3.4.3 中点公式和距离公式（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块同步教案（人教版2021）

对应学生课时P226 [基础过关] 1．已知点A(－2,0)，B(0,6)，则线段AB的中点坐标为(　　) A．(－1,3) B．(－2,6) C．(2，－6) D．(2,3) 解析：A　[AB的中点坐标为，即(－1,3)．] 2．若a＝(7，－2)，b＝(4,2)，则|a－b|＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：A　[由题意得a－b＝(7－4，－2－2)＝(3，－4)，所以|a－b|＝＝5.] 3．已知a＝(2,2)，b＝(3,2)，则|a＋2b|＝(　　) A．10 B．2 C. D．12 解析：A　[a＋2b＝(2,2)＋(6,4)＝(8,6)，|a＋2b|＝＝10.] 4. 已知a＝(－2,5)，b＝(x，－5)，且a∥b，则|b|＝(　　) A．4 B．5 C. D. 解析：D　[由题意得(－2)×(－5)－5x＝0，解得x＝2，所以|b|＝＝.] 5．若a＝(2,1)，b＝(1，－1)，则〈a，b〉是(　　) A．锐角 B．直角 C．钝角 D．平角 解析：A　[因为a·b＝2×1＋1×(－1)＝1>0，所以cos〈a，b〉>0.又2×(－1)－|x|＝－3≠0，所以a，b不共线，从而〈a，b〉是锐角．] 6．若a＝，b＝，则〈a，b〉＝　________　. 解析：因为cos〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝60°. 答案：60° 7．若向量a的始点为A(－2,4)，终点为B(2,1)，则：向量a的模长为　________　； 解析：(1)∵a＝＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)，∴|a|＝＝5. 答案：5 8．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝　________　. 解析：由⇒⇒∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)．∴|a＋b|＝. 答案： 9．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(c－b)·a＝，求a与c的夹角(　　) 解：由a·b＝－10，得(c－b)·a＝c·a－b·a＝c·a＋10＝，∴c·a＝－.设a与c的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°. [能力提升] 10．已知线段AB的端点A(2,5)及中点O(1,3)，则点B的坐标为(　　) A．(2,4) B．(0,1) C．(3,2) D．(3,10) 解析：B　[设B(x，y)，则有＝1，＝3，解得x＝0，y＝1.] 11．已知a＝(1,0)，b＝，则〈a，b〉＝(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° 解析：C　[由题意得cos〈a，b〉＝ ＝＝，所以〈a，b〉＝60°.] 12．若向量a＝(2sin θ，2cos θ)，则|a|＝(　　) A．8 B．4 C．2 D．1 解析：C　[由题意可得|a|＝] 13．已知点A(0,1)，B(1，－2)，向量＝(4，－1)，则||＝　________　. 解析：设C(x，y)，因为点A(0,1)，向量＝(4，－1)，所以＝(x，y－1)＝(4，－1)，所以解得x＝4，y＝0，所以C(4,0)，所以＝(3,2)，||＝＝. 答案： 14．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于(　　) A．4 B．2 C．8 D．8 解析：D　[易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，所以|c|＝＝8.] 15．已知向量a＝，b＝(－2,0)． (1)求a－b的坐标以及a－b与a之间的夹角； (2)当t∈[－1,1]时，求|a－tb|2的取值范围． 解：(1)因为向量a＝，b＝(－2,0)，所以a－b＝－(－2,0)＝，所以cos〈a－b，a〉＝＝＝.因为〈a－b，a〉∈[0，π]，所以向量a－b与a的夹角为. (2)|a－tb|2＝a2－2ta·b＋t2b2 学科网（北京）股份有限公司 $$3.4　平面向量的直角坐标及其应用 3.4.3 　中点公式和距离公式 第三章　平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第三章 平面向量 数学基础模块（RJ） 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 　 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 课程标准 素养解读 1.掌握向量中点的坐标表示． 2．会利用向量内积的坐标运算与度量公式解决有关长度、角度等问题. 1.通过内积求模长、夹角的坐标表示，主要培养逻辑推理核心素养． 2．通过向量中点的坐标运算及应用，主要提升数学运算核心素养. 已知两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则|a|，|b|分别用坐标怎样表示？ [知识点一]　中点坐标公式 若点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，设线段AB的中点M(x，y)，则x＝　eq \f(x1＋x2,2)　，y＝　eq \f(y1＋y2,2)　.简称为中点公式． [知识点二]　距离公式 1．向量模长公式：设a＝(x，y)，则|a|＝　eq \r(x2＋y2)　. 2．两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝　eq \r(x2－x12＋y2－y12)　. [知识点三]　向量的夹角公式 向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ ＝　eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))　. 1．已知A(7，－2)，B(－1,3)，则线段AB的中点坐标为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，－\f(3,2))) C．(4,1) D．(3,2) 解析：A　[设中点坐标为(x，y)，则x＝eq \f(7－1,2)＝3，y＝eq \f(－2＋3,2)＝eq \f(1,2).∴线段AB的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,2))).] 2．已知向量a＝(－2，－1)，则|a|为(　　) A．5 B.eq \r(5) C.eq \r(3) D．4 解析：B　[|a|＝eq \r(－22＋－12)＝eq \r(5).] 3．已知点A(2,6)，点B(1,3)，则线段AB两点间的距离为(　　) A．5 B．10 C.eq \r(7) D.eq \r(10) 解析：D　[∵A(2,6)，B(1,3)，∴|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝eq \r(1－22＋3－62)＝eq \r(1＋9)＝eq \r(10).] 中点坐标公式 　求点A(－2,3)关于点M(1,1)的对称点A′的坐标． [思路点拨]　点M是A，A′的中点，直接利用中点坐标公式求解． [解]　设点A′的坐标为(x，y)，由中点公式知：eq \f(－2＋x,2)＝1，eq \f(3＋y,2)＝1.解得x＝4，y＝－1，所以点A′的坐标为(4，－1)． 点A关于点M的对称点为A′，则点M是线段AA′的中点，从而把对称问题转化为中点问题． [变式训练] 1．已知A，B 两点的坐标，求线段AB的中点坐标： (1)A(0，－4)，B(5,0) (2)A(－2,0)，B(5,0) (3)A(－1,5)，B(－11,9) 解析：(1)线段AB的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0＋5,2)，\f(－4＋0,2)))，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－2)) (2)线段AB的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2＋5,2)，\f(0＋0,2)))，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0)) (3)线段AB的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1－11,2)，\f(5＋9,2)))，即(－6,7)． 利用坐标运算解决向量模长问题 　(1)已知向量a＝(－2，－1)，b＝(2，－4)．求|a|－|b|，|a－b|； (2)已知A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，求|2eq \o(AB,\s\up16(→))|＋|eq \o(AC,\s\up16(→))|，|2eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))|. [思路点拨]　(1)利用公式|a|＝eq \r(x2＋y2)求解． (2)利用公式|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12)求解． [解]　(1)|a|＝eq \r(－22＋－12)＝eq \r(5)， |b|＝eq \r(22＋－42)＝2eq \r(5)， 所以|a|－|b|＝eq \r(5)－2eq \r(5)＝－eq \r(5)；因为a－b＝(－4,3)，所以|a－b|＝eq \r(－42＋32)＝5. (2)因为A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，所以|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝eq \r(0－12＋1－02)＝eq \r(2).|eq \o(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(2－12＋5－02)＝eq \r(26)，所以|2eq \o(AB,\s\up16(→))|＋|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝2|eq \o(AB,\s\up16(→))|＋|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝2eq \r(2)＋eq \r(26)；因为eq \o(AB,\s\up16(→))＝(－1,1).eq \o(AC,\s\up16(→))＝(1,5)，则2eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))＝2(－1,1)＋(1,5)＝(－1,7)．所以|2eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))|＝eq \r(－12＋72)＝eq \r(50)＝5eq \r(2). 求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算 利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算 若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是|a|＝eq \r(x2＋y2). [变式训练] 2．已知a＝(4，－3)，b＝(1,2)，求|a|，|a＋b|，|a－2b|. 解：|a|＝eq \r(42＋－32)＝5； ∵a＋b＝(4，－3)＋(1,2)＝(5，－1)， ∴|a＋b|＝eq \r(52＋－12)＝eq \r(26)； ∵a－2b＝(4，－3)－2(1,2)＝(2，－7) ∴|a－2b|＝eq \r(22＋－72)＝eq \r(53). 利用平面向量的坐标解决夹角问题 　已知向量a＝(1，－3)，b＝(2，－6)求a·b，|a|，|b|，cos〈a，b〉，〈a，b〉． [思路点拨]　利用公式逐一求解． [解]　a·b＝1×2＋(－3)×(－6)＝20. |a|＝eq \r(12＋－32)＝eq \r(10). |b|＝eq \r(22＋－62)＝2eq \r(10). cos〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(20,\r(10)·2\r(10))＝1，〈a，b〉＝0°. 因为两个非零向量a，b的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)来判断，可将θ分五种情况：cos θ＝1，θ＝0°；cos θ＝0，θ＝90°；cos θ＝－1，θ＝180°；cos θ<0，且cos θ≠－1，θ为钝角；cos θ>0，且cos θ≠1，θ为锐角． [变式训练] 3．已知向量a＝(3,4)，b＝(－2,1)，求a·b，|a||b|，cos〈a，b〉． 解：a·b＝3×(－2)＋4×1＝－2. |a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(32＋42)＝5.同理，|b|＝eq \r(－22＋12)＝eq \r(5).cos〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－2,5×\r(5))＝－eq \f(2\r(5),25). 1．已知点A(7,2)，B(1,4)，则线段AB的中点坐标为(　　) A．(3,1) B．(4,3) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)) D．(－3,4) 解析：B　[线段AB的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7＋1,2)，\f(2＋4,2)))即(4,3)．] 2．已知向量a＝(3,4)，则|a|＝(　　) A．25 B.eq \r(7) C．5 D.eq \r(17) 解析：C　[|a|＝eq \r(32＋42)＝5.] 3．已知点A(1,2)，B(2,3)，则AB两点间的距离为(　　) A.eq \r(2) B.eq \r(7) C．2 D.eq \r(3) 解析：A　[|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝eq \r(2－12＋3－22)＝eq \r(1＋1)＝eq \r(2).] 4．已知向量a＝(12，－5)，向量b＝(4,3)，则cos〈a，b〉＝　________　. 解析：|a|＝eq \r(122＋－52)＝13. |b|＝eq \r(42＋32)＝5. a·b＝12×4＋(－5)×3＝33，∴cos〈a·b〉＝eq \f(a ·b,|a|·|b|)＝eq \f(33,13×5)＝eq \f(33,65). 答案：eq \f(33,65) $$ 3．4.3　中点公式和距离公式 课程标准 素养解读 1.掌握向量中点的坐标表示． 2．会利用向量内积的坐标运算与度量公式解决有关长度、角度等问题. 1.通过内积求模长、夹角的坐标表示，主要培养逻辑推理核心素养． 2．通过向量中点的坐标运算及应用，主要提升数学运算核心素养. 已知两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则|a|，|b|分别用坐标怎样表示？ [知识点一]　中点坐标公式 若点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，设线段AB的中点M(x，y)，则x＝　　，y＝　　.简称为中点公式． [知识点二]　距离公式 1．向量模长公式：设a＝(x，y)，则|a|＝　　. 2．两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝　　. [知识点三]　向量的夹角公式 向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ ＝　　. 1．已知A(7，－2)，B(－1,3)，则线段AB的中点坐标为(　　) A. B. C．(4,1) D．(3,2) 解析：A　[设中点坐标为(x，y)，则x＝＝3，y＝＝.∴线段AB的中点坐标为.] 2．已知向量a＝(－2，－1)，则|a|为(　　) A．5 B. C. D．4 解析：B　[|a|＝＝.] 3．已知点A(2,6)，点B(1,3)，则线段AB两点间的距离为(　　) A．5 B．10 C. D. 解析：D　[∵A(2,6)，B(1,3)，∴||＝＝＝.] 　中点坐标公式 　求点A(－2,3)关于点M(1,1)的对称点A′的坐标． [思路点拨]　点M是A，A′的中点，直接利用中点坐标公式求解． [解]　设点A′的坐标为(x，y)，由中点公式知：＝1，＝1.解得x＝4，y＝－1，所以点A′的坐标为(4，－1)． 点A关于点M的对称点为A′，则点M是线段AA′的中点，从而把对称问题转化为中点问题． [变式训练] 1．已知A，B 两点的坐标，求线段AB的中点坐标： (1)A(0，－4)，B(5,0) (2)A(－2,0)，B(5,0) (3)A(－1,5)，B(－11,9) 解析：(1)线段AB的中点坐标为，即 (2)线段AB的中点坐标为，即 (3)线段AB的中点坐标为，即(－6,7)． 　利用坐标运算解决向量模长问题 　(1)已知向量a＝(－2，－1)，b＝(2，－4)．求|a|－|b|，|a－b|； (2)已知A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，求|2|＋||，|2＋|. [思路点拨]　(1)利用公式|a|＝求解． (2)利用公式||＝求解． [解]　(1)|a|＝＝， |b|＝＝2， 所以|a|－|b|＝－2＝－；因为a－b＝(－4,3)，所以|a－b|＝＝5. (2)因为A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，所以||＝＝.||＝ ＝，所以|2|＋||＝2||＋||＝2＋；因为＝(－1,1).＝(1,5)，则2＋＝2(－1,1)＋(1,5)＝(－1,7)．所以|2＋|＝＝＝5. 求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算 利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算 若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是|a|＝. [变式训练] 2．已知a＝(4，－3)，b＝(1,2)，求|a|，|a＋b|，|a－2b|. 解：|a|＝＝5； ∵a＋b＝(4，－3)＋(1,2)＝(5，－1)， ∴|a＋b|＝＝； ∵a－2b＝(4，－3)－2(1,2)＝(2，－7) ∴|a－2b|＝＝. 　　利用平面向量的坐标解决夹角问题 　已知向量a＝(1，－3)，b＝(2，－6)求a·b，|a|，|b|，cos〈a，b〉，〈a，b〉． [思路点拨]　利用公式逐一求解． [解]　a·b＝1×2＋(－3)×(－6)＝20. |a|＝＝. |b|＝＝2. cos〈a，b〉＝＝＝1，〈a，b〉＝0°. 因为两个非零向量a，b的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cos θ＝来判断，可将θ分五种情况：cos θ＝1，θ＝0°；cos θ＝0，θ＝90°；cos θ＝－1，θ＝180°；cos θ<0，且cos θ≠－1，θ为钝角；cos θ>0，且cos θ≠1，θ为锐角． [变式训练] 3．已知向量a＝(3,4)，b＝(－2,1)，求a·b，|a||b|，cos〈a，b〉． 解：a·b＝3×(－2)＋4×1＝－2. |a|＝＝＝5.同理，|b|＝＝.cos〈a，b〉＝＝＝－. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知点A(7,2)，B(1,4)，则线段AB的中点坐标为(　　) A．(3,1) B．(4,3) C. D．(－3,4) 解析：B　[线段AB的中点坐标为即(4,3)．] 2．已知向量a＝(3,4)，则|a|＝(　　) A．25 B. C．5 D. 解析：C　[|a|＝＝5.] 3．已知点A(1,2)，B(2,3)，则AB两点间的距离为(　　) A. B. C．2 D. 解析：A　[||＝＝＝.] 4．已知向量a＝(12，－5)，向量b＝(4,3)，则cos〈a，b〉＝　________　. 解析：|a|＝＝13. |b|＝＝5. a·b＝12×4＋(－5)×3＝33，∴cos〈a·b〉＝＝＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$