6.1.1 复数的有关概念（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块同步教案（人教版2021）

6．1　复数的概念 6．1.1　复数的有关概念 课程标准 素养解读 1．了解数系的扩充与引进复数的必要性． 2．理解复数的有关概念． 3．掌握复数相等的充要条件及其应用. 1．通过复数的有关概念的学习，培养直观想象等核心素养． 2．通过复数相等提升数学运算等核心素养. 很久以前，人们认为一元二次方程x2＋1＝0是无解的．但是，随着对数系的深入研究，人们逐渐意识到应该存在一个数，它就是该方程的解． 依照引入负数，使方程x＋1＝0有解的方法，是否可以引入一个数使方程x2＋1＝0有解呢？ [知识点一]　复数的有关概念 1．复数的定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数称为复数，其中i叫做　虚数单位　，满足i2＝　－1　. 2．复数的表示方法 复数通常用字母z表示，即　z＝a＋bi(a，b∈R)　其中a称为复数z的实部，b称为复数z的虚部． 3．复数集 所有复数所构成的集合称为复数集，用大写字母C表示，因此C＝{z|z＝a＋bi，a，b∈R} [知识点二]　复数的分类 1．复数z＝a＋bi(a，b∈R) 2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 [知识点三]　复数相等的充要条件 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝ D.即a＋bi＝c＋di⇔　a＝c且b＝d　.特别地a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0. 复数m＋ni的实部、虚部一定是m、n吗？ 提示：只有当m，n∈R时，m、n才是该复数的实部、虚部． 1．复数z＝1＋2i的虚部为(　　) A．1 B．2i C．2 D．1＋2i 解析：C　[复数z＝1＋2i的虚部是2.] 2．已知a为实数，复数z＝(a－1)＋ai(i为虚数单位)，若z为纯虚数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：C　[若复数z＝(a－1)＋ai(a∈R)为纯虚数，则，解得a＝1.] 3．对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法正确的是(　　) A．若a＝0，则a＋bi为纯虚数 B．若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－2 C．若b＝0，则a＋bi为实数 D．i的平方等于1 解析：C　[对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数；对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；对于D，i的平方为－1.] 复数的概念 　说出下列三个复数的实部、虚部，并指出它们是实数还是虚数，如果是虚数，请指出是否为纯虚数： (1)3＋4i；(2)－i；(3)－7 [思路点拨]　复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为z的实部，b称为z的虚部． [解]　(1)3＋4i的实部与虚部分别是3与4，它是虚数，但不是纯虚数； (2)－i的实部与虚部分别是0与－，它是虚数，而且是纯虚数； (3)－7的实部与虚部分别是－7与0，它是实数． 对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部． [变式训练] 1．指出下列复数的实部和虚部，并判断这些复数是实数还是虚数．若是虚数，判断其是否为纯虚数． (1)2；(2)3－i；(3)5i 解：(1)复数2的实部是2，虚部是0，它是实数； (2)复数3－i的实部是3，虚部是－1，它是虚数，不是纯虚数； (3)复数5i的实部是0，虚部是5，它是虚数，而且是纯虚数． 复数的分类 　实数x分别取什么值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是： (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ [思路点拨]　根据复数的分类条件构造方程(组)或不等式(组)． [解]　(1)当x满足即x＝5时，z是实数； (2)当x满足即x≠－3且x≠5时，z是虚数； (3)当x满足即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数． 解决复数分类问题的方法与步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可． (3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)， ①z为实数⇔b＝0； ②z为虚数⇔b≠0； ③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. [变式训练] 2．已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－1)i，当m为何值时， (1)z∈R？(2)z是虚数？(3)z是纯虚数？ 解：(1)当m满足，计算得出 m＝－1±，所以m＝－1±时，z为实数． (2)由计算得出 m≠1，且m≠－1±，所以m≠1，且m≠－1±时，z为虚数． (3)由计算得出 m＝0或－2，所以m＝0或－2时，z是纯虚数． 复数相等的充要条件 　求满足下列条件的实数a和b. (1)(a＋2b)－i＝6a＋(a－b)i； (2)(a＋b＋1)＋(a－b＋2)i＝0. [思路点拨]　利用复数相等的定义，两个复数的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等，列方程组解得此题． [解]　(1)根据复数相等的定义，可得方程组，解得 (2)根据复数相等的定义，可得方程组，解得 复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． [变式训练] 3．已知(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中x，y∈R，求x与y. 解：根据复数相等的定义，得方程组所以x＝，y＝4. 1．a＝0是复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[当a＝0时，若b＝0，则为实数，若b≠0，则为纯虚数，若a＋bi为纯虚数，则a＝0，b≠0，故a＝0是复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的必要不充分条件．] 2．若复数z＝ai2－bi(a，b∈R)是纯虚数，则一定有(　　) A．b＝0 B．a＝0且b≠0 C．a＝0或b＝0 D．ab≠0 解析：B　[z＝ai2－bi＝－a－bi，由纯虚数的定义可得a＝0且b≠0.] 3．设i为虚数单位，复数1－2i的虚部是(　　) A．－2 B．2 C．－2i D．2i 解析：A　[1－2i的虚部为－2.] 4．若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝　____________　. 解析：(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)为实数的充要条件是a2－1＝0，所以a±1. 答案：±1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 对应学生课时P258 [基础过关] 1．下列命题为真命题的是(　　) A．若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数 B．若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i C．若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2 D．实数集是复数集的真子集 解析：D　[对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0，且b≠0时，为纯虚数．对于A，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，即A错误；两个虚数不能比较大小，则B错误；对于C，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0不是纯虚数，则C错误；显然D正确．] 2“复数4－a2＋(1－a＋a2)i(a∈R)是纯虚数”是“a＝－2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[因为1－a＋a2＝2＋>0，所以若复数4－a2＋(1－a＋a2)i(a∈R)是纯虚数，则4－a2＝0，即a＝±2；当a＝－2时，4－a2＋(1－a＋a2)i＝7i为纯虚数．] 3．以－3＋i的虚部为实部，以3i＋i2的实部为虚部的复数是(　　) A．1－i B．1＋i C．－3＋3i D．3＋3i 解析：A　[－3＋i的虚部为1,3i＋i2＝－1＋3i的实部为－1，故所求复数为1－i.] 4．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝(　　) A．－2＋i B．2＋i C．1－2i D．1＋2i 解析：B　[由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，则由题意得1＋xi＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.] 5．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是(　　) A．|a|＝|b| B．a<0且a＝－b C．a>0且a≠b D．a≤0 解析：D　[复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，得a≤0.] 6．如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，x，y为实数，则x＝　____________　，y＝　____________　. 解析：由复数相等可知所以 答案：　1 7．若实数x，y满足x＋yi＝－1＋(x－y)i(i是虚数单位)，则xy＝　____________　. 解析：∵x＋yi＝－1＋(x－y)i，又x，y∈R， ∴解得∴xy＝. 答案： 8．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于　____________　. 解析：∵z<0，∴∴m＝－3. 答案：－3 9．若x2＋(1－2i)x＋(3m－i)>0，求实数m的取值范围． 解：由题意可知，x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝x2＋x＋3m－(2x＋1)i>0， 故解得所以实数m的取值范围为m>. [能力提升] 10．已知复数1＋2i＝a＋bi(a.b∈R)，则a＋b＝(　　) A．3 B．－1 C．1 D．－3 解析：A　[由复数相等的条件可知，a＝1，b＝2，则a＋b＝3.] 11．在复平面内，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)是纯虚数，则(　　) A．a＝0或a＝2 B．a＝0 C．a≠1且a≠2 D．a≠1或a≠2 解析：B　[因为复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，所以a2－2a＝0且a2－a－2≠0，所以a＝0.] 12．若z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i(m，n∈R)，且z1＝z2，则m＋n＝(　　) A．4或0 B．－4或0 C．2或0 D．－2或0 解析：A　[由z1＝z2，得n2－3m－1＝－3且n2－m－6＝－4，解得m＝2，n＝±2，所以m＋n＝4或0.] 13．若(m2－5m＋4)＋(m2－2m)i>0，则实数m的值为　____________　. 解析：因为复数(m2－5m＋4)＋(m2－2m)i>0，所以解得m＝0. 答案：0 14．复数z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，则m＝　____________　. 解析：因为m∈R，z1＝z2，所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.由复数相等的充要条件得解得m＝5. 答案：5 15．当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i. (1)为实数？(2)为虚数？(3)为纯虚数？ 解：(1)当即m＝2时， 复数z是实数． (2)当m2－2m≠0且m≠0，即m≠0且m≠2，复数z是虚数． (3)当即m＝－3时， 复数z是纯虚数． 学科网（北京）股份有限公司 $$6.1　复数的概念 6.1.1 　复数的有关概念 第六章　复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第六章 复数 数学基础模块（RJ） 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 　 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第六章 复数 课程标准 素养解读 1．了解数系的扩充与引进复数的必要性． 2．理解复数的有关概念． 3．掌握复数相等的充要条件及其应用. 1．通过复数的有关概念的学习，培养直观想象等核心素养． 2．通过复数相等提升数学运算等核心素养. 很久以前，人们认为一元二次方程x2＋1＝0是无解的．但是，随着对数系的深入研究，人们逐渐意识到应该存在一个数，它就是该方程的解． 依照引入负数，使方程x＋1＝0有解的方法，是否可以引入一个数使方程x2＋1＝0有解呢？ [知识点一]　复数的有关概念 1．复数的定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数称为复数，其中i叫做　虚数单位　，满足i2＝　－1　. 2．复数的表示方法 复数通常用字母z表示，即　z＝a＋bi(a，b∈R)　其中a称为复数z的实部，b称为复数z的虚部． 3．复数集 所有复数所构成的集合称为复数集，用大写字母C表示，因此C＝{z|z＝a＋bi，a，b∈R} [知识点二]　复数的分类 2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 [知识点三]　复数相等的充要条件 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d.即a＋bi＝c＋di⇔　a＝c且b＝d　.特别地a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0. 复数m＋ni的实部、虚部一定是m、n吗？ 提示：只有当m，n∈R时，m、n才是该复数的实部、虚部． 1．复数z＝1＋2i的虚部为(　　) A．1 B．2i C．2 D．1＋2i 解析：C　[复数z＝1＋2i的虚部是2.] 2．已知a为实数，复数z＝(a－1)＋ai(i为虚数单位)，若z为纯虚数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：C　[若复数z＝(a－1)＋ai(a∈R)为纯虚数，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－1＝0,a≠0))，解得a＝1.] 3．对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法正确的是(　　) A．若a＝0，则a＋bi为纯虚数 B．若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－2 C．若b＝0，则a＋bi为实数 D．i的平方等于1 解析：C　[对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数；对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；对于D，i的平方为－1.] 复数的概念 　说出下列三个复数的实部、虚部，并指出它们是实数还是虚数，如果是虚数，请指出是否为纯虚数： (1)3＋4i；(2)－eq \f(\r(2),2)i；(3)－7 [思路点拨]　复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为z的实部，b称为z的虚部． [解]　(1)3＋4i的实部与虚部分别是3与4，它是虚数，但不是纯虚数； (2)－eq \f(\r(2),2)i的实部与虚部分别是0与－eq \f(\r(2),2)，它是虚数，而且是纯虚数； (3)－7的实部与虚部分别是－7与0，它是实数． 对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部． [变式训练] 1．指出下列复数的实部和虚部，并判断这些复数是实数还是虚数．若是虚数，判断其是否为纯虚数． (1)2；(2)3－i；(3)5i 解：(1)复数2的实部是2，虚部是0，它是实数； (2)复数3－i的实部是3，虚部是－1，它是虚数，不是纯虚数； (3)复数5i的实部是0，虚部是5，它是虚数，而且是纯虚数． 复数的分类 　实数x分别取什么值时，复数z＝eq \f(x2－x－6,x＋3)＋(x2－2x－15)i是： (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ [思路点拨]　根据复数的分类条件构造方程(组)或不等式(组)． [解]　(1)当x满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－2x－15＝0，,x＋3≠0.))即x＝5时，z是实数； (2)当x满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－2x－15≠0，,x＋3≠0，))即x≠－3且x≠5时，z是虚数； (3)当x满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x2－x－6,x＋3)＝0，,x2－2x－15≠0，,x＋3≠0，))即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数． 解决复数分类问题的方法与步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可． (3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)， ①z为实数⇔b＝0； ②z为虚数⇔b≠0； ③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. [变式训练] 2．已知m∈R，复数z＝eq \f(mm＋2,m－1)＋(m2＋2m－1)i，当m为何值时， (1)z∈R？(2)z是虚数？(3)z是纯虚数？ 解：(1)当m满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2＋2m－1＝0，,m≠1，))，计算得出 m＝－1±eq \r(2)，所以m＝－1±eq \r(2)时，z为实数． (2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2＋2m－1≠0，,m≠1，))计算得出 m≠1，且m≠－1±eq \r(2)，所以m≠1，且m≠－1±eq \r(2)时，z为虚数． (3)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(mm＋2,m－1)＝0，,m≠1，,m2＋2m－1≠0.))计算得出 m＝0或－2，所以m＝0或－2时，z是纯虚数． 复数相等的充要条件 　求满足下列条件的实数a和b. (1)(a＋2b)－i＝6a＋(a－b)i； (2)(a＋b＋1)＋(a－b＋2)i＝0. [思路点拨]　利用复数相等的定义，两个复数的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等，列方程组解得此题． [解]　(1)根据复数相等的定义，可得方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋2b＝6a，,－1＝a－b.))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\f(2,3)，,b＝\f(5,3).)) (2)根据复数相等的定义，可得方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋b＋1＝0.,a－b＋2＝0.))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－\f(3,2)，,b＝\f(1,2).)) 复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． 3．已知(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中x，y∈R，求x与y. 解：根据复数相等的定义，得方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－1＝y，,1＝－3－y.))所以x＝eq \f(5,2)，y＝4. 1．a＝0是复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[当a＝0时，若b＝0，则为实数，若b≠0，则为纯虚数，若a＋bi为纯虚数，则a＝0，b≠0，故a＝0是复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的必要不充分条件．] 2．若复数z＝ai2－bi(a，b∈R)是纯虚数，则一定有(　　) A．b＝0 B．a＝0且b≠0 C．a＝0或b＝0 D．ab≠0 解析：B　[z＝ai2－bi＝－a－bi，由纯虚数的定义可得a＝0且b≠0.] 3．设i为虚数单位，复数1－2i的虚部是(　　) A．－2 B．2 C．－2i D．2i 解析：A　[1－2i的虚部为－2.] 4．若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝　____________　. 解析：(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)为实数的充要条件是a2－1＝0，所以a±1. 答案：±1 $$