2.4 数列的应用（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块同步教案（人教版2021）

对应学生课时P216 [基础过关] 1．某企业2023年12月份产值是这年1月份产值的p倍，则该企业2023年度的产值月平均的增长率为(　　) A. B.－1 C.－1 D. 解析：C　[设2023年1月份产值为a，则12月份的产值为pa，假设月平均增长率为r，则a(1＋r)11＝pa，所以r＝－1.] 2．某人在一年12个月中，每月10日向银行存入1 000元，假设银行的月利率为5‰(按单利计算)，则到第二年的元月10日，此项存款一年的利息之和是(　　) A．5(1＋2＋3＋…＋12)元 B．5(1＋2＋3＋…＋11)元 C．1 000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)11]元 D．1 000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)12]元 解析：A　[存款利息是以5为首项，5为公差的等差数列，12个月的存款利息之和为5(1＋2＋3＋…＋12)元．] 3．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分六钱，令前三人所得与后二人等，各人所得均增，问各得几何？”其意思是：“已知A，B，C，D，E五个人分重量为6钱(‘钱’是古代的一种重量单位)的物品，A，B，C三人所得钱数之和与D，E二人所得钱数之和相同，且A，B，C，D，E每人所得钱数依次成递增的等差数列，问五个人各分得多少钱的物品？”在这个问题中，C分得物品的钱数是(　　) A. B. C. D. 解析：C　[设A，B，C，D，E 5个人分得的物品的钱数为等差数列中的项a1，a2，a3，a4，a5，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝6＝5a3，a3＝.] 4．小李年初向银行贷款M万元用于购房，购房贷款的年利率为p，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，问每年应还多少万元(　　) A. B. C. D. 解析：B　[设每年应还x万元，则x＋x(1＋p)＋x(1＋p)2＋…＋x(1＋p)9＝M(1＋p)10，＝M(1＋p)10，则x＝.] 5．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统，分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义，如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于一种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线．将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，若记图①三角形的面积为，则第n个图中阴影部分的面积为(　　) A.·n＋1(n∈N＋) B.·n(n∈N＋) C.·n(n∈N＋) D.·n(n∈N＋) 解析：D　[根据题意，每一个图形的面积是前一个图形面积的，即面积为首项，公比的等比数列，故第n个图中阴影部分的面积为·n－1＝·n(n∈N＋)．] 6．有这样一首诗：“有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，问君每日读多少？”(《孟子》全书共34 685字，“一倍多”指一倍)，由此诗知该君第二日读了　________　字． 解析：设第一日读的字数为a，由“每日添增一倍多”得此数列是以a为首项，公比为2的等比数列，可求得三日共读的字数为＝7a＝34 685，解得a＝4 955，则2a＝9 910，即该君第二日读的字数为9 910. 答案：9 910 7．小王每月除去所有日常开支，大约结余a元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1年(存12次)，到期取出本金和利息．假设一年期零存整取的月利率为r，每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为　________　元． 解析：由题意知，小王存款到期利息为12ar＋11ar＋10ar＋…＋2ar＋ar＝ar＝78ar. 答案：78ar 8．某彩电价格在去年6月份降价10%之后经10,11,12三个月连续三次回升到6月份降价前的水平，则这三次价格平均回升率是　________　. 解析：设6月份降价前的价格为a，三次价格平均回升率为x，则a×90%×(1＋x)3＝a，∴1＋x＝，x＝－1. 答案：－1 9．两位同学分别到甲、乙两家公司应聘，均被录用．甲公司承诺第一年年薪是50 000元，以后每年比上一年加薪5 000元．乙公司承诺第一年的年薪是50 000元，以后每年的年薪比上一年增加10%.假设聘期为五年，试问 (1)应聘到甲公司的同学，其第五年的年薪是多少？五年的总收入是多少？ (2)应聘到乙公司的同学，其第五年的年薪是多少？五年的总收入是多少？ 解：(1)由题意可知，甲公司承诺的年薪构成等差数列{an}，其中a1＝50 000，d＝5 000，n＝5.于是a5＝a1＋4d＝50 000＋4×5 000＝70 000(元) S5＝5×50 000＋×5 000＝300 000(元) 因此，应聘到甲公司的同学，其第五年的年薪是70 000元，五年的总收入是300 000元． (2)由题意可知，乙公司承诺的年薪构成等比数列{an}，其中a1＝50 000，q＝1＋10%＝1.1，n＝5.于是a5＝a1q4＝50 000×1.14＝73 205(元)， S5＝＝＝305 255(元)． 因此，应聘到乙公司的同学，其第五年的年薪是73 205元，五年的总收入是305 255元． [能力提升] 10．《张丘建算经》记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织布五尺，末日织一尺，计织三十日，问第11日至第20日这十日共织布(　　) A．30尺 B．40尺 C．6尺 D．60尺 解析：A　[由题意，女子织布构成等差数列{an}，有a1＝5，a30＝1，故a11＋a12＋a13＋…＋a20 ＝＝＝5×6＝30.所以第11日至第20日这十日共织布30尺．] 11．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠长五尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下一尺，重四斤；在细的一端截下一尺，重二斤，问依次每一尺各重几斤？”根据已知条件，若该金箠由粗到细是均匀变化的，则中间三尺的重量为(　　) A．6斤 B．9斤 C．10斤 D．12斤 解析：B　[依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，设首项a1＝4，则a5＝2，则d＝＝＝－，由等差数列性质得a2＋a4＝a1＋a5＝6，a3＝a1＋2d＝3，∴中间三尺的重量为9斤．] 12．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法不正确的是(　　) A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 C．此人第三天的路程占全程的 D．此人后三天共走了42里路 解析：C　[设此人第n天走an里路，则{an}是首项为a1，公比为q＝的等比数列，由等比数列前n项和公式得：S6＝＝378，解得a1＝192.A.a2＝192×＝96，故此人第二天走了九十六里路，正确；B.后五天所走的路程为378－192＝186里，则第一天比后五天多走192－186＝6里，正确；C.a3＝192×＝48，而>，错误；D.a4＋a5＋a6＝192×＝42，正确．] 13．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完”．设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下a5尺，则＝　________　. 解析：依题意可知，a1，a2，a3，…成等比数列，且公比为，则＝＝24. 答案：24 14．购买一件某家用电器需要10 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一个月，购买后一个月开始付款，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率0.8%，按复利计算，那么每期应付款为　________　元．(1.00812≈1.1) 解析：设每期应还款x元，则第1期还款后，还欠款10 000(1＋0.8%)－x，第2期还款后，还欠款(10 000×1.008－x)×1.008－x＝10 000×1.0082－1.008x－x，…第12期还款后，还欠款10 000×1.00812－1.00811x－1.00810x－…－1.008x－x，第12期还款后，还欠款为0，所以10 000×1.00812－1.00811x－1.00810x－…－1.008x－x＝0，即10 000×1.00812＝(1.00811＋1.00810＋…＋1.008＋1)x＝·x＝·x，所以x＝＝10 000×1.1×＝880(元)． 答案：880 15．某公司在一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年支出各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设f(n)表示前n年的纯收入．求从第几年开始获取纯利润？(f(n)＝前n年的总收入—前n年的总支出—投资额) 解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列．则f(n)＝50n－－72＝－2n2＋40n－72.获取纯利润就是要求f(n)>0，故有－2n2＋40n－72>0，解得2<n<18.又n∈N＋，所以从第三年开始获利． 学科网（北京）股份有限公司 $$2.4　数列的应用 第二章　数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第二章 数列 数学基础模块（RJ） 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 　 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 课程标准 素养解读 1.理解等差数列，等比数列模型在日常生活中的应用． 2．掌握有关数列应用题的解决方法. 通过研究数列在日常生活中的应用，提升数学建模素养及数学运算素养. 在《白毛女》中，杨白劳借了黄世仁“一石五斗租子，二十五块钱驴打滚的账”，结果永远也还不上，这里的“驴打滚的账”，你知道是怎么回事吗？现实生活中我们银行又采用怎样的计息方式呢？ [知识点]　应用数列知识解决问题的基本步骤： 1．审题——要读懂题意，弄清楚各量之间的关系； 2．建模——把实际问题的数值转化为数列中的各数值，分清是等差数列还是等比数列，同时弄清是求哪个量； 3．求解——求出实际问题的解； 4．还原——把所求结果还原到实际问题中． 1．建筑物屋顶的某一个斜面呈等腰梯形，最上面一层铺了20块瓦片，往下每一层多铺一块瓦片，斜面上铺了10层瓦片，那么，该斜面共铺了多少块瓦片(　　) A．200 B．290 C．245 D．145 解析：C　[S10＝10×20＋eq \f(10×9,2)×1＝200＋45＝245.] 2．某工厂总产值月平均增长率为p，则年平均增长率为(　　) A．p B．12p C．(1＋p)12 D．(1＋p)12－1 解析：D　[设原有总产值为a，年平均增长率为r，则a(1＋p)12＝a(1＋r)，解得r＝(1＋p)12－1.] 3．现存入银行10 000元钱，年利率是3.60%，那么按照复利，第5年年末的本利和是(　　) A．10 000×1.0363 B．10 000×1.0364 C．10 000×1.0365 D．10 000×1.0366 解析：C　[由定期自动转存模型及期数为5，可得结果．] 等差数列求和的实际应用 　某男子擅长走路，9天共走了1 260里，其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和为390里．若从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，问该男子第5天走了多少里？这是我国古代数学专著《九章算术》中的一个问题，请尝试解决． [思路点拨]　构造等差数列，利用等差数列的通项公式和前n项和公式直接求解． [解]　因为从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，所以该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列，设该数列为{an}，第1天走的路程数为首项a1，公差为d，则S9＝1 260，a1＋a4＋a7＝390.因为Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d，an＝a1＋(n－1)d，所以9a1＋eq \f(9×9－1,2)d＝1 260，a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝390，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝100，,d＝10，))则a5＝a1＋4d＝100＋4×10＝140.所以该男子第5天走了140里． 应用等差数列解决实际问题的一般思路： [变式训练] 1．某林场放置的一堆木材，最上层3根，最下层10根，共8层．试问，这堆木材共有多少根？ 解：由图可知，自上而下每层放置木材的根数构成等差数列，记为{an}．因为a1＝3，an＝10，n＝8，所以S8＝eq \f(3＋10×8,2)＝52.因此，这堆木材共有52根． 等比数列前n项和在实际中的应用 　一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟内，它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？ [思路点拨]　构造等比数列，利用等比数列的通项公式和求和公式直接求解． [解]　用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an＋1＝eq \f(4,5)an；因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝eq \f(4,5)的等比数列．热气球在前n分钟内上升的总高度Sn＝a1＋a2＋…＋an＝eq \f(a11－qn,1－q) ＝eq \f(25\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))n)),1－\f(4,5))＝125×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))n))<125，即这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 弄清题意，合理设元，将实际问题转化为等比数列模型，然后根据其性质及方程思想求出未知元素，并作出合理解释． [变式训练] 2．某职业学校的王亮同学到一家贸易公司实习，恰逢该公司要通过海运出口一批货物，王亮同学随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜，保险公司提供了缴纳保险费的两种方案： ①一次性缴纳50万元，可享受9折优惠； ②按照航行天数缴纳：第一天缴纳0.5元，从第二天起每天缴纳的金额都是其前一天的2倍，共需缴纳20天． 请通过计算，帮助王亮同学判断哪种方案缴纳的保费较低． 解：若按方案①缴纳，需缴纳50×0.9＝45(万元)．若按方案②缴纳，则每天的缴纳额组成等比数列，其中a1＝eq \f(1,2)，q＝2，n＝20，所以共需缴纳S20＝eq \f(\f(1,2)×1－220,1－2)＝219－eq \f(1,2)＝524 288－eq \f(1,2)≈52.4(万元)，所以方案①缴纳的保费较低． 定期自动转存模型 　某家庭打算买一套住房，决定以一年定期的方式存款，计划从2023年起每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2031年初将所有存款和利息全部取出，则这个家庭共取回多少元？ [思路点拨]　按复利计算是指经过一段时间(例如一年)，将所产生的利息和本金一起作为本金，再计算利息． [解]　设从2023年年初到2031年年初每年的本利和组成数列{an}，到2031年为止，把2023年末存款的本利和看作a1，则2030年末存款的本利和为a8，则a1＝a(1＋p)，a2＝a(1＋p)2＋a(1＋p)，…，a8＝a(1＋p)8＋a(1＋p)7＋…＋a(1＋p) ＝eq \f(1,p)a(1＋p)9－eq \f(1,p)a(1＋p)．所以这个家庭应取出的钱数为eq \f(a,p)[(1＋p)9－(1＋p)]． “零存整取模型”，存期n，每一次存款到期后的利息构成等差数列，到期后每一次存款的本利和也构成等差数列．“定期自动转存模型”，到期后每一次存款的本利和构成等比数列． [变式训练] 3．某家庭为准备孩子上大学的学费，每年6月30日都在银行中存入2 000元，连续存5年，有以下两种存款的方式： (1)如果按5年期零存整取计，即每存入a元，按a(1＋n·6.5%)计算本利(n为年数)； (2)如果按每年转存计，即每存入a元，按(1＋5.7%)n·a计算本利(n为年数)．请问用哪种存款的方式在第6年的7月1日到期的全部本利较高？(结果精确到1元，1.0576≈1.395) 解：若不计复利，5年的零存整取本利是2 000(1＋5×0.065)＋2 000(1＋4×0.065)＋…＋2 000(1＋0.065)＝11 950(元)；若计复利，则2 000(1＋0.057)5＋2 000(1＋0.057)4＋…＋2 000(1＋0.057)≈2 000×eq \f(0.338,0.057)≈11 860(元)．所以，第(1)种存款方式到期的全部本利较高． 1．有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方，看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？ A．203只 B．205只 C．207只 D．103只 解析：B　[本题即已知一个等差数列：3,5,7,9,11,13,15，…，求这个数列的第102项是多少，第n项＝首项＋公差×(n－1)，所以，第102项为3＋2×(102－1)＝205.] 2．某种产品计划每年降低成本q%，若三年后的成本是a元，则现在的成本是(　　) A．a3q% B．a·(q%)3 C．a(1－q%)3 D.eq \f(a,1－q%3) 解析：D　[设现在的成本为x元，则x(1－q%)3＝a，所以x＝eq \f(a,1－q%3).] 3．某林场计划第一年造林m亩，以后每年比前一年多造10%，那么第4年造林(　　) A．m(1＋10%)3亩 B．m(1＋10%)4亩 C．m(1＋10%)5亩 D．m(1＋10%)6亩 解析：B　[依据复利公式，第4年造林m(1＋10%)4亩．] 4．我国古代数学名著《张丘建算经》有“分钱问题”如下：“今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还数聚与均分之，人得一百钱，问人几何．”则分钱问题中的人数为　________　. 解析：设人数为n，则由题意可知，每人分得钱数构成公差为1，首项为3的等差数列，且前n项和Sn＝100n，又Sn＝eq \f(nn－1,2)＋3n，所以eq \f(nn－1,2)＋3n＝100n，解得n＝195. 答案：195 $$ 2．4　数列的应用 课程标准 素养解读 1.理解等差数列，等比数列模型在日常生活中的应用． 2．掌握有关数列应用题的解决方法. 通过研究数列在日常生活中的应用，提升数学建模素养及数学运算素养. 在《白毛女》中，杨白劳借了黄世仁“一石五斗租子，二十五块钱驴打滚的账”，结果永远也还不上，这里的“驴打滚的账”，你知道是怎么回事吗？现实生活中我们银行又采用怎样的计息方式呢？ [知识点]　应用数列知识解决问题的基本步骤： 1．审题——要读懂题意，弄清楚各量之间的关系； 2．建模——把实际问题的数值转化为数列中的各数值，分清是等差数列还是等比数列，同时弄清是求哪个量； 3．求解——求出实际问题的解； 4．还原——把所求结果还原到实际问题中． 1．建筑物屋顶的某一个斜面呈等腰梯形，最上面一层铺了20块瓦片，往下每一层多铺一块瓦片，斜面上铺了10层瓦片，那么，该斜面共铺了多少块瓦片(　　) A．200 B．290 C．245 D．145 解析：C　[S10＝10×20＋×1＝200＋45＝245.] 2．某工厂总产值月平均增长率为p，则年平均增长率为(　　) A．p B．12p C．(1＋p)12 D．(1＋p)12－1 解析：D　[设原有总产值为a，年平均增长率为r，则a(1＋p)12＝a(1＋r)，解得r＝(1＋p)12－1.] 3．现存入银行10 000元钱，年利率是3.60%，那么按照复利，第5年年末的本利和是(　　) A．10 000×1.0363 B．10 000×1.0364 C．10 000×1.0365 D．10 000×1.0366 解析：C　[由定期自动转存模型及期数为5，可得结果．] 　等差数列求和的实际应用 　某男子擅长走路，9天共走了1 260里，其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和为390里．若从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，问该男子第5天走了多少里？这是我国古代数学专著《九章算术》中的一个问题，请尝试解决． [思路点拨]　构造等差数列，利用等差数列的通项公式和前n项和公式直接求解． [解]　因为从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，所以该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列，设该数列为{an}，第1天走的路程数为首项a1，公差为d，则S9＝1 260，a1＋a4＋a7＝390.因为Sn＝na1＋d，an＝a1＋(n－1)d，所以9a1＋d＝1 260，a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝390，解得则a5＝a1＋4d＝100＋4×10＝140.所以该男子第5天走了140里． 应用等差数列解决实际问题的一般思路： [变式训练] 1．某林场放置的一堆木材，最上层3根，最下层10根，共8层．试问，这堆木材共有多少根？ 解：由图可知，自上而下每层放置木材的根数构成等差数列，记为{an}．因为a1＝3，an＝10，n＝8，所以S8＝＝52.因此，这堆木材共有52根． 　等比数列前n项和在实际中的应用 　一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟内，它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？ [思路点拨]　构造等比数列，利用等比数列的通项公式和求和公式直接求解． [解]　用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an＋1＝an；因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列．热气球在前n分钟内上升的总高度Sn＝a1＋a2＋…＋an＝ ＝＝125×<125，即这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 弄清题意，合理设元，将实际问题转化为等比数列模型，然后根据其性质及方程思想求出未知元素，并作出合理解释． [变式训练] 2．某职业学校的王亮同学到一家贸易公司实习，恰逢该公司要通过海运出口一批货物，王亮同学随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜，保险公司提供了缴纳保险费的两种方案： ①一次性缴纳50万元，可享受9折优惠； ②按照航行天数缴纳：第一天缴纳0.5元，从第二天起每天缴纳的金额都是其前一天的2倍，共需缴纳20天． 请通过计算，帮助王亮同学判断哪种方案缴纳的保费较低． 解：若按方案①缴纳，需缴纳50×0.9＝45(万元)．若按方案②缴纳，则每天的缴纳额组成等比数列，其中a1＝，q＝2，n＝20，所以共需缴纳S20＝＝219－＝524 288－≈52.4(万元)，所以方案①缴纳的保费较低． 　定期自动转存模型 　某家庭打算买一套住房，决定以一年定期的方式存款，计划从2023年起每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2031年初将所有存款和利息全部取出，则这个家庭共取回多少元？ [思路点拨]　按复利计算是指经过一段时间(例如一年)，将所产生的利息和本金一起作为本金，再计算利息． [解]　设从2023年年初到2031年年初每年的本利和组成数列{an}，到2031年为止，把2023年末存款的本利和看作a1，则2030年末存款的本利和为a8，则a1＝a(1＋p)，a2＝a(1＋p)2＋a(1＋p)，…，a8＝a(1＋p)8＋a(1＋p)7＋…＋a(1＋p) ＝a(1＋p)9－a(1＋p)．所以这个家庭应取出的钱数为[(1＋p)9－(1＋p)]． “零存整取模型”，存期n，每一次存款到期后的利息构成等差数列，到期后每一次存款的本利和也构成等差数列．“定期自动转存模型”，到期后每一次存款的本利和构成等比数列． [变式训练] 3．某家庭为准备孩子上大学的学费，每年6月30日都在银行中存入2 000元，连续存5年，有以下两种存款的方式： (1)如果按5年期零存整取计，即每存入a元，按a(1＋n·6.5%)计算本利(n为年数)； (2)如果按每年转存计，即每存入a元，按(1＋5.7%)n·a计算本利(n为年数)．请问用哪种存款的方式在第6年的7月1日到期的全部本利较高？(结果精确到1元，1.0576≈1.395) 解：若不计复利，5年的零存整取本利是2 000(1＋5×0.065)＋2 000(1＋4×0.065)＋…＋2 000(1＋0.065)＝11 950(元)；若计复利，则2 000(1＋0.057)5＋2 000(1＋0.057)4＋…＋2 000(1＋0.057)≈2 000×≈11 860(元)．所以，第(1)种存款方式到期的全部本利较高． 1．有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方，看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？ A．203只 B．205只 C．207只 D．103只 解析：B　[本题即已知一个等差数列：3,5,7,9,11,13,15，…，求这个数列的第102项是多少，第n项＝首项＋公差×(n－1)，所以，第102项为3＋2×(102－1)＝205.] 2．某种产品计划每年降低成本q%，若三年后的成本是a元，则现在的成本是(　　) A．a3q% B．a·(q%)3 C．a(1－q%)3 D. 解析：D　[设现在的成本为x元，则x(1－q%)3＝a，所以x＝.] 3．某林场计划第一年造林m亩，以后每年比前一年多造10%，那么第4年造林(　　) A．m(1＋10%)3亩 B．m(1＋10%)4亩 C．m(1＋10%)5亩 D．m(1＋10%)6亩 解析：B　[依据复利公式，第4年造林m(1＋10%)4亩．] 4．我国古代数学名著《张丘建算经》有“分钱问题”如下：“今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还数聚与均分之，人得一百钱，问人几何．”则分钱问题中的人数为　________　. 解析：设人数为n，则由题意可知，每人分得钱数构成公差为1，首项为3的等差数列，且前n项和Sn＝100n，又Sn＝＋3n，所以＋3n＝100n，解得n＝195. 答案：195 学科网（北京）股份有限公司 $$