7.2.3 排列、组合的应用（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块同步教案（人教版2021）

7．2.3　排列、组合的应用 课程标准 素养解读 初步掌握用排列组合解决概率计算等简单实际问题的方法. 通过排列组合的简单实际应用，提升逻辑推理和数学运算等核心素养. 为提升学生综合素质，促进学生全面发展，某校设立了12个社团．如果每位学生从中任选2个社团加入，那么每位学生有多少种不同的选择方法？ [知识点]　解排列组合综合问题的方法 排列组合问题一般要遵循两个原则：一是按元素性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．排列组合应用题的背景丰富，没有特定的模式和规律可循，做题时必须认真审题，把握问题的本质特征，并善于把问题转化为排列组合的常规模式进而求解． 1．将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有(　　) A．24种 B．10种 C．12种 D．9种 解析：C　[第一步，为甲地选1名女教师，有C＝2(种)选法；第二步，为甲地选2名男教师，有C＝6(种)选法；第三步，剩下的3名教师到乙地，故不同的安排方案共有2×6×1＝12(种)．] 2．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱．某商店有3个不同的造型的“冰墩墩”吉祥物和2个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法有多少种？ A．24种 B．12种 C．6种 D．2种 解析：B　[先对2个雪容融排列A，再将3个冰墩墩插空放在3个空位上排列A，由分步计数原理，排列方法有AA＝12(种)．] 3．已知10件产品中，有7件合格品，3件次品，若从中任意抽取5件产品进行检查，则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有(　　) A．35种 B．38种 C．105种 D．630种 解析：C　[根据题意，分两步进行分析：①从3件次品中抽取2件次品，有C种抽取方法；②从7件正品中抽取3件正品，有C种抽取方法．则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有C×C＝105(种)．] 有限制条件的组合问题 　现有100个三极管，其中有4个次品，质检人员从100个三极管中随机抽出3个． (1)抽取的3个三极管“全部是合格品”的不同抽取方法共有多少种？ (2)抽取的3个三极管“恰有2个次品”的不同抽取方法共有多少种？ (3)抽取的3个三极管“至少有1个次品”的不同抽取方法共有多少种？ [思路点拨]　在以上3个问题中，要实现抽取的3个三极管“全部是合格品”，就是从96个合格品中抽取3个，有C种取法；要实现抽取的3个三极管中“恰有2个次品”，可以分两步完成，第一步，从4个次品中取出2个，有C种取法，第二步，从96个合格品中取出1个，有C种取法；要实现抽取的3个三极管中“至少有1个次品”，可以先求从100个三极管中任意抽取3个，有C种取法，再求从96个合格品中抽取3个合格品，有C种取法，两者作差． 解：(1)抽取的3个三极管“全部是合格品”的不同方法有C＝＝142 880(种)． (2)根据分步计数原理，抽取的3个三极管中“恰有2个次品”的不同方法有C·C＝×96＝576(种)． (3)抽取的3个三极管中“至少有1个次品”的不同方法有C－C＝－＝18 820(种)． 求解有限制条件的组合问题的方法 (1)“含”或“不含”某些对象的组合问题：“含”，则先将这些对象取出，再取其他对象；“不含”，则先将这些对象剔除，再从剩下的对象中去选取． (2)“至少”或“至多”含有几个对象的组合问题：解这类题必须十分重视“至少” 与 “至多”这两个关键词的含义，防止重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解此类问题，当用直接法处理较复杂时，可考虑用间接法处理． [变式训练] 1．高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动． (1)其中某一女生必须在内，不同的选法有多少种？ (2)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？ (3)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？ (4)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？ (5)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？ 解：(1)从余下的34名学生中选取2名，有C＝561(种)．∴不同的选法有561种． (2)从34名可选学生中选取3名，有C种或者C－C＝C＝5 984(种)．∴不同的选法有5 984种． (3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有CC＝2 100(种)．∴不同的选法有2 100种． (4)选取2名女生有CC种，选取3名女生有C种，共有选取方法N＝CC＋C＝2 100＋455＝2 555(种)．∴不同的选法有2 555种． (5)选取3名的总数有C，至多有2名女生在内的选取方式共有N＝C－C＝6 545－455＝6 090(种)．∴不同的选法有6 090种． 分组，分配问题 　6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法： (1)分给甲、乙、丙三人，每人两本； (2)分为三份，每份两本； (3)分为三份，一份一本， 一份两本，一份三本； (4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本； (5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本． [思路点拨]　(1)是平均分组问题，与顺序无关，相当于6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，可以理解为一个人一个人地来取，(2)是“均匀分组问题”，(3)是分组问题，分三步进行，(4)分组后再分配，(5)明确“至少一本”包括“2、2、2型”、“1、2、3型”、“1、1、4型”． 解：(1)根据分步乘法计数原理得到：CCC＝90(种)． (2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有CCC种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A种方法．根据分步乘法计数原理可得：CCC＝xA，所以x＝＝15.因此分为三份，每份两本一共有15种方法． (3)这是“不均匀分组”问题，一共有CCC＝60(种)方法． (4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有CCCA＝360(种)方法． (5)可以分为三类情况：①“2、2、2”即(1)中的分配情况，有CCC＝90(种)方法；②“1、2、3型”即(4)中的分配情况，有CCCA＝360(种)方法；③“1、1、4型”有CA＝90(种)方法． 所以一共有90＋360＋90＝540(种)方法． 分组、分配问题的求解策略 (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种． ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． (2)分配问题属于“排列”问题． 分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配． [变式训练] 2．将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中． (1)有多少种放法？ (2)每盒至多一球，有多少种放法？ (3)恰好有一个空盒，有多少种放法？ (4)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ 解：(1)每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256(种)放法． (2)这是全排列问题，共有A＝24(种)放法． (3)法一　先将4个小球分为三组，有种方法．再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，有A种投放方法，故共有·A＝144(种)放法． 法二　先取4个球中的两个“捆”在一起，有C种选法，把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有A种投放方法，所以共有CA＝144(种)放法． (4)先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个．由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有CC＝12(种)放法． 元素“相邻”与“不相邻”问题 　3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数． (1)全体站成一排，男、女各站在一起； (2)全体站成一排，男生必须站在一起； (3)全体站成一排，男生不能站在一起； (4)全体站成一排，男、女各不相邻． [思路点拨]　相邻元素，一般用“捆绑法”，不相邻元素，一般用“插空法”． 解：(1)男生必须站在一起是男生的全排列，有A种排法；女生必须站在一起是女生的全排列，有A种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法．由分步乘法计数原理知，共有A·A·A＝288(种)排队方法． (2)三个男生全排列有A种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有A种排法．故有A·A＝720(种)排队方法． (3)先安排女生，共有A种排法；男生在4个女生隔成的五个空中安排，共有A(种)排法，故共有A·A＝1 440(种)排法． (4)排好男生后让女生插空，共有A·A＝144(种)排法． (1)求解相邻问题的方法——“捆绑法” “捆绑法”是较为简单的求解相邻问题的方法，其模型为：将n个不同元素排成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，求不同的排法种数．其解题方法如下． 先将这k个元素“捆绑”在一起，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有A种排法；再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有A种排法．根据分步乘法式计数原理可知，符合条件的排法共有A·A种． (2)求解不相邻问题的方法——“插空法” 解决不相邻问题常用“插空法”，其模型为将n个不同的元素排成一排，其中k个元素互不相邻(k≤n－k＋1)，求不同的排法种数．其解题方法如下： ①将没有要求的(n－k)个对象排成一排，其排列方法有A种； ②将要求互不相邻的k个对象插入(n－k＋1)个空中，其排列方法有A种．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有A·A种． [变式训练] 3．一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单． (1)前4个节目中要有舞蹈，有多少种排法？ (2)3个舞蹈节目要排在一起，有多少种排法？ (3)3个舞蹈节目彼此要隔开，有多少种排法？ 解：(1)不考虑限制条件，8个节目有A种排法，若前4个节目全部排唱歌，则有AA种排法，故前4个节目中要有舞蹈的排法有A－AA＝37 440(种)． (2)可先将3个舞蹈节目视为一个节目进行思考，AA＝4 320(种)． (3)先将唱歌节目排出有A种方法，用插空法得AA＝14 400(种)． 排列、组合综合问题 　有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数： (1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文课代表； (3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表； (4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表． [思路点拨]　“先选后排”，注意“选”和“不选”应优先考虑． 解：(1)先取后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，有CC＋CC种取法，后排有A种，故共有(CC＋CC)·A＝5 400(种)． (2)除去该女生后，先取后排，有C·A＝840(种)． (3)先取后排，但先安排该男生，有C·C·A＝ 3 360(种)． (4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，其余3个全排有A种，共C·C·A＝360(种)． 解决排列、组合综合问题要遵循两个原则 (1)按事情发生的过程进行分步； (2)按元素的性质进行分类，解决时通常从三个途径考虑； ①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； ③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数． [变式训练] 4．从1到9的九个数字中取3个偶数和4个奇数，问： (1)能组成多少个没有重复数字的七位数？ (2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？ 解：(1)分步完成：第一步，在4个偶数中取3个，可有C种取法；第二步，在5个奇数中取4个，可有C种取法；第三步，3个偶数、4个奇数进行排列，可有A种排法．所以符合题意的七位数有C·C·A＝100 800(个)． (2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有C·C·A·A＝14 400(个)． 1．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同的选法共有(　　) A．26种 B．84种 C．35种 D．21种 解析：C　[从7名队员中选出3人有C＝＝35(种)选法．] 2．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有(　　) A．60种 B．48种 C．36种 D．24种 解析：D　[把A，B视为一人，且B排在A的右边，则本题相当于4人的全排列，故有A＝24(种)排法．] 3．要从a，b，c，d，e 5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是(　　) A．20 B．16 C．10 D．6 解析：B　[不考虑限制条件有A种选法，若a当副组长，有A种选法，故a不当副组长，有A－A＝16(种)选法．] 4．某单位需同时参加甲、乙丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有　________　种． 解析：从10人中选派4人有C种方法，对选出的4人具体安排会议有CC种方法，由分步计数原理知，不同的选派方法有CCC＝2 520(种)． 答案：2 520 学科网（北京）股份有限公司 $$ 对应学生课时P266 [基础过关] 1．第四届消博会暨中国国际消费品博览会海口国际游艇展于2024年4月在海口举办，某展馆将5件相同的纪念品分别赠送给前来参观的3位游客，每人至少1件，则不同的赠送方案数共有(　　) A．6 B．9 C．12 D．24 解析：A　[因为纪念品是相同的，而游客不同，所以以游客为对象分类：第一种情况，一位游客得1个纪念品，其余两位游客每人2个纪念品，共有C＝3(种)．第二种情况，一位游客得3个纪念品，其余两位游客各1个纪念品，共有C＝3(种)，共有6种赠送方案．] 2．在幼儿园“体验分享，快乐成长”的活动中，有三位小朋友都把自己的一件玩具交给老师，老师再把这三件玩具随机发给他们，每人一件，则这三位小朋友都没有拿到自己玩具的概率是(　　) A． B． C． D． 解析：B　[三件玩具分给三个小朋友，完成这件事的基本事件个数共有A＝6(个)，其中都没有拿到自己玩具的这件事的基本事件个数共两个，所以概率为P＝．] 3．有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为(　　) A．120 B．60 C．40 D．30 解析：B　[先从5人中选1人连续两天参加服务，剩下3人中选取1人参加星期日服务，共有C·C＝12种选法，根据分步乘法计数原理可得共有5×12＝60种选法．] 4．异面直线a，b上分别有4个点、5个点，由这9个点可以确定平面的个数为(　　) A．20 B．9 C．84 D．63 解析：B　[为了使确定的平面不重复，按如下方法分类：第1类，在直线a上任取一点与直线b可确定C个平面；第2类，在直线b上任取一点与直线a可确定C个平面．故可以确定不同平面的个数为C＋C＝9.] 5．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么不同的分配方案共有(　　) A．252种 B．112种 C．20种 D．56种 解析：B　[按分配到甲宿舍的人数进行分类，则易得不同的分配方案共有CC＋CC＋CC＋CC＝112(种)．] 6．200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有(　　) A．C·C B．CC＋CC C．C－C D．C－CC 解析：B　[至少2件次品包含两类：(1)2件次品，3件正品，共CC种，(2)3件次品，2件正品，共CC种，由分类加法计数原理得抽法共有(CC＋CC)种．] 7．某班从3名男同学和5名女同学中，选取3人参加学校的“创文知识”竞赛，要求男女生都有，则不同的选法共有　________　种． 解析：在所有组合中排除全为男生和全为女生的情况，则共有C－C－C＝45(种)． 答案：45 8．某博物馆需要志愿者协助工作，若从6名志愿者中任选出3名，则其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是　________　. 解析：某博物馆需要志愿者协助工作，从6名志愿者中任选3名，基本事件总数n＝C＝20，其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中包含的基本事件个数：m＝CC＝4，所以甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是：P＝＝＝. 答案： 9．一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问： (1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？ (2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？ 解：(1)由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案种数为C＝12 376. (2)教练员可以分两步完成这件事情：第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有C种选法；第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有C种选法．所以教练员做这件事情的方式种数为C×C＝136 136. [能力提升] 10．从10种不同的作物种子中选出6种分别放入6个不同的瓶子中展出，每瓶不空，如果甲、乙两种种子都不许放入1号瓶子内，那么不同的放法共有(　　) A．CA种 B．CA种 C．CA种 D．CA种 解析：C　[分两步：第1步，可在其他8种种子中选取1种放入1号瓶，则有C种选法；第2步，剩下的9种种子中选5种作全排列，则有A种．故共有CA种不同的放法．] 11．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(　　) A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 解析：C　[平均分组问题．先分组有＝10(种)，再排序10A＝240(种)．] 12．在学校的一次数学讲题比赛中，高一、高二、高三分别有2名、2名、3名同学获奖，将这七名同学排成一排合影，要求同年级的同学相邻，那么不同的排法共有(　　) A．12种 B．36种 C．72种 D．144种 解析：D　[先把同年级的同学“捆绑”，并“内部”全排列，然后 看成三个元素的全排列问题，共有不同的排法AAAA＝144(种)．] 13．若A＝6C，则n的值为　________　. 解析：由题意知n(n－1)(n－2)＝ 6·，化简得＝1， 所以n＝7. 答案：7 14．一种团队竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分．已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负的情况有　________　种． 解析：4＝2＋2＝2＋1＋1＝1＋1＋1＋1，即甲的4场比赛，胜2场负2场，或者胜1场平2场负1场，或者平4场．由此可得C＋CC＋1＝19. 答案：19 15．在100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这100件产品中任意抽出3件． (1)有多少种不同的抽法？ (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ 解：(1)所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有C＝＝161 700(种)． (2)从2件次品中抽出1件次品的抽法有C种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有C种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有C·C＝9 506(种)． (3)法一：　抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况．在第(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有C·C种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有C·C＋C·C＝9 604(种)． 法二：　抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即C－C＝161 700－152 096＝9 604(种)． 学科网（北京）股份有限公司 $$7.2　排列、组合与二项式定理 7.2.1 　排列 第七章　概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第七章 概率与统计 数学基础模块（RJ） 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 　 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 　 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 　 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 　 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 　 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 　 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 　 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 　 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 　 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 　 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 　 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 　 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 　 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 　 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 课程标准 素养解读 1.理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列． 2．会用排列数公式进行求值并解决简单的实际问题． 1.通过学习排列的概念，培养数学抽象的素养． 2．借助排列数公式进行计算，培养数学运算的素养. 通过排列知识解决实际问题，提升逻辑推理的素养． 为增强学生的社会责任感，某校组织学生参加志愿服务活动．现计划从甲、乙、丙3名学生中选2名分别担任服务小组的正、副组长，有多少种不同的选法？ [知识点一]　排列 (1)一般地，从n个不同元素中任取m(m≤n且m，n∈N＋)个元素，按照　一定的顺序　排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)两个排列相同的重要事件是：两个排列的元素　完全相同　，且元素的　排列顺序　也相同． 如果m＝n(也就是每次取出所有元素的排列)，这样的排列称为　全排列　.全排列所有不同的排法所含有的元素完全一样，只是元素排列的顺序不完全相同． [知识点二]　排列数与排列数公式 排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有　排列　的个数，称为从n个不同元素中取出m个元素的排列数． 排列数表示法 Aeq \o\al(m,n) 排列数公式 乘积式 Aeq \o\al(m,n)＝　n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)　 阶乘 当n＝m时Aeq \o\al(n,n)＝n(n－1)(n－2)…2·1，记作n！，读作n的阶乘． 阶乘式 Aeq \o\al(m,n)＝ eq \f(n！,　n－m！　) 性质 Aeq \o\al(n,n)＝　n！　，Aeq \o\al(0,n)＝　1　，0！＝　1　 1.如何判断一个具体问题是不是排列问题？ 提示：判断一个具体问题是否为排列问题，就是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，判断在安排这m个元素的时候是否有序，有序就是排列，无序就不是排列，而检验是否有序的依据就是交换元素的“位置”，看结果是否有变化，有变化就是有序，无变化就是无序，如“从2,3,5,7这4个数中任取两个，求它们的和”就不是排列问题，因为加法满足交换律，交换这两个数的位置后和不变，所以不是排列问题；若是“求它们的商”，则是排列问题，因为取到的两个数哪一个作为除数，哪一个作为被除数是不一样的，此时求得的结果与位置有关． 2．“排列”与“排列数”是两个相同的概念吗？如果不是，它们有什么区别？ 提示：“排列”与“排列数”是两个不同的概念．“排列”是指“按照一定的顺序排成一列”，所谓排成一列，是指与顺序有关，例如排列AB与排列BA是不同的，可以把一个排列看成一个类似点坐标的有序数对，它不是一个数，而是完成一件事的方法．“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数．如A，B，C三名同学站成一排照相留念的排列有以下6种形式：ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA.这里的每一种形式都是一个排列，而排列数是6. 1．从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：B　[因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题．而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题．] 2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为(　　) A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 B．甲乙，丙乙，丙甲 C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 D．甲乙，甲丙，乙丙 解析：C　[用枚举法，一一列出．] 3．A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为(　　) A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 解析：C　[所有的排法有A－B－C，A－C－B，B－A－C，B－C－A，C－A－B，C－B－A，共6种．] 排列概念的理解 　判断下列问题是否是排列问题，并说明理由． (1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加活动A，另一名同学参加活动B； (2)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动； (3)从所有互质的三位数中选出两个数求其和； (4)从所有互质的三位数中选出两个数求其商； (5)高二(1)班有四个空位，安排从外校转来的三个学生坐到这四个空位中的三个上． [思路点拨]　判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题． 解：(1)是排列，因为选出的两名同学参加的是不同的活动，即相当于把选出的同学按顺序安排到两个不同的活动中． (2)不是排列，因为选出的两名同学参加的是同一个活动，没有顺序之分． (3)不是排列，因为选出的两个三位数之和对顺序没有要求． (4)是排列，因为选出的两个三位数之商会因为分子、分母的顺序颠倒而发生变化，且这些三位数是互质的，不会产生选出的数不同而商的结果相同的可能性，故是排列． (5)是排列，可看作从四个空位中选出三个座位，分别安排给三个学生． 判断一个具体问题是否为排列问题的方法 [变式训练] 1．判断下列问题是不是排列问题： (1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ (2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？ (3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？ 解：(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标，哪一数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题． (2)因为任何一种从10名同学抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题． (3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题． 所以(1)(3)是排列问题，(2)不是排列问题． 排列数公式的推导及应用 　计算：(1)eq \f(A\o\al(5,9)＋A\o\al(4,9),A\o\al(6,10)－A\o\al(5,10))；(2)Aeq \o\al(5,5) [思路点拨]　可直接运算，也可采用阶乘式． 解：(1)法一： eq \f(A\o\al(5,9)＋A\o\al(4,9),A\o\al(6,10)－A\o\al(5,10))＝eq \f(9×8×7×6×5＋9×8×7×6,10×9×8×7×6×5－10×9×8×7×6)＝eq \f(5＋1,50－10)＝eq \f(3,20). 法二：eq \f(A\o\al(5,9)＋A\o\al(4,9),A\o\al(6,10)－A\o\al(5,10))＝eq \f(\f(9！,4！)＋\f(9！,5！),\f(10！,4！)－\f(10！,5！))＝eq \f(5×9！＋9！,5×10！－10！)＝eq \f(6×9！,4×10！)＝eq \f(3,20). (2)Aeq \o\al(5,5)＝5！＝5×4×3×2×1＝120. (1)排列数公式的连乘形式常用于计算具体的排列数． (2)．排列数公式的阶乘形式主要有两个作用： ①当m、n较大时，使用计算器快捷地算出结果； ②对含有字母的排列数的式子进行变形． 注意常用变形Aeq \o\al(n,n)＝nAeq \o\al(n－1,n－1)，nAeq \o\al(n,n)＝Aeq \o\al(n＋1,n＋1)－Aeq \o\al(n,n)，n·n！＝(n＋1)！－n！的应用． (3)计算排列数或解含有排列数的方程或不等式时，要注意先提取公因式进行化简，然后计算，这样做可以减少运算量．Aeq \o\al(m,n)中隐含了如下条件：m，n∈N*，m≤n，Aeq \o\al(m,n)的运算结果为正整数．在解与排列数有关的方程或不等式时，要注意未知数的取值范围． [变式训练] 2．计算： (1)Aeq \o\al(3,16)；(2)Aeq \o\al(6,6)；(3)Aeq \o\al(4,6). 解析：(1)Aeq \o\al(3,16)＝16×15×14＝3 360. (2)Aeq \o\al(6,6)＝6！＝720. (3)Aeq \o\al(4,6)＝6×5×4×3＝360. 排列数的应用 　(1)有15支足球俱乐部参加某联赛，15支足球队中每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，试问一共要进行多少场比赛？ (2)用0～9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的3位数？ (3)有5名同学站成一排拍照． ①若甲、乙必须站一起，则共有多少种不同的排法？ ②若最左端只能排甲或乙，且最右端不能排甲，则共有多少种不同的排法？ [思路点拨]　(1)任意两队间进行1次主场比赛与1次客场比赛，对应于从15个元素中任取2个元素的一个排列． (2)按照排列的定义，先排百位上的数字，再排十位和个位上的数字，但要注意的是百位上的数字不能为0. (3)①用捆绑法进行求解；②分甲排左端和乙排左端两种情况进行求解，再求和即可． 解：(1)比赛的总场次是Aeq \o\al(2,15)＝15×14＝210(场)． (2)由于百位上的数学不能为0，所以只能从1～9中的9个数字中任取一个，共有Aeq \o\al(1,9)种取法；十位上的数字和个位上的数字是没有任何要求的，所以十位上的数字是从百位上已确定的数字之外的9个数字中进行选择，有Aeq \o\al(1,9)种取法；个位上的数字是从百位上、十位上已确定的数字之外的8个数字中进行选择，有Aeq \o\al(1,8)种取法，所以根据分步计数原理可知，符合要求的3位数的个数是Aeq \o\al(1,9)·Aeq \o\al(1,9)·Aeq \o\al(1,8)＝648. (3)①将甲、乙捆绑在一起，故方法数有Aeq \o\al(2,2)·Aeq \o\al(4,4)＝48(种)． ②如果甲排左端，则方法数有Aeq \o\al(4,4)＝24(种)；如果乙排左端，则方法数有Aeq \o\al(1,3)·Aeq \o\al(3,3)＝18(种)；故总的方法数有24＋18＝42(种)． 典型的排列问题，用排列数计算其排列方法；若不是排列问题，需用计数原理求其方法种数．排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素”．即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取． [变式训练] 3．8个人排成一排． (1)共有多少种不同的排法？ (2)8个人排成两排，前后两排各4人共有多少种不同的排法？ (3)8个人排成两排，前排3人，后排5人，共有多少种不同的排法？ 解：(1)由排列的定义知共有Aeq \o\al(8,8)种不同的排法． (2)8人排成前后两排，相当于排成一排，从中间分成两部分，其排列数等于8人排成一排的排列数Aeq \o\al(8,8).也可以分步进行，第一步：从8人中任选4人放在前排共有Aeq \o\al(4,8)种排法，第二步：剩下的4人放在后排共有Aeq \o\al(4,4)种排法，由分步计数原理知共有Aeq \o\al(4,8)×Aeq \o\al(4,4)＝Aeq \o\al(8,8)种排法． (3)同(2)的分析可知，共有Aeq \o\al(3,8)×Aeq \o\al(5,5)＝Aeq \o\al(8,8)(种)． 1．下列问题属于排列问题的是(　　) ①从10个人中选2人分别去种树和扫地； ②从10个人中选2人去扫地； ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； ④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算． A．①④ B．①② C．③④ D．①③④ 解析：A　[根据排列的定义进行判断．] 2．某班下午有三节课，欲从语文、数学、英语、物理、化学中任选三科来安排，则不同排课法的种数是(　　) A．15 B．Aeq \o\al(3,5) C．35 D．53 解析：B　[把下午三节课看成“3个位置”，把语文、数学、英语、物理、化学看成“5个元素”，分别用A，B，C，D，E来表示，一种排课法可看作是从A，B，C，D，E中取出3个按顺序分给三节课，分配的时候有顺序之分，故所有不同排课法的种数是Aeq \o\al(3,5).] 3.eq \f(A\o\al(6,7)－A\o\al(5,6),A\o\al(4,5))等于(　　) A．12 B．24 C．30 D．36 解析：D　[Aeq \o\al(6,7)＝7×6×Aeq \o\al(4,5)，Aeq \o\al(5,6)＝6×Aeq \o\al(4,5)，所以原式＝eq \f(36A\o\al(4,5),A\o\al(4,5))＝36.] 4.eq \f(A\o\al(3,4),5！)＝　________　. 解析：eq \f(A\o\al(3,4),5！)＝eq \f(4×3×2,5×4×3×2×1)＝eq \f(1,5). 答案：eq \f(1,5) $$