5.4.1 平面与平面平行（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块同步教案（人教版2021）

对应学生课时P252 [基础过关] 1．下列命题中不正确的是(　　) A．两个平面α∥β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面β B．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面β C．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行 D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线 解析：A　[直线a可能与β平行，也可能在β内，故A不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知，B，D两个命题也正确．] 2平面α∥平面β，直线l∥α，则(　　) A．l∥β B．l⊂β C．l∥β或l⊂β D．l，β相交 解析：C　[平面α∥平面β，直线l∥α，则l∥β或l⊂β.] 3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E，F，则四边形D1EBF的形状是(　　) A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．正方形 解析：C　[因为平面和左右两个平行侧面分别交于ED1，BF，所以ED1∥BF，同理D1F∥EB，所以四边形D1EBF是平行四边形．] 4.如图所示的三棱柱ABC­A1B1C1，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是(　　) A．异面 B．平行 C．相交 D．以上均有可能 解析：B　[因为平面A1B1C1∥平面ABC，平面A1B1ED∩平面A1B1C1＝A1B1，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，所以A1B1∥DE又因为A1B1∥AB，所以DE∥AB.] 5．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下面结论正确的是(　　) A．α∩β＝a，b⊂α⇒a∥b B．α∩β＝a，a∥b⇒b∥α且b∥β C．a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥β D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 解析：D　[A中，a，b可能平行也可能相交；B中可能b∥α，b∥β，也可能b⊂α或b⊂β；C中若加上一条件a∩b＝A，则α∥β；由面面平行的性质知D正确．] 6．已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b、c⊂β，则α与β的关系是　________　. 解析：b、c⊂β，a⊂α，a∥b∥c，若α∥β，满足要求；若α与β相交，交线为l，b∥c∥l，a∥l，满足要求，故答案为相交或平行． 答案：相交或平行 7．若平面α∥平面β，a⊂α，下列说法正确的是　________　.(填序号) ①a与β内任一直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内任一直线不垂直；④a与β无公共点． 解析：∵a⊂α，α∥β，∴a∥β，∴a与β无公共点，④正确；如图，在正方体中，令线段B1C1所在的直线为a，显然a与β内无数条直线平行，故②正确；又AB⊥B1C1，故在β内存在直线与a垂直，故①③错误． 答案：②④ 8．过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1 的位置关系是　________　. 解析：由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的． 答案：平行 9．已知ABC­A1B1C1是正三棱柱，E，E1分别是AC，A1C1的中点，求证：平面AB1E1∥平面BEC1. 证明：∵E，E1分别为AC，A1C1中点，∴AE綊E1C1.∴四边形AE1C1E为平行四边形．∴AE1∥EC1.∵EC1⊂平面BEC1，AE1⊄平面BEC1.∴AE1∥平面BEC1.同理B1E1∥平面BEC1.又AE1∩B1E1＝E1，∴平面AB1E1∥平面BEC1. [能力提升] 10．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，过点M的所有直线中(　　) A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．有且只有一条与a平行的直线 解析：D　[由于α∥β，a⊂α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确．] 11．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作(　　) A．1个或2个 B．0个或1个 C．1个 D．0个 解析：B　[①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β，使β∥α.②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面与平面α至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面．故满足条件的平面有0个或1个．] 12.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于(　　) A．2∶25 B．4∶25 C．2∶5 D．4∶5 解析：B　[∵平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴AB∥A′B′，同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，S△A′B′C′：S△ABC＝2＝2＝.] 13.如图是正方体平面展开图：在这个正方体中，①BM∥平面ADE；②CN∥平面BAF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上说法正确的是　________　(填序号)． 解析：由正方体的平面展开图得正方体(如图)，易知BM∥平面ADE，CN∥平面BAF，平面BDM∥平面AFN，平面BDE∥平面NCF. 答案：①②③④ 14.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，所得截面的面积为. 解析：如图，易知截面A1ECF为菱形，边长A1E＝，对角线EF＝＝2，A1C＝2.∴S菱形A1ECF＝×2×2＝2. 答案：2 15.如图，在三棱锥P­ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM. 证明：因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC，同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF⊂平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.又平面PCM∩平面DEF＝NF.平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM. 学科网（北京）股份有限公司 $$5.4　平面与平面的位置关系 5.4.1 　平面与平面平行 第五章　立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第五章 立体几何 数学基础模块（RJ） 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 　 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 课程标准 素养解读 1.通过直观感知，操作确认，归纳出面面平行的性质定理和判定定理． 2．掌握面面平行的性质定理和判定定理，并能应用它们解决有关面面平行问题. 1.通过学习面面平行的性质定理与判定定理，提升直观想象核心素养． 2．通过面面平行的性质与判定的应用，提升推理论证能力和逻辑推理核心素养. 三角板的一条边所在平面与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？ [知识点一]　平面与平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有一条公共直线 符号表示 α∥β α∩β＝a 图形表示 [知识点二]　平面与平面平行的判定 判定定理 推论 文字语言 如果一个平面内有　两条相交直线　分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行 如果一个平面内有　两条相交直线　分别平行于另一个平面内的　两条直线　，则这两个平面平行 符号语言 a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，a∩b＝P⇒α∥β a∥c, b∥d，a∩b＝A，a⊂α，b⊂α，c⊂β，d⊂β⇒α∥β 图形语言 平行平面的传递性 如果α∥β，β∥γ，那么α∥γ. [知识点三]　平面与平面平行的性质 性质定理 文字语言 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线　平行　 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒　a∥b　 图形语言 重要结论：夹在两个平行平面间的平行线段相等． 如果两个平面平行，那么这两个平面内的所有直线都相互平行吗？ 提示：不一定，它们可能异面． [知识点四]　两平行平面间的距离 1．公垂线：与两个平行平面都垂直的直线． 2.公垂线段：公垂线夹在这两个平行平面间的线段． 3．两个平行平面间的距离：公垂线段的长度，如图，MN的长度就是平面α和平面β之间的距离． 1．关于两个平面的位置关系，下列说法正确的是(　　) A．两个平面共有相交、平行、异面三种位置关系 B．两个平面共有相交、平行、在平面内三种位置关系 C．两个平面共有相交、平行、垂直三种位置关系 D．两个平面共有相交、平行两种位置关系 解析：D　[平面的位置关系只有相交、平行两种位置关系．] 2．“一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面”是“这两个平面平行”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[由两平面平行的判定定理可知，前者不能推出后者，即不充分条件；由两平面平行的定义可知，后者能推出前者，即必要条件．] 3．下列命题中正确的是(　　) A．过直线外一点，有两条直线与这条直线平行 B．若一条直线与平面α平行，则它与α内的无数条直线平行 C．若一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行 D．如果两个平面平行，则分别在这两个平面内的两条直线也平行 解析：B　[过直线外一点，有且仅有一条直线与之平行，A项错误；一条直线与平面α平行，则它与α内无数条直线平行，B项正确；若一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，C项错误；如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面，D项错误．] 面面平行的判定定理的应用 　如图，空间四边形PABC，连接PC，作PA，PB，PC的中点D，E，F. 证明：平面DEF∥平面ABC. [思路点拨]　根据三角形中位线定理先证明线线平行，再证明线面平行，最后应用判定定理证明面面平行． 证明：因为D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，所以DE∥AB，而DE不在平面ABC内，所以DE∥平面ABC.同理EF∥平面ABC.又DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面ABC. 平面与平面平行的判定方法 (1)定义法：两个平面没有公共点． (2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面． (3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β. (4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ. [变式训练] 1.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，A1D1，AA1的中点． 求证：平面EFG∥平面BDC1. 证明：连接B1D1，AB1，因为E，F分别是A1B1，A1D1的中点，所以EF∥B1D1，又因为BD∥B1D1，所以EF∥BD，而EF不在平面BDC1内，所以EF∥平面BDC1；同理可证EG∥平面BDC1，又EF∩EG＝E.故易知平面EFG∥平面BDC1. 面面平行性质定理的应用 　如图，已知平面α∥平面β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β交于点A，B和C， D. (1)求证：AC∥BD； (2)已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长． [思路点拨]　(1)由面面平行的性质构造辅助面证线线平行． (2)根据平行线分线段成比例定理，求PD. [解]　(1)证明：∵PB∩PD＝P，∴直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，∴AC∥BD. (2)由(1)得AC∥BD，∴eq \f(PA,AB)＝eq \f(PC,CD)，∴eq \f(4,5)＝eq \f(3,CD)，∴CD＝eq \f(15,4)，∴PD＝PC＋CD＝eq \f(27,4). 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤 [变式训练] 2.如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为棱AB，AC上的点，点G为棱AD的中点，且平面EFG∥平面BC D. 求证：BC＝2EF. 证明：因为平面EFG∥平面BCD，平面ABD∩平面EFG＝EG，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EG∥BD，又G为AD的中点，所以E为AB的中点，同理F为AC的中点，所以BC＝2EF. 平行关系的综合应用 　如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，平面 ABC∥平面A1B1C1.若D是棱CC1的中点，在棱AB 上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？ 并证明你的结论． [思路点拨]　因为D是棱CC1的中点，不妨设E是AB的中点，构造中位线，证线面平行→面面平行→线面平行．完成证明． [解]　当E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1.证明如下：如图所示，取BB1的中点F，连接EF，FD，DE，AC1.因为D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，所以EF∥AB1.因为AB1⊂平面AB1C1，EF⊄平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1.因为EF∩FD＝F，所以平面EFD∥平面AB1C1.因为DE⊂平面EFD，所以DE∥平面AB1C1. (1)在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质． (2)要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法． [变式训练] 3．下列命题中正确的是(　　) A．一个平面内两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 B．如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行 D．如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行 解析：B　[如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行，所以B正确．] 1．已知长方体ABCD­A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 解析：A　[由面面平行的性质定理易得．] 2．使平面α∥平面β的一个条件是(　　) A．存在一条直线a，a∥α，a∥β B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α D．α内存在两条相交直线a，b分别平行于β内的两条直线 解析：D　[A，B，C项中的条件都不一定使α∥β，反例分别为图①②③(图中a∥l，b∥l)；D项正确，因为a∥β，b∥β，又a，b相交，从而α∥β.] 3.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面AA1D1D与平面BB1C1C的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．重合 D．无法确定 解析：A　[由正方体的定义知，平面AA1D1D∥平面BB1C1C.] 4．已知α，β，γ是三个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线．若α∩β＝a，β∩γ＝b，且α∥γ，则a与b的位置关系是　________　. 解析：由平面与平面平行的性质定理可判定a∥b. 答案：a∥b $$ 5．4　平面与平面的位置关系 5．4.1　平面与平面平行 课程标准 素养解读 1.通过直观感知，操作确认，归纳出面面平行的性质定理和判定定理． 2．掌握面面平行的性质定理和判定定理，并能应用它们解决有关面面平行问题. 1.通过学习面面平行的性质定理与判定定理，提升直观想象核心素养． 2．通过面面平行的性质与判定的应用，提升推理论证能力和逻辑推理核心素养. 三角板的一条边所在平面与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？ [知识点一]　平面与平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有一条公共直线 符号表示 α∥β α∩β＝a 图形表示 [知识点二]　平面与平面平行的判定 判定定理 推论 文字语言 如果一个平面内有　两条相交直线　分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行 如果一个平面内有　两条相交直线　分别平行于另一个平面内的　两条直线　，则这两个平面平行 符号语言 a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，a∩b＝P⇒α∥β a∥c, b∥d，a∩b＝A，a⊂α，b⊂α，c⊂β，d⊂β⇒α∥β 图形语言 平行平面的传递性 如果α∥β，β∥γ，那么α∥γ. [知识点三]　平面与平面平行的性质 性质定理 文字语言 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线　平行　 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒　a∥b　 图形语言 重要结论：夹在两个平行平面间的平行线段相等． 如果两个平面平行，那么这两个平面内的所有直线都相互平行吗？ 提示：不一定，它们可能异面． [知识点四]　两平行平面间的距离 1．公垂线：与两个平行平面都垂直的直线． 2.公垂线段：公垂线夹在这两个平行平面间的线段． 3．两个平行平面间的距离：公垂线段的长度，如图，MN的长度就是平面α和平面β之间的距离． 1．关于两个平面的位置关系，下列说法正确的是(　　) A．两个平面共有相交、平行、异面三种位置关系 B．两个平面共有相交、平行、在平面内三种位置关系 C．两个平面共有相交、平行、垂直三种位置关系 D．两个平面共有相交、平行两种位置关系 解析：D　[平面的位置关系只有相交、平行两种位置关系．] 2．“一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面”是“这两个平面平行”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[由两平面平行的判定定理可知，前者不能推出后者，即不充分条件；由两平面平行的定义可知，后者能推出前者，即必要条件．] 3．下列命题中正确的是(　　) A．过直线外一点，有两条直线与这条直线平行 B．若一条直线与平面α平行，则它与α内的无数条直线平行 C．若一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行 D．如果两个平面平行，则分别在这两个平面内的两条直线也平行 解析：B　[过直线外一点，有且仅有一条直线与之平行，A项错误；一条直线与平面α平行，则它与α内无数条直线平行，B项正确；若一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，C项错误；如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面，D项错误．] 面面平行的判定定理的应用 　如图，空间四边形PABC，连接PC，作PA，PB，PC的中点D，E，F. 证明：平面DEF∥平面ABC. [思路点拨]　根据三角形中位线定理先证明线线平行，再证明线面平行，最后应用判定定理证明面面平行． 证明：因为D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，所以DE∥AB，而DE不在平面ABC内，所以DE∥平面ABC.同理EF∥平面ABC.又DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面ABC. 平面与平面平行的判定方法 (1)定义法：两个平面没有公共点． (2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面． (3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β. (4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ. [变式训练] 1.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，A1D1，AA1的中点． 求证：平面EFG∥平面BDC1. 证明：连接B1D1，AB1，因为E，F分别是A1B1，A1D1的中点，所以EF∥B1D1，又因为BD∥B1D1，所以EF∥BD，而EF不在平面BDC1内，所以EF∥平面BDC1；同理可证EG∥平面BDC1，又EF∩EG＝E.故易知平面EFG∥平面BDC1. 面面平行性质定理的应用 　如图，已知平面α∥平面β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β交于点A，B和C， D. (1)求证：AC∥BD； (2)已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长． [思路点拨]　(1)由面面平行的性质构造辅助面证线线平行． (2)根据平行线分线段成比例定理，求P D. [解]　(1)证明：∵PB∩PD＝P，∴直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝B D.又α∥β，∴AC∥B D. (2)由(1)得AC∥BD，∴＝，∴＝，∴CD＝，∴PD＝PC＋CD＝. 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤 [变式训练] 2.如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为棱AB，AC上的点，点G为棱AD的中点，且平面EFG∥平面BC D. 求证：BC＝2EF. 证明：因为平面EFG∥平面BCD，平面ABD∩平面EFG＝EG，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EG∥BD，又G为AD的中点，所以E为AB的中点，同理F为AC的中点，所以BC＝2EF. 平行关系的综合应用 　如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1.若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？并证明你的结论． [思路点拨]　因为D是棱CC1的中点，不妨设E是AB的中点，构造中位线，证线面平行→面面平行→线面平行．完成证明． [解]　当E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1.证明如下：如图所示，取BB1的中点F，连接EF，FD，DE，AC1.因为D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，所以EF∥AB1.因为AB1⊂平面AB1C1，EF⊄平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1.因为EF∩FD＝F，所以平面EFD∥平面AB1C1.因为DE⊂平面EFD，所以DE∥平面AB1C1. (1)在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质． (2)要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法． [变式训练] 3．下列命题中正确的是(　　) A．一个平面内两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 B．如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行 D．如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行 解析：B　[如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行，所以B正确．] 1．已知长方体ABCD­A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 解析：A　[由面面平行的性质定理易得．] 2．使平面α∥平面β的一个条件是(　　) A．存在一条直线a，a∥α，a∥β B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α D．α内存在两条相交直线a，b分别平行于β内的两条直线 解析：D　[A，B，C项中的条件都不一定使α∥β，反例分别为图①②③(图中a∥l，b∥l)；D项正确，因为a∥β，b∥β，又a，b相交，从而α∥β.] 3.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面AA1D1D与平面BB1C1C的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．重合 D．无法确定 解析：A　[由正方体的定义知，平面AA1D1D∥平面BB1C1C.] 4．已知α，β，γ是三个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线．若α∩β＝a，β∩γ＝b，且α∥γ，则a与b的位置关系是　________　. 解析：由平面与平面平行的性质定理可判定a∥b. 答案：a∥b 学科网（北京）股份有限公司 $$