5.3.2 第2课时 直线与平面垂直(二)（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块同步教案（人教版2021）

对应学生课时P248 [基础过关] 1．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是(　　) A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α 解析：B　[若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，A错；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，C错；若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n⊂α，D错．] 2．已知直线l，m是异面直线，直线a⊥l，a⊥m，直线b⊥l，b⊥m，则(　　) A．a⊥b B．a∥b C．a与b相交 D．a与b异面 解析：B　 [如图所示，在直线m上任取一点A，过A作直线l′∥l，则l′∩m＝A，∴直线l′和直线m确定一个平面α.∵a⊥l，l′∥l，∴a⊥l′.又a⊥m，l′∩m＝A，l′⊂α，m⊂α，∴a⊥α，同理可证b⊥α，∴a∥b.] 3．如图①在正方形SG1G2G3中，E，F分别是边G2G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体(图②)，使G2，G2，G3三点重合于点G，下面结论成立的是(　　) A．SG⊥平面EFG B．SD⊥平面EFG C．GF⊥平面SEF D．GD⊥平面SEF 解析：A　[在图①中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，∴SG⊥GE，SG⊥GF，∴SG⊥平面EFG.] 4.在长方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长AB＝5，BC＝4，AA1＝3.则直线AA1到平面BC1的距离为(　　) A．5 B．4 C．3 D． 解析：A　[直线AA1到平面BC1的距离就是点A到平面BC1的距离，即AB的长，因为AB＝5.] 5．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为(　　) A．2 B．7 C. D． 解析：A　 [如图所示，因为PC⊥平面ABC，所以PC⊥CM，则△PCM是直角三角形，故PM2＝PC2＋CM2，所以当CM⊥AB时，CM最小，此时PM也最小．由条件知AC＝4，BC＝4，故CM的最小值为2，又PC＝4，则PM的最小值为＝2.] 6．若直线l⊥平面α，直线m在平面α内，则l　________　m. 解析：由线面垂直的定义可知，l⊥平面α，l垂直于平面α内所有直线，故l⊥m. 答案：⊥ 7.如图，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝　________　. 解析：因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE.因为AF＝DE，所以四边形ADEF是平行四边形，所以EF＝AD＝6. 答案：6 8．已知不重合的两个平面α，β和直线m，给出以下条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β.要使m⊥β，则所满足的条件是　________　.(填所选条件的序号) 解析：由于当一条直线垂直于两个平行平面中的一个时，此直线也垂直于另一个平面，结合所给的条件，故由②④可推出m⊥β.即②④是m⊥β的充分条件，故当m⊥β时，应满足的条件是②④. 答案：②④ 9.如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB. 求证：a∥l. 证明：因为EA⊥α，α∩β＝l， 即l⊂α，所以l⊥EA.同理l⊥EB. 又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B.所以a⊥平面EAB.由线面垂直的性质定理，得a∥l. [能力提升] 10．直线a⊥直线b，直线b⊥平面β，则a与β的关系是(　　) A．a⊥β B．a∥β C．a⊂β D．a⊂β或a∥β 解析：D　[若a⊂β，b⊥平面β，可证得a⊥b；若a∥β，过a作平面α，α∩β＝c，b⊥平面β，c⊂β，则b⊥c，a∥c，于是b⊥a.故答案为 D.] 11.若长方体ABCD­A1B1C1D1的底面边长为1，∠B1AB＝60°，则A1C1到底面ABCD的距离为(　　) A．1 B． C．2 D． 解析：D　[依题意知A1A⊥平面ABCD，∠B1AB＝60°，A1C1∥平面ABCD，所以A1A即为A1C1到底面ABCD的距离．在Rt△ABB1中，∠B1AB＝60°，BB1⊥AB，AB＝1，所以A1A＝B1B＝.] 12.如图，三棱锥V­ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA＝VB，AD＝BD，则下列结论中不一定成立的是(　　) A．AC＝BC B．VC⊥VD C．AB⊥VC D．S△VCD·AB＝S△ABC·VO 解析：B　[因为VA＝VB，AD＝BD，所以VD⊥AB.因为VO⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以VO⊥AB.又VO∩VD＝V，VO⊂平面VCD，VD⊂平面VCD，所以AB⊥平面VCD，又CD⊂平面VCD，VC⊂平面VCD，所以AB⊥VC，AB⊥C D.又AD＝BD，所以AC＝BC(线段垂直平分线的性质)．因为VO⊥平面ABC，所以VV－ABC＝S△ABC·VO.因为AB⊥平面VCD，所以VV－ABC＝VB－VCD＋VA－VCD＝S△VCD·BD＋S△VCD·AD＝S△VCD·(BD＋AD)＝S△VCD·AB，所以S△ABC·VO＝S△VCD·AB，即S△VCD·AB＝S△ABC·VO.综上知，A、C、D正确．] 13．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长AB＝10，BC＝8，AA1＝6，则BB1到平面AA1D1D的距离为　________　. 解析：BB1到平面AA1D1D的距离即为点B到平面AA1D1D的距离，也就是BA的长度，因为BA＝10，故答案为10. 答案：10 14.如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在边BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则实数a的值为　________　. 解析：连接AQ，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥QD，又因为PQ⊥QD，PA∩PQ＝P，所以QD⊥平面PAQ，所以AQ⊥QD，即∠AQD最大为90°时，此时Q为BC的中点，只有一个，故BC＝2AB＝2. 答案：2 15.如图，已知AB是圆O的直径，C为圆上一点，AB＝2，AC＝1，P为⊙O所在平面外一点，且PA垂直于圆O所在平面，∠PBA＝45°. (1)求证：BC⊥平面PAC； (2)求点A到平面PBC的距离． 解：(1)证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC.因为AB是圆O的直径，C为圆上一点．所以BC⊥AC.又因为PA∩AC＝A，AC，PA⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC. (2)如图，过点A作AD⊥PC于点D，因为BC⊥平面PAC，AD⊂平面PAC，所以BC⊥AD，又PC∩BC＝C，PC⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD⊥平面PBC，所以AD即为点A到平面PBC的距离．所以依题意知∠PBA＝45°，所以PA＝AB＝2，AC＝1，可得PC＝.因为AD·PC＝PA·AC，所以AD＝＝，即点A到平面PBC的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　直线与平面垂直(二) 课程标准 素养解读 1.掌握直线与平面垂直的性质定理，并能解决有关线面垂直的问题． 2．了解点到平面距离、直线到平面距离、平面到平面距离的含义，并能求解空间距离. 1.通过线面垂直的性质的应用，提升直观想象和逻辑推理等核心素养． 2．通过距离的运算，提升数学运算和直观想象等核心素养. 如图是马路旁的路灯灯柱，若将灯柱看作一条直线，地面看作平面，请思考下面的问题． (1)灯柱所在直线与地面所在平面有何位置关系？ (2)灯柱所在的直线间是什么位置关系？ [知识点一]　直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线　平行　 符号语言 图形语言 作用 ①线面垂直⇒线线平行，②作平行线 [知识点二]　线面距与面面距 1．一条直线与一个平面平行时，这条直线上　任意一点　到这个平面的距离都是相等的，这个距离称为这条直线到这个平面的距离． 2．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的　任意一点　到另一个平面的距离　都相等　，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 是不是任意的直线与平面、平面与平面间都有距离？ 提示：不是，只有当直线与平面平行，平面与平面平行时才涉及距离问题． 1．从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．异面 D．相交或平行 解析：B　[由直线与平面垂直的性质定理可知，这条垂线与圆柱的母线所在直线平行．] 2．直线n⊥平面α，n∥l，直线m⊂α，则l，m的位置关系是(　　) A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 解析：D　[由题意可知l⊥α，所以l⊥m.] 3．下列说法正确的是(　　) A．一条直线平行于平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面 B．一条直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面 C．同平行于一个平面的两条直线平行 D．同垂直于一个平面的两条直线平行 解析：D　[一条直线平行于平面内的一条直线，这条直线也可能在平面内，A错误；一条直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线可能与平面相交，也有可能在这个平面内，B错误；同平行于一个平面的两条直线也可能相交、异面，C错误．] 线面垂直的性质定理的应用 　如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC. 求证：AE∥MN. [思路点拨]　证明AE⊥平面PCD，MN⊥平面PC D. 证明：∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，∴AE⊥AB.又∵AB∥CD，∴AE⊥C D.∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥P D.又∵CD∩PD＝D，CD⊂平面PCD，PD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PC D.∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥C D.又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，∴MN⊥平面PC D.∴AE∥MN. 关于线面垂直性质定理的应用 (1)在证明与垂直相关的平行问题时，可以考虑线面垂直的性质定理，利用已知的垂直关系构造线面垂直，关键是确定与要证明的两条直线都垂直的平面． (2)注意线面垂直性质定理的推论的应用，利用平行关系转化为垂直关系，或将垂直关系转化为平行关系． [变式训练] 1.如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交． 求证：EF∥BD1. 证明：连接AB1，B1C，BD，B1D1，如图所示．因为DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以DD1⊥AC.又因为AC⊥BD，BD∩DD1＝D，所以AC⊥平面BDD1B1，所以AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，所以BD1⊥平面AB1C.因为EF⊥A1D，且A1D∥B1C，所以EF⊥B1C.又因为EF⊥AC，AC∩B1C＝C，所以EF⊥平面AB1C，所以EF∥BD1. 空间中的距离问题 　如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长AB＝4，BC＝3，AA1＝2. (1)求直线A1B1到平面AC的距离． (2)求直线B1C1到平面A1BCD1的距离． [思路点拨]　(1)把线面距离转化为点面距离． (2)利用等面积法求解． [解]　(1)A1B1到平面AC的距离就是点A1到平面AC的长度AA1，因为AA1＝2，所以直线A1B1到平面AC的距离为2. (2)如图，从B1向A1B引垂线交A1B于E，由长方体的垂直关系可知A1D1⊥平面ABB1A1，因为B1E⊂平面ABB1A1，所以B1E⊥A1D1，因为B1E⊥A1B，且A1D1∩A1B＝A1，所以B1E⊥平面A1BCD1，所以直线B1C1到平面A1BCD1的距离就是点B1到平面A1BCD1的距离，即B1E的长．在Rt△A1BB1中，由等面积法可得，A1B1·B1B＝A1B·B1E，所以×4×3＝××B1E，解得B1E＝.所以直线B1C1到平面A1BCD1的距离为. 空间中距离的转化 (1)利用线面、面面平行转化：利用线面距离、面面距离的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离． (2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离． (3)通过换底转化：一是直线换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高． [变式训练] 2．如图，已知在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点， 求直线AC1到平面BDE的距离． 解：如图，连接AC交BD于点O，连接OE，∵AB＝2，∴AC＝2.又CC1＝2，∴AC＝CC1.作CH⊥AC1于点H，交OE于点M.由OE为△ACC1的中位线知， CM⊥OE，M为CH的中点．由BD⊥AC，CE⊥BD知，BD⊥平面EOC，∴CM⊥BD，∴CM⊥平面BDE.∴HM为直线AC1到平面BDE的距离．又△ACC1为等腰直角三角形，∴CH＝2，∴HM＝1.即直线AC1到平面BDE的距离为1. 1．在空间中，下列说法正确的是(　　) ①平行于同一条直线的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③平行于同一个平面的两条直线互相平行； ④垂直于同一个平面的两条直线互相平行． A．② B．①④ C．①③ D．①②③④ 解析：B　[②中两直线可能相交、平行或异面，③中两直线可能相交、平行或异面．] 2.如图，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，AC与BD相交于点O，下列结论中不一定正确的是(　　) A．PB⊥BC B．PD⊥CD C．PO⊥BD D．PA⊥BD 解析：C　[易证BC⊥平面PBA，CD⊥平面PDA，∴BC⊥PB，CD⊥PD，∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，所以A，B，D正确，C错误．] 3.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC，则MN与AD1的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 解析：A　[因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1 D.又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.] 4．在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线BB1到平面ACC1A1的距离是　________　. 解析：连接BD，交AC于E.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1∥AA1，AA1⊂平面ACC1A1，所以BB1∥平面ACC1A1.又因为BB1⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以BB1⊥BE.又BE⊥AC，所以BE为直线BB1到平面ACC1A1的距离．因为AB＝a，所以BE＝BD＝×a＝a. 答案：a 学科网（北京）股份有限公司 $$第2课时 直线与平面垂直（二） 第五章　立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第五章 立体几何 数学基础模块（RJ） 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 　 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 　 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第五章 立体几何 课程标准 素养解读 1.掌握直线与平面垂直的性质定理，并能解决有关线面垂直的问题． 2．了解点到平面距离、直线到平面距离、平面到平面距离的含义，并能求解空间距离. 1.通过线面垂直的性质的应用，提升直观想象和逻辑推理等核心素养． 2．通过距离的运算，提升数学运算和直观想象等核心素养. 如图是马路旁的路灯灯柱，若将灯柱看作一条直线，地面看作平面，请思考下面的问题． (1)灯柱所在直线与地面所在平面有何位置关系？ (2)灯柱所在的直线间是什么位置关系？ [知识点一]　直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线　平行　 符号语言 图形语言 作用 ①线面垂直⇒线线平行，②作平行线 [知识点二]　线面距与面面距 1．一条直线与一个平面平行时，这条直线上　任意一点　到这个平面的距离都是相等的，这个距离称为这条直线到这个平面的距离． 2．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的　任意一点　到另一个平面的距离 都相等 我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 是不是任意的直线与平面、平面与平面间都有距离？ 提示：不是，只有当直线与平面平行，平面与平面平行时才涉及距离问题． 1．从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．异面 D．相交或平行 解析：B　[由直线与平面垂直的性质定理可知，这条垂线与圆柱的母线所在直线平行．] 2．直线n⊥平面α，n∥l，直线m⊂α，则l，m的位置关系是(　　) A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 解析：D　[由题意可知l⊥α，所以l⊥m.] 3．下列说法正确的是(　　) A．一条直线平行于平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面 B．一条直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面 C．同平行于一个平面的两条直线平行 D．同垂直于一个平面的两条直线平行 解析：D　[一条直线平行于平面内的一条直线，这条直线也可能在平面内，A错误；一条直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线可能与平面相交，也有可能在这个平面内，B错误；同平行于一个平面的两条直线也可能相交、异面，C错误．] 线面垂直的性质定理的应用 　如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC. 求证：AE∥MN. [思路点拨]　证明AE⊥平面PCD，MN⊥平面PC D. 证明：∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，∴AE⊥AB.又∵AB∥CD，∴AE⊥CD.∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.又∵CD∩PD＝D，CD⊂平面PCD，PD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PC D.∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，∴MN⊥平面PCD.∴AE∥MN. 关于线面垂直性质定理的应用 (1)在证明与垂直相关的平行问题时，可以考虑线面垂直的性质定理，利用已知的垂直关系构造线面垂直，关键是确定与要证明的两条直线都垂直的平面． (2)注意线面垂直性质定理的推论的应用，利用平行关系转化为垂直关系，或将垂直关系转化为平行关系． [变式训练] 1.如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交． 求证：EF∥BD1. 证明：连接AB1，B1C，BD，B1D1，如图所示．因为DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以DD1⊥AC.又因为AC⊥BD，BD∩DD1＝D，所以AC⊥平面BDD1B1，所以AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，所以BD1⊥平面AB1C.因为EF⊥A1D，且A1D∥B1C，所以EF⊥B1C.又因为EF⊥AC，AC∩B1C＝C，所以EF⊥平面AB1C，所以EF∥BD1. 空间中的距离问题 　如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长AB＝4， BC＝3，AA1＝2. (1)求直线A1B1到平面AC的距离． (2)求直线B1C1到平面A1BCD1的距离． [思路点拨]　(1)把线面距离转化为点面距离． (2)利用等面积法求解． [解]　(1)A1B1到平面AC的距离就是点A1到平面AC的长度AA1，因为AA1＝2，所以直线A1B1到平面AC的距离为2. (2)如图，从B1向A1B引垂线交A1B于E，由长方体的垂直关系可知A1D1⊥平面ABB1A1，因为B1E⊂平面ABB1A1，所以B1E⊥A1D1，因为B1E⊥A1B，且A1D1∩A1B＝A1，所以B1E⊥平面A1BCD1，所以直线B1C1到平面A1BCD1的距离就是点B1到平面A1BCD1的距离，即B1E的长．在Rt△A1BB1中，由等面积法可得，eq \f(1,2)A1B1·B1B＝eq \f(1,2)A1B·B1E，所以eq \f(1,2)×4×3＝eq \f(1,2)×eq \r(32＋42)×B1E，解得B1E＝eq \f(12,5).所以直线B1C1到平面A1BCD1的距离为eq \f(12,5). 空间中距离的转化 (1)利用线面、面面平行转化：利用线面距离、面面距离的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离． (2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离． (3)通过换底转化：一是直线换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高． [变式训练] 2．如图，已知在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2eq \r(2)，E为CC1的中点， 求直线AC1到平面BDE的距离． 解：如图，连接AC交BD于点O，连接OE，∵AB＝2，∴AC＝2eq \r(2).又CC1＝2eq \r(2)，∴AC＝CC1.作CH⊥AC1于点H，交OE于点M.由OE为△ACC1的中位线知， CM⊥OE，M为CH的中点．由BD⊥AC，CE⊥BD知，BD⊥平面EOC，∴CM⊥BD，∴CM⊥平面BDE.∴HM为直线AC1到平面BDE的距离．又△ACC1为等腰直角三角形，∴CH＝2，∴HM＝1.即直线AC1到平面BDE的距离为1. 1．在空间中，下列说法正确的是(　　) ①平行于同一条直线的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③平行于同一个平面的两条直线互相平行； ④垂直于同一个平面的两条直线互相平行． A．② B．①④ C．①③ D．①②③④ 解析：B　[②中两直线可能相交、平行或异面，③中两直线可能相交、平行或异面．] 2.如图，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，AC与BD相交于点O，下列结论中不一定正确的是(　　) A．PB⊥BC B．PD⊥CD C．PO⊥BD D．PA⊥BD 解析：C　[易证BC⊥平面PBA，CD⊥平面PDA，∴BC⊥PB，CD⊥PD，∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，所以A，B，D正确，C错误．] 3.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC，则MN与AD1的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 解析：A　[因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1 D.又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.] 4．在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线BB1到平面ACC1A1的距离是　________　. 解析：连接BD，交AC于E.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1∥AA1，AA1⊂平面ACC1A1，所以BB1∥平面ACC1A1.又因为BB1⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以BB1⊥BE.又BE⊥AC，所以BE为直线BB1到平面ACC1A1的距离．因为AB＝a，所以BE＝eq \f(1,2)BD＝eq \f(1,2)×eq \r(2)a＝eq \f(\r(2),2)a. 答案：eq \f(\r(2),2)a $$