3.3 平面向量的内积 （PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块同步教案（人教版2021）

3.3　平面向量的内积 第三章　平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第三章 平面向量 数学基础模块（RJ） 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 　 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 课程标准 素养解读 1.了解向量内积的物理意义． 2．掌握向量的内积的定义． 3．会用内积的运算律和性质，解决模长、夹角、投影数量等问题. 1.通过向量内积的学习，主要培养数学抽象核心素养． 2．通过内积的运算律、性质的应用，主要提升数学运算核心素养. 物体在力的作用下，沿着力的方向移动了一段距离，就说力对物体做了功．如图所示，在拉力F的作用下，小车在水平方向上发生了位移s.设力F与位移s的夹角为θ，怎样计算力F对小车做的功呢？ [知识点一]　两向量的夹角 1.定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，规定0≤〈a，b〉≤π. 2．特例：(1)当〈a，b〉＝0时，向量a，b　同向　. (2)当〈a，b〉＝π时，向量a，b　反向　. (3)当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，向量a，b　垂直　，记作a⊥b. [知识点二]　向量内积的定义 条件 非零向量a与b，a与b的夹角为θ 结论 数量　|a||b|cos θ　叫向量a与b的数量积(或内积)． 记法 向量a与b的内积记作　a·b　，即　a·b＝|a||b|cos θ　 规定 零向量与任一向量的内积为　0　. [知识点三]　向量内积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 1．a·e＝e·a＝|a|cos θ. 2．a⊥b⇔　a·b　＝0. 3．当a与b同向时，a·b＝　|a||b|　；当a与b反向时，a·b＝　－|a||b|　.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝　eq \r(a·a)　. 4．|a·b|≤|a||b|. [知识点四]　向量内积的运算律 1．a·b＝b·a. 2．(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． 3．(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 1.向量的内积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？ 提示：内积的运算结果是实数，线性运算的结果是向量． 2．把“a·b”写成“ab”或“a×b”可以吗，为什么？ 提示：不可以，内积是两个向量之间的乘法，在书写时，一定要严格，必须写成“a·b”的形式． 1．给出下面的关系式： ①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.其中正确的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：C　[显然①②③正确；|a·b|≥a·b，故④错误；(a·b)2＝(|a|·|b|cos θ)2＝a2·b2cos 2θ，其中θ为a，b的夹角，故⑤错误．] 2．若|a|＝3，|b|＝4，〈a，b〉＝30°，则a·b＝(　　) A．6 B．6eq \r(3) C．12 D．12eq \r(3) 解析：B　[a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×4×cos 30°＝6eq \r(3).] 3．若a·a＝4，则|a|＝(　　) A．2 B．－2 C．4 D．－4 解析：A　[因为a·a＝4，所以|a|＝eq \r(a·a)＝2.] 平面向量内积的基本运算 　已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b. [思路点拨]　直接利用向量的内积公式求解． [解]　①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，∴a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18；若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，∴a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18；②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°，∴a·b＝0；③当a与b的夹角是60°时，有a·b＝|a||b|cos 60°＝3×6×eq \f(1,2)＝9. 求平面向量内积的步骤 (1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]； (2)分别求|a|和|b|； (3)求内积，即a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去． [变式训练] 1．(1)已知|a|＝2eq \r(2)，|b|＝4，〈a，b〉＝45°，求a·b的值． (2)已知|a|＝2，|b|＝5，〈a，b〉＝60°，求a·b的值． 解：(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2eq \r(2)×4×cos 45°＝8. (2)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2×5×cos 60°＝5. 向量模的有关计算 　(1)已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝(　　) A.eq \r(3) B．2eq \r(3) C．4 D．12 (2)若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝　________　. [思路点拨]　利用公式a2＝|a|2求解． [解]　(1)|a＋2b|＝eq \r(a＋2b2) ＝eq \r(a2＋4a·b＋4b2) ＝eq \r(|a|2＋4|a||b|cos 60°＋4|b|2) ＝eq \r(4＋4×2×1×\f(1,2)＋4)＝2eq \r(3). (2)由|a－b|＝5得(a－b)2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，结合|a|＝3，a·b＝1，得32－2×1＋|b|2＝25，所以|b|＝3eq \r(2). 答案：(1)B　(2)3eq \r(2) 求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量内积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝eq \r(a2)，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． [变式训练] 2．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，求|a－b|. 解：∵|a＋b|＝4，∴|a＋b|2＝42， ∴a2＋2a·b＋b2＝16.① ∵|a|＝2，|b|＝3，∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9. 代入①式得4＋2a·b＋9＝16，得2a·b＝3. 又∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4－3＋9＝10， ∴|a－b|＝eq \r(10). 向量的夹角与垂直问题 　(1)已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角． (2)已知向量a、b不共线，且|2a＋b|＝|a＋2b|，求证：(a＋b)⊥(a－b)． [思路点拨]　利用公式求解． (1)cos〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a|·|b|). (2)a⊥b⇔a·b＝0. [解]　(1)∵e1，e2为单位向量且夹角为60°， ∴e1·e2＝1×1×cos 60°＝eq \f(1,2).∵a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1) ＝－2－e1·e2＋1＝－2－eq \f(1,2)＋1＝－eq \f(3,2)， |a|＝eq \r(a2)＝eq \r(e1＋e22)＝eq \r(1＋2×\f(1,2)＋1)＝eq \r(3)， |b|＝eq \r(b2)＝eq \r(e2－2e12)＝eq \r(1＋4－4×\f(1,2))＝eq \r(3)， 设a，b的夹角为θ，则cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝－eq \f(3,2)×eq \f(1,\r(3)×\r(3))＝－eq \f(1,2). 又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.∴a与b的夹角为120°. (1)求向量夹角题应用内积的变形公式cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)，一般要求两个整体a·b，|a||b|，不方便求出的，可寻求两者关系，转化条件解方程组． (2)非零向量a⊥b⇔a·b＝0是非常重要的性质，它对于解决向量以及平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握． [变式训练] 3．已知a，b都是非零向量，a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角． 解析：设a，b的夹角为θ， ∵a＋3b垂直于7a－5b，a－4b垂直于7a－2b， ∴(a＋3b)·(7a－5b)＝0，(a－4b)·(7a－2b)＝0， 即7a2＋16a·b－15b2＝0，　　　　　　 ① 7a2－30a·b＋8b2＝0，　　　　　　 ② 由②－①得23b2－46a·b＝0，∴2a·b＝b2， 代入①得a2＝b2，∴|a|＝|b|.∴cos θ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(\f(1,2)b2,|b|2)＝eq \f(1,2)， ∴θ＝60°.即a与b的夹角为60°. 1．已知|a|＝3，|b|＝eq \r(2)，〈a，b〉＝45°，则a·b的值为(　　) A．－3 B．3 C．3eq \r(2) D．2eq \r(3) 解析：B　[a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×eq \r(2)×cos 45°＝3.] 2．已知a·b＝－6，|a||b|＝12，则cos〈a，b〉＝(　　) A．－2 B.eq \f(1,2) C．－eq \f(1,2) D．2 解析：C　[a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝12×cos〈a，b〉＝－6，所以cos〈a，b〉＝－eq \f(1,2).] 3．在△ABC中，若eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝0，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 解析：B　[因为eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝0，所以eq \o(AB,\s\up16(→))⊥eq \o(AC,\s\up16(→))，于是△ABC是直角三角形．] 4．若|a|＝3，|b|＝4，a·b＝12，则〈a，b〉＝　________　. 解析：因为cos〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(12,3×4)＝1， 所以〈a，b〉＝0°. 答案：0° $$ 3．3　平面向量的内积 课程标准 素养解读 1.了解向量内积的物理意义． 2．掌握向量的内积的定义． 3．会用内积的运算律和性质，解决模长、夹角、投影数量等问题. 1.通过向量内积的学习，主要培养数学抽象核心素养． 2．通过内积的运算律、性质的应用，主要提升数学运算核心素养. 物体在力的作用下，沿着力的方向移动了一段距离，就说力对物体做了功．如图所示，在拉力F的作用下，小车在水平方向上发生了位移s.设力F与位移s的夹角为θ，怎样计算力F对小车做的功呢？ [知识点一]　两向量的夹角 1.定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，规定0≤〈a，b〉≤π. 2．特例：(1)当〈a，b〉＝0时，向量a，b　同向　. (2)当〈a，b〉＝π时，向量a，b　反向　. (3)当〈a，b〉＝时，向量a，b　垂直　，记作a⊥b. [知识点二]　向量内积的定义 条件 非零向量a与b，a与b的夹角为θ 结论 数量　|a||b|cos θ　叫向量a与b的数量积(或内积)． 记法 向量a与b的内积记作　a·b　，即　a·b＝|a||b|cos θ　 规定 零向量与任一向量的内积为　0　. [知识点三]　向量内积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 1．a·e＝e·a＝|a|cos θ. 2．a⊥b⇔　a·b　＝0. 3．当a与b同向时，a·b＝　|a||b|　；当a与b反向时，a·b＝　－|a||b|　.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝　　. 4．|a·b|≤|a||b|. [知识点四]　向量内积的运算律 1．a·b＝b·a. 2．(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． 3．(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 1.向量的内积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？ 提示：内积的运算结果是实数，线性运算的结果是向量． 2．把“a·b”写成“ab”或“a×b”可以吗，为什么？ 提示：不可以，内积是两个向量之间的乘法，在书写时，一定要严格，必须写成“a·b”的形式． 1．给出下面的关系式： ①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.其中正确的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：C　[显然①②③正确；|a·b|≥a·b，故④错误；(a·b)2＝(|a|·|b|cos θ)2＝a2·b2cos 2θ，其中θ为a，b的夹角，故⑤错误．] 2．若|a|＝3，|b|＝4，〈a，b〉＝30°，则a·b＝(　　) A．6 B．6 C．12 D．12 解析：B　[a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×4×cos 30°＝6.] 3．若a·a＝4，则|a|＝(　　) A．2 B．－2 C．4 D．－4 解析：A　[因为a·a＝4，所以|a|＝＝2.] 　平面向量内积的基本运算 　已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b. [思路点拨]　直接利用向量的内积公式求解． [解]　①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，∴a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18；若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，∴a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18；②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°，∴a·b＝0；③当a与b的夹角是60°时，有a·b＝|a||b|cos 60°＝3×6×＝9. 求平面向量内积的步骤 (1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]； (2)分别求|a|和|b|； (3)求内积，即a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去． [变式训练] 1．(1)已知|a|＝2，|b|＝4，〈a，b〉＝45°，求a·b的值． (2)已知|a|＝2，|b|＝5，〈a，b〉＝60°，求a·b的值． 解：(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2×4×cos 45°＝8. (2)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2×5×cos 60°＝5. 　向量模的有关计算 　(1)已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝(　　) A. B．2 C．4 D．12 (2)若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝　________　. [思路点拨]　利用公式a2＝|a|2求解． [解]　(1)|a＋2b|＝ ＝ ＝ ＝＝2. (2)由|a－b|＝5得(a－b)2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，结合|a|＝3，a·b＝1，得32－2×1＋|b|2＝25，所以|b|＝3. 答案：(1)B　(2)3 求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量内积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． [变式训练] 2．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，求|a－b|. 解：∵|a＋b|＝4，∴|a＋b|2＝42， ∴a2＋2a·b＋b2＝16.① ∵|a|＝2，|b|＝3， ∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9. 代入①式得4＋2a·b＋9＝16，得2a·b＝3. 又∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4－3＋9＝10， ∴|a－b|＝. 　向量的夹角与垂直问题 　(1)已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角． (2)已知向量a、b不共线，且|2a＋b|＝|a＋2b|，求证：(a＋b)⊥(a－b)． [思路点拨]　利用公式求解． (1)cos〈a，b〉＝. (2)a⊥b⇔a·b＝0. [解]　(1)∵e1，e2为单位向量且夹角为60°， ∴e1·e2＝1×1×cos 60°＝. ∵a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1) ＝－2－e1·e2＋1＝－2－＋1＝－， |a|＝＝＝＝， |b|＝＝＝＝， 设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝－×＝－. 又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.∴a与b的夹角为120°. (2)证明∵|2a＋b|＝|a＋2b|， ∴(2a＋b)2＝(a＋2b)2.∴a2＝b2. ∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0. 又a与b不共线，a＋b≠0，a－b≠0， ∴(a＋b)⊥(a－b)． (1)求向量夹角题应用内积的变形公式cos θ＝，一般要求两个整体a·b，|a||b|，不方便求出的，可寻求两者关系，转化条件解方程组． (2)非零向量a⊥b⇔a·b＝0是非常重要的性质，它对于解决向量以及平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握．[变式训练] 3．已知a，b都是非零向量，a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角． 解析：设a，b的夹角为θ， ∵a＋3b垂直于7a－5b，a－4b垂直于7a－2b， ∴(a＋3b)·(7a－5b)＝0， (a－4b)·(7a－2b)＝0， 即7a2＋16a·b－15b2＝0，　　　　　　① 7a2－30a·b＋8b2＝0，　　　　　　② 由②－①得23b2－46a·b＝0，∴2a·b＝b2， 代入①得a2＝b2，∴|a|＝|b|. ∴cos θ＝＝＝，∴θ＝60°. 即a与b的夹角为60°. 1．已知|a|＝3，|b|＝，〈a，b〉＝45°，则a·b的值为(　　) A．－3 B．3 C．3 D．2 解析：B　[a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3××cos 45°＝3.] 2．已知a·b＝－6，|a||b|＝12，则cos〈a，b〉＝(　　) A．－2 B. C．－ D．2 解析：C　[a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝12×cos〈a，b〉＝－6，所以cos〈a，b〉＝－.] 3．在△ABC中，若·＝0，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 解析：B　[因为·＝0，所以⊥，于是△ABC是直角三角形．] 4．若|a|＝3，|b|＝4，a·b＝12，则〈a，b〉＝　________　. 解析：因为cos〈a，b〉＝＝＝1， 所以〈a，b〉＝0°. 答案：0° 学科网（北京）股份有限公司 $$ 对应学生课时P223 [基础过关] 1．两个非零向量夹角的范围是(　　) A．(0°，90°) B．[0°，90°) C．[0°，180°] D．(0°，180°) 解析：C　[依向量夹角的定义易知选C.] 2．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．0 解析：B　[因为|a|＝1，a·b＝－1， 所以a·(2a－b)＝2|a|2－a·b＝2×12－(－1)＝3.] 3．已知|a|＝3，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则|a＋b|＝(　　) A．5 B. C．7 D. 解析：B　[|a＋b|＝＝＝＝.] 4．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝，则a，b的夹角为(　　) A. B. C. D. 解析：A　[设a与b的夹角为θ，由题意得(3a－2b)2＝7，∴9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，又|a|＝|b|＝1，∴a·b＝，∴|a||b|cos θ＝，即cos θ＝.又θ∈[0，π]，∴a，b的夹角为.] 5．已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于(　　) A. B. C. D．4 解析：C　[易知|a|＝1，|b|＝1，a·b＝，∴|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝13，∴|a＋3b|＝.] 6．已知|a|＝3，|b|＝，〈a，b〉＝135°，则a·b的值为　________　. 解析：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3××cos 135°＝3×＝－3. 答案：－3 7．若|a|＝3，|b|＝4，a·b＝－12，则〈a，b〉＝　________　. 解析：因为cos〈a，b〉＝＝＝－1，所以〈a，b〉＝180°. 答案：180° 8．已知|a|＝4，|b|＝7，〈a，b〉＝60°，则(a＋2b)·(3a－b)＝　________　. 解析：(a＋2b)·(3a－b)＝3a·a－a·b＋6a·b－2b·b＝3|a|2＋5|a|·|b|cos〈a，b〉－2|b|2＝48＋70－98＝20. 答案：20 9.如图所示，在平行四边形ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°. 求：(1)·； (2)·； (3)·. 解：(1)·＝||2＝9. (2)·＝－||2＝－16. (3)·＝||||cos(180°－60°) ＝4×3×＝－6. [能力提升] 10．设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，则下列结论不正确的是(　　) A．a·c－b·c＝(a－b)·c B．(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直 C．|a|－|b|<|a－b| D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 解析：B　[根据向量积的分配律知A正确； 因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c ＝(b·c)·(a·c) －(c·a)·(b·c)＝0， 所以(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误；因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边，所以|a|－|b|<|a－b|成立，C正确；D正确．] 11．已知a，b是非零平面向量，a⊥(a＋b)，且a，b的夹角为，|b|＝4，则|a|＝(　　) A．1 B. C．2 D．2 解析：D　[∵a⊥(a＋b)，〈a，b〉＝，|b|＝4，∴a·(a＋b)＝|a|2－2|a|＝0，解得|a|＝2.] 12．已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·＝－36，则a与b的夹角为(　　) A．60° B．120° C．135° D．150° 解析：B　[设a与b的夹角为θ. 因为(3a)·＝－36， 所以3×a·b＝－36. 又|a|＝10，|b|＝12， 所以3××10×12cos θ＝－36， 所以cos θ＝－. 又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝120°.] 13．若|a|＝，则a·a＝　________　. 解析：a·a＝|a|2＝3.14.已知|a|＝6，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a与b的夹角为　________　. 解析：设a与b的夹角为θ，(a＋2b)·(a－3b) ＝a·a－3a·b＋2b·a－6b·b ＝|a|2－a·b－6|b|2 ＝|a|2－|a||b|cos θ－6|b|2 ＝62－6×4×cos θ－6×42＝－72， 所以24cos θ＝36＋72－96＝12， 所以cos θ＝.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝. 答案： 15．已知|a|＝1，|b|＝. (1)若a∥b，求a·b； (2)若a，b的夹角为60°，求|a＋b|； (3)若a－b与a垂直，求a与b的夹角． 解析：设向量a与b的夹角为θ. (1)当a，b同向，即θ＝0°时，a·b＝； 当a，b反向，即θ＝180°时，a·b＝－. (2)|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3＋， |a＋b|＝. (3)由(a－b)·a＝0，得a2＝a·b， cos θ＝＝，又0°≤θ≤180°，故θ＝45°. 学科网（北京）股份有限公司 $$