6.3 复数的应用（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块同步教案（人教版2021）

6．3　复数的应用 课程标准 素养解读 在复数范围内，了解实系数一元二次方程的解法. 通过实系数一元二次方程的解法，提升逻辑推理和数学运算等核心素养. 我们知道i2＝－1，(－i)2＝i2＝－1，所以方程x2＝－1的解是x＝i或x＝－i. 同样，方程x2＝－5的解是x＝i或x＝－i. 那么对于一般的一元二次方程，在复数范围的解是什么呢？ [知识点]　根与系数的关系 1．－a(a>0)在复数集内有两个平方根，它们是　±i　. 2．实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)在复数集C中． (1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程有两个　不相等　的实数根，x＝； (2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个　相等　的实数根，x＝－； (3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程有两个　不相等　的虚根，x＝－±，这两个根是一对共轭复数． 3．若实数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个虚根x1，x2，则它们同样满足一元二次方程的根与系数的关系，即x1＋x2＝　－　，x1x2＝. 4．二次三项式ax2＋bx＋c在复数集中总可以分解成两个一次因式的乘积，即ax2＋bx＋c＝a(x－　x1　)(x－　x2　)． 1．x2＝－9的解为(　　) A．－3 B．－3i C．3i D．±3i 解析：D　[x2＝－9，则x＝±i＝±3i.] 2．一元二次方程x2＋2x＋1＝0，有(　　) A．两个不相等的实数根 B．一个实数根，一个虚数根 C．一对共轭虚根 D．两个相等实根 解析：D　[Δ＝22－4＝0.∴方程有两个相等的实根．] 3．已知实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个根是3－4i，则另一个根为(　　) A．3－4i B．3＋4i C．4＋3i D．4－3i 解析：B　[因为当Δ<0时，一元二次方程的两个根是一对共轭复数．] 在复数集内解一元二次方程 　在复数集C中，解方程x2－4x＋5＝0. [思路点拨]　先求Δ，当Δ<0时，方程在复数集内的解为x＝. [解]　因为b2－4ac＝16－20＝－4<0，所以x1＝＝2＋i，x2＝＝2－i. 一般地，当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0称为实数系一元二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的，记Δ＝b2－4ac，称它为方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式． 当Δ≥0时，方程在实数集R中有解x＝.当Δ<0时，方程在实数集R中无解，但在复数集C中有解x＝，显然，这两个根是一对共轭复数． [变式训练] 1．在复数集内解方程：3x2＋2x＋2＝0. 解：因为Δ＝b2－4ac＝4－24＝－20<0，所以原方程的解为x＝－±. 在复数集内，一元二次方程根与系数的关系 　已知实系数一元二次方程x2＋mx＋n＝0的一个根是1＋ i，求它的另一个根及m，n. [思路点拨]　利用实系数一元二次方程根与系数的关系求解． [解]　因为当Δ<0时，实系数一元二次方程在复数集C中的两个根是共轭复数，所以原方程的另一个根是1－i，由根与系数的关系可得m＝－(x1＋x2)＝－[(1＋i)＋(1－i)]＝－2，n＝x1x2＝(1＋i)(1－i)＝1－(i)2＝4.] 一般地，对于实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当Δ<0，在复数集C中有两解，且这两个根是一对共轭复数．设这两个互为共轭的虚数根分别为x1，x2，有x1＋x2＝＋＝－.x1x2＝×＝，这就是说，实系数一元二次方程的根与系数的关系，在Δ<0时也成立． [变式训练] 2．已知实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个根是3－4i，求另一个根和b，c. 解：因为一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个根为x1＝3－4i，则另一个根为x2＝3＋4i， 则 解得b＝－6，c＝25. 1．一元二次方程x2＋2x＋10＝0的解为(　　) A．4或2 B．1±3i C．－1±3i D．3±i 解析：C　[Δ＝4－4×10＝－36<0.∴方程的解为x＝－1±3i.] 2．－81的平方根为(　　) A．±9i B．9i C．－9i D．±3i 解析：A　[∵(±9i)2＝－81，故答案为A.] 3．已知方程x2＋bx＋c＝0(a，b∈R)的一个根为5－6i，则另一个根为(　　) A．5＋6i B．－5＋6i C．－5－6i D．6＋5i 解析：A　[因为实系数一元二次方程的两个根互为共轭复数，所以另一个根为5＋6i.] 4．实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个共轭虚根的充要条件是　____________　. 解析：实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个共轭虚根的充要条件是Δ＝b2－4ac<0. 答案：b2－4ac<0 学科网（北京）股份有限公司 $$6.3　复数的应用 第一章　复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第六章 复数 数学基础模块（RJ） 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 　 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 课程标准 素养解读 在复数范围内，了解实系数一元二次方程的解法. 通过实系数一元二次方程的解法，提升逻辑推理和数学运算等核心素养. 我们知道i2＝－1，(－i)2＝i2＝－1，所以方程x2＝－1的解是x＝i或x＝－i. 同样，方程x2＝－5的解是x＝eq \r(5)i或x＝－eq \r(5)i. 那么对于一般的一元二次方程，在复数范围的解是什么呢？ [知识点]　根与系数的关系 1．－a(a>0)在复数集内有两个平方根，它们是　±eq \r(a)i　. 2．实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)在复数集C中． (1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程有两个　不相等　的实数根，x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)； (2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个　相等　的实数根，x＝－eq \f(b,2a)； (3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程有两个　不相等　的虚根，x＝－eq \f(b,2a)±eq \f(\r(4ac－b2) i,2a)，这两个根是一对共轭复数． 3．若实数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个虚根x1，x2，则它们同样满足一元二次方程的根与系数的关系，即x1＋x2＝　－eq \f(b,a)　，x1x2＝eq \f(c,a). 4．二次三项式ax2＋bx＋c在复数集中总可以分解成两个一次因式的乘积，即ax2＋bx＋c＝a(x－　x1　)(x－　x2　)． 1．x2＝－9的解为(　　) A．－3 B．－3i C．3i D．±3i 解析：D　[x2＝－9，则x＝±eq \r(9)i＝±3i.] 2．一元二次方程x2＋2x＋1＝0，有(　　) A．两个不相等的实数根 B．一个实数根，一个虚数根 C．一对共轭虚根 D．两个相等实根 解析：D　[Δ＝22－4＝0.∴方程有两个相等的实根．] 3．已知实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个根是3－4i，则另一个根为(　　) A．3－4i B．3＋4i C．4＋3i D．4－3i 解析：B　[因为当Δ<0时，一元二次方程的两个根是一对共轭复数．] 在复数集内解一元二次方程 　在复数集C中，解方程x2－4x＋5＝0. [思路点拨]　先求Δ，当Δ<0时，方程在复数集内的解为x＝eq \f(－b±\r(4ac－b2) i,2a). [解]　因为b2－4ac＝16－20＝－4<0，所以x1＝eq \f(4＋\r(4)i,2)＝2＋i，x2＝eq \f(4－\r(4)i,2)＝2－i. 一般地，当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0称为实数系一元二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的，记Δ＝b2－4ac，称它为方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式． 当Δ≥0时，方程在实数集R中有解x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a).当Δ<0时，方程在实数集R中无解，但在复数集C中有解x＝eq \f(－b±\r(4ac－b2) i,2a)，显然，这两个根是一对共轭复数． [变式训练] 1．在复数集内解方程：3x2＋2x＋2＝0. 解：因为Δ＝b2－4ac＝4－24＝－20<0，所以原方程的解为x＝－eq \f(1,3)±eq \f(\r(5)i,2). 在复数集内，一元二次方程根与系数的关系 　已知实系数一元二次方程x2＋mx＋n＝0的一个根是1＋eq \r(3) i，求它的另一个根及m，n. [思路点拨]　利用实系数一元二次方程根与系数的关系求解． [解]　因为当Δ<0时，实系数一元二次方程在复数集C中的两个根是共轭复数，所以原方程的另一个根是1－eq \r(3)i，由根与系数的关系可得m＝－(x1＋x2)＝－[(1＋eq \r(3)i)＋(1－eq \r(3)i)]＝－2，n＝x1x2＝(1＋eq \r(3)i)(1－eq \r(3)i)＝1－(eq \r(3)i)2＝4.] 一般地，对于实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当Δ<0，在复数集C中有两解，且这两个根是一对共轭复数．设这两个互为共轭的虚数根分别为x1，x2，有x1＋x2＝eq \f(－b＋\r(－Δ) i,2a)＋eq \f(－b－\r(－Δ) i,2a)＝－eq \f(b,a).x1x2＝eq \f(－b＋\r(－Δ) i,2a)×eq \f(－b－\r(－Δ) i,2a)＝eq \f(c,a)，这就是说，实系数一元二次方程的根与系数的关系，在Δ<0时也成立． [变式训练] 2．已知实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个根是3－4i，求另一个根和b，c. 解：因为一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个根为x1＝3－4i，则另一个根为x2＝3＋4i， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝3－4i＋3＋4i＝－b，,x1·x2＝3－4i3＋4i＝c，)) 解得b＝－6，c＝25. 1．一元二次方程x2＋2x＋10＝0的解为(　　) A．4或2 B．1±3i C．－1±3i D．3±i 解析：C　[Δ＝4－4×10＝－36<0.∴方程的解为x＝－1±3i.] 2．－81的平方根为(　　) A．±9i B．9i C．－9i D．±3i 解析：A　[∵(±9i)2＝－81，故答案为A.] 3．已知方程x2＋bx＋c＝0(a，b∈R)的一个根为5－6i，则另一个根为(　　) A．5＋6i B．－5＋6i C．－5－6i D．6＋5i 解析：A　[因为实系数一元二次方程的两个根互为共轭复数，所以另一个根为5＋6i.] 4．实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个共轭虚根的充要条件是　____________　. 解析：实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个共轭虚根的充要条件是Δ＝b2－4ac<0. 答案：b2－4ac<0 $$ 对应学生课时P262 [基础过关] 1．复数1＋i的共轭复数是(　　) A．1－i B．－1＋i C．－1－i D．1＋i 解析：A　[复数1＋i的共轭复数是1－i.] 2一元二次方程x2－x＋1＝0有(　　) A．两个不相等的实数根 B．一个实数根，一个虚数根 C．一对共轭虚根 D．两个相等实根 解析：C　[由一元二次方程x2－x＋1＝0得Δ＝1－4＝－3<0，所以该方程有一对共轭虚根．] 3．设z1、z2是方程2x2＋x＋1＝0在复数集范围内的两个解，则(　　) A．z1＋z2＝ B．z1＋z2＝－ C．z1z2＝－ D．z1z2＝2 解析：B　[因为根与系数的关系在复数集范围内同样适用，所以z1＋z2＝－，z1z2＝.] 4．“－2<a<2”是“实系数一元二次方程x2＋ax＋1＝0没有实根”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：C　[“实系数一元二次方程x2＋ax＋1＝0没有实根”等价于Δ＝a2－4<0，所以－2<a<2.] 5．已知a、b∈R，且2＋ai、b＋3i(i是虚数单位)是一个实系数一元二次方程的两个根，那么a、b的值分别是(　　) A．a＝－3，b＝2 B．a＝3，b＝－2 C．a＝－3，b＝－2 D．a＝3，b＝2 解析：A　[因为2＋ai、b＋3i(i是虚数单位)是一个实系数一元二次方程的两个根，所以2＋ai和b＋3i互为共轭复数，a＝－3，b＝2.] 6．－16的平方根是　____________　. 解析：∵(±4i)2＝－16，∴－16的平方根是±4i. 答案：±4i 7．复数z＝－2＋5i的共轭复数是　____________　. 解析：复数z＝－2＋5i的共轭复数是＝－2－5i. 答案：＝－2－5i 8．已知方程x2＋mx＋n＝0(m，n∈R)的一个虚根是3＋4i，则另一个根为　____________　. 解析：因为方程的两个虚根互为共轭复数，所以另一个根为3－4i. 答案：3－4i 9．在复数集中解方程： (1)x2＋9＝0； (2)x2－3x＋4＝0. 解：(1)因为x2＝－9，所以x1＝－3i，x2＝3i. (2)因为b2－4ac＝9－16＝－7<0，所以x1＝－＋i＝＋i，x2＝－－i＝－i. [能力提升] 10．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0(k∈R)有实数根，则实数根为(　　) A．2 B.或－ C．－2 D．－ 解析：B　[设x0是方程的实数根，则x＋(k＋2i)x0＋2＋ki＝0，即(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.由复数相等的条件得解得x0＝或－.] 11．设z1、z2是方程x2＋x＋1＝0在复数集范围内的两个解，则(　　) A．|z1－z2|＝ B．|z1|＝ C．z1＋z2＝1 D．z1z2＝1 解析：D　[由方程x2＋x＋1＝0得Δ＝1－4＝－3<0，由求根公式得z＝＝. 不妨设z1＝－＋i，z2＝－－i.|z1－z2|＝|i|＝.A不符合题意； |z1|＝＝＝1，B不符合题意；z1＋z2＝－1，C不符合题意； z1z2＝＝2－2＝1，D符合题意．] 12．已知x1，x2是方程x2－x＋7＝0的两个根，则(x1－x2)2的值为(　　) A．－26 B．－27 C．26 D．27 解析：B　[∵Δ＝(－1)2－4×7＝－27<0，∴x1，x2是方程x2－x＋7＝0的一对共轭虚根，且x1＋x2＝1，x1·x2＝7.∴(x1－x2)2＝x＋x－2x1x2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝12－4×7＝－27.] 13．关于x的一元二次方程x2－2kx－k＝0有虚根，则k的取值范围为　____________　. 解析：一元二次方程x2－2kx－k＝0有虚根，则Δ＝(－2k)2－4×1×(－k)<0，解得－1<k<0，所以k的取值范围为(－1,0)． 答案：(－1,0) 14．若x3＝1，则 (1)当x∈R时，x的值为　____________　. (2)当x∈C时，x的值为　____________　. 解析：∵x3＝1，即x3－1＝0，∴(x－1)(x2＋x＋1)＝0， (1)当x∈R时，x2＋x＋1恒大于0，∴x＝1， (2)当x∈C时，x＝1或x2＋x＋1＝0，故x＝1或x＝. 答案：(1)1　(2)1或 15．已知－1＋i是方程x2＋2x＋a＝0(a∈R)的一个根，求a及另一个根． 解：因为x1＝－1＋i是方程x2＋2x＋a＝0(a∈R)的一个虚根，所以另一个虚根为x2＝－1－i.于是x1·x2＝a＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$