7.2.1 排列（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块同步教案（人教版2021）

7．2　排列、组合与二项式定理 7．2.1　排列 课程标准 素养解读 1.理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列． 2．会用排列数公式进行求值并解决简单的实际问题． 1.通过学习排列的概念，培养数学抽象的素养． 2．借助排列数公式进行计算，培养数学运算的素养. 通过排列知识解决实际问题，提升逻辑推理的素养． 为增强学生的社会责任感，某校组织学生参加志愿服务活动．现计划从甲、乙、丙3名学生中选2名分别担任服务小组的正、副组长，有多少种不同的选法？ [知识点一]　排列 (1)一般地，从n个不同元素中任取m(m≤n且m，n∈N＋)个元素，按照　一定的顺序　排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)两个排列相同的重要事件是：两个排列的元素　完全相同　，且元素的　排列顺序　也相同． 如果m＝n(也就是每次取出所有元素的排列)，这样的排列称为　全排列　.全排列所有不同的排法所含有的元素完全一样，只是元素排列的顺序不完全相同． [知识点二]　排列数与排列数公式 排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有　排列　的个数，称为从n个不同元素中取出m个元素的排列数． 排列数表示法 A 排列数公式 乘积式 A＝　n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)　 阶乘 当n＝m时A＝n(n－1)(n－2)…2·1，记作n！，读作n的阶乘． 阶乘式 A＝ 性质 A＝　n！　，A＝　1　，0！＝　1　 1.如何判断一个具体问题是不是排列问题？ 提示：判断一个具体问题是否为排列问题，就是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，判断在安排这m个元素的时候是否有序，有序就是排列，无序就不是排列，而检验是否有序的依据就是交换元素的“位置”，看结果是否有变化，有变化就是有序，无变化就是无序，如“从2,3,5,7这4个数中任取两个，求它们的和”就不是排列问题，因为加法满足交换律，交换这两个数的位置后和不变，所以不是排列问题；若是“求它们的商”，则是排列问题，因为取到的两个数哪一个作为除数，哪一个作为被除数是不一样的，此时求得的结果与位置有关． 2．“排列”与“排列数”是两个相同的概念吗？如果不是，它们有什么区别？ 提示：“排列”与“排列数”是两个不同的概念．“排列”是指“按照一定的顺序排成一列”，所谓排成一列，是指与顺序有关，例如排列AB与排列BA是不同的，可以把一个排列看成一个类似点坐标的有序数对，它不是一个数，而是完成一件事的方法．“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数．如A，B，C三名同学站成一排照相留念的排列有以下6种形式：ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA.这里的每一种形式都是一个排列，而排列数是6. 1．从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：B　[因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题．而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题．] 2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为(　　) A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 B．甲乙，丙乙，丙甲 C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 D．甲乙，甲丙，乙丙 解析：C　[用枚举法，一一列出．] 3．A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为(　　) A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 解析：C　[所有的排法有A－B－C，A－C－B，B－A－C，B－C－A，C－A－B，C－B－A，共6种．] 排列概念的理解 　判断下列问题是否是排列问题，并说明理由． (1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加活动A，另一名同学参加活动B； (2)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动； (3)从所有互质的三位数中选出两个数求其和； (4)从所有互质的三位数中选出两个数求其商； (5)高二(1)班有四个空位，安排从外校转来的三个学生坐到这四个空位中的三个上． [思路点拨]　判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题． 解：(1)是排列，因为选出的两名同学参加的是不同的活动，即相当于把选出的同学按顺序安排到两个不同的活动中． (2)不是排列，因为选出的两名同学参加的是同一个活动，没有顺序之分． (3)不是排列，因为选出的两个三位数之和对顺序没有要求． (4)是排列，因为选出的两个三位数之商会因为分子、分母的顺序颠倒而发生变化，且这些三位数是互质的，不会产生选出的数不同而商的结果相同的可能性，故是排列． (5)是排列，可看作从四个空位中选出三个座位，分别安排给三个学生． 判断一个具体问题是否为排列问题的方法 [变式训练] 1．判断下列问题是不是排列问题： (1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ (2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？ (3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？ 解：(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标，哪一数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题． (2)因为任何一种从10名同学抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题． (3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题． 所以(1)(3)是排列问题，(2)不是排列问题． 排列数公式的推导及应用 　计算：(1)；(2)A [思路点拨]　可直接运算，也可采用阶乘式． 解：(1)法一： ＝＝＝. 法二：＝＝＝＝. (2)A＝5！＝5×4×3×2×1＝120. (1)排列数公式的连乘形式常用于计算具体的排列数． (2)．排列数公式的阶乘形式主要有两个作用： ①当m、n较大时，使用计算器快捷地算出结果； ②对含有字母的排列数的式子进行变形． 注意常用变形A＝nA，nA＝A－A，n·n！＝(n＋1)！－n！的应用． (3)计算排列数或解含有排列数的方程或不等式时，要注意先提取公因式进行化简，然后计算，这样做可以减少运算量．A中隐含了如下条件：m，n∈N*，m≤n，A的运算结果为正整数．在解与排列数有关的方程或不等式时，要注意未知数的取值范围． [变式训练] 2．计算： (1)A；(2)A；(3)A. 解析：(1)A＝16×15×14＝3 360. (2)A＝6！＝720. (3)A＝6×5×4×3＝360. 排列数的应用 　(1)有15支足球俱乐部参加某联赛，15支足球队中每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，试问一共要进行多少场比赛？ (2)用0～9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的3位数？ (3)有5名同学站成一排拍照． ①若甲、乙必须站一起，则共有多少种不同的排法？ ②若最左端只能排甲或乙，且最右端不能排甲，则共有多少种不同的排法？ [思路点拨]　(1)任意两队间进行1次主场比赛与1次客场比赛，对应于从15个元素中任取2个元素的一个排列． (2)按照排列的定义，先排百位上的数字，再排十位和个位上的数字，但要注意的是百位上的数字不能为0. (3)①用捆绑法进行求解；②分甲排左端和乙排左端两种情况进行求解，再求和即可． 解：(1)比赛的总场次是A＝15×14＝210(场)． (2)由于百位上的数学不能为0，所以只能从1～9中的9个数字中任取一个，共有A种取法；十位上的数字和个位上的数字是没有任何要求的，所以十位上的数字是从百位上已确定的数字之外的9个数字中进行选择，有A种取法；个位上的数字是从百位上、十位上已确定的数字之外的8个数字中进行选择，有A种取法，所以根据分步计数原理可知，符合要求的3位数的个数是A·A·A＝648. (3)①将甲、乙捆绑在一起，故方法数有A·A＝48(种)． ②如果甲排左端，则方法数有A＝24(种)；如果乙排左端，则方法数有A·A＝18(种)；故总的方法数有24＋18＝42(种)． 典型的排列问题，用排列数计算其排列方法；若不是排列问题，需用计数原理求其方法种数．排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素”．即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取． [变式训练] 3．8个人排成一排． (1)共有多少种不同的排法？ (2)8个人排成两排，前后两排各4人共有多少种不同的排法？ (3)8个人排成两排，前排3人，后排5人，共有多少种不同的排法？ 解：(1)由排列的定义知共有A种不同的排法． (2)8人排成前后两排，相当于排成一排，从中间分成两部分，其排列数等于8人排成一排的排列数A.也可以分步进行，第一步：从8人中任选4人放在前排共有A种排法，第二步：剩下的4人放在后排共有A种排法，由分步计数原理知共有A×A＝A种排法． (3)同(2)的分析可知，共有A×A＝A(种)． 1．下列问题属于排列问题的是(　　) ①从10个人中选2人分别去种树和扫地； ②从10个人中选2人去扫地； ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； ④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算． A．①④ B．①② C．③④ D．①③④ 解析：A　[根据排列的定义进行判断．] 2．某班下午有三节课，欲从语文、数学、英语、物理、化学中任选三科来安排，则不同排课法的种数是(　　) A．15 B．A C．35 D．53 解析：B　[把下午三节课看成“3个位置”，把语文、数学、英语、物理、化学看成“5个元素”，分别用A，B，C，D，E来表示，一种排课法可看作是从A，B，C，D，E中取出3个按顺序分给三节课，分配的时候有顺序之分，故所有不同排课法的种数是A.] 3.等于(　　) A．12 B．24 C．30 D．36 解析：D　[A＝7×6×A，A＝6×A，所以原式＝＝36.] 4.＝　________　. 解析：＝＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$7.2.4 　二项式定理 第1课时 二项式定理 第七章　概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第七章 概率与统计 数学基础模块（RJ） 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 　 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第七章 概率与统计 课程标准 素养解读 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 1.通过二项式定理的学习，培养逻辑推理的素养． 2．借助二项式定理及展开式的通项公式解题，提升数学运算的素养. 牛顿的故事 牛顿善于观察日常生活中的小事，结果取得了科学史 上一个个重要的发现．作为大学教授，牛顿常常忙得不修 边幅，往往不打领带，不系好鞋带和马裤的纽扣，就走进 了大学餐厅．有一次，他在向一位姑娘求婚时思想又开了 小差，他脑海中只剩下了无穷量的二项式定理．他抓住姑 娘的手指，错误地把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞， 痛得姑娘大叫，离他而去．牛顿也因此终生未娶．那么， 什么是二项式定理？二项式定理的无穷魅力在哪里？ [知识点]　二项式定理及相关概念 二项式定理 二项展开式 　右边的多项式　 二项式系数 各项的系数　Ceq \o\al(m,n)(n∈{0,1,2，…，n})　 二项展开式的通项 Tm＋1＝　Ceq \o\al(m,n)an－mbm　 通项中的注意点 (1)展开式共有n＋1项． (2)Tm＋1是展开式中的第m＋1项，而不是第m项． (3)公式中a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置． (4)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题． (5)对二项式(a－b)n展开式的通项要特别注意符号问题． 二项式系数与项的系数、项与项数有什么区别？ 提示：(1)二项展开式中的二项式系数是指Ceq \o\al(0,n)，Ceq \o\al(1,n)，…，Ceq \o\al(n,n)这些组合数，与a，b无关． (2)展开式中项的系数则是展开式中关于某一个(或两个)字母的系数，与a，b有关，项的系数未必是正数． (3)项是指项的系数和含字母的式子的积，项数是指该项在展开式中的位置． 1．(x－eq \f(2,\r(x)))n的展开式共有11项，则n等于(　　) A．9 B．10 C．11 D．8 解析：B　[(x－eq \f(2,\r(x)))n的展开式共有n＋1项，所以n＋1＝11，故n＝10.] 2．(1＋2x)9的展开式中第2项的二项式系数为(　　) A．Ceq \o\al(2,9) B．Ceq \o\al(1,9) C．Ceq \o\al(3,9) D．Ceq \o\al(0,9) 解析：B　[(1＋2x)9的展开式的第2项的二项式系数为Ceq \o\al(1,9).] 3.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(x))))10的二项展开式的第6项为(　　) A．252x B．252eq \r(x) C.eq \f(252,\r(x)) D．252 解析：D　[T6＝Ceq \o\al(5,10)(eq \r(x))5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))5＝Ceq \o\al(5,10)＝252.] 求二项展开式 　求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))3的展开式． [思路点拨]　直接运用公式将其展开，也可先变形，后展开． [解]　法一　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))3＝Ceq \o\al(0,3)x3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))0＋Ceq \o\al(1,3)x2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))1＋Ceq \o\al(2,3)xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2＋Ceq \o\al(3,3)x0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))3＝x3＋3x＋eq \f(3,x)＋eq \f(1,x3). 法二　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))3＝eq \f(x2＋13,x3)＝eq \f(1,x3)(x6＋3x4＋3x2＋1)＝x3＋3x＋eq \f(3,x)＋eq \f(1,x3). 运用二项式定理的解题策略 求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开． [变式训练] 1．(1)写出(a＋b)7的展开式； (2)写出(1＋x)n的展开式． 解：(1)因为Ceq \o\al(0,7)＝Ceq \o\al(7,7)＝1，Ceq \o\al(1,7)＝Ceq \o\al(6,7)＝7，Ceq \o\al(2,7)＝Ceq \o\al(5,7)＝21，Ceq \o\al(3,7)＝Ceq \o\al(4,7)＝35，所以(a＋b)7＝Ceq \o\al(0,7)a7＋Ceq \o\al(1,7)a6b＋Ceq \o\al(2,7)a5b2＋Ceq \o\al(3,7)a4b3＋Ceq \o\al(4,7)a3b4＋Ceq \o\al(5,7)a2b5＋Ceq \o\al(6,7)ab6＋Ceq \o\al(7,7)b7＝a7＋7a6b＋21a5b2＋35a4b3＋35a3b4＋21a2b5＋7ab6＋b7 (2)在二项式定理中，令a＝1，b＝x，可得(1＋x)n＝Ceq \o\al(0,n)＋Ceq \o\al(1,n)x＋Ceq \o\al(2,n)x2＋…＋Ceq \o\al(k,n)xk＋…＋Ceq \o\al(n,n)xn. 求展开式中的特定项 　(1)求(2x－1)7的展开式的第4项； (2)求(2x－eq \f(1,\r(x)))12的展开式中的常数项． [思路点拨]　利用二项式的通项可以求常数项、有理项、指定项等，只要涉及这些内容，就应想到二项式的通项．另外，一定要注意化简的准确性． [解]　(1)(2x－1)7的展开式的第4项是T4＝T3＋1＝Ceq \o\al(3,7)×(2x)7－3×(－1)3＝Ceq \o\al(3,7)×24×(－1)3·x4＝35×(－16)·x4＝－560x4. (2)设此展开式中第m＋1项是常数项，则Tm＋1＝Ceq \o\al(m,12)(2x)12－meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))m＝(－1)mCeq \o\al(m,12)212－m·xeq \f(24－3m,2)，依题意可得eq \f(24－3m,2)＝0，所以m＝8，即常数项T9＝7 920. 1．求二项展开式的特定项的常见题型 (1)求第m＋1项，Tm＋1＝Ceq \o\al(m,n)an－mbm； (2)求含xm的项(或xpyq的项)； (3)求常数项； (4)求有理项． 2．求二项展开式特定项的步骤 [变式训练] 2．求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))5的展开式中含x3的项． 解：Tm＋1＝Ceq \o\al(m,5)x5－meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))m＝Ceq \o\al(m,5)·x5－2m.依题意，得5－2m＝3.解得m＝1.即二项展开式中含x3的项为第2项，此项为T2＝Ceq \o\al(1,5)x3＝5x3. 求二项展开式特定项的有关系数 　求(1－2x)7的展开式中，第四项的二项式系数和第四项的系数． [思路点拨]　先求通项，再根据通项求第四项的二项式系数和系数． [解]　在(1－2x)7的展开式的通项为Tm＋1＝Ceq \o\al(m,7)·1·(－2x)m，所以第四项为T3＋1＝Ceq \o\al(3,7)(－2x)3＝－280x3，第四项的二项式系数是Ceq \o\al(3,7)＝35；第四项的系数是Ceq \o\al(3,7)(－2)3＝－280. 某项(a＋b)n的二项式系数和项的系数的区别，这是两个不同的概念，“二项式系数”仅指Ceq \o\al(0,n)，Ceq \o\al(1,n)，Ceq \o\al(2,n)，Ceq \o\al(3,n)，…，Ceq \o\al(n,n)这些组合数，不包括字母a，b所表示式子中的系数，而对应的项的系数不仅与Ceq \o\al(m,n)有关，也与a，b的值有关． [变式训练] 3．已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,\r(11))))n的二项展开式的第3项系数等于6，求n的值． 解：T3＝Ceq \o\al(2,n)xn－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(11))))2＝eq \f(C\o\al(2,n),11)xn－2，依题意可得eq \f(C\o\al(2,n),11)＝6，即eq \f(nn－1,2)＝66，解得n＝12或n＝－11，故n＝12. 求近似值 　求1.9975精确到0.001的近似值． [思路点拨]　1.9975＝(2－0.003)5.利用二项展开式和精确度的要求求解． [解]　1.9975＝(2－0.003)5≈25－Ceq \o\al(1,5)×0.003×24＋Ceq \o\al(2,5)×0.0032×23＝32－0.24＋0.000 72≈31.761. (1＋a)n的近似计算的处理方法如下： 当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式(1＋a)n≈1＋na因为这时展开式的后面部分Ceq \o\al(2,n)a2＋Ceq \o\al(3,n)a3＋…＋Ceq \o\al(n,n)an很小，所以可以忽略不计，但是使用这个公式时应注意a的条件，以及对精确度的要求．若精确度要求较高，则可使用更精确的近似公式(1＋a)n≈1＋na＋eq \f(nn－1,2)a2等． [变式训练] 4．求1.003 55精确到0.001的近似值． 解：1.003 55＝(1＋0.003 5)5≈1＋5×0.003 5＝1.017 5≈1.018. 1．(x＋1)n的展开式共12项，则n等于(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 解析：C　[由n＋1＝12，可知n＝11.] 2．(y－2x)8展开式中的第6项的二项式系数是(　　) A．Ceq \o\al(6,8) B．Ceq \o\al(5,8)(－2)5 C．Ceq \o\al(5,8) D．Ceq \o\al(6,8)(－2)6 解析：C　[由题意可知第6项的二项式系数为Ceq \o\al(5,8).] 3．在二项式(x2－eq \f(1,x))5的展开式中，含x4的项的系数是(　　) A．－10 B．10 C．－5 D．5 解析：B　[∵(x2－eq \f(1,x))5的展开式的通项为Tm＋1＝Ceq \o\al(m,5)x2(5－m)(－1)mx－m＝(－1)mCeq \o\al(m,5)x10－3m，令10－3m＝4，∴m＝2，∴x4的系数为Ceq \o\al(2,5)＝10.] 4．(1－x)10的展开式中第7项为　________　. 解析：T7＝Ceq \o\al(6,10)(－x)6＝210x6. 答案：210x6 $$ 对应学生课时P264 [基础过关] 1．下面问题中，是排列问题的是(　　) A．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合 解析：A　[选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B，C，D中需取出元素即可，与元素的排列顺序无关．] 2．89×90×91×92×…×100可表示为(　　) A．A B．A C．A D．A 解析：C　[A＝100×99×98×…×(100－12＋1)＝100×99×98×…×89.] 3．已知3A＝4A，则n等于(　　) A．5 B．7 C．10 D．14 解析：B　[由×3＝×4， 得(11－n)(10－n)＝12，解得n＝7，n＝14(舍)．] 4．6位学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为(　　) A．36 B．120 C．240 D．720 解析：D　[不同的排法有A＝6×5×4×3×2×1＝720 (种)．] 5．将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有(　　) A．50 B．60 C．120 D．90 解析：C　[5本书进行全排列，A＝120.] 6．计算：＝　________　. 解析：＝＝. 答案： 7．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有　________　种． 解析：A＝4×3＝12. 答案：12 8．某人射击8枪，命中4枪，则4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为　________　. 解析：先把连在一起命中的三枪“捆绑”在一起，然后从4枪不命中之间的三个空位及两端两个空位共5个空位中选出2个进行排列，有A＝20(种)． 答案：20 9．写出从4个元素a，b，c，d中取出3个元素的所有排列． 解析：abc，acb，bac，bca，cab，cba，abd，adb，bad，bda，dab，dba，acd，adc，cda，cad，dac，dca，bcd，bdc，cbd，cdb，dbc，dcb，即A＝4×3×2＝24，共24个排列． [能力提升] 10．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有(　　) A．12种 B．24种 C．48种 D．120种 解析：B　[同学甲只能在周一值日，所以除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，所以5名同学值日顺序的编排方案共有A＝24(种)．] 11．从4人中选出2人，安排周六、周日值班，每天一人，则不同的安排方法种数为(　　) A．4 B．6 C．8 D．12 解析：D　[安排周六、周日值班是有序问题，故有A＝12(种)安排方法．] 12．某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语各一节课，剩下两节为自习课，则不同排课法的种数是(　　) A．15 B．A C．35 D．53 解析：B　[把上午五节课看成“5个位置”，分别用1,2,3,4,5来表示，把语文、数学、英语看成“3个元素”，一种排课法可看作是从1,2,3,4,5这5个位置中取出3个位置分给语文、数学、英语，分配的时候有顺序之分，故所有不同排课法的种数是A.] 13．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面旗，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示　________　种不同的信号． 解析：分三类完成： 第1类，挂1面旗，可以表示A种不同的信号； 第2类，挂2面旗，可以表示A种不同的信号； 第3类，挂3面旗，可以表示A种不同的信号； 根据分类计数原理，可以表示的信号共有A＋A＋A＝3＋3×2＋3×2×1＝15(种)． 答案：15 14．有3名司机、3名售票员要分配到3辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有　________　种．(填数字) 解析：司机、售票员各有A种安排方法，由分步计数原理知，共有AA＝36(种)不同的安排方法． 答案：36 15．分别求出符合下列要求的不同排法的种数． (1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人； (2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾； (3)6名排成一排，甲、乙不相邻． 解：(1)分排与直排一一对应，故排法种数为A＝720(种)． (2)甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有A种选法，然后其他5人排，有A种排法，故排法种数为AA＝480(种)． (3)甲、乙不相邻，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之间的空位中排，共有AA＝480(种)排法． 学科网（北京）股份有限公司 $$