5.3.3 直线与平面所成的角（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块同步教案（人教版2021）

5.3.3 　直线与平面所成的角 第五章　立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第五章 立体几何 数学基础模块（RJ） 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 　 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 课程标准 素养解读 1.理解直线和平面所成角的定义． 2．会求空间直线与平面所成的角. 通过求直线与平面所成的角，提升数学运算，逻辑推理，直观想象等核心素养. 前面我们学习了异面直线所成的角，那么当直线与平面相交时，我们又应该怎样求直线与平面所成的角呢？ [知识点]　直线和平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线l与一个平面α　相交　，但不和这个平面α　垂直　，这条直线称为这个平面的斜线，如图中　直线PA　 斜足 斜线和平面的　交点　，如图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引　垂线　PO，过　垂足　O和　斜足　A的直线AO称为斜线PA在这个平面上的射影 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角称为这条斜线和这个平面所成的角，如图中的∠PAO 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是　直角　；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是　0°的角　 取值范围 0°≤θ≤90° 1．直线与平面所成的角的取值范围是(　　) A．(0°，90°) B．(0°，90°] C．[0°，90°) D．[0°，90°] 解析：D　[直线与平面所成角的范围是[0°，90°]．] 2.正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1与平面CC1D1D 所成的角是(　　) A．0° B．45° C．60° D．90° 解析：A　[∵BB1∥CC1，BB1⊄平面CC1D1D，CC1⊂平面CC1D1D，∴BB1∥平面CC1D1D.∴BB1与平面CC1D1D所成的角是0°.] 3.正方体ABCD­A1B1C1D1中，B1C与平面ABCD 所成的角是(　　) A．0° B．45° C．60° D．90° 解析：B　[∵B1C在平面ABCD内的射影为BC，∴∠B1CB为直线B1C与平面ABCD所成的角．∵∠B1CB＝45°.] 求直线与平面所成的角 　如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中， (1)求A1B与平面AA1D1D所成的角； (2)求A1B与平面BB1D1D所成的角． [思路点拨]　作垂线，找射影，求角． [解]　(1)∵AB⊥平面AA1D1D，∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，∴∠AA1B＝45°，∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°. (2)连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1⊂平面BB1D1D，∴A1O⊥平面BB1D1D，∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角．设正方体的棱长为1，则A1B＝eq \r(2)，A1O＝eq \f(\r(2),2).又∵∠A1OB＝90°，∴sin∠A1BO＝eq \f(A1O,A1B)＝eq \f(1,2)，又0°≤∠A1BO≤90°，∴∠A1BO＝30°，∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°. 求直线与平面所成角的步骤 (1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线． (2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角． (3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角． [变式训练] 1.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求A1B与正方体 右侧面所成角的大小． 解：在正方体ABCD­A1B1C1D1中，A1B1⊥平面B1C1CB，所以BB1为A1B在右侧面B1C1CB上的射影，所以∠A1BB1为A1B与正方体右侧面所成角，∠A1BB1＝eq \f(π,4). 空间线面关系的综合应用 　如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1. (1)求证：A1C⊥B1D1； (2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1， MN⊥C1D，求证：MN∥A1C. [思路点拨]　(1)要证A1C⊥B1D1，只须证B1D1⊥平面A1C1C. (2)利用线面平行的性质定理． 证明：(1)如图，连接A1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1.因为四边形A1B1C1D1是正方形，所以A1C1⊥B1D1.又因为CC1∩A1C1＝C1，所以B1D1⊥平面A1C1C.又因为A1C⊂平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C. (2)如图，连接B1A，AD1.因为B1C1綊AD，所以四边形ADC1B1为平行四边形，所以C1D∥AB1，因为MN⊥C1D，所以MN⊥AB1.又因为MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，所以MN⊥平面AB1D1.由(1)知，A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1.又因为AB1∩B1D1＝B1，所以A1C⊥平面AB1D1.所以A1C∥MN. 空间中线面关系． [变式训练] 2.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1，中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证： (1)DE∥平面AA1C1C. (2)BC1⊥AB1. 证明：(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C. (2)因为棱柱ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1，又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以B1C⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1. 1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线A1B与平面 ABCD所成角为(　　) A．45° B．60° C．90° D．120° 解析：A　[∠A1BA就是直线A1B与平面ABCD所成的角．∵∠A1BA＝45°.] 2.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA＝eq \r(2)AB，则直线PC与平面ABCD所成角的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：B　[连接AC，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AC.在直角三角形PAC中，PA＝eq \r(2)AB，AC＝eq \r(2)AB，即PA＝AC，所以∠PCA＝45°.] 3．线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° 解析：C　 [如图，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α内的射影，则BC＝eq \f(1,2)AB，∠ABC为AB所在直线与平面α所成的角．在Rt△ABC中，cos∠ABC＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(1,2)，∴∠ABC＝60°，即AB与平面α所成的角为60°.] 4．斜线段所在的直线与平面所成的角的大小是　________　. 解析：斜线与平面所成角的取值范围是[0，eq \f(π,2)]． 答案：[0，eq \f(π,2)] $$ 5．3.3　直线与平面所成的角 课程标准 素养解读 1.理解直线和平面所成角的定义． 2．会求空间直线与平面所成的角. 通过求直线与平面所成的角，提升数学运算，逻辑推理，直观想象等核心素养. 前面我们学习了异面直线所成的角，那么当直线与平面相交时，我们又应该怎样求直线与平面所成的角呢？ [知识点]　直线和平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线l与一个平面α　相交　，但不和这个平面α　垂直　，这条直线称为这个平面的斜线，如图中　直线PA　 斜足 斜线和平面的　交点　，如图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引　垂线　PO，过　垂足　O和　斜足　A的直线AO称为斜线PA在这个平面上的射影 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角称为这条斜线和这个平面所成的角，如图中的∠PAO 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是　直角　；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是　0°的角　 取值范围 0°≤θ≤90° 1．直线与平面所成的角的取值范围是(　　) A．(0°，90°) B．(0°，90°] C．[0°，90°) D．[0°，90°] 解析：D　[直线与平面所成角的范围是[0°，90°]．] 2.正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1与平面CC1D1D所成的角是(　　) A．0° B．45° C．60° D．90° 解析：A　[∵BB1∥CC1，BB1⊄平面CC1D1D，CC1⊂平面CC1D1D，∴BB1∥平面CC1D1 D.∴BB1与平面CC1D1D所成的角是0°.] 3.正方体ABCD­A1B1C1D1中，B1C与平面ABCD所成的角是(　　) A．0° B．45° C．60° D．90° 解析：B　[∵B1C在平面ABCD内的射影为BC，∴∠B1CB为直线B1C与平面ABCD所成的角．∵∠B1CB＝45°.] 求直线与平面所成的角 　如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中， (1)求A1B与平面AA1D1D所成的角； (2)求A1B与平面BB1D1D所成的角． [思路点拨]　作垂线，找射影，求角． [解]　(1)∵AB⊥平面AA1D1D，∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，∴∠AA1B＝45°，∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°. (2)连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1⊂平面BB1D1D，∴A1O⊥平面BB1D1D，∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角．设正方体的棱长为1，则A1B＝，A1O＝.又∵∠A1OB＝90°，∴sin∠A1BO＝＝，又0°≤∠A1BO≤90°，∴∠A1BO＝30°，∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°. 求直线与平面所成角的步骤 (1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线． (2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角． (3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角． [变式训练] 1.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求A1B与正方体右侧面所成角的大小． 解：在正方体ABCD­A1B1C1D1中，A1B1⊥平面B1C1CB，所以BB1为A1B在右侧面B1C1CB上的射影，所以∠A1BB1为A1B与正方体右侧面所成角，∠A1BB1＝. 空间线面关系的综合应用 　如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1. (1)求证：A1C⊥B1D1； (2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C. [思路点拨]　(1)要证A1C⊥B1D1，只须证B1D1⊥平面A1C1C. (2)利用线面平行的性质定理． 证明：(1)如图，连接A1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1.因为四边形A1B1C1D1是正方形，所以A1C1⊥B1D1.又因为CC1∩A1C1＝C1，所以B1D1⊥平面A1C1C.又因为A1C⊂平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C. (2)如图，连接B1A，AD1.因为B1C1綊AD，所以四边形ADC1B1为平行四边形，所以C1D∥AB1，因为MN⊥C1D，所以MN⊥AB1.又因为MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，所以MN⊥平面AB1D1.由(1)知，A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1.又因为AB1∩B1D1＝B1，所以A1C⊥平面AB1D1.所以A1C∥MN. 空间中线面关系． [变式训练] 2.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1，中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证： (1)DE∥平面AA1C1C. (2)BC1⊥AB1. 证明：(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C. (2)因为棱柱ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1，又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以B1C⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1. 1.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线A1B与平面ABCD所成角为(　　) A．45° B．60° C．90° D．120° 解析：A　[∠A1BA就是直线A1B与平面ABCD所成的角．∵∠A1BA＝45°.] 2.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA＝AB，则直线PC与平面ABCD所成角的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：B　[连接AC，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AC.在直角三角形PAC中，PA＝AB，AC＝AB，即PA＝AC，所以∠PCA＝45°.] 3．线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° 解析：C　 [如图，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α内的射影，则BC＝AB，∠ABC为AB所在直线与平面α所成的角．在Rt△ABC中，cos∠ABC＝＝，∴∠ABC＝60°，即AB与平面α所成的角为60°.] 4．斜线段所在的直线与平面所成的角的大小是　________　. 解析：斜线与平面所成角的取值范围是[0，]． 答案：[0，] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 对应学生课时P250 [基础过关] 1．直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系为(　　) A．a⊥b，且a与b相交 B．a⊥b，且a与b不相交 C．a⊥b D．a与b不一定垂直 解析：C　[∵b∥α，∴b平行于α内的某一条直线，设为b′，∵a⊥平面α，且b′⊂平面α，∴a⊥b′，∴a⊥b，但a与b可能相交，也可能异面．] 2．垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是(　　) A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC C．AC⊥PB D．PC⊥BC 解析：C　[由PA⊥平面ACB⇒PA⊥BC，故A不符合题意；由BC⊥PA，BC⊥AC，PA∩AC＝A，可得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，故B，D不符合题意；无法判断AC⊥PB，故C符合题意．] 3.已知如图，六棱锥P­ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC.则下列结论不正确的是(　　) A．CD∥平面PAF B．DF⊥平面PAF C．CF∥平面PAB D．CF⊥平面PAD 解析：D　[A中，因为CD∥AF，AF⊂平面PAF，CD⊄平面PAF，所以CD∥平面PAF成立；B中，因为ABCDEF为正六边形，所以DF⊥AF.又因为PA⊥平面ABCDEF，所以PA⊥DF，又因为PA∩AF＝A，所以DF⊥平面PAF成立；C中，因为CF∥AB，AB⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，所以CF∥平面PAB；而D中CF与AD不垂直．] 4.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为AC，A1B的中点，则下列说法不正确的是(　　) A．MN∥平面ADD1A1 B．MN⊥AB C．直线MN与平面ABCD所成的角为45° D．异面直线MN与DD1所成的角为60° 解析：D　 [如图，连接BD，A1D，由M，N分别为AC，A1B的中点知MN∥A1D.因为A1D⊂平面ADD1A1，MN⊄平面ADD1A1，所以MN∥平面ADD1A1，故A正确；易知AB⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1，所以AB⊥A1D.又MN∥A1D，所以AB⊥MN，故B正确；易知直线MN与平面ABCD所成的角即为直线A1D与平面ABCD所成的角，为45°，故C正确；易知MN与DD1所成的角即为A1D与DD1所成的角，为45°，故D错误．] 5.如图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别为B，D，且AB≠C D.如果增加一个条件就能推出BD⊥EF，给出四个条件： ①AC⊥β；②AC⊥EF；③AC与BD在β内的正投影在同一条直线上；④AC与BD在平面β内的正投影所在的直线交于一点．那么这个条件不可能是(　　) A．①② B．②③ C．③ D．④ 解析：D　[根据线面垂直的判断知，条件①②③都能够判断BD⊥EF垂直，只有④不能够判断．] 6.如图，若平面的斜线段长为4 cm，它的射影长为2 cm，这条直线和这个平面所成的角为θ，则θ的大小是　________　. 解析：设斜线段所在的直线与平面所成的角为θ，则cos θ＝＝＝.所以θ＝. 答案： 7.如图，若正四棱柱ABCD­A1B1C1D1底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的正弦值是　________　. 解析：连接D1C，∵AD∥BC，∴∠D1BC(或其补角)即为异面直线BD1与AD所成的角，在△D1BC中，∵正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，∴D1B＝2，BC＝2，D1C＝2，D1B2＝BC2＋D1C2，∴∠D1CB＝90°，∴sin∠D1BC＝＝＝，故异面直线BD1与AD所成角正弦值是. 答案： 8.如图，已知PA⊥α，AB为PB在平面α内的射影，BC在平面α内，且∠PBC＝60°，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，则PB与平面α所成的角的大小为　________　. 解析：因为PA⊥α，AB为PB在平面α内的射影，所以PB与平面α所成的角为∠PBA.设AC＝a，在Rt△ABC中，∠ABC＝45°，所以AC＝BC＝a，AB＝a.又因为PA⊥α，BC⊂平面α，所以PA⊥BC，又AC⊥BC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，所以PC⊥BC.在Rt△PBC中，∠PBC＝60°，BC＝a，所以PB＝2a，在Rt△PAB中，cos∠PBA＝＝＝，所以∠PBA＝. 答案： 9．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值． 解：取AA1的中点M，连接EM，BM.因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.又在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1内的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝＝3.于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝＝，即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为. [能力提升] 10.如图，已知PM⊥平面ABC，BD⊥AC，则下列关系不成立的是(　　) A．PD⊥AC　　 B．AC⊥PB C．MD⊥PB　　 D．PM⊥AC 解析：C　[因为PM⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以PM⊥AC，D正确；又因为BD⊥AC，PM∩BD＝M，所以AC⊥平面PBD，又PD⊂平面PBD，所以AC⊥PD，A正确；同理，AC⊥PB，B正确．] 11.如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列判断不正确的是(　　) A．BC⊥平面PAB B．AD⊥PC C．AD⊥平面PBC D．PB⊥平面ADC 解析：D　[因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB，故A正确；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，因为PA＝AB，D为PB的中点，所以AD⊥PB，PB∩BC＝B，从而AD⊥平面PBC，故C正确；因为PC⊂平面PBC，所以AD⊥PC，故B正确；在平面PBC中，PB⊥BC，所以PB与CD不垂直，所以PB不垂直于平面ADC，故D不正确．] 12．已知P为△ABC所在平面外一点，O为点P在ABC上的射影，若PA⊥BC，PB⊥AC，则点P为△ABC的(　　) A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心 解析：A　 [如图，因为P为△ABC所在平面外一点，O 为点P在平面ABC上的射影，所以PO⊥平面ABC，又因为BC⊂平面ABC，所以BC⊥PO，因为PA⊥BC，PA∩PO＝P，所以BC⊥平面PAO，因为AO⊂平面PAO，所以AO⊥BC，同理可得BO⊥AC，从而O是△ABC的垂心．] 13．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线BD1与平面AA1D1D所成角的正切值为　________　. 解析：连接AD1，因为AB⊥平面AA1D1D，所以直线BD1与平面AA1D1D所成的角为∠AD1B.设正方体的棱长为1，则AD1＝，所以tan∠AD1B＝＝. 14．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于　________　. 解析：如图所示，因为正方体ABCD­A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影，∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角．由题意知，∠B1AB＝45°，故所求角为45°. 答案：45° 15.如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N. 求证：∠ABN是直线AB与平面PBM所成的角． 证明：设圆O所在的平面为α，因为PA⊥α，且BM⊂α，所以PA⊥BM.又因为AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，所以AM⊥BM.由于直线PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM，而AN⊂平面PAM，所以BM⊥AN.又因为AN⊥PM，所以AN与PM，BM两条相交直线都垂直．故AN⊥平面PBM.即∠ABN是直线AB与平面PBM所成的角． 学科网（北京）股份有限公司 $$