3.4.2 平面向量平行和垂直的坐标表示（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块同步教案（人教版2021）

3.4　平面向量的直角坐标及其应用 3.4.2 　平面向量平行和垂直的坐标表示 第三章　平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第三章 平面向量 数学基础模块（RJ） 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 　 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 课程标准 素养解读 会用向量的坐标形式进行向量运算，判定两个向量平行或垂直. 通过向量坐标解决有关向量共线、垂直等问题，逐步提升直观想象、数学运算和数学抽象等核心素养. 对于向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当a∥b，或a⊥b时，是否可以用坐标表示？如何表示呢？ [知识点一]　平面向量平行的坐标表示 对于任意向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，都有a∥b⇔　x1y2－y1x2＝0　 当b＝0时，上述式子还成立吗？ 提示：成立． [知识点二]　平面向量垂直的坐标表示 对于非零向量a，b，如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有a⊥b⇔　x1x2＋y1y2　＝0. 1．下列各组向量中，共线的是(　　) A．a＝(－2,3)，b＝(4,6) B．a＝(2,3)，b＝(3,2) C．a＝(1，－2)，b＝(7,14) D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4) 解析：D　[A中－2×6－3×4≠0；B中3×3－2×2≠0；C中1×14－(－2)×7≠0；D中(－3)×(－4)－2×6＝0.] 2．已知a＝(2，－1)，b＝(3，m)，若2a∥b，则m的值为(　　) A．3 B．－3 C.eq \f(3,2) D．－eq \f(3,2) 解析：D　[由2a∥b得a∥b，故而2m－(－1)×3＝0，解得m＝－eq \f(3,2).] 3．若a＝(－2,3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m＝(　　) A．－4 B．4 C．3 D．－3 解析：B　[由题意得－2×6＋3m＝0，所以m＝4.] 向量共线的坐标表示 角度一　向量共线的判定与证明 　已知a＝(1,0)，b＝(2,1)． (1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？ (2)若eq \o(AB,\s\up16(→))＝2a＋3b，eq \o(BC,\s\up16(→))＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值． [思路点拨]　利用平行的充要条件构造方程或方程组求解． [解]　(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－eq \f(1,2). (2)∵A，B，C三点共线，∴eq \o(AB,\s\up16(→))＝λeq \o(BC,\s\up16(→))，λ∈R，即2a＋3b＝λ(a＋mb)， 解得m＝eq \f(3,2). 向量共线的判定方法 若已知三点的坐标，判断其是否共线可采用以下方法： 任取两点构成向量，计算出两向量，如eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AC,\s\up16(→))，再通过两向量共线的条件进行判断． [变式训练] 1．(1)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(CD,\s\up16(→))是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？ (2)已知eq \o(OA,\s\up16(→))＝(3,4)，eq \o(OB,\s\up16(→))＝(7,12)，eq \o(OC,\s\up16(→))＝(9,16)，求证：A，B，C三点共线． 解：(1)eq \o(AB,\s\up16(→))＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，eq \o(CD,\s\up16(→))＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)． ∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(CD,\s\up16(→))共线．又eq \o(CD,\s\up16(→))＝－2eq \o(AB,\s\up16(→))， ∴eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(CD,\s\up16(→))方向相反．综上，eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(CD,\s\up16(→))共线且方向相反． (2)证明：因为eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))＝(4,8)，eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(OC,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))＝(6,12)，所以eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \f(3,2) eq \o(AB,\s\up16(→))，即eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(AC,\s\up16(→))共线．又eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AC,\s\up16(→))有公共点A，所以A，B，C三点共线． 向量垂直的坐标表示 　已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂直，求k的值． [思路点拨]　本题需要利用垂直条件a·b＝0⇔a⊥b. [解]　ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．又ka＋b与a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0.即(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0得k＝19. 两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)垂直的充要条件为x1x2＋y1y2＝0，注意构造方程． [变式训练] 2．判断下列各组向量是否垂直： (1)a＝(2，－3)，b＝(－6，－4)；(2)a＝(0，－1)，b＝(－1,2)． 解：(1)a·b＝2×(－6)＋(－3)×(－4)＝0，所以a⊥b. (2)a·b＝0×(－1)＋(－1)×2＝－2≠0，所以a与b不垂直． 1．已知a＝(2,4)与b＝(6，k)共线，则实数k＝(　　) A．8 B．9 C．10 D．12 解析：D　[由题意得2k－4×6＝0，解得k＝12.] 2．已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，则“x＝2”是a∥b的(　　) A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：C　[由x＝2得1×4－2x＝0，得a∥b，又由a∥b可得1×4－2x＝0，得x＝2.] 3.已知a＝(x,4)，b＝(4，－1)，a⊥b，则x＝(　　) A．2 B．－2 C．1 D．－1 解析：C　[由题意得4x＋4×(－1)＝0故x＝1.] 4．已知向量a＝(2x＋1,4)，b＝(2－x,3)，若a∥b，则实数x的值等于　________　. 解析：由a∥b，得3(2x＋1)＝4(2－x)，解得x＝eq \f(1,2). 答案：eq \f(1,2) $$ 3．4.2　平面向量平行和垂直的坐标表示 课程标准 素养解读 会用向量的坐标形式进行向量运算，判定两个向量平行或垂直. 通过向量坐标解决有关向量共线、垂直等问题，逐步提升直观想象、数学运算和数学抽象等核心素养. 对于向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当a∥b，或a⊥b时，是否可以用坐标表示？如何表示呢？ [知识点一]　平面向量平行的坐标表示 对于任意向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，都有a∥b⇔　x1y2－y1x2＝0　 当b＝0时，上述式子还成立吗？ 提示：成立． [知识点二]　平面向量垂直的坐标表示 对于非零向量a，b，如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有a⊥b⇔　x1x2＋y1y2　＝0. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．下列各组向量中，共线的是(　　) A．a＝(－2,3)，b＝(4,6) B．a＝(2,3)，b＝(3,2) C．a＝(1，－2)，b＝(7,14) D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4) 解析：D　[A中－2×6－3×4≠0；B中3×3－2×2≠0；C中1×14－(－2)×7≠0；D中(－3)×(－4)－2×6＝0.] 2．已知a＝(2，－1)，b＝(3，m)，若2a∥b，则m的值为(　　) A．3 B．－3 C. D．－ 解析：D　[由2a∥b得a∥b，故而2m－(－1)×3＝0，解得m＝－.] 3．若a＝(－2,3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m＝(　　) A．－4 B．4 C．3 D．－3 解析：B　[由题意得－2×6＋3m＝0，所以m＝4.] 　向量共线的坐标表示 角度一　向量共线的判定与证明 　已知a＝(1,0)，b＝(2,1)． (1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？ (2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值． [思路点拨]　利用平行的充要条件构造方程或方程组求解． [解]　(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－. (2)∵A，B，C三点共线，∴＝λ，λ∈R，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，∴解得m＝. 向量共线的判定方法 若已知三点的坐标，判断其是否共线可采用以下方法： 任取两点构成向量，计算出两向量，如，，再通过两向量共线的条件进行判断． [变式训练] 1．(1)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？ (2)已知＝(3,4)，＝(7,12)，＝(9,16)，求证：A，B，C三点共线． 解：(1)＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)， ＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)． ∵(－2)×(－6)－3×4＝0， ∴，共线．又＝－2，∴，方向相反．综上，与共线且方向相反． (2)证明：因为＝－＝(4,8)，＝－＝(6,12)，所以＝，即与共线． 又，有公共点A，所以A，B，C三点共线． 　向量垂直的坐标表示 　已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂直，求k的值． [思路点拨]　本题需要利用垂直条件a·b＝0⇔a⊥b. [解]　ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．又ka＋b与a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0.即(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0得k＝19. 两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)垂直的充要条件为x1x2＋y1y2＝0，注意构造方程． [变式训练] 2．判断下列各组向量是否垂直： (1)a＝(2，－3)，b＝(－6，－4)；(2)a＝(0，－1)，b＝(－1,2)． 解：(1)a·b＝2×(－6)＋(－3)×(－4)＝0，所以a⊥b. (2)a·b＝0×(－1)＋(－1)×2＝－2≠0，所以a与b不垂直． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知a＝(2,4)与b＝(6，k)共线，则实数k＝(　　) A．8 B．9 C．10 D．12 解析：D　[由题意得2k－4×6＝0，解得k＝12.] 2．已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，则“x＝2”是a∥b的(　　) A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：C　[由x＝2得1×4－2x＝0，得a∥b，又由a∥b可得1×4－2x＝0，得x＝2.]3.已知a＝(x,4)，b＝(4，－1)，a⊥b，则x＝(　　) A．2 B．－2 C．1 D．－1 解析：C　[由题意得4x＋4×(－1)＝0故x＝1.] 4．已知向量a＝(2x＋1,4)，b＝(2－x,3)，若a∥b，则实数x的值等于　________　. 解析：由a∥b，得3(2x＋1)＝4(2－x)，解得x＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 分层训蝽 课后·素养提升 高效提能 对应学生课时P225 [基础过关] 1.若a=(-2,1),b=m,-3),且a∥b,则m的值为() A.3 B.4 C.5 D.6 解析：D[由(-2)(-3)-m=0,得m=6] 2.已知平面内三点，A2,2),B1,3),C7,,满足BA⊥AC,则x的值为() A.3 B.6 C.7 D.9 解析：C[BA=(1,-1),AC=(5,x-2),因为BA⊥AC,所以有5+(-1)X(x-2)= 0,解得x=7] 3.已知a=(3,-2),b=(-2,-3),则a与b关系是() A.垂直 B.平行 C,相等 D.不确定 解析：A[因为3×(-2)+(-2)×(-3)=0，所以a⊥b」 4.已知A、B、C三点在一条直线上，且A3,一6，B(一5,2)，若C点的横坐标为6， 则C点的纵坐标为() A.-13 B.9 C,-9 D.13 解标C[设C点坐标为(6，)，则AB=(-8,8),AC=(3,y十OA、B、C三点共线， 3=+6 -88,y=-9] 5.△ABC的三个内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,设向量p=(a十c,b),q= (b,c-a.若p∥q,则角C的大小为() 2π A5 c D. 3 解折：C[p∥g,a+ee-o小-=0即c=a+:C-孕 6.已知a=(1,2),b=(-3,1),且(ka-b)∥(a一b),则k= 解析：ka-b=1,2)-(-3,1)=(k+3,2k-1),a-b=(4,1),因为二向量平行，所以(+ ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 3)-4(2k-1)=0,解得k=1 答案：1 7.已知向量a=(N3,1),b=(0,一1)，c=(k,V3),若a-2b与c共线，则k= 解析：a-2b=(W3,3),c=(k,V③，∴.(W3Y-3k=0,∴k=1 答案：1 8.若三点40，-3)，8，》 C1)共线，则x= 解折：：B=,引，衣=g-1.店∥花，7X4子X-1=0,x=9 答案：9 9.已知向量a=（1,2),b=(-3,2,当k为何值时，a+b与-2a一力平行？平行时它 们是同向还是反向？ a+=-2a一 a与b不共线 =-21, = 2 = k=土 2 当k=士 时，a十幼与-2a力平行，且它们是反向的。 [能力提升] 10.已知向量4=(2,3》，b=(-1,2),若ma+b与a-2b共线，则”等于() A月 B吃 C.-2 D.2 解析：A[由向量a=(23),b=(-1,2),得ma+nb=(2m-n,3m+2m),a-2b=(4,- 1月.由ma+b与a-2b共线，得2m”_3m+2, 4，行之及一—] 11.已知向量a=(化5)，b=(5,x),两向量方向相反，则x=() A.-5 B.5 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 C.-1 D.1 解析：A[2-52=0,x=+5.,a、b反向，x=-5] 12.已知a=(2,-1),b=,-5),且a⊥(a-b),则x值为() A.-5 B.0 C.32 D.5 解析：B[a-b=(2-x4),则有2(2-x)-4=0,解得x=0.]13设向量a=(1,2),b= (2.3).若向量a+b与向量c=(-4,一7)共线，则1= 解折：“a+6=以+22+3到.c=(一4，-刀.42_2+3 -4-7 .1=2 答案：2 14.已知a=m,3),b=(-2,3),c=(9,n).若a∥b且b⊥c,则m+n= 解析a∥b,则m×(-3)一3×(-2)=0，所以m=2:又b1c,则(-2)×9+(-3)×n =0,所以n=-6,则m十n=一4 答案：-4 15.已知向量a=(1,2),b=(2,-2). (1)设c=4a+b,求(bca (②)若a十b与a垂直，求1的值： 解)图为a=(1,2),b=(2,-2).所以c=4a+b=(48)+(2,-2)=(6,6,所以bc=2×6 2X6=0,所以(bc)a=0. (2)a+h=(12)+12,-2) =(2+1,2-20,由于a+0与a垂直，所以2+1+20-20=0，所以1= ·独家授权侵权必究。