6.2 第1课时 复数的加法与减法 （PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块同步教案（人教版2021）

6．2　复数的运算 第1课时　复数的加法与减法 课程标准 素养解读 1.掌握复数的加法与减法法则，并能熟练应用． 2．理解复数加法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解决问题. 1.通过复数加法与减法法则的熟练应用，提升数学运算等核心素养． 2．通过复数加法几何意义的应用，提升直观想象等核心素养. 我们知道，多项式可以进行加法、减法运算，如(3＋4x)＋(－5＋x)＝(3－5)＋(4x＋x)＝－2＋5x；(3＋4x)－(－5＋x)＝(3＋5)＋(4x－x)＝8＋3x.那么，复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是否也可以进行这样的加法、减法运算呢？ [知识点一]　复数和差的基本概念 1．复数的和． 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)称z1＋z2为z1与z2的　和　. 2．复数的差． 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的相反数记作　－z　， 规定：－z＝－(a＋bi)＝－a－bi. 复数z1减去z2的差记作　z1－z2　 规定：z1－z2＝z1＋(－z2)． [知识点二]　复数加、减法的运算法则及加法运算律 1．加、减法的运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1＋z2＝　(a＋c)＋(b＋d)i　，z1－z2＝　(a－c)＋(b－d)i.　 2．加法运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有 (1)交换律：z1＋z2＝　z2＋z1　. (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． [知识点三]　复数加、减法的几何意义 如图所示，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)对应的向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是，与z1－z2对应的向量是. 1.两个虚数的和与差仍然是一个虚数吗？ 提示：不一定．如：(4＋3i)＋(4－5i)＝8－2i，(2＋3i)＋(4－3i)＝6，可见两个虚数的和可能是一个虚数，也可能是一个实数． 2．多个复数的加减怎么运算？ 提示：多个复数的加减运算是把实部相加减，虚部相加减，所得的结果分别作为新的复数的实部和虚部． 1．复数(1＋i)＋(2＋3i)等于(　　) A．－1＋i B．1－i C．3＋4i D．3－4i 解析：C　[(1＋i)＋(2＋3i)＝(1＋2)＋(1＋3)i＝3＋4i.] 2．z＋2＋i＝4＋5i，则复数z等于(　　) A．2＋4i B．2－4i C．4＋2i D．4－2i 解析：A　[z＋2＋i＝4＋5i，∴z＝(4＋5i)－(2＋i)＝(4－2)＋(5－1)i＝2＋4i.] 3．(1＋3i)＋(2＋4i)－(3－2i)的虚部为(　　) A．9i B．9 C．0 D．5 解析：B　[(1＋3i)＋(2＋4i)－(3－2i)＝(1＋2－3)＋(3＋4＋2)i＝9i，∴虚部是9.] 复数的加、减法运算 　计算： (1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； (2)(i2＋i)＋|i|＋(1＋i)； (3)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)； (4)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]． [思路点拨]　依据复数和、差的定义和运算法则计算． [解]　(1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i)＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2. (2)原式＝(－1＋i)＋＋(1＋i)＝－1＋i＋1＋(1＋i)＝1＋2i. (3)原式＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i. (4)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i. 解决复数加、减运算的思路 两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)． [变式训练] 1．(1)(3＋5i)＋(3－4i)； (2)(－3＋2i)－(4－5i)； (3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)． 解析：(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i. (2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i. (3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋(－6－2－3)i＝－11i. 复数加减法几何意义的应用 　如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0,3＋2i，－2＋4i， 试求①所表示的复数，所表示的复数； ②对角线所表示的复数； ③对角线所表示的复数及的长度． [思路点拨]　根据图形，充分利用复数加、减法的几何意义求解． [解]　①＝－.∴所表示的复数为－3－2i.∵＝，∴所表示的复数为－3－2i. ②∵＝－，∴所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ③对角线＝＋，它所对应的复数z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，||＝＝. 复数加减法的几何意义在复数运算中的应用 (1)复数加、减法的几何意义与平面向量的平行四边形法则、三角形法则有关，因此在求解与平行四边形、三角形有关的复数问题时，主要应根据复数加、减运算的几何意义求解计算． (2)由于复数可用向量表示，因而可将复数问题转化为向量问题，利用向量的方法解决． (3)在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB： ①为平行四边形； ②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形； ③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形； ④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形． [变式训练] 2．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数． 解：设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图．则＝－＝(x，y)－(1,2)＝(x－1，y－2).＝－＝(－1，－2)－(－2,1)＝(1，－3)．∵＝，∴解得故点D对应的复数为2－i. 1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝(　　) A．8i B．6 C．6＋8i D．6－8i 解析：B　[z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.] 2．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　) A．－1＋i B．1－i C．i D．－i 解析：A　[(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.] 3．若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝(　　) A．0 B．2i C．6 D．6－2i 解析：D　[因为z＋i－3＝3－i，所以z＝3－i－(i－3)＝6－2i.] 4．已知z1＝2＋i，z2＝3－2i，z3＝4－2i，计算z1＋z2－z3＝　____________　. 解析：z1＋z2－z3＝(2＋i)＋(3－2i)－(4－2i)＝(2＋3－4)＋(1－2＋2)i＝1＋i. 答案：1＋i 学科网（北京）股份有限公司 $$ 对应学生课时P260 [基础过关] 1．复数(1＋i)＋(2－i)－3i等于(　　) A．3－3i B．－3＋i C．i D．－i 解析：A　[(1＋i)＋(2－i)－3i＝3－3i.] 2如图，在复平面内，若复数z1、z2对应的向量分别是、，则复数z＝z1－2z2所对应的点的坐标为(　　) A．(－1，－4) B．(－1,4) C．(1，－4) D．(1,4) 解析：B　[由题意可知，点A坐标为(1,2)，点B坐标为(1，－1)，所以z1＝1＋2i，z2＝1－i.z＝z1－2z2＝－1＋4i，对应点的坐标为(－1,4)．] 3．若z＋3－2i＝4＋i，则z等于(　　) A．1＋i B．1＋3i C．－1－i D．－1－3i 解析：B　[z＝4＋i－(3－2i)＝1＋3i.] 4．实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值为(　　) A．1 B．2 C．－2 D．－1 解析：A　[z1－z2＝(y＋xi)－(yi－x)＝x＋y＋(x－y)i＝2.得解得∴xy＝1.] 5．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1＋z2在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：D　[因为z1＋z2＝3－4i＋(－2＋3i)＝(3－2)＋(－4＋3)i＝1－i，所以复数z1＋z2对应的点的坐标是(1，－1)，故其对应点在第四象限．] 6．设z1＝－3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2＝　____________　. 解析：z1－z2＝(－3－4i)－(－2＋3i)＝(－3＋2)＋(－4－3)i＝－1－7i. 答案：－1－7i 7．设复数z＝＋i(其中i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z－＝　____________　. 解析：复数z＝＋i，＝－i，则z－＝－＝i. 答案：i 8．已知向量对应的复数为2－3i，向量对应的复数为3－4i，则向量对应的复数为　____________　. 解析：＝－＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i. 答案：1－i 9．已知z1＝3i，z2＝1－i，z3＝－2＋5i，计算z1－z2，z1＋z2－z3. 解：z1－z2＝3i－(1－i)＝(0－1)＋[3－(－1)]i＝－1＋4i；z1＋z2－z3＝3i＋(1－i)－(－2＋5i)＝[0＋1－(－2)]＋[3＋(－1)－5]i＝3－3i. [能力提升] 10．复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)对应的点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：A　[复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其对应的点为(9,1)，在第一象限．] 11．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为(　　) A．3 B．2 C．1 D．－1 解析：D　[z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.∵z1＋z2所对应的点在实轴上，∴1＋a＝0，∴a＝－1.] 12. 已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是(　　) 解析：A　[由图可知z＝－2＋i，所以z＋1＝－1＋i，则复数z＋1所对应的向量的坐标为(－1,1)．] 13．已知复数z1＝(a2－2)－3ai.z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a的值为　____________　. 解析：由z1＋z2＝a2－2＋a＋(a2－3a＋2)i是纯虚数．得⇒a＝－2. 答案：－2 14．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝　____________　. 解析：∵z1＋z2＝5－6i，∴(x＋2i)＋(3－yi)＝5－6i，∴即∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i. 答案：－1＋10i 15．在复平面内A，B，C三点分别对应复数1,2＋i，－1＋2i. (1)求，，对应的复数； (2)判断△ABC的形状． 解：(1)A，B，C三点分别对应复数1,2＋i，－1＋2i.所以，，对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i(O为坐标原点)，所以＝(1,0)，＝(2,1)，＝(－1,2)．所以＝－＝(1,1)，＝－＝(－2,2)，＝－＝(－3,1)．即对应的复数为1＋i，对应的复数为－2＋2i，对应的复数为－3＋i. (2)因为||＝＝，||＝＝.||＝＝，因为||2＋||2＝10＝||2.且||≠||，所以△ABC是以角A为直角的直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$6.2　复数的运算 第1课时 复数的加法与减法 第六章　复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第六章 复数 数学基础模块（RJ） 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 　 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 　 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 课程标准 素养解读 1.掌握复数的加法与减法法则，并能熟练应用． 2．理解复数加法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解决问题. 1.通过复数加法与减法法则的熟练应用，提升数学运算等核心素养． 2．通过复数加法几何意义的应用，提升直观想象等核心素养. 我们知道，多项式可以进行加法、减法运算，如(3＋4x)＋(－5＋x)＝(3－5)＋(4x＋x)＝－2＋5x；(3＋4x)－(－5＋x)＝(3＋5)＋(4x－x)＝8＋3x.那么，复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是否也可以进行这样的加法、减法运算呢？ [知识点一]　复数和差的基本概念 1．复数的和． 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)称z1＋z2为z1与z2的　和　. 2．复数的差． 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的相反数记作　－z　， 规定：－z＝－(a＋bi)＝－a－bi. 复数z1减去z2的差记作　z1－z2　 规定：z1－z2＝z1＋(－z2)． [知识点二]　复数加、减法的运算法则及加法运算律 1．加、减法的运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1＋z2＝　(a＋c)＋(b＋d)i　，z1－z2＝　(a－c)＋(b－d)i.　 2．加法运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有 (1)交换律：z1＋z2＝　z2＋z1　. (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． [知识点三]　复数加、减法的几何意义 如图所示，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)对应的向量分别为eq \o(OZ1,\s\up15(→))，eq \o(OZ2,\s\up15(→))，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是eq \o(OZ,\s\up15(→))，与z1－z2对应的向量是eq \o(Z2Z1,\s\up19(→)). 1.两个虚数的和与差仍然是一个虚数吗？ 提示：不一定．如：(4＋3i)＋(4－5i)＝8－2i，(2＋3i)＋(4－3i)＝6，可见两个虚数的和可能是一个虚数，也可能是一个实数． 2．多个复数的加减怎么运算？ 提示：多个复数的加减运算是把实部相加减，虚部相加减，所得的结果分别作为新的复数的实部和虚部． 1．复数(1＋i)＋(2＋3i)等于(　　) A．－1＋i B．1－i C．3＋4i D．3－4i 解析：C　[(1＋i)＋(2＋3i)＝(1＋2)＋(1＋3)i＝3＋4i.] 2．z＋2＋i＝4＋5i，则复数z等于(　　) A．2＋4i B．2－4i C．4＋2i D．4－2i 解析：A　[z＋2＋i＝4＋5i，∴z＝(4＋5i)－(2＋i)＝(4－2)＋(5－1)i＝2＋4i.] 3．(1＋3i)＋(2＋4i)－(3－2i)的虚部为(　　) A．9i B．9 C．0 D．5 解析：B　[(1＋3i)＋(2＋4i)－(3－2i)＝(1＋2－3)＋(3＋4＋2)i＝9i，∴虚部是9.] 复数的加、减法运算 　计算： (1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； (2)(i2＋i)＋|i|＋(1＋i)； (3)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)； (4)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]． [思路点拨]　依据复数和、差的定义和运算法则计算． [解]　(1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i)＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2. (2)原式＝(－1＋i)＋eq \r(0＋12)＋(1＋i)＝－1＋i＋1＋(1＋i)＝1＋2i. (3)原式＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i. (4)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i. 解决复数加、减运算的思路 两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)． [变式训练] 1．(1)(3＋5i)＋(3－4i)； (2)(－3＋2i)－(4－5i)； (3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)． 解析：(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i. (2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i. (3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋(－6－2－3)i＝－11i. 复数加减法几何意义的应用 　如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0,3＋2i，－2＋4i， 试求①eq \o(AO,\s\up15(→))所表示的复数，eq \o(BC,\s\up15(→))所表示的复数； ②对角线eq \o(CA,\s\up15(→))所表示的复数； ③对角线eq \o(OB,\s\up15(→))所表示的复数及eq \o(OB,\s\up15(→))的长度． [思路点拨]　根据图形，充分利用复数加、减法的几何意义求解． [解]　①eq \o(AO,\s\up15(→))＝－eq \o(OA,\s\up15(→)).∴eq \o(AO,\s\up15(→))所表示的复数为－3－2i.∵eq \o(BC,\s\up15(→))＝eq \o(AO,\s\up15(→))，∴eq \o(BC,\s\up15(→))所表示的复数为－3－2i. ②∵eq \o(CA,\s\up15(→))＝eq \o(OA,\s\up15(→))－eq \o(OC,\s\up15(→))，∴eq \o(CA,\s\up15(→))所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ③对角线eq \o(OB,\s\up15(→))＝eq \o(OA,\s\up15(→))＋eq \o(OC,\s\up15(→))，它所对应的复数z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，|eq \o(OB,\s\up15(→))|＝eq \r(12＋62)＝eq \r(37). 复数加减法的几何意义在复数运算中的应用 (1)复数加、减法的几何意义与平面向量的平行四边形法则、三角形法则有关，因此在求解与平行四边形、三角形有关的复数问题时，主要应根据复数加、减运算的几何意义求解计算． (2)由于复数可用向量表示，因而可将复数问题转化为向量问题，利用向量的方法解决． (3)在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB： ①为平行四边形； ②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形； ③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形； ④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形． [变式训练] 2．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数． 解：设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图．则eq \o(AD,\s\up15(→))＝eq \o(OD,\s\up15(→))－eq \o(OA,\s\up15(→))＝(x，y)－(1,2)＝(x－1，y－2).eq \o(BC,\s\up15(→))＝eq \o(OC,\s\up15(→))－eq \o(OB,\s\up15(→))＝(－1，－2)－(－2,1)＝(1，－3)．∵eq \o(AD,\s\up15(→))＝eq \o(BC,\s\up15(→))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－1＝1，,y－2＝－3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1，))故点D对应的复数为2－i. 1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝(　　) A．8i B．6 C．6＋8i D．6－8i 解析：B　[z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.] 2．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　) A．－1＋i B．1－i C．i D．－i 解析：A　[(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.] 3．若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝(　　) A．0 B．2i C．6 D．6－2i 解析：D　[因为z＋i－3＝3－i，所以z＝3－i－(i－3)＝6－2i.] 4．已知z1＝2＋i，z2＝3－2i，z3＝4－2i，计算z1＋z2－z3＝　____________　. 解析：z1＋z2－z3＝(2＋i)＋(3－2i)－(4－2i)＝(2＋3－4)＋(1－2＋2)i＝1＋i. 答案：1＋i $$