3.1 平面向量的概念（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块同步教案（人教版2021）

3.1　平面向量的概念 第三章　平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第三章 平面向量 数学基础模块（RJ） 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 　 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第三章 平面向量 课程标准 素养解读 1.了解向量的实际背景，理解向量的概念． 2．掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念． 3．理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量等概念. 1.通过学习向量的有关概念，重点提升数学抽象等核心素养． 2．会用有向线段表示向量，重点提升直观想象等核心素养. 随着我国综合国力的不断增强，我国海军装备事业发展迅速，一批新型舰艇陆续下水试航．如图所示，为测试某型号舰艇的性能，S舰从A点沿东北方向航行100 n mile到达B点．如果S舰沿其他方向航行100 n mile，能不能到达B点呢？ [知识点一]　向量与数量 1．向量：既有　大小　，又有　方向　的量叫做向量． 2．数量：只有　大小　没有　方向　的量称为数量． [知识点二]　有向线段 1．定义：具有　方向　的线段叫做有向线段． 2．表示方法：以A为起点、B为终点的有向线段记作eq \o(AB,\s\up16(→)). 3．长度：线段AB的长度也叫做有向线段eq \o(AB,\s\up16(→))的长度，记作eq \o(AB,\s\up16(→)). 4．三个要素：　起点　、方向、长度． [知识点三]　向量的表示方法 几何 表示 用　有向线段 eq \o(AB,\s\up16(→))表示向量，有向线段的长度　|eq \o(AB,\s\up16(→))|　表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向 字母 表示 通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母eq \o(a,\s\up6(→))，eq \o(b,\s\up6(→))，eq \o(c,\s\up6(→))，… [知识点四]　与向量有关的概念 名称 定义 记法 向量eq \o(AB,\s\up16(→)) 的长度(或称模) 向量eq \o(AB,\s\up16(→))的大小 |eq \o(AB,\s\up16(→))| 零向量 长度为 　0　 的向量 0 单位向量 长度为 　1　 的向量 相等向量 长度　相等　且方向　相同　的向量 a＝b 平行向量 (或共线向量) 方向　相同或相反　的非零向量 a∥b 规定：零向量与任意向量　平行 0∥a (3)向量中的“平行”与平面几何中的“平行”一样吗？ 提示：不一样，向量中的“平行”包括向量所在直线共线和平行，而平面几何中的“平行”指两条直线平行． (1)向量可以比较大小吗？ 提示：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． (2)有向线段就是向量吗？ 提示：有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量． 1．下列选项中是向量的是(　　) A．温度 B．速度 C．密度 D．湿度 解析：B　[向量指具有大小和方向的量，故只有B对．] 2．正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，…，an，则这n个向量(　　) A．都相等 B．都共线 C．都不共线 D．模都相等 解析：D　[因为多边形为正多边形，所以边长相等，所以各边对应向量的模都相等．] 3．若向量a与向量b不相等，则a与b一定(　　) A．不共线 B．长度不相等 C．不都是单位向量 D．不都是零向量 解析：D　[因为向量a与向量b不相等，它们有可能共线、有可能长度相等、有可能都是单位向量但方向不相同，但不能都是零向量，即选项A、B、C错误，D正确．] 向量的有关概念 　下列四个命题中，真命题的个数是(　　) (1)零向量没有方向；(2)单位向量的模一定相等；(3)若a∥b，b∥c，则a∥c；(4)若a＝b，则a∥b. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 [思路点拨]　本题考查向量的概念及单位向量、零向量、向量的模(长度)等知识点．解决此类问题的关键是弄清向量的有关概念． [解]　零向量模长为0，方向不确定，所以(1)为假命题；单位向量的模都等于1，所以(2)为真命题；对于(3)，如果b＝0，就不一定能得到a∥c，所以(3)为假命题；两个相等向量的方向一定相同，所以(4)为真命题．所以正确答案选B. 对向量的有关概念的理解要全面、准确，要注意相等向量与共线向量(或平行向量)之间的区别和联系；零向量的长度为零，方向不确定，解题时一定要注意这一特殊向量． [变式训练] 1．有下列说法： ①向量eq \o(AB,\s\up16(→))和向量长度相等； ②方向不同的两个向量一定不平行； ③向量eq \o(BC,\s\up16(→))是有向线段； ④向量eq \o(AB,\s\up16(→))大于向量eq \o(CD,\s\up16(→))； ⑤若向量eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(CD,\s\up16(→))是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．其中，正确的说法是　________　(只填序号)． 解析： 序号 正误 原因 ① √ |eq \o(AB,\s\up16(→))|＝||＝|AB| ② × 平行向量包括方向相同或相反两种情况 ③ × 向量可以用有向线段表示，但不能把二者等同起来 ④ × 向量不能比较大小 ⑤ × 共线向量只要求方向相同或相反即可，并不要求向量在同一直线上 ⑥ × 共线的向量，若起点不同，则终点可以相同，也可以不同 答案：① 向量的几何表示 　在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边 长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量： (1)eq \o(OA,\s\up16(→))，使|Oeq \o(A,\s\up16(→))|＝4eq \r(2)，点A在点O北偏东45°方向； (2)eq \o(AB,\s\up16(→))，使|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝4，点B在点A正东方向； (3)eq \o(BC,\s\up16(→))，使|eq \o(BC,\s\up16(→))|＝6，点C在点B北偏东30°方向． [思路点拨]　先选定起点和方向，再按要求作图． [解]　如图中的eq \o(OA,\s\up16(→))、eq \o(AB,\s\up16(→))和eq \o(BC,\s\up16(→)) 用有向线段表示向量的方法 (1)画图思路 在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向． (2)具体步骤 [变式训练] 2．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了10eq \r(2)米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点． (1)作出向量eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(BC,\s\up16(→))，eq \o(CD,\s\up16(→))； (2)求eq \o(AD,\s\up16(→))的模． 解：(1)作出向量eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(BC,\s\up16(→))，eq \o(CD,\s\up16(→))，如图所示： (2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°， BC＝10eq \r(2)米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝eq \r(52＋102)＝5eq \r(5)(米)，所以|eq \o(AD,\s\up16(→))|＝5eq \r(5)米． 相等向量与共线向量 　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心， 且eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，在每两点所确定的向量中： (1)与a相等的向量有哪些？ (2)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (3)与a共线的向量有哪些？ [思路点拨]　根据相等向量和共线向量的概念寻找． [解]　(1)与a相等的向量有eq \o(DO,\s\up15(→))，eq \o(CB,\s\up15(→))，eq \o(EF,\s\up15(→)). (2)与a的长度相等、方向相反的向量有eq \o(OD,\s\up16(→))，eq \o(BC,\s\up16(→)) ，eq \o(AO,\s\up16(→))，eq \o(FE,\s\up16(→)). (3)与a共线的向量有eq \o(EF,\s\up16(→))，eq \o(BC,\s\up16(→))，eq \o(OD,\s\up16(→))，eq \o(FE,\s\up16(→))，eq \o(CB,\s\up16(→))，eq \o(DO,\s\up16(→))，eq \o(AO,\s\up16(→))，eq \o(DA,\s\up16(→))，eq \o(AD,\s\up16(→)). 共线向量与相等向量的判断 (1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量． (2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量． (3)非零向量的共线具有传递性，即向量a，b，c为非零向量，若a∥b，b∥c，则可推出a∥c. [变式训练] 3.如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形． (1)图中所标出的向量与eq \o(AB,\s\up16(→))共线的有　________　； (2)图中所标出的向量与eq \o(AB,\s\up16(→))相等的有　________　； (3)图中所标出的向量与eq \o(AB,\s\up16(→))模相等的有　________　； 解析：(1)∵AB∥CD，且A，B，E三点共线，∴eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(CD,\s\up16(→))，eq \o(BE,\s\up16(→))共线． (2)∵AB＝BE，且eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(BE,\s\up16(→))方向相同，∴eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(BE,\s\up16(→)). (3)∵AB＝BC＝CD＝DA＝BE，∴|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝|eq \o(BC,\s\up16(→))|＝|eq \o(CD,\s\up16(→))|＝|eq \o(DA,\s\up16(→))|＝|eq \o(BC,\s\up16(→))| 答案：(1)|eq \o(BE,\s\up16(→))|，|eq \o(CD,\s\up16(→))|　(2)|eq \o(BE,\s\up16(→))|　(3)|eq \o(BE,\s\up16(→))|，|eq \o(BC,\s\up16(→))|，|eq \o(CD,\s\up16(→))|，|eq \o(DA,\s\up16(→))| 1．下列物理量：①质量　②速度　③力　④加速度　⑤路程　⑥密度　⑦功．其中不是向量的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：D　[∵②③④是既有大小，又有方向的量，∴它们是向量；而①⑤⑥⑦只有大小而没有方向，∴不是向量．] 2．下列说法中正确的是(　　) A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 C．向量的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小 解析：D.[不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A、B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，D正确．] 3．已知向量eq \o(AB,\s\up16(→))与向量eq \o(BC,\s\up16(→))共线，下列关于向量eq \o(AC,\s\up16(→))的说法中，正确的为(　　) A．向量eq \o(AC,\s\up16(→))与向量eq \o(AB,\s\up16(→))一定同向 B．向量eq \o(AC,\s\up16(→))，向量eq \o(AB,\s\up16(→))，向量eq \o(BC,\s\up16(→))一定共线 C．向量eq \o(AC,\s\up16(→))与向量eq \o(BC,\s\up16(→))一定相等 D．以上说法都不正确 解析：B　[根据共线向量的定义，可知eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(BC,\s\up16(→))，eq \o(AC,\s\up16(→))这三个向量一定为共线向量．] 4．已知|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝1，|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝2，若∠ABC＝90°，则|eq \o(BC,\s\up16(→))|＝　__________　. 解析：[△ABC是以B为直角的直角三角形，所以|eq \o(BC,\s\up16(→))|＝eq \r(22－12)＝eq \r(3).] 答案：eq \r(3) $$ 对应学生课时P218 [基础过关] 1．有下列物理量：①质量②温度③角度④弹力⑤风速．其中可以看成是向量的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：B　[①②③不是向量，④⑤是向量．] 2．已知向量a如图所示，下列说法不正确的是(　　) A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 解析：D　[终点是N而不是M.] 3．下列说法中正确的是(　　) A．零向量没有方向 B．单位向量都相等 C．相等向量的起点必须相同 D．共线向量不一定是相反向量 解析：D　[共线向量的方向相同或相反．] 4．下列说法错误的是(　　) A．若向量a与b都是单位向量，则a＝b B．零向量与任意向量都共线 C．两个共线向量一定平行 D．相等向量一定共线 解析：A　[向量a与b都是单位向量，则它们的模都为1，但它们的方向可能不同．] 5.如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 解析：D　[根据相等向量的定义，A中，与的方向不同，故A错误；B中，与的方向不同，故B错误；C中，与的方向相反，故C错误；D中，与的方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半，故D正确．] 6．给出下列各量： ①铅笔盒对桌面的压力； ②气温－10 ℃； ③高台跳水运动员在最高点的速度； ④|a|； ⑤把一条射线绕其端点顺时针旋转30°所构成的角－30°. 其中是向量的是　________　.(把正确选项的序号填在横线上) 解析：①压力是矢量，故也是向量；②与力相比，温度只有大小，没有方向，零上与零下只是温度高低的一种区分表述，因此－10 ℃不是向量；③高台跳水运动员在最高点的速度大小为0，但速度本身属于矢量，故也是向量；④|a|表示向量a的长度，它是一个数值；⑤－30°的角中的负号表明了“线转成角”时的旋转方向，这与向量的方向是不同的，不是向量． 答案：①③ 7．在平行四边形ABCD中，相等的向量有　________　组． 解析：平行四边形ABCD中，＝，＝，＝，＝，共4组． 答案：4 8．有下列说法： ①若a≠b，则a一定不与b共线； ②若a＝b，b＝c，则a＝c； ③共线向量是在一条直线上的向量． 其中，正确的说法有　________　.(填序号) 解析：对于①，两个向量不相等，可能是长度不相等，方向相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确；对于②，a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同．所以a与c方向相同且模相等，故a＝c，故②正确；对于③，共线向量可以是在一条直线上的向量，也可能是所在直线互相平行的向量，故③不正确． 答案：② 9.如图，四边形ABCD和BCED都是平行四边形，在每两点所确定的向量中： (1)写出与相等的向量； (2)写出与共线的向量． 解：(1)因为四边形ABCD和BCED都是平行四边形，所以BC∥AD∥DE，BC＝AD＝DE，所以＝＝.故与相等的向量为，. (2)与共线的向量共有7个，分别是，，，，，，. [能力提升] 10．下列说法正确的是(　　) A．向量∥就是直线AB平行于直线CD B．长度相等的向量叫相等向量 C．零向量长度等于0 D．共线向量是在一条直线上的向量 解析：C　[向量∥包含直线AB平行直线CD或直线AB与直线CD重合两种情况；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，所以A，B，D均错．] 11．如图四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是(　　) A．|A|＝|E| B.与共线 C.与共线 D.与共线 解析：C　[|A|＝|E|一定相等，与一定共线，与一定共线，与不一定共线，故选C.] 12．如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断不正确的是(　　) A.＝ B.∥ C．||＝|| D．||＝|| 解析：D　[设正六边形ABCDEF的边长为a，依次分析各选项：对于A，由正六边形的性质可得AB与OC平行且相等，则有＝，故A正确；对于B，由正六边形的性质可得AB与DE平行，即∥，故B正确；对于C，在正六边形ABCDEF中，AD与BE均过中心O，则有AD＝BE＝2a，即有||＝||，故C正确；对于D，在正六边形ABCDEF中，AC＝a，BE＝2a，则||≠||，故D错误．] 13.如图，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和AOBE均为平行四边形，则与向量相等的向量为　________　；与向量共线的向量为　________　；与向量的模相等的向量为　________　.(填图中所画出的向量) 解析：∵O是正三角形ABC的中心，∴OA＝OB＝OC，易知四边形AOCD和四边形AOBE均为菱形，∴与相等的向量为；与共线的向量为，；与的模相等的向量为，，，，. 答案：　，　，，，， 14．如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则下列说法中正确的是　________　(填序号)． ①图中所标出的向量中与相等的向量只有1个(不含本身) ②图中所标出的向量中与的模相等的向量有5个(不含本身) ③的长度恰为长度的倍 ④与不共线 解析：∵在菱形ABCD中，AB綊DC，∴＝，故①正确；又∠BAD＝120°，∴△ADC是正三角形，∴||＝||＝||＝||＝||＝||，故②正确；由平面几何知||＝2||sin 60°＝||，故③正确；而与共线，故④不正确． 答案：①②③ 15.一辆消防车从A地到B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2 km到达D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6 km到达C地，从C地又向南偏西30°行驶2 km才到达B地． (1)在如图所示的坐标系中画出，，，； (2)求B地相对于A地的位移． 解析： (1)向量，，，，如图所示． (2)由题意知＝.所以AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形，所以＝，则B地相对于A地的位移为“北偏东60°，6 km”． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3．1　平面向量的概念 课程标准 素养解读 1.了解向量的实际背景，理解向量的概念． 2．掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念． 3．理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量等概念. 1.通过学习向量的有关概念，重点提升数学抽象等核心素养． 2．会用有向线段表示向量，重点提升直观想象等核心素养. 随着我国综合国力的不断增强，我国海军装备事业发展迅速，一批新型舰艇陆续下水试航．如图所示，为测试某型号舰艇的性能，S舰从A点沿东北方向航行100 n mile到达B点．如果S舰沿其他方向航行100 n mile，能不能到达B点呢？ [知识点一]　向量与数量 1．向量：既有　大小　，又有　方向　的量叫做向量． 2．数量：只有　大小　没有　方向　的量称为数量． [知识点二]　有向线段 1．定义：具有　方向　的线段叫做有向线段． 2．表示方法：以A为起点、B为终点的有向线段记作. 3．长度：线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作　||　. 4．三个要素：　起点　、方向、长度． [知识点三]　向量的表示方法 几何 表示 用　有向线段　表示向量，有向线段的长度　||　表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向 续表 字母 表示 通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母，，，… [知识点四]　与向量有关的概念 名称 定义 记法 向量 的长度(或称模) 向量的大小 || 零向量 长度为　0　的向量 0 单位向量 长度为　1　的向量 相等向量 长度　相等　且方向　相同　的向量 a＝b 平行向量 (或共线向量) 方向　相同或相反　的非零向量 a∥b 规定：零向量与任意向量　平行 0∥a (1)向量可以比较大小吗？ 提示：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． (2)有向线段就是向量吗？ 提示：有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量． (3)向量中的“平行”与平面几何中的“平行”一样吗？ 提示：不一样，向量中的“平行”包括向量所在直线共线和平行，而平面几何中的“平行”指两条直线平行． 1．下列选项中是向量的是(　　) A．温度 B．速度 C．密度 D．湿度 解析：B　[向量指具有大小和方向的量，故只有B对．] 2．正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，…，an，则这n个向量(　　) A．都相等 B．都共线 C．都不共线 D．模都相等 解析：D　[因为多边形为正多边形，所以边长相等，所以各边对应向量的模都相等．] 3．若向量a与向量b不相等，则a与b一定(　　) A．不共线 B．长度不相等 C．不都是单位向量 D．不都是零向量 解析：D　[因为向量a与向量b不相等，它们有可能共线、有可能长度相等、有可能都是单位向量但方向不相同，但不能都是零向量，即选项A、B、C错误，D正确．] 　向量的有关概念 　下列四个命题中，真命题的个数是(　　) (1)零向量没有方向；(2)单位向量的模一定相等；(3)若a∥b，b∥c，则a∥c；(4)若a＝b，则a∥b. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 [思路点拨]　本题考查向量的概念及单位向量、零向量、向量的模(长度)等知识点．解决此类问题的关键是弄清向量的有关概念． [解]　零向量模长为0，方向不确定，所以(1)为假命题；单位向量的模都等于1，所以(2)为真命题；对于(3)，如果b＝0，就不一定能得到a∥c，所以(3)为假命题；两个相等向量的方向一定相同，所以(4)为真命题．所以正确答案选B. 对向量的有关概念的理解要全面、准确，要注意相等向量与共线向量(或平行向量)之间的区别和联系；零向量的长度为零，方向不确定，解题时一定要注意这一特殊向量． [变式训练] 1．有下列说法： ①向量和向量长度相等； ②方向不同的两个向量一定不平行； ③向量是有向线段； ④向量大于向量； ⑤若向量与是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．其中，正确的说法是　________　(只填序号)． 解析： 序号 正误 原因 ① √ ||＝||＝|| ② × 平行向量包括方向相同或相反两种情况 ③ × 向量可以用有向线段表示，但不能把二者等同起来 ④ × 向量不能比较大小 ⑤ × 共线向量只要求方向相同或相反即可，并不要求向量在同一直线上 ⑥ × 共线的向量，若起点不同，则终点可以相同，也可以不同 答案：① 　向量的几何表示 　在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量： (1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°方向； (2)，使||＝4，点B在点A正东方向； (3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°方向． [思路点拨]　先选定起点和方向，再按要求作图． [解]　如图中的、和 用有向线段表示向量的方法 (1)画图思路 在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向． (2)具体步骤 [变式训练] 2．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点． (1)作出向量，，； (2)求的模． 解： (1)作出向量，，，如图所示： (2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°， BC＝10米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝5(米)，所以||＝5米． 　相等向量与共线向量 　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，在每两点所确定的向量中： (1)与a相等的向量有哪些？ (2)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (3)与a共线的向量有哪些？ [思路点拨]　根据相等向量和共线向量的概念寻找． [解]　(1)与a相等的向量有，，. (2)与a的长度相等、方向相反的向量有， ，，. (3)与a共线的向量有，，，，，，，，. 共线向量与相等向量的判断 (1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量． (2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量． (3)非零向量的共线具有传递性，即向量a，b，c为非零向量，若a∥b，b∥c，则可推出a∥c. [变式训练] 3.如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形． (1)图中所标出的向量与共线的有　________　； (2)图中所标出的向量与相等的有　________　； (3)图中所标出的向量与模相等的有　________　； 解析：(1)∵AB∥CD，且A，B，E三点共线，∴与，共线． (2)∵AB＝BE，且与方向相同，∴＝. (3)∵AB＝BC＝CD＝DA＝BE，∴||＝|B|＝||＝|D|＝||. 答案：(1)||，||　(2)||　(3)||，|B|，||，|D| 1．下列物理量：①质量　②速度　③力　④加速度　⑤路程　⑥密度　⑦功．其中不是向量的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：D　[∵②③④是既有大小，又有方向的量，∴它们是向量；而①⑤⑥⑦只有大小而没有方向，∴不是向量．] 2．下列说法中正确的是(　　) A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 C．向量的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小 解析：D.[不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A、B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，D正确．] 3．已知向量与向量共线，下列关于向量的说法中，正确的为(　　) A．向量与向量一定同向 B．向量，向量，向量一定共线 C．向量与向量一定相等 D．以上说法都不正确 解析：B　[根据共线向量的定义，可知，，这三个向量一定为共线向量．] 4．已知||＝1，|A|＝2，若∠ABC＝90°，则||＝　__________　. 解析：[△ABC是以B为直角的直角三角形，所以|B|＝＝.] 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$