3.2.3 数乘向量（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块同步教案（人教版2021）

3．2.3　数乘向量 课程标准 素养解读 1.理解向量数乘的定义及几何意义． 2．掌握向量数乘的运算律，能够用已知向量表示未知向量． 3．掌握共线向量定理，会判断或证明两个向量共线. 1.通过向量数乘的定义、几何意义的学习，主要培养直观想象核心素养． 2．通过向量的线性运算，主要提升数学运算核心素养. 　在第28届奥运会上，刘翔以12.91s的成绩获得男子110 m跨栏比赛冠军，成为第一个获得径赛直道项目冠军的亚洲人．男子110 m跨栏，从第1栏到第9栏，每相邻两栏之间间隔9.14 m．记第1栏到第2栏的位移为s1，第1栏到第3栏的位移为s2，……，从第1栏到第9栏的位移为s8，如图所示．试问，位移s1，s2，…，s8，具有怎样的关系？ [知识点一]　数乘向量 定义 实数λ与向量a的积是一个　向量　 记法 Λa 长度 |λa|＝|λ||a| 方向 λ>0 λa的方向与a的方向　相同 λ<0 λa的方向与a的方向　相反　 几何 意义 λa中的实数λ是向量a的系数　 λ>0 λa可以看作是把向量a沿着a的方向扩大　|λ|　倍得到 λ<0 λa可以看作是把向量a沿着a的反方向缩小|λ|倍得到 [知识点二]　向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，则 1．λ(μa)＝　(λμ)a　； 2．(λ＋μ)a＝　λa＋μa　； 3．λ(a＋b)＝　λa＋λb　. 特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. [知识点三]　向量的线性运算 1．定义：向量的　加法　，　减法　，　数乘　向量以及它们的混合运算统称为向量的线性运算． 2．运算结果：向量线性运算的结果仍是　向量　. 3．运算律：对于任何向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝　λμ1a±λμ2b　. [知识点四]　共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使　b＝λa　. 1.实数与向量可以加减吗？ 提示：不可以． 2．向量数乘运算律与实数乘法运算律有什么关系？ 提示：两种运算律类似，(2)(3)式是向量因式不同的分配律． 3．共线向量定理中把“a≠0”去掉可以吗？ 提示：定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa. 1．－2a与a的方向(　　) A．相同 B．相反 C．相同或相反 D．不确定 解析：B　[∵λ＝－2<0，∴两向量方向相反．] 2．若t＝0，则ta＝(　　) A．0 B．0 C．a D．－a 解析：B　[0a＝0.] 3．已知λ＝3，|a|＝4，则|λa|＝(　　) A．3 B．4 C．12 D．以上都不对 解析：C　[|3a|＝3|a|＝3×4＝12.] 　向量的线性运算 　(1)化简； (2)(x＋y)(a＋b)－(x－y)(2a＋b)； (3)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)． [思路点拨]　此类问题只需利用向量数乘、加法、减法的运算律化简即得结果． [解]　(1)原式＝ ＝ ＝＝a－b. (2)原式＝[(x＋y)－2(x－y)]a＋[(x＋y)－(x－y)]b＝(3y－x)a＋2yb. (3)原式＝a－b－a＋b＋2b－a ＝a＋b ＝－a＋b ＝－(3i＋2j)＋(2i－j) ＝i＋j ＝－i－5j. 向量的线性运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形手段．[变式训练] 1．化简下列各式． (1)2(a＋3b)－4(a－b)； (2)－[6(a－3b)＋3a]－5b. 解：(1)原式＝2a＋6b－4a＋4b＝－2a＋10b. (2)原式＝－(9a－18b)－5b＝－3a＋b. 　向量共线问题 　判断下列向量是否共线． (1)a＝5e1，b＝－10e1； (2)a＝e1－e2，b＝3e1－2e2； (3)a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2. [思路点拨]　依据条件找出a与b存在倍数关系，然后利用共线向量基本定理求解． [解]　(1)因为b＝－2a，所以a与b共线． (2)因为a＝b，所以a与b共线． (3)设a＝λb，则e1＋e2＝λ(3e1－3e2)，所以(1－3λ)e1＝－(1＋3λ)e2.因为e1与e2是两个不共线向量，所以这样的λ不存在，因此a与b不共线． 判定向量共线的方法 向量共线的判定一般是用其判定定理，即a是一个非零向量，若存在实数λ，使b＝λa，则向量b与向量a共线．解题过程中，可以把两个向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，由此判定共线． [变式训练] 2．已知：＝a＋b，＝a－b，＝3a. 求证：与共线． 证明：＝＋＝a＋b＋a－b＝2 a，而＝3 a，∴＝，故与共线． 　三点共线问题 　已知非零向量e1，e2不共线． (1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2) 求证：A、B、D三点共线； (2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值． [思路点拨]　要求证三点共线，只需证明有公共点的两向量平行即可． [解]　(1)证明：因为＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5.所以，共线，且有公共点B，所以A，B，D三点共线． (2)因为ke1＋e2与e1＋ke2共线． 所以存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，只能有所以k＝±1. 三点共线的证明问题及求解思路 (1)证明三点共线，通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据． (2)若A，B，C三点共线，则向量，，在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系，而向量共线定理是实现线性关系的依据． [变式训练] 3．已知两个非零向量e1，e2不共线，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2.求证：A，B，D三点共线． 证明：因为＝＋＋＝(2e1＋3e2)＋(6e1＋23e2)＋(4e1－8e2)＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)，又＝2e1＋3e2，所以＝6.所以与共线．又因为AB，AD有公共点A，所以A，B，D三点共线． 　用已知向量表示未知向量 　如图所示，▱ABCD的两条对角线交于点M，且＝a，＝b，用a，b表示，，和. [思路点拨]　将，，，放在三角形中，然后利用平行四边形法则，三角形法则进行求解． [解析]　在▱ABCD中，∵＝＋＝a＋b，＝－＝a－b， ∴＝－＝－(a＋b)＝－a－b， ＝＝(a－b)＝a－b， ＝＝a＋b， ＝－＝－a＋b. 用已知向量表示未知向量的方法 (1)用已知向量表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则结合数乘定义，解题时要注意解题途径的优化与组合． (2)将向量c用a，b表示，常采用待定系数法，其基本思路是设c＝xa＋yb，其中x，y∈R，然后得到关于x，y的方程组求解．[变式训练] 4．如图所示，四边形ABCD是一个梯形，∥，||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝a，＝b，试用a，b表示，和. 解： 因为||＝2||，所以＝2，＝＝a.连接NC，则＝.在△BCN中，＝－＝b－a.在△CMN中，＝＋＝a－b. 1．下列四个命题： ①对于实数λ和向量x，y，恒有λ(x－y)＝λx－λy； ②对于实数λ，μ和向量x，恒有(λ－μ)x＝λx－μx； ③若λx＝λy(λ∈R，且λ≠0)，则x＝y； ④若λx＝μx(x≠0)，则λ＝μ 其中正确命题个数为(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：D　[由向量的线性运算法则知选D.] 2．4(a－b)－3(a＋b)－b等于(　　) A．a－2b B．a C．a－6b D．a－8b 解析：D　[原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b.] 3.点C在直线AB上，且＝3，则等于(　　) A．－2 B. C．－ D．2 解析：D　[如图，＝3，所以＝2.] 4．2a－(a＋b)＝　________　. 解析：2a－(a＋b)＝2a－a－b＝a－b. 答案：a－b 学科网（北京）股份有限公司 $$3.2　平面向量的线性运算 3.2.3 　数乘向量 第三章　平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第三章 平面向量 数学基础模块（RJ） 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 　 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 课程标准 素养解读 1.理解向量数乘的定义及几何意义． 2．掌握向量数乘的运算律，能够用已知向量表示未知向量． 3．掌握共线向量定理，会判断或证明两个向量共线. 1.通过向量数乘的定义、几何意义的学习，主要培养直观想象核心素养． 2．通过向量的线性运算，主要提升数学运算核心素养. 　在第28届奥运会上，刘翔以12.91s的成绩获得男子110 m跨栏比赛冠军，成为第一个获得径赛直道项目冠军的亚洲人．男子110 m跨栏，从第1栏到第9栏，每相邻两栏之间间隔9.14 m．记第1栏到第2栏的位移为s1，第1栏到第3栏的位移为s2，……，从第1栏到第9栏的位移为s8，如图所示．试问，位移s1，s2，…，s8，具有怎样的关系？ [知识点一]　数乘向量 定义 实数λ与向量a的积是一个　向量　 记法 Λa 长度 |λa|＝|λ||a| 方向 λ>0 λa的方向与a的方向　相同 λ<0 λa的方向与a的方向　相反　 几何 意义 λa中的实数λ是向量a的系数　 λ>0 λa可以看作是把向量a沿着a的方向扩大　|λ|　倍得到 λ<0 λa可以看作是把向量a沿着a的反方向缩小|λ|倍得到 [知识点二]　向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，则 1．λ(μa)＝　(λμ)a　； 2．(λ＋μ)a＝　λa＋μa　； 3．λ(a＋b)＝　λa＋λb　. 特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. [知识点三]　向量的线性运算 1．定义：向量的　加法　，　减法　，　数乘　向量以及它们的混合运算统称为向量的线性运算． 2．运算结果：向量线性运算的结果仍是　向量　. 3．运算律：对于任何向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝　λμ1a±λμ2b　. [知识点四]　共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使　b＝λa　. 3．共线向量定理中把“a≠0”去掉可以吗？ 提示：定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa. 1.实数与向量可以加减吗？ 提示：不可以． 2．向量数乘运算律与实数乘法运算律有什么关系？ 提示：两种运算律类似，(2)(3)式是向量因式不同的分配律． 1．－2a与a的方向(　　) A．相同 B．相反 C．相同或相反 D．不确定 解析：B　[∵λ＝－2<0，∴两向量方向相反．] 2．若t＝0，则ta＝(　　) A．0 B．0 C．a D．－a 解析：B　[0a＝0.] 3．已知λ＝3，|a|＝4，则|λa|＝(　　) A．3 B．4 C．12 D．以上都不对 解析：C　[|3a|＝3|a|＝3×4＝12.] 向量的线性运算 　(1)化简eq \f(2,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4a－3b＋\f(1,3)b－\f(1,4)6a－7b))； (2)(x＋y)(a＋b)－(x－y)(2a＋b)； (3)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a－b))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)b))＋(2b－a)． [思路点拨]　此类问题只需利用向量数乘、加法、减法的运算律化简即得结果． [解]　(1)原式＝eq \f(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4a－3b＋\f(1,3)b－\f(3,2)a＋\f(7,4)b)) ＝eq \f(2,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(3,2)))a＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3＋\f(1,3)＋\f(7,4)))b))＝eq \f(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)a－\f(11,12)b))＝eq \f(5,3)a－eq \f(11,18)b. (2)原式＝[(x＋y)－2(x－y)]a＋[(x＋y)－(x－y)]b＝(3y－x)a＋2yb. (3)原式＝eq \f(1,3)a－b－a＋eq \f(2,3)b＋2b－a ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－1－1))a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(2,3)＋2))b＝－eq \f(5,3)a＋eq \f(5,3)b ＝－eq \f(5,3)(3i＋2j)＋eq \f(5,3)(2i－j)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5＋\f(10,3)))i＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,3)－\f(5,3)))j ＝－eq \f(5,3)i－5j. 向量的线性运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形手段． [变式训练] 1．化简下列各式． (1)2(a＋3b)－4(a－b)； (2)－eq \f(1,3)[6(a－3b)＋3a]－5b. 解：(1)原式＝2a＋6b－4a＋4b＝－2a＋10b. (2)原式＝－eq \f(1,3)(9a－18b)－5b＝－3a＋b. 向量共线问题 　判断下列向量是否共线． (1)a＝5e1，b＝－10e1； (2)a＝eq \f(1,2)e1－eq \f(1,3)e2，b＝3e1－2e2； (3)a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2. [思路点拨]　依据条件找出a与b存在倍数关系，然后利用共线向量基本定理求解． [解]　(1)因为b＝－2a，所以a与b共线． (2)因为a＝eq \f(1,6)b，所以a与b共线． (3)设a＝λb，则e1＋e2＝λ(3e1－3e2)，所以(1－3λ)e1＝－(1＋3λ)e2.因为e1与e2是两个不共线向量，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－3λ＝0，,1＋3λ＝0.))这样的λ不存在，因此a与b不共线． 判定向量共线的方法 向量共线的判定一般是用其判定定理，即a是一个非零向量，若存在实数λ，使b＝λa，则向量b与向量a共线．解题过程中，可以把两个向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，由此判定共线． [变式训练] 2．已知：eq \o(AB,\s\up16(→))＝a＋b，eq \o(BC,\s\up16(→))＝a－b，eq \o(EF,\s\up16(→))＝3a. 求证：eq \o(AC,\s\up16(→))与eq \o(EF,\s\up16(→))共线． 证明：eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＝a＋b＋a－b＝2 a，而eq \o(EF,\s\up16(→))＝3 a，∴eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(EF,\s\up16(→))，故eq \o(AC,\s\up16(→))与eq \o(EF,\s\up16(→))共线． 三点共线问题 　已知非零向量e1，e2不共线． (1)如果eq \o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq \o(BC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq \o(CD,\s\up6(→))＝3(e1－e2) 求证：A、B、D三点共线； (2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值． [思路点拨]　要求证三点共线，只需证明有公共点的两向量平行即可． [解]　(1)证明：因为eq \o(AB,\s\up16(→))＝e1＋e2，eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5eq \o(AB,\s\up16(→)).所以eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(BD,\s\up16(→))共线，且有公共点B，所以A，B，D三点共线． (2)因为ke1＋e2与e1＋ke2共线． 所以存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，只能有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))所以k＝±1. 三点共线的证明问题及求解思路 (1)证明三点共线，通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据． (2)若A，B，C三点共线，则向量eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AC,\s\up16(→))，eq \o(BC,\s\up16(→))在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系，而向量共线定理是实现线性关系的依据 [变式训练] 3．已知两个非零向量e1，e2不共线，如果eq \o(AB,\s\up16(→))＝2e1＋3e2，eq \o(BC,\s\up16(→))＝6e1＋23e2，eq \o(CD,\s\up16(→))＝4e1－8e2.求证：A，B，D三点共线． 证明：因为eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＝(2e1＋3e2)＋(6e1＋23e2)＋(4e1－8e2)＝12e1＋18e2＝16(2e1＋3e2)，又eq \o(AB,\s\up16(→))＝2e1＋3e2，所以eq \o(AD,\s\up16(→))＝16eq \o(AB,\s\up16(→)).所以eq \o(AD,\s\up16(→))与eq \o(AB,\s\up16(→))共线．又因为AB，AD有公共点A，所以A，B，D三点共线． 用已知向量表示未知向量 　如图所示，▱ABCD的两条对角线交于点M，且eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(AD,\s\up16(→))＝b，用a，b表示eq \o(MA,\s\up16(→))，eq \o(MB,\s\up16(→))，eq \o(MC,\s\up16(→))和eq \o(MD,\s\up16(→)). [思路点拨]　将eq \o(MA,\s\up16(→))，eq \o(MB,\s\up16(→))，eq \o(MC,\s\up16(→))，eq \o(MD,\s\up16(→))放在三角形中，然后利用平行四边形法则，三角形法则进行求解． [解析]　在▱ABCD中，∵eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＝a＋b，eq \o(DB,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AD,\s\up16(→))＝a－b， ∴eq \o(MA,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2)(a＋b)＝－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b， eq \o(MB,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(DB,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(a－b)＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b， eq \o(MC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b， eq \o(MD,\s\up16(→))＝－eq \o(MB,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b. 用已知向量表示未知向量的方法 (1)用已知向量表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则结合数乘定义，解题时要注意解题途径的优化与组合． (2)将向量c用a，b表示，常采用待定系数法，其基本思路是设c＝xa＋yb，其中x，y∈R，然后得到关于x，y的方程组求解． [变式训练] 4．如图所示，四边形ABCD是一个梯形， eq \o(AB,\s\up16(→))∥eq \o(CD,\s\up16(→))，|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝2|eq \o(CD,\s\up16(→))|，M，N分别是DC， AB的中点，已知eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(AD,\s\up16(→))＝b，试用a，b表示eq \o(DC,\s\up16(→))，eq \o(BC,\s\up16(→))和eq \o(MN,\s\up16(→)). 解：因为|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝2|eq \o(CD,\s\up16(→))|，所以eq \o(AB,\s\up16(→))＝2eq \o(DC,\s\up16(→))，eq \o(DC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)a.连接NC，则eq \o(NC,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→)).在△BCN中，eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(NC,\s\up16(→))－eq \o(NB,\s\up16(→))＝b－eq \f(1,2)a.在△CMN中，eq \o(MN,\s\up16(→))＝eq \o(MC,\s\up16(→))＋eq \o(CN,\s\up16(→))＝eq \f(1,4)a－b. 1．下列四个命题： ①对于实数λ和向量x，y，恒有λ(x－y)＝λx－λy； ②对于实数λ，μ和向量x，恒有(λ－μ)x＝λx－μx； ③若λx＝λy(λ∈R，且λ≠0)，则x＝y； ④若λx＝μx(x≠0)，则λ＝μ 其中正确命题个数为(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：D　[由向量的线性运算法则知选D.] 2．4(a－b)－3(a＋b)－b等于(　　) A．a－2b B．a C．a－6b D．a－8b 解析：D　[原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b.] 3.点C在直线AB上，且eq \o(AC,\s\up16(→))＝3eq \o(AB,\s\up16(→))，则eq \o(BC,\s\up16(→))等于(　　) A．－2eq \o(AB,\s\up16(→)) B.eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→)) C．－eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→)) D．2eq \o(AB,\s\up16(→)) 解析：D　[如图，eq \o(AC,\s\up6(→))＝3eq \o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq \o(AB,\s\up16(→)). 4．2a－(a＋b)＝　________　. 解析：2a－(a＋b)＝2a－a－b＝a－b. 答案：a－b $$ 对应学生课时P222 [基础过关] 1．已知λ、μ∈R，下面式子正确的是(　　) A．λa与a同向 B．0·a＝0 C．(λ＋μ)a＝λa＋μa D．若b＝λa，则|b|＝λ|a| 解析：C　[当λ>0时，λa与a同向，故A不对；0·a＝0，故B不对；若b＝λa，则|b|＝|λ||a|，故D不对．] 2．若a，b不共线，且λa＋μb＝0，(λ，μ∈R)，则(　　) A．a＝b＝0 B．λ＝μ＝0 C．λ＝0、b＝0 D．a＝0、μ＝0 解析：B　[因为a，b不共线，则知a≠tb，从而知λ＝μ＝0，故选B.] 3．下列运算正确的个数是(　　) ①(－3)·2a＝－6a；②2(a＋b)－(2b－a)＝3a； ③(a＋2b)－(2b＋a)＝0. A．0 B．1 C．2 D．3 解析：C　[根据向量数乘运算和加减运算规律知①②正确；③(a＋2b)－(2b＋a)＝a＋2b－2b－a＝0，是零向量，而不是0，所以该运算错误．所以运算正确的个数为2.] 4．已知a，b是不共线的非零向量，并且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三个点是(　　) A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 解析：A　[∵＝3，则A，B，D三点共线．] 5．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　) A.－ B.－ C.＋ D.＋ 解析：A　[由题可得＝＋ ＝－(＋)＋＝－.] 6．若|a|＝3，|b|＝5且b与a方向相反，设b＝λa，则实数λ的值为　________　. 解析：λ＝－＝－. 答案：－ 7．已知|a|＝4，|b|＝8，若两向量方向同向，则向量a与向量b的关系为b＝　________　a. 解析：由于|a|＝4，|b|＝8，则|b|＝2|a|，又两向量同向，故b＝2a. 答案：2 8.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O， ＋＝λ，则λ＝　________　. 解析：[由向量加法的平行四边形法则知＋＝.又∵O是AC的中点，∴AC＝2AO，∴＝2，∴＋＝2.∴λ＝2.] 答案：2 9．化简下列各向量表达式： ①3(6a＋b)－9； ②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)． ③解关于x，y的方程组 解析：(1)①原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a. ②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c. (2)由x－4y＝2b，可得x＝4y＋2b， 代入2x＋3y＝a，可得2(4y＋2b)＋3y＝a， 于是8y＋4b＋3y＝a，解得y＝a－b， 再代入x＝4y＋2b中可得x＝a＋b. 故方程组的解是 [能力提升] 10．下列说法中正确的是(　　) A．λa与a的方向不是相同就是相反 B．若a，b共线，则b＝λa C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a D．若b＝±2a，则|b|＝2|a| 解析：D　[A错误，当λ＝0时，此说法不正确；B错误，当a＝0，b≠0时，不存在实数λ使b＝λa；C错误，若|b|＝2|a|，则b与a未必共线；D正确，若b＝±2a，则|b|＝2|a|.] 11．如图，▱ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝(　　) A.a－b 　　 B.a＋b C．a＋b 　　　 D．a－b 解析：D　[＝＋＝＋ ＝－＝a－b.] 12．已知向量a，b，且＝3a＋6b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．B，C，D B．A，B，C C．A，B，D D．A，C，D 解析：C　[因为＝＋＝a＋4b＝，所以，共线，且有公共点B，所以A，B，D三点共线．] 13．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝　________　. 解析：由题意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以解得. 答案：－ 14．点C在线段AB上，且＝，则＝　________　，＝　________　. 解析：因为C在线段AB上，且＝，所以与方向相同，与方向相反，且＝，＝，所以＝，＝－. 答案：　－ 15．如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知＝a，＝b，试用a，b分别表示，，. 解：由三角形中位线定理，知DE綊BC，故＝，即＝a. ＝＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b. ＝＋＋＝＋＋ ＝－a－b＋a＝a－b. 学科网（北京）股份有限公司 $$