2.2.1 等差数列的概念（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块同步教案（人教版2021）

[基础过关] 1．若数列{an}的通项公式是an＝4n－1，则此数列是(　　) A．公差为－1的等差数列 B．公差为4的等差数列 C．首项为－1的等差数列 D．首项为4的等差数列 解析：B　[由an＝4n－1，得a1＝4×1－1＝3，d＝an＋1－an＝[4(n＋1)－1]－(4n－1)＝4，所以数列{an}是首项为3、公差为4的等差数列．] 2．设数列{an}(n∈N＋)是公差为d的等差数列，若a2＝4，a4＝6，则d等于(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：D　[由a2＝a1＋d＝4，a4＝a1＋3d＝6，解得d＝1.] 3．若a＝，b＝，则a，b的等差中项为(　　) A. B. C. D. 解析：A　[由题知a，b的等差中项为 ＝＝.] 4．已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝(　　) A．－2 B．－ C. D．2 解析：B　[由条件得 解得] 5．等差数列前三项为x－1，x＋1,2x＋3，则这个数列的通项公式为(　　) A．an＝2n＋1 B．an＝2n－1 C．an＝2n－3 D．an＝2n－5 解析：C　[由条件知，2(x＋1)＝(x－1)＋(2x＋3)，∴x＝0，∴此等差数列的首项a1＝－1，公差d＝2，∴an＝2n－3.] 6．在等差数列{an}中，若a1＝3，a2＋a5＝10，则a6＝　________　. 解析：[因为{an}是等差数列，所以a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝10，解得d＝，所以a6＝a1＋5d＝3＋5×＝7.] 答案：7 7．已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的第100项为　________　. 解析：依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，设该等差数列为{an}，则a100＝－8＋99×5＝487. 答案：487 8．现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为　________　升． 解析：设此等差数列为{an}，公差为d，最上一节为a1，则 ∴解得∴a5＝a1＋4d＝＋4×＝. 答案： 9．判断83是否为等差数列－1,3,7,11，…中的项，如果是，请指出是第几项． 解：数列－1,3,7,11，…是首项为－1、公差为4的等差数列，其通项公式为an＝4(n－1)－1＝4n－5.令4n－5＝83，解得n＝22∈N＋，所以83是数列的第22项． [能力提升] 10．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数为(　　) A．92 B．47 C．46 D．45 解析：C　[a1＝1，d＝－1－1＝－2，∴an＝1＋(n－1)(－2)＝－2n＋3，由－89＝－2n＋3，得n＝46.] 11．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是(　　) A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 解析：B　[∵a1＝20，d＝－3，∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，∴a7＝2>0，a8＝－1<0.故数列中第一个负数项是第8项．] 12．等差数列{an}中，a5＝33，a45＝153，则201是该数列的第(　　)项 A．60 B．61 C．62 D．63 解析：B　[设公差为d，由题意，得，解得.∴an＝a1＋(n－1)d＝21＋3(n－1)＝3n＋18.令201＝3n＋18，∴n＝61.] 13．假设某市2020年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米．那么该市在　________　年新建住房的面积开始大于820万平方米． 解析：设n年后该市新建住房的面积为an万平方米．由题意，得{an}是等差数列，首项a1＝450，公差d＝50，所以an＝a1＋(n－1)d＝400＋50n.令400＋50n>820，解得n>.由于n∈N＋，则n≥9.所以该市在2 029年新建住房的面积开始大于820万平方米． 答案：2 029 14．已知x≠y，m，n∈N＋，且两个数列x，a1，a2，…，am，y与x，b1，b2，…，bn，y各自都成等差数列，则＝　________　. 解析：设这两个等差数列公差分别是d1，d2，则a2－a1＝d1，b2－b1＝d2.第一个数列共(m＋2)项，∴d1＝；第二个数列共(n＋2)项，∴d2＝，∴＝＝. 答案： 15．在等差数列{an}中， (1)若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项． (2)若a2＝11，a8＝5，求a10. 解：(1)因为解得所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5(n∈N＋)．令2n＋5＝91，得n＝43.因为43为正整数，所以91是此数列中的项． (2)由a2＝11，a8＝5， 得解得∴an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n(n∈N＋)，所以a10＝13－10＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2．2　等差数列 2．2.1　等差数列的概念 课程标准 素养解读 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义． 2．体会等差数列与一元一次函数的关系. 在根据实例抽象出等差数列的概念并归纳出等差数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象和逻辑推理素养. 天坛集明清两代建筑技艺之大成，是古建筑珍品．它以深刻的文化内涵、宏伟的建筑风格，成为中华民族古老文明的写照．圜丘坛是举行冬至祭天大典的场所．圜丘为圆形，三层坛制，每层四面出台阶各9级．上层中心为一块圆石，外铺扇形石块9圈，内圈9块，以9的倍数依次向外延展，栏板、望柱的数量也都是9或9的倍数． 石板以上层中心圆石为起点，第一圈为9块，第二圈为18块，周围各圈直至底层，共9圈，均以9的倍数递增，如图所示．你能算出第9圈共有多少块石板吗？ [知识点一]　等差数列的概念 对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的　前一项　的差都是　同一个常数　，那么称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的　公差　，通常用字母　_d　表示． 数列2,2,2,2，…是等差数列吗？ [提示]　2,2,2,2，，…也是等差数列，它的公差为0.公差为0的数列称为常数列． [知识点二]　等差数列的通项公式 若首项是a1，公差为d，则等差数列{an}的通项公式为an＝　a1＋(n－1)d　. [知识点三]　等差中项 如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的　等差中项　.如果A是a与b的等差中项，那么A－a＝b－A，所以A＝　　.显然，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项． 1．给出下列数列(　　) ①0,0,0,0,0，…； ②1,11,111,1 111，…； ③2,22,23,24，…； ④－5，－3，－1,1,3，…； ⑤1,2,3,5,8…. 其中是等差数列的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：B　[数列①，④是等差数列．] 2．等差数列{1－3n}，n∈N＋的公差d等于(　　) A．1 B．3 C．－3 D．n 解析：C　[∵an＝1－3n，∴a1＝－2，a2＝－5，∴d＝a2－a1＝－3.] 3．3和7的等差中项是(　　) A．4 B．5 C．10 D．6 解析：B　[3和7的等差中项为＝5.] 　等差数列的概念 　下列命题中正确的是(　　) A．数列6,4,2,0是公差为2的等差数列 B．数列a，a－1，a－2，a－3是公差为1的等差数列 C．数列{2n＋1}是等差数列 D．数列{an}中，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)，则数列{an}是等差数列 [思路点拨]　依据等差数列的概念逐一判断． [解]　C　[A中，数列是公差为－2的等差数列；B中，a－1－a＝a－2－(a－1)＝a－3－(a－2)＝－1，是公差为－1的等差数列；C中，an＋1－an＝2(n＋1)＋1－2n－1＝2为常数，是等差数列；D中，a2－a1＝0，an－an－1＝2(n≥3)，数列{an}不是等差数列．] 判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去前一项的差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an＋1－an(n∈N＋)是不是一个与n无关的常数． [变式训练] 1．下列数列不是等差数列的是(　　) A．1,1,1,1,1 B．4,7,10,13,16 C.，，1，， D．－3，－2，－1,1,2 解析：D　[由等差数列的定义得，A项，d＝0，故是等差数列；B项，d＝3，故是等差数列；C项，d＝，故是等差数列；D项，每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列．] 　等差数列的通项公式 　已知在等差数列{an}中，a5＝－20，a20＝－35.试求出数列的通项公式． [思路点拨]　根据已知条件，可以利用等差数列的通项公式列出方程组求出首项和公差，然后再求解． [解]　设{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d(n∈N＋)， 由已知得 解得故数列{an}的通项公式为an＝－16＋(n－1)(－1)＝－15－n，n∈N＋. 等差数列的通项公式及其应用 (1)已知an，a1，n，d中的任意三个量，求出第四个量． (2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项，也可以判断某一个数是不是该数列中的项． (3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组，求出a1和d，从而确定通项公式，求得所要求的项． [变式训练] 2．在等差数列{an}中，已知a4＝8，a10＝20，试求公差d及a20. 解析：因为a4＝8，a10＝20，所以由an＝a1＋(n－1)d，可得a1＋3d＝8，a1＋9d＝20，解得a1＝2，d＝2.所以a20＝a1＋(20－1)d＝40. 　等差中项及其应用 　在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列． [思路点拨]　由已知b＝，a＝，c＝. [解]　∵－1，a，b，c,7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，∴b＝＝3.又a是－1与b的等差中项，∴a＝＝1.又c是b与7的等差中项，∴c＝＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7. (1)由等差数列的定义知an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N＋)，即2an＝an－1＋an＋1，从而由等差中项的定义可知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项． (2)在求等差数列的项时，可利用上述性质，设相邻三项为a－d，a，a＋d. [变式训练] 3．已知三个数成等差数列，其和为15，平方和为83，求这三个数． 解：设这三个数依次是a－d，a，a＋d，根据题意得 解得因此这三个数分别为3,5,7或7,5,3. 　等差数列的实际应用 　我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法正确的是(　　) A．相邻两个节气晷长减少或增加的均量为二尺 B．春分的晷长比秋分的晷长长 C．小雪的晷长为一丈五寸 D．立春的晷长比立秋的晷长短 [思路点拨]　由已知，由夏至到冬至的晷长构成等差数列，由冬至到夏至的晷长也构成等差数列． [解]　A　[现以寸为单位，由题意可知，由夏至到冬至的晷长构成等差数列{an}，其中a1＝15，a13＝135，公差d＝＝10.同理可得，由冬至到夏至的晷长构成等差数列{bn}，其中b1＝135，b13＝15，公差d′＝＝－10，故相邻两个节气晷长减少或增加的量为20寸，即二尺，故选项A正确；因为春分的晷长为b7，所以b7＝b1＋6d′＝135－60＝75，因为秋分的晷长为a7，所以a7＝a1＋6d＝15＋60＝75，故春分和秋分两个节气的晷长相同，故选项B错误；因为小雪的晷长为a11，则a11＝a1＋10d＝15＋100＝115，即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，故选项C错误；因为立春的晷长的和立秋的晷长分别为b4，a4，a4＝a1＋3d＝15＋30＝45，b4＝b1＋3d′＝135－30＝105，所以b4>a4，故立春的晷长比立秋的晷长长，故选项D错误．] 在实际问题中，若一组数依次成等量增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决；在利用数列方法解决实际问题时，一定要确认首项、项数等关键因素． [变式训练] 4．小明、小明的爸爸和小明的爷爷三人的年龄恰好构成一个等差数列，他们三人的年龄之和为120岁，爷爷的年龄比小明的年龄的4倍还多5岁，求他们祖孙三人的年龄． 解析：设祖孙三人的年龄分别为a－d，a，a＋d，根据题意得 解得所以祖孙三人的年龄分别为15岁、40岁、65岁． 1．数列0,2,4,6，…的通项公式是an＝(　　) A．2n B．2n＋2 C．2n－2 D．2n＋1 解析：C　[题中数列是首项为0、公差为2的等差数列，其通项公式为an＝2(n－1)＋0＝2n－2.] 2.＋1与－1的等差中项是(　　) A．1 B．－1 C. D．±1 解析：C　[设等差中项为x，由等差中项的定义知x＝＝.] 3．在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝(　　) A．12 B．14 C．16 D．18 解析：D　[由a2＝2，a3＝4知d＝＝2.所以a10＝a2＋8d＝2＋8×2＝18.] 4．设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的通项公式为　________　. 解析：设等差数列{an}的公差为d，则a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝2a1＋5d＝6＋5d＝36，∴d＝6，∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋6(n－1)＝6n－3. 答案：an＝6n－3 学科网（北京）股份有限公司 $$2.2　等差数列 2.2.1 　等差数列的概念 第二章　数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第二章 数列 数学基础模块（RJ） 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 　 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第二章 数列 课程标准 素养解读 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义． 2．体会等差数列与一元一次函数的关系. 在根据实例抽象出等差数列的概念并归纳出等差数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象和逻辑推理素养. 天坛集明清两代建筑技艺之大成，是古建筑珍品．它以深刻的文化内涵、宏伟的建筑风格，成为中华民族古老文明的写照．圜丘坛是举行冬至祭天大典的场所．圜丘为圆形，三层坛制，每层四面出台阶各9级．上层中心为一块圆石，外铺扇形石块9圈，内圈9块，以9的倍数依次向外延展，栏板、望柱的数量也都是9或9的倍数． 石板以上层中心圆石为起点，第一圈为9块，第二圈为18块，周围各圈直至底层，共9圈，均以9的倍数递增，如图所示．你能算出第9圈共有多少块石板吗？ [知识点一]　等差数列的概念 对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的　前一项　的差都是　同一个常数　，那么称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的　公差　，通常用字母　 d　表示． 数列2,2,2,2，…是等差数列吗？ [知识点二]　等差数列的通项公式 若首项是a1，公差为d，则等差数列{an}的通项公式为an＝　a1＋(n－1)d　. [提示]　2,2,2,2，，…也是等差数列，它的公差为0.公差为0的数列称为常数列． [知识点三]　等差中项 如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的　等差中项　.如果A是a与b的等差中项，那么A－a＝b－A，所以A＝　eq \f(a＋b,2)　.显然，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项． 1．给出下列数列(　　) ①0,0,0,0,0，…； ②1,11,111,1 111，…； ③2,22,23,24，…； ④－5，－3，－1,1,3，…； ⑤1,2,3,5,8…. 其中是等差数列的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：B　[数列①，④是等差数列．] 2．等差数列{1－3n}，n∈N＋的公差d等于(　　) A．1 B．3 C．－3 D．n 解析：C　[∵an＝1－3n，∴a1＝－2，a2＝－5，∴d＝a2－a1＝－3.] 3．3和7的等差中项是(　　) A．4 B．5 C．10 D．6 解析：B　[3和7的等差中项为eq \f(3＋7,2)＝5.] 等差数列的概念 　下列命题中正确的是(　　) A．数列6,4,2,0是公差为2的等差数列 B．数列a，a－1，a－2，a－3是公差为1的等差数列 C．数列{2n＋1}是等差数列 D．数列{an}中，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)，则数列{an}是等差数列 [思路点拨]　依据等差数列的概念逐一判断． [解]　C　[A中，数列是公差为－2的等差数列；B中，a－1－a＝a－2－(a－1)＝a－3－(a－2)＝－1，是公差为－1的等差数列；C中，an＋1－an＝2(n＋1)＋1－2n－1＝2为常数，是等差数列；D中，a2－a1＝0，an－an－1＝2(n≥3)，数列{an}不是等差数列．] 判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去前一项的差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an＋1－an(n∈N＋)是不是一个与n无关的常数． [变式训练] 1．下列数列不是等差数列的是(　　) A．1,1,1,1,1 B．4,7,10,13,16 C.eq \f(1,3)，eq \f(2,3)，1，eq \f(4,3)，eq \f(5,3) D．－3，－2，－1,1,2 解析：D　[由等差数列的定义得，A项，d＝0，故是等差数列；B项，d＝3，故是等差数列；C项，d＝eq \f(1,3)，故是等差数列；D项，每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列．] 等差数列的通项公式 　已知在等差数列{an}中，a5＝－20，a20＝－35.试求出数列的通项公式． [思路点拨]　根据已知条件，可以利用等差数列的通项公式列出方程组求出首项和公差，然后再求解． [解]　设{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d(n∈N＋)， 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a5＝a1＋4d＝－20，,a20＝a1＋19d＝－35，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝－16，,d＝－1.))故数列{an}的通项公式为an＝－16＋(n－1)(－1)＝－15－n，n∈N＋. 等差数列的通项公式及其应用 (1)已知an，a1，n，d中的任意三个量，求出第四个量． (2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项，也可以判断某一个数是不是该数列中的项． (3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组，求出a1和d，从而确定通项公式，求得所要求的项． [变式训练] 2．在等差数列{an}中，已知a4＝8，a10＝20，试求公差d及a20. 解析：因为a4＝8，a10＝20，所以由an＝a1＋(n－1)d，可得a1＋3d＝8，a1＋9d＝20，解得a1＝2，d＝2.所以a20＝a1＋(20－1)d＝40. 等差中项及其应用 　在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列． [思路点拨]　由已知b＝eq \f(－1＋7,2)，a＝eq \f(－1＋b,2)，c＝eq \f(b＋7,2). [解]　∵－1，a，b，c,7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，∴b＝eq \f(－1＋7,2)＝3.又a是－1与b的等差中项，∴a＝eq \f(－1＋3,2)＝1.又c是b与7的等差中项，∴c＝eq \f(3＋7,2)＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7. (1)由等差数列的定义知an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N＋)，即2an＝an－1＋an＋1，从而由等差中项的定义可知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项． (2)在求等差数列的项时，可利用上述性质，设相邻三项为a－d，a，a＋d. [变式训练] 3．已知三个数成等差数列，其和为15，平方和为83，求这三个数． 解：设这三个数依次是a－d，a，a＋d，根据题意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝15，,a－d2＋a2＋a＋d2＝83，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝5，,d＝±2.))因此这三个数分别为3,5,7或7,5,3. 等差数列的实际应用 　我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载： 一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同 (晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量 影子的长度)．二十四节气及晷长变化如图所示， 相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法正确的是(　　) A．相邻两个节气晷长减少或增加的均量为二尺 B．春分的晷长比秋分的晷长长 C．小雪的晷长为一丈五寸 D．立春的晷长比立秋的晷长短 [思路点拨]　由已知，由夏至到冬至的晷长构成等差数列，由冬至到夏至的晷长也构成等差数列． [解]　A　[现以寸为单位，由题意可知，由夏至到冬至的晷长构成等差数列{an}，其中a1＝15，a13＝135，公差d＝eq \f(135－15,12)＝10.同理可得，由冬至到夏至的晷长构成等差数列{bn}，其中b1＝135，b13＝15，公差d′＝eq \f(15－135,12)＝－10，故相邻两个节气晷长减少或增加的量为20寸，即二尺，故选项A正确；因为春分的晷长为b7，所以b7＝b1＋6d′＝135－60＝75，因为秋分的晷长为a7，所以a7＝a1＋6d＝15＋60＝75，故春分和秋分两个节气的晷长相同，故选项B错误；因为小雪的晷长为a11，则a11＝a1＋10d＝15＋100＝115，即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，故选项C错误；因为立春的晷长的和立秋的晷长分别为b4，a4，a4＝a1＋3d＝15＋30＝45，b4＝b1＋3d′＝135－30＝105，所以b4>a4，故立春的晷长比立秋的晷长长，故选项D错误．] 在实际问题中，若一组数依次成等量增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决；在利用数列方法解决实际问题时，一定要确认首项、项数等关键因素． [变式训练] 4．小明、小明的爸爸和小明的爷爷三人的年龄恰好构成一个等差数列，他们三人的年龄之和为120岁，爷爷的年龄比小明的年龄的4倍还多5岁，求他们祖孙三人的年龄． 解析：设祖孙三人的年龄分别为a－d，a，a＋d，根据题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋d＋a＋a＋d＝120，,a＋d＝4a－d＋5，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝40，,d＝25.))所以祖孙三人的年龄分别为15岁、40岁、65岁． 1．数列0,2,4,6，…的通项公式是an＝(　　) A．2n B．2n＋2 C．2n－2 D．2n＋1 解析：C　[题中数列是首项为0、公差为2的等差数列，其通项公式为an＝2(n－1)＋0＝2n－2.] 2.eq \r(2)＋1与eq \r(2)－1的等差中项是(　　) A．1 B．－1 C.eq \r(2) D．±1 解析：C　[设等差中项为x，由等差中项的定义知x＝eq \f(\r(2)＋1＋\r(2)－1,2)＝eq \r(2).] 3．在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝(　　) A．12 B．14 C．16 D．18 解析：D　[由a2＝2，a3＝4知d＝eq \f(4－2,3－2)＝2.所以a10＝a2＋8d＝2＋8×2＝18.] 4．设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的通项公式为　________　. 解析：设等差数列{an}的公差为d，则a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝2a1＋5d＝6＋5d＝36，∴d＝6，∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋6(n－1)＝6n－3. 答案：an＝6n－3 $$