项，所以n =11] 2.二项式(1一2x)9的展开式中x6的系数为() A.C69 B.-C69 C.C6926 D.-C6926 解析：C[二项式(1一2x)9=C09+C19(-2x)++C49(-24+…+C99(-2)9,其展 开式中x6的系数为：C69(-2)6=C6926] 3.c一2)‘的二项展开式中，含x2项的二项式系数是( A.6 B.15 C.20 D.240 解析：B[设(x-2)的展开式中第k+1项含x2,即Tm+1=Cm66-m(一2y,令6一m =2则m=4,所以(x一2)5的展开式中含x2项的二项式系数是C46=15] 4.(2x十1)的二项展开式中，含x3项的系数是( A.20 B.120 C.160 D.960 解析：C[二项展开式的通项为Tm+1=Cm6(2)6-m=Cm626-m6-m,令6一m=3,得 m=3.故含x3项的系数为C3623=160.] 5avs4 alcol(r(x)-f1r(x)的二项展开式中，常数项是() A.5 B.8 C.6 D.12 解析：C【设第m十1项是常数项，由公式Tm+1=Cmna-mbm得Tm+1=Cm4)4-m alvs4allcol(-\f(1'r(x))y=Cm4(-1)x4-m2x-m2=Cm4(-1)"x4-m2-m2=Cm4(- 1)yx2-m,故当2一m=0即m=2时，二项式aws4 alcol(r(x)一f1r(x)》4的第3项为常数项. 即T2+1=C24(-1)2x2-2=4×32×1=6.] 6.已知二项式(x+a)展开式中，x2项的系数为80，求a= 解析：C35x2a3=80r2-a=2 答案：2 7.(a一2b)8展开式中第5项的二项式系数是 解析：T5=T4+1=C48=8×7×6×54×3×2×1=70 答案：70 8.alws4 alcol(x3-f1x)4的展开式中常数项为 解析：alvs4al小col(x3-f1x)1展开式的通项为Tm+1= Cm4(x34-mlas4alcol(-\f(1x))m=(-1)C34x12-4m 令12一4m=0,.m=3,所以常数项为 T4=(-1)3C34=-4 答案：一4 9.写出下列各式的二项展开式 (1)aws4alcol(3r(x)+if(1r(x))4;(2)aws4alcol(x++f(1x))5. 解析：(1)avs4 alcol(3r(x)+Mf1r(x)A=C04(3x)4+C14(3x3.1r(x)+C24 (3x)2\aws4alcol(f(1r(x)))2++C34-(3x)\aws4alcol(f(T'r(x)))3+C44aws4alicol(f(1r(x)))4 =81x2+108x+12x+1x2+54 (2)avs4 alcol(+f1x)6=x-6+6r-4+15x-2+20+15x2+6r4+x6 [能力提升] 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 10.(x一2y7的展开式中的第4项为() A.-2804y3 B.2804y3 C.-354h3 D.35x43 解析：A[x-2y)7的展开式中的第4项为T4=C374(-2y)=(一2)3C374y3=一 2804y3] 11.(12x-2y)5的展开式中x3的系数是() A.-20 B.-5 C.5 D.20 解析：A[Tm+1=Cm5(12x)-m(-2y =Cm52m-5(-2)mx5-mym, 当m=3时，系数为C3523-5(-2)3=-20] 12.若二项式(x+2”的展开式的第4项是52，第3项的二项式系数是15，则x的值为 ( A12 B.14 C.2)8 D.18 解析：B[由二项式c+2y的展开式的第4项为23C3-3,第3项的二项式系数是C2n, 可知C2n=15,23C3m-3=52,可得n=6,x=14.] 13.在avs4 alcol(一f1x)9的展开式中，含x3项的系数是 解析：道项Tm+1=Cm9x9-maivs4 alcol(-f1x)y=Cm9(-1)x9-2m,令9-2m=3, 则m=3,含x3项的系数为-C39=-84 答案：-84 14.在avs4 alcol(2x3+f(1x)6的展开式中，x6的系数是 解析：avs4 alcol(2x3+f(1x)6的展开式通项为Tm+1=Cm6(2r3)-m avs4 alcol0f1x)=26-mCm6rl8-4m,令18-4m=6,解得m=3,所以x6的系数是23C36 =160. 答案：160 15.已知二项式(3x-23x)10 (1)求展开式第四项的二项式系数： (2)求展开式第四项的系数. 解：(3x-23x)10的展开式的通项是Tm+1=Cm10(3x)10-m(-23xy=310-m(-23) mCm10x10-3m2(m=0,1,…,10). (1)展开式的第四项的二项式系数为C310=120 (2)展开式的第四项的系数为C31037avs4 alcol(-Mf23)=-77760. ·独家授权侵权必究·7.2.2 　组合 第七章　概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第七章 概率与统计 数学基础模块（RJ） 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 　 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 课程标准 素养解读 1.理解组合与组合数的概念． 2．学会运用组合的概念，分析简单的实际问题． 3．理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明. 1.通过学习组合与组合数的概念，培养数学抽象的素养． 2．借助组合数公式及组合数的性质进行计算，培养数学运算的素养． 3．通过组合解决实际问题，提升逻辑推理和数学运算的素养. 某国际会议中心有A、B、C、D、E等5种不同功能的会议室，且每种功能的会议室又有大、中、小和特小等4种型号，总共20个会议室．现在有一个国际学术会议需要选择3种不同功能的6个会议室，并且每种功能的会议室选2个型号．试问会议中心的工作人员有多少种安排会议室的方法？ [知识点一]　组合的定义 一般地，从n个不同元素中任取m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素　并成一组　，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． [知识点二]　组合数的概念、公式、性质 组合数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的　所有组合　的个数，叫做从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的组合数． 符号表示 　Ceq \o\al(m,n)　 组合数公式 乘积式 Ceq \o\al(m,n)＝　eq \f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))　＝　eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)　 阶乘式 Ceq \o\al(m,n)＝　eq \f(n！,m！n－m！)　 性质 定理1：Ceq \o\al(m,n)＝　Ceq \o\al(n－m,n)　，定理2：Ceq \o\al(m,n＋1)＝　Ceq \o\al(m,n)＋Ceq \o\al(m－1,n)　 备注 ①n，m∈N＋且m≤n；②规定Ceq \o\al(0,n)＝1 1.排列与组合的异同点各是什么？ 提示：排列与组合的异同点 排列 组合 相同点 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 与元素的顺序有关 与元素的顺序无关 2.如何区分一个问题是“排列”问题还是“组合问题”？ 提示：排列问题和组合问题的区分方法 排列问题 若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关 组合问题 若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关 1．下列四个问题属于组合问题的是(　　) A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学出席运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 解析：C　[A、B、D项均为排列问题，只有C项是组合问题．] 2．Ceq \o\al(2,6)＝(　　) A．30 B．15 C．20 D．6 解析：B　[Ceq \o\al(2,6)＝eq \f(6×5,2×1)＝15.] 3．从10名学生中推选3名代表参加座谈会，共有不同的推选方法(　　) A．360种 B．240种 C．120种 D．720种 解析：C　[组合的应用，Ceq \o\al(3,10)＝eq \f(10×9×8,3×2×1)＝120.] 对组合概念的理解 　判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)设集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b，c，d，e))，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？ (2)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？ (3)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？ [思路点拨]　区分排列与组合问题，关键是利用排列与组合的定义，组合是“只选不排、并成一组，与顺序无关．” 解：(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题． (2)因为一种分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题． (3)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题． 区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题． [变式训练] 1．判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数． (1)10人相互通一次电话，共通多少次电话？ (2)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行多少场次？ (3)从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？ (4)从10个人中选出3个担任不同学科的课代表，有多少种选法？ 解：(1)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别，组合数为Ceq \o\al(2,10)＝45. (2)是组合问题，因为每两支球队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，组合数为Ceq \o\al(2,10)＝45. (3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别，组合数为Ceq \o\al(3,10)＝120. (4)是排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的，排列数为Aeq \o\al(3,10)＝720. 组合数公式及性质 　计算： (1)Ceq \o\al(4,10)；(2)Ceq \o\al(3,7)；(3)Ceq \o\al(15,18)；(4)Ceq \o\al(18,20)；(5)Ceq \o\al(96,99)＋Ceq \o\al(97,99) [思路点拨]　根据题目特点，选择适当的组合数公式进行求解 解：(1)Ceq \o\al(4,10)＝eq \f(10×9×8×7,4×3×2×1)＝210； (2)Ceq \o\al(3,7)＝eq \f(7×6×5,3×2×1)＝35； (3)Ceq \o\al(15,18)＝Ceq \o\al(18－15,18)＝Ceq \o\al(3,18)＝eq \f(18×17×16,3×2×1)＝816； (4)Ceq \o\al(18,20)＝Ceq \o\al(20－18,20)＝Ceq \o\al(2,20)＝eq \f(20×19,2×1)＝190； (5)Ceq \o\al(96,99)＋Ceq \o\al(97,99)＝Ceq \o\al(97,100)＝Ceq \o\al(100－97,100)＝Ceq \o\al(3,100)＝eq \f(100×99×98,3×2×1)＝161 700. (1)涉及具体数字的可以直接用公式Ceq \o\al(m,n)＝eq \f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)进行计算． (2)涉及字母的可以用阶乘式Ceq \o\al(m,n)＝eq \f(n！,m！n－m！) 　计算． (3)计算时应注意利用组合数的性质Ceq \o\al(m,n)＝Ceq \o\al(n－m,n)和Ceq \o\al(m,n＋1)＝Ceq \o\al(m,n)＋Ceq \o\al(m－1,n)简化运算． [变式训练] 2．计算： (1)Ceq \o\al(3,8)；(2)Ceq \o\al(8,10)；(3)Ceq \o\al(3,15)＋Ceq \o\al(2,15)；(4)Ceq \o\al(16,19)＋Ceq \o\al(17,19). 解：(1)Ceq \o\al(3,8)＝eq \f(8×7×6,3×2×1)＝56； (2)Ceq \o\al(8,10)＝Ceq \o\al(10－8,10)＝Ceq \o\al(2,10)＝eq \f(10×9,2×1)＝45； (3)Ceq \o\al(3,15)＋Ceq \o\al(2,15)＝eq \f(15×14×13,3×2×1)＋eq \f(15×14,2×1)＝560； (4)Ceq \o\al(16,19)＋Ceq \o\al(17,19)＝Ceq \o\al(17,20)＝Ceq \o\al(20－17,20)＝Ceq \o\al(3,20)＝eq \f(20×19×18,3×2×1)＝1 140. 简单的组合问题 　中国传统餐饮文化源远流长，菜肴在烹饪中形成了“八大菜系”，即鲁菜、川菜、粤菜、闽菜、苏菜、浙菜、湘菜、徽菜．某学校中餐烹饪专业为传承传统美食、弘扬工匠精神，计划举办“八大菜系”厨艺大赛． (1)从8个菜系中选出3个菜系作为比赛项目，有多少种选法？ (2)从8个菜系中选出3个菜系作为比赛项目，且川菜系必选，有多少种选法？ [思路点拨]　从8个菜系中选3个菜系的选法个数，等于从8个不同的元素中取3个元素的组合数．如果川菜系必选，等于从除了川菜系以外的7个菜系中再取2个菜系的组合数． 解：(1)从8个菜系中选出3个菜系作为比赛项目，不同的选法有Ceq \o\al(3,8)＝eq \f(8×7×6,3×2×1)＝56(种)． (2)从8个菜系中选出3个菜系作为比赛项目，且川菜系必选，不同的选法有Ceq \o\al(2,7)＝eq \f(7×6,2×1)＝21(种)． (1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关． (2)要注意两个计数原理的运用，即分类与分步的灵活运用．在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏． [变式训练] 3．某批产品中有一等品100个，二等品80个，三等品30个，从其中任取10个进行检验，那么(各题列出算式即可，不必计算最后结果) (1)一共有多少种抽取结果？ (2)全部抽到一等品的结果有多少种？ (3)抽不到一等品的结果有多少种？ 解：(1)这批产品一共有100＋80＋30＝210(个)，从其中任取10个进行检验，共有Ceq \o\al(10,210)种抽取结果． (2)这批产品中有一等品100个，取出10个一等品，共有Ceq \o\al(10,100)种抽取结果． (3)抽不到一等品，相当于从二等品和三等品中抽取10个进行检验．而二等品和三等品共有80＋30＝110个，所以抽不到一等品的抽取结果共有Ceq \o\al(10,110)种． 1．给出下列问题，是组合问题的是(　　) A．从a，b，c，d四名学生中选2名学生去不同的学校工作，有多少种不同的选法？ B．从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？ C．a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？ D．a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？ 解析：C　[A.2名学生去的是不同的学校，有顺序，不是组合问题．B.2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．C.单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题． D.冠亚军是有顺序的，是排列问题．] 2．Ceq \o\al(3,4)＝(　　) A．4 B．12 C．24 D．6 解析：A　[Ceq \o\al(3,4)＝Ceq \o\al(4－3,4)＝Ceq \o\al(1,4)＝4.] 3．把三张游园票分给10个人中的3人，则分法有(　　) A．Aeq \o\al(3,10)种 B．Ceq \o\al(3,10)种 C．Ceq \o\al(3,10)Aeq \o\al(3,10)种 D．30种 解析：B　[三张票没区别，从10人中选3人即可，即Ceq \o\al(3,10).] 4．Ceq \o\al(2,18)＝　________　，Ceq \o\al(17,18)＝　________　. 答案：153　18 解析：Ceq \o\al(2,18)＝eq \f(18×17,2)＝153， Ceq \o\al(17,18)＝eq \f(18！,17！18－17！)＝18. $$