2.2.2 等差数列的前n项和（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块同步教案（人教版2021）

2．2.2　等差数列的前n项和 课程标准 素养解读 1.探索并掌握等差数列的前n项和公式． 2．理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系. 在探索等差数列的前n项和公式及相关性质的过程中，提升学生的数学运算和逻辑推理素养. 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇帝建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环的石板铺成(如图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈．则最高一层的石板一共有多少块？ [知识点一]　数列的前n项和 将数列{an}从第1项起到第n项为止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. [知识点二]　等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和 Sn＝　　 Sn＝　na1＋　 公式 温馨提醒　在公式Sn＝na1＋d中，当d＝0时，Sn＝na1；当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且不含常数项． 对于一般的等差数列，如何求它的前n项和？其理论依据是什么？ 提示　倒序相加法求和． Sn表示前n项和，则Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an， Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a2＋a1， ∴2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝ 1．前n个正整数的和是(　　) A. B．n(n＋1) C. D．n2 解析：A　[前n个正整数构成等差数列{an}，其中a1＝1，公差d＝1，则an＝n，所以前n项和Sn＝.] 2．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10的值是(　　) A．12 B．24 C．36 D．48 解析：B　[S10＝＝5(a1＋a10)＝120，∴a1＋a10＝24.] 3．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于(　　) A．2 B．3 C．6 D．7 解析：B　[法一　由解得d＝3.法二　由S4－S2＝a3＋a4＝a1＋2d＋a2＋2d＝S2＋4d，所以20－4＝4＋4d，解得d＝3.] 　等差数列前n项和公式的基本运算 　在等差数列{an}中，(1)a1＝1，a20＝20，求S20； (2)a1＝2，d＝－2，求S20. [思路点拨]　(1)由已知条件可知，应选择公式Sn＝ (2)由已知条件可知，应选择公式Sn＝na1＋d. [解]　(1)因为a1＝1，a20＝20，n＝20，所以S20＝＝＝210. (2)因为a1＝2，d＝－2，n＝20，所以S20＝na1＋d＝20×2＋×(－2)＝－340. 在等差数列的前n项和公式中，如果已知a1，an，则用公式Sn＝求解Sn.如果已知a1和公差d，则用公式Sn＝na1＋d求解Sn. [变式训练] 1．(1)在等差数列{an}中，a1＝5，a9＝85，求S9. 解：根据等差数列的前n项和公式得S9＝＝405. (2)等差数列－6，－4，－2,0，…的前多少项的和等于30? 解：设该数列的前n项和等于30，由于a1＝－6，d＝a2－a1＝(－4)－(－6)＝2，故由等差数列前n项和公式，得30＝(－6)n＋×2，即n2－7n－30＝0.解得n＝10或n＝－3(舍去)．因此，该数列的前10项和是30. 　等差数列前n项和公式的应用 　在等差数列{an}中： (1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10； (2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n. [思路点拨]　(1)根据等差数列的通项公式，构造方程组，求首项a1和公差d，再利用求和公式． (2)根据等差数列的通项公式，整体代入． [解]　(1)法一　由已知条件得解得∴S10＝10a1＋d ＝10×3＋×4＝210. 法二　由已知条件得 ∴a1＋a10＝42，∴S10＝＝5×42＝210. (2)S7＝＝＝7(a1＋3d)＝7a4＝42，∴a4＝6，∵a4＝a1＋3d，an－3＝a1＋(n－4)d，∴a4＋an－3＝a1＋a1＋(n－1)d＝a1＋an，∴Sn＝＝＝＝510，∴n＝20. 等差数列的基本计算问题，往往可以利用通项公式及求和公式列出含有已知量与未知量的方程或方程组，然后再解．在解方程或方程组的过程中，注意使用相应的方法与技巧，如方程两边分别相除，整体代入等． [变式训练] 2．等差数列{an}中，a3＋a7－a10＝－10，a4＋a11＝10，求S13. 解：由已知得方程组 解得a1＝－8，d＝2，因此S13＝13×(－8)＋×13×12×2＝52. 1．已知数列{an}为等差数列，且a1＝1，S10＝100，则公差d的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：B　[由S10＝10a1＋d，解得d＝2.] 2．已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项和S10＝(　　) A．138 B．135 C．95 D．23 解析：C　[由 得，解得则S10＝10×(－4)＋×10×9×3＝95.]3.记等差数列{an}的前n项和为Sn.若S10＝95，a8＝17，则(　　) A．an＝5n－23 B．Sn＝2n2－n C．an＝4n－15 D．Sn＝ 解析：D　[设等差数列{an}的公差为d，则10a1＋45d＝95，a1＋7d＝17，解得a1＝－4，d＝3，故an＝3n－7，Sn＝.] 4．在等差数列{an}中，a1＝2，a6＝8，则S6＝　________　. 解析：S6＝＝30. 答案：30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 对应学生课时P213 [基础过关] 1．若数列{an}的前n项和为Sn＝3＋2n，则a6＝(　　) A．8 B．16 C．32 D．64 解析：C　[a6＝S6－S5＝(3＋26)－(3＋25)＝32.] 2．设Sn是等差数列{an}的前n项和．若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　) A．5 B．7 C．9 D．11 解析：A　[由a1＋a3＋a5＝3a3＝3，得a3＝1，又S5＝＝5a3＝5.] 3．在等差数列{an}中，S7＝70，则a4＝(　　) A．8 B．9 C．10 D．20 解析：C　[因为S7＝＝7a4，所以a4＝＝10.] 4．在等差数列{an}中，a2＋a4＝36，则数列的前5项和为(　　) A．108 B．90 C．72 D．24 解析：B　[S5＝＝＝90.] 5．设Sn是等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2 021，S6－2S3＝18，则S2 023＝(　　) A．－2 021 　 B．2 021 　 C．2 022 D．2 023 解析：D　[设等差数列{an}的公差为d.∵a1＝－2 021，S6－2S3＝18，∴6a1＋·d－6a1－2×·d＝18，整理可得9d＝18，解得d＝2，则S2 023＝2 023×(－2 021)＋×2＝2 023.] 6．在等差数列{an}中，a1＝－3，d＝2，则S10＝　________　. 解析：S10＝10a1＋d＝60. 答案：60 7．等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10的值等于(　　) A．12 B．24 C．16 D．48 解析：B　[S10＝120＝＝5(a1＋a10)，所以a1＋a10＝24.] 8．在等差数列{an}中，a3＝2，a5＝8，则S7＝　________　. 解析：S7＝＝＝35. 答案：35 9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7＝49，S15＝225，求S20. 解：根据题意可得代入解得所以S20＝20×1＋×2＝400. [能力提升] 10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝0，a5＝5，则(　　) A．an＝2n＋5(n∈N＋) B．an＝3n－10(n∈N＋) C．Sn＝n2－4n(n∈N＋) D．Sn＝n2－2n(n∈N＋) 解析：C　[首项为a1，公差为d，则∴a1＝－3，d＝2.∴an＝－3＋2(n－1)＝2n－5(n∈N＋)，Sn＝(－3)n＋×2＝n2－4n(n∈N＋)，故选C.] 11．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于(　　) A．13 B．35 C．49 D．63 解析：C　[a1＋a7＝a1＋a1＋6d＝a1＋d＋a1＋5d＝a2＋a6＝3＋11＝14，则S7＝＝＝＝49.] 12．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，n∈N＋，则an等于(　　) A．4n－2(n∈N＋) B．n2(n∈N＋) C．2n＋1(n∈N＋) D．2n(n∈N＋) 解析：D　[当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，又因为a1＝2符合an＝2n，所以an＝2n(n∈N＋)．] 13．等差数列{an}中a1＝2，a2＝3，则其前10项的和S10＝　________　. 解析：由a1＝2，a2＝3得d＝1，故S10＝10a1＋×10×9d＝10×2＋45＝65. 答案：65 14．已知数列{an}中，a1＝3且an＋1＝an＋2，则S8＝　________　. 解析：由an＋1＝an＋2可知，{an}是公差为2的等差数列，于是S8＝8a1＋d＝80. 答案：80 15．(1)设{an}是等差数列，前n项和记为Sn，已知a10＝30，a20＝50. (1)求通项an； (2)若Sn＝242，求n的值． 解析：(1)设公差为d，则a20－a10＝10d＝20，∴d＝2.∴a10＝a1＋9d＝a1＋18＝30，∴a1＝12.∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋2(n－1)＝2n＋10. (2)Sn＝＝＝n2＋11n＝242，∴n2＋11n－242＝0，解得n＝11. 学科网（北京）股份有限公司 $$2.2　等差数列 2.2.2 　等差数列的前n项和 第二章　数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第二章 数列 数学基础模块（RJ） 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 　 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 课程标准 素养解读 1.探索并掌握等差数列的前n项和公式． 2．理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系. 在探索等差数列的前n项和公式及相关性质的过程中，提升学生的数学运算和逻辑推理素养. 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇帝建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环的石板铺成(如图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈．则最高一层的石板一共有多少块？ [知识点一]　数列的前n项和 将数列{an}从第1项起到第n项为止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. [知识点二]　等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和 Sn＝　eq \f(na1＋an,2)　 Sn＝　na1＋eq \f(nn－1d,2)　 公式 温馨提醒　在公式Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d中，当d＝0时，Sn＝na1；当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且不含常数项． 对于一般的等差数列，如何求它的前n项和？其理论依据是什么？ 提示　倒序相加法求和． Sn表示前n项和，则Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an， Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a2＋a1， ∴2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝eq \f(na1＋an,2) 1．前n个正整数的和是(　　) A.eq \f(nn＋1,2) B．n(n＋1) C.eq \f(nn－1,2) D．n2 解析：A　[前n个正整数构成等差数列{an}，其中a1＝1，公差d＝1，则an＝n，所以前n项和Sn＝eq \f(nn＋1,2).] 2．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10的值是(　　) A．12 B．24 C．36 D．48 解析：B　[S10＝eq \f(10a1＋a10,2)＝5(a1＋a10)＝120，∴a1＋a10＝24.] 3．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于(　　) A．2 B．3 C．6 D．7 解析：B　[法一　由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S2＝2a1＋d＝4，,S4＝4a1＋6d＝20，))解得d＝3.法二　由S4－S2＝a3＋a4＝a1＋2d＋a2＋2d＝S2＋4d，所以20－4＝4＋4d，解得d＝3.] 等差数列前n项和公式的基本运算 　在等差数列{an}中，(1)a1＝1，a20＝20，求S20； (2)a1＝2，d＝－2，求S20. [思路点拨]　(1)由已知条件可知，应选择公式Sn＝eq \f(na1＋an,2) (2)由已知条件可知，应选择公式Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d. [解]　(1)因为a1＝1，a20＝20，n＝20，所以S20＝eq \f(na1＋a20,2)＝eq \f(20×1＋20,2)＝210. (2)因为a1＝2，d＝－2，n＝20，所以S20＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝20×2＋eq \f(20×20－1,2)×(－2)＝－340. 在等差数列的前n项和公式中，如果已知a1，an，则用公式Sn＝eq \f(na1＋an,2)求解Sn.如果已知a1和公差d，则用公式Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d求解Sn. [变式训练] 1．(1)在等差数列{an}中，a1＝5，a9＝85，求S9. 解：根据等差数列的前n项和公式得S9＝eq \f(9×5＋85,2)＝405. (2)等差数列－6，－4，－2,0，…的前多少项的和等于30? 解：设该数列的前n项和等于30，由于a1＝－6，d＝a2－a1＝(－4)－(－6)＝2，故由等差数列前n项和公式，得30＝(－6)n＋eq \f(nn－1,2)×2，即n2－7n－30＝0.解得n＝10或n＝－3(舍去)．因此，该数列的前10项和是30. 等差数列前n项和公式的应用 (1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10； (2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n. [思路点拨]　(1)根据等差数列的通项公式，构造方程组，求首项a1和公差d，再利用求和公式． (2)根据等差数列的通项公式，整体代入． [解]　(1)法一　由已知条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a5＋a10＝2a1＋13d＝58，,a4＋a9＝2a1＋11d＝50，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝4.))∴S10＝10a1＋eq \f(10×10－1,2)d ＝10×3＋eq \f(10×9,2)×4＝210. 法二　由已知条件得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a5＋a10＝a1＋a10＋4d＝58，,a4＋a9＝a1＋a10＋2d＝50，))∴a1＋a10＝42， ∴S10＝eq \f(10a1＋a10,2)＝5×42＝210. (2)S7＝eq \f(7a1＋a7,2)＝eq \f(7a1＋a1＋6d,2)＝7(a1＋3d)＝7a4＝42，∴a4＝6，∵a4＝a1＋3d，an－3＝a1＋(n－4)d，∴a4＋an－3＝a1＋a1＋(n－1)d＝a1＋an，∴Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝eq \f(na4＋an－3,2)＝eq \f(n6＋45,2)＝510，∴n＝20. 等差数列的基本计算问题，往往可以利用通项公式及求和公式列出含有已知量与未知量的方程或方程组，然后再解．在解方程或方程组的过程中，注意使用相应的方法与技巧，如方程两边分别相除，整体代入等． [变式训练] 2．等差数列{an}中，a3＋a7－a10＝－10，a4＋a11＝10，求S13. 解：由已知得方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋2d＋a1＋6d－a1＋9d＝－10，,a1＋3d＋a1＋10d＝10，))解得a1＝－8，d＝2，因此S13＝13×(－8)＋eq \f(1,2)×13×12×2＝52. 1．已知数列{an}为等差数列，且a1＝1，S10＝100，则公差d的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：B　[由S10＝10a1＋eq \f(10×9,2)d，解得d＝2.] 2．已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项和S10＝(　　) A．138 B．135 C．95 D．23 解析：C　[由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＋a4＝4，,a3＋a5＝10，)) 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋d＋a1＋3d＝4，,a1＋2d＋a1＋4d＝10))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－4，,d＝3，))则S10＝10×(－4)＋eq \f(1,2)×10×9×3＝95.] 3.记等差数列{an}的前n项和为Sn.若S10＝95，a8＝17，则(　　) A．an＝5n－23 B．Sn＝2n2－eq \f(21,2)n C．an＝4n－15 D．Sn＝eq \f(3n2－11n,2) 解析：D　[设等差数列{an}的公差为d，则10a1＋45d＝95，a1＋7d＝17，解得a1＝－4，d＝3，故an＝3n－7，Sn＝eq \f(3n2－11n,2).] 4．在等差数列{an}中，a1＝2，a6＝8，则S6＝　________　. 解析：S6＝eq \f(6a1＋a6,2)＝30. 答案：30 $$