2.3.2 等比数列的前n项和（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块同步教案（人教版2021）

2.3　等比数列 2.3.2 　等比数列的前n项和 第二章　数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第二章 数列 数学基础模块（RJ） 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 　 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 课程标准 素养解读 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式． 2．理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系. 在探索等比数列的前n项和公式的过程中，发展学生的数学运算和逻辑推理素养. 相传古时候有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，并将其献给了国王，国王从此迷上了下棋．作为对这位大臣的奖勋，国王许诺满足大臣一个要求．大臣说：“就在这个棋盘上放上一些麦粒吧，第一格放1粒，第二格放2粒，第三格放4粒，然后依次是8粒，16粒，…，一直到第六十四格，”“就要这么一点儿麦粒？”国王哈哈大笑，慷慨地答应了．大臣：“就怕您的国库里没有这么多麦粒！”为什么大臣说国库里没有这么多麦粒呢？ [温馨提醒]　用等比数列前n项和公式时，一定要对该数列的公比q＝1和q≠1进行讨论． [知识点]　等比数列前n项和公式 已知量 首项、公比和项数 首项、末项和公比 公式 Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(na1，q＝1,　\f(a11－qn,1－q)，q≠1　)) Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(na1，q＝1,　\f(a1－anq,1－q)，q≠1　)) 求等比数列的前n项和可以直接利用公式Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)吗？ 提示：不可以，当q＝1时，Sn＝na1. 1．数列－2，－2，－2，…的前10项和为(　　) A．－2 B．0 C．－18 D．－20 解析：D　[此数列是首项为－2，公比为1的等比数列，所以S10＝10×(－2)＝－20.] 2．在等比数列{an}中，若a1＝1，q＝2，则该数列的前9项和为(　　) A．512 B．511 C．256 D．255 解析：B　[因为a1＝1，q＝2，所以S9＝eq \f(1×1－29,1－2)＝29－1＝511.] 3．在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝eq \f(1,8)，则该数列的前10项和S10＝(　　) A．2－eq \f(1,28) B．2－eq \f(1,29) C．2－eq \f(1,210) D．2－eq \f(1,211) 解析：B　[易知公比q＝eq \f(1,2)，则S10＝eq \f(1－\f(1,210),1－\f(1,2))＝2－eq \f(1,29).] 求等比数列的前几项和 　(1)求等比数列eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，eq \f(1,8)，…的前n项和公式，并求出数列的前8项和． (2)在等比数列{an}中，a1＝2，q＝3，an＝162，求该数列前n项的和． [思路点拨]　(1)已知a1公比q和项数n，利用Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)(q≠1)求解． (2)已知a1，公比q和末项an，利用Sn＝eq \f(a1－anq,1－q)(q≠1)求解． [解]　(1)因为a1＝eq \f(1,2)，q＝eq \f(\f(1,4),\f(1,2))＝eq \f(1,2)≠1，所以等比数列前n项和公式为Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(\f(1,2)×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n)),1－\f(1,2))＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n， 所以S8＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))8＝eq \f(255,256). (2)由等比数列前n项和公式得Sn＝eq \f(a1－anq,1－q)＝eq \f(2－162×3,1－3)＝242.所以该数列前n项的和为242. 等比数列的前n项和Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)(q≠1)＝eq \f(a1－anq,1－q)(q≠1)或Sn＝na1(q＝1)，根据已知确定首项、末项、项数、公比． [变式训练] 1．已知在等比数列{an}中，a1＝6，a4＝－eq \f(3,4)，Sn＝eq \f(129,32)，求项数n. 解：因为a1＝6，a4＝－eq \f(3,4)，所以6q4－1＝－eq \f(3,4)，解得q＝－eq \f(1,2).又eq \f(6×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n)),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq \f(129,32)，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n＝－eq \f(1,128)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))7，因此n＝7. 等比数列前n项和公式的综合应用 　已知一个等比数列{an}，a1＋a3＝10，a4＋a6＝eq \f(5,4)，求a4和S5. [思路点拨]　构造方程组，利用作商法消元，求首项和公比，进而利用求和公式求S5. [解]　设等比数列的公比为q， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋a1q2＝10，,a1q3＋a1q5＝\f(5,4)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a11＋q2＝10，　　①,a1q31＋q2＝\f(5,4).　②)) ∵a1≠0,1＋q2≠0，②÷①得q3＝eq \f(1,8)，∴q＝eq \f(1,2)，∴a1＝8，∴a4＝8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝1，∴S5＝eq \f(8×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5)),1－\f(1,2))＝eq \f(31,2). 等比数列前n项和公式的运算 当q＝1时，等比数列是常数列，所以Sn＝na1；当q≠1时，等比数列的前n项和Sn有两个公式．当已知a1，q与n时，用Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)比较方便；当已知a1，q与an时，用Sn＝eq \f(a1－anq,1－q)比较方便． [变式训练] 2．在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn. 解析：若q＝1，则S3∶S2＝3∶2，而事实上，S3∶S2＝31∶6，故q≠1. 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(a11－q2,1－q)＝30，　　①,\f(a11－q3,1－q)＝155，　 ②))两式作比，得eq \f(1＋q,1＋q＋q2)＝eq \f(6,31)， 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝5，,q＝5，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝180，,q＝－\f(5,6)，))从而Sn＝eq \f(51－5n,1－5)＝eq \f(5,4)(5n－1)(n∈N＋)或Sn＝eq \f(180\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)))n)),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6))))＝eq \f(1 080\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)))n)),11)(n∈N＋)． 1．设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则Sn等于(　　) A.eq \f(n[－1n－1],2) B.eq \f(－1n＋1＋1,2) C.eq \f(－1n＋1,2) D.eq \f(－1n－1,2) 解析：D　[Sn＝eq \f(－1[1－－1n],1－－1)＝eq \f(－1n－1,2).] 2．在等比数列{an}中，已知a2＝3，a3＝3a2，则该数列前10项和S10等于(　　) A.eq \f(310－1,2) B.eq \f(311－1,2) C.eq \f(1－310,2) D.eq \f(310－1,3) 解析：A　[设公比为q，q＝eq \f(a3,a2)＝3，a1＝eq \f(a2,q)＝1，Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)，将公式中的n取10，q取3，a1取1即可．] 3．若在等比数列{an}中，q＝4，S3＝21，则该数列的通项公式为an＝(　　) A．4n－1 B．4n C．3n D．3n－1 解析：A　[由S3＝eq \f(a11－q3,1－q)＝21及q＝4，解得a1＝1，于是an＝4n－1.] 4．若在等比数列{an}中，a1＝eq \f(1,2)，q＝2，则S5＝　________　. 解析：S5＝eq \f(a11－q5,1－q)＝eq \f(31,2). 答案：eq \f(31,2) $$ 2.3.2　等比数列的前n项和 课程标准 素养解读 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式． 2．理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系. 在探索等比数列的前n项和公式的过程中，发展学生的数学运算和逻辑推理素养. 相传古时候有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，并将其献给了国王，国王从此迷上了下棋．作为对这位大臣的奖勋，国王许诺满足大臣一个要求．大臣说：“就在这个棋盘上放上一些麦粒吧，第一格放1粒，第二格放2粒，第三格放4粒，然后依次是8粒，16粒，…，一直到第六十四格，”“就要这么一点儿麦粒？”国王哈哈大笑，慷慨地答应了．大臣：“就怕您的国库里没有这么多麦粒！”为什么大臣说国库里没有这么多麦粒呢？ [知识点]　等比数列前n项和公式 已知量 首项、公比和项数 首项、末项和公比 公式 Sn＝ Sn＝ [温馨提醒]　用等比数列前n项和公式时，一定要对该数列的公比q＝1和q≠1进行讨论． 求等比数列的前n项和可以直接利用公式Sn＝吗？ 提示：不可以，当q＝1时，Sn＝na1. 1．数列－2，－2，－2，…的前10项和为(　　) A．－2 B．0 C．－18 D．－20 解析：D　[此数列是首项为－2，公比为1的等比数列，所以S10＝10×(－2)＝－20.] 2．在等比数列{an}中，若a1＝1，q＝2，则该数列的前9项和为(　　) A．512 B．511 C．256 D．255 解析：B　[因为a1＝1，q＝2，所以S9＝＝29－1＝511.] 3．在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝，则该数列的前10项和S10＝(　　) A．2－ B．2－ C．2－ D．2－ 解析：B　[易知公比q＝，则S10＝＝2－.] 　求等比数列的前几项和 　(1)求等比数列，，，…的前n项和公式，并求出数列的前8项和． (2)在等比数列{an}中，a1＝2，q＝3，an＝162，求该数列前n项的和． [思路点拨]　(1)已知a1公比q和项数n，利用Sn＝(q≠1)求解． (2)已知a1，公比q和末项an，利用Sn＝(q≠1)求解． [解]　(1)因为a1＝，q＝＝≠1，所以等比数列前n项和公式为Sn＝＝ ＝1－n， 所以S8＝1－8＝. (2)由等比数列前n项和公式得Sn＝＝＝242.所以该数列前n项的和为242. 等比数列的前n项和Sn＝(q≠1)＝(q≠1)或Sn＝na1(q＝1)，根据已知确定首项、末项、项数、公比． [变式训练] 1．已知在等比数列{an}中，a1＝6，a4＝－，Sn＝，求项数n. 解：因为a1＝6，a4＝－，所以6q4－1＝－，解得q＝－.又＝，即n＝－＝7，因此n＝7. 　等比数列前n项和公式的综合应用 　已知一个等比数列{an}，a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5. [思路点拨]　构造方程组，利用作商法消元，求首项和公比，进而利用求和公式求S5. [解]　设等比数列的公比为q， 则 即∵a1≠0,1＋q2≠0，②÷①得q3＝，∴q＝，∴a1＝8，∴a4＝8×3＝1，∴S5＝＝. 等比数列前n项和公式的运算 当q＝1时，等比数列是常数列，所以Sn＝na1；当q≠1时，等比数列的前n项和Sn有两个公式．当已知a1，q与n时，用Sn＝比较方便；当已知a1，q与an时，用Sn＝比较方便． [变式训练] 2．在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn. 解析：若q＝1，则S3∶S2＝3∶2，而事实上，S3∶S2＝31∶6，故q≠1. 所以 两式作比，得＝，解得或从而Sn＝＝(5n－1)(n∈N＋)或Sn＝ ＝(n∈N＋)． 1．设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则Sn等于(　　) A. B. C. D. 解析：D　[Sn＝＝.] 2．在等比数列{an}中，已知a2＝3，a3＝3a2，则该数列前10项和S10等于(　　) A. B. C. D. 解析：A　[设公比为q，q＝＝3，a1＝＝1，Sn＝，将公式中的n取10，q取3，a1取1即可．] 3．若在等比数列{an}中，q＝4，S3＝21，则该数列的通项公式为an＝(　　) A．4n－1 B．4n C．3n D．3n－1 解析：A　[由S3＝＝21及q＝4，解得a1＝1，于是an＝4n－1.] 4．若在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则S5＝　________　. 解析：S5＝＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 对应学生课时P215 [基础过关] 1．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5等于(　　) A．33 B．72 C．84 D．189 解析：C　[由S3＝a1(1＋q＋q2)＝21且a1＝3，得q2＋q－6＝0.∵q>0，∴q＝2.∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝q2·S3＝22×21＝84.] 2．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　) A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 解析：B　[设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，∴S7＝＝＝381，解得a1＝3.] 3．已知等比数列{an}的公比q＝2，且2a4，a6,48成等差数列，则{an}的前8项和为(　　) A．127 B．255 C．511 D．1 023 解析：B　[因为2a4，a6,48成等差数列，所以2a6＝2a4＋48，所以2a1q5＝2a1q3＋48.又因为q＝2，所以a1＝1，所以S8＝＝255.] 4.设Sn为等比数列{an}的前n项和，若2a2＋a3＝0，则＝(　　) A．11 B．5 C．－8 D．－11 解析：D　[由2a2＋a3＝0，得a3＝－2a2，所以等比数列{an}的公比q＝－2，于是＝＝＝－11.] 5．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若6S3＝7S2，则公比为(　　) A．－2 B．－ C. D．2 解析：C　[已知6S3＝7S2，所以6a1＋6a2＋6a3＝7a1＋7a2，则6a3＝a1＋a2,6a1·q2－a1－a1·q＝0,6q2－q－1＝0，解得q1＝，q2＝－(舍去)．] 6．在数列{an}中，已知an＋1＝2an，a1＝3，则此数列的前5项和S5＝　________　. 解析：由题意知{an}是等比数列，q＝＝2，S5＝＝93. 答案：93 7．若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an(n∈N＋)，则a5＝　________　，前8项和S8＝　________　. 解析：由a1＝1，an＋1＝2an(n∈N＋)，可知{an}是首项为1、公比为2的等比数列，所以a5＝a1q4＝16，S8＝＝255. 答案：16；255 8．若在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，则q＝　________　. 解析：设数列{an}的公比为q，则S3＝a1＋a2＋a3＝2＋2q＋2q2＝6，解得q＝1或q＝－2. 答案：1或－2 9．在等比数列{an}中，a1＝2，q＝3，求该数列前5项的和． 解：由等比数列的前n项和公式得S5＝＝＝242.所以该数列前5项的和为242. [能力提升] 10．已知数列{an}满足2an＋1＋an＝0，a2＝1，则数列{an}的前10项和S10＝(　　) A.(210－1) B.(210＋1) C.(2－10－1) D.(2－10＋1) 解析：C　[因为2an＋1＋an＝0，所以＝－.又a2＝1，所以a1＝－2.所以数列{an}是以－2为首项，－为公比的等比数列，所以S10＝＝＝(2－10－1)．] 11．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q≠1.若a1＝1，且对任意的n∈N＋都有an＋2＋an＋1＝2an，则S5＝(　　) A．12 B．20 C．11 D．21 解析：C　[an＋2＋an＋1＝2an等价于anq2＋anq＝2an.因an≠0，故q2＋q－2＝0，即(q＋2)(q－1)＝0.因为q≠1，所以q＝－2，故S5＝＝11.] 12．已知等比数列{an}的前n项和是Sn，则下列说法不一定成立的是(　　) A．若a3>0，则a2 023>0 B．若a4>0，则a2 024>0 C．若a3>0，则S2 023>0 D．若a3>0，则S2 023<0 解析：D　[设数列{an}的公比为q，当a3>0时，a2 023＝a3q2 020>0，A正确；当a4>0时，a2 024＝a4·q2 020>0，B正确；又当q≠1时，S2 023＝，a3>0则a1>0，当q<0时，1－q>0,1－q2 023>0，∴S2 023>0，当0<q<1时，1－q>0,1－q2 023>0，∴S2 023>0，当q>1时，1－q<0，1－q2 023<0，∴S2 023>0.当q＝1时，S2 023＝2 023a1>0，故C正确，D不正确．] 13．等比数列1，，，…的前10项和为　________　. 解析：由题意知a1＝1，q＝，S10＝＝. 答案： 14．在公比为正数的等比数列{an}中，若a1＝1，a5＝16，则该数列的前7项和S7＝　________　. 解析：＝q4＝16，又q>0，解得q＝2，所以S7＝＝127. 答案：127 15．已知在等比数列{an}中，a1＝1，an＝32，Sn＝63，求q和n. 解：由Sn＝＝＝63，解得q＝2.将q＝2代入an＝a1qn－1＝2n－1＝32，解得n＝6. 学科网（北京）股份有限公司 $$