1.5 三角计算的应用（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块同步教案（人教版2021）

[基础过关] 1．函数f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x的最大值和最小正周期为(　　) A．1，π B．1,2π C．3，π D．3,2π 解析：C　[f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x ＝cos 2x＋1＋sin 2x ＝2＋1 ＝2＋1 ＝2sin＋1所以周期T＝＝π.最大值为2＋1＝3.] 2．已知某路边一树干被台风吹断后，树尖与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20 m，则折断点与树干底部的距离是(　　) A. m B．10 m C. m D．20 m 解析：A　[ 如图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，所以∠OAB＝60°.由正弦定理知，＝，解得AO＝ m．] 3．已知一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 h，该船实际航程为(　　) A．2 km B．6 km C．2 km D．8 km 解析：B　[如图，因为OA＝2 km，OB＝4 km，∠AOB＝120°，所以∠OAC＝60°，OC＝＝6km.] 4. 一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为(　　) A.海里/小时 B．34海里/小时 C.海里/小时 D．34海里/小时 解析：A　如图所示， 在△PMN中，＝，所以MN＝＝34(海里)，所以v＝＝(海里/小时)．] 5.如图，货轮在海上以40 km/h的速度由B向C航行，航行的方位角∠NBC＝140°，A处有灯塔，方位角∠NBA＝110°，在C处观察灯塔A的方位角∠N′CA＝35°，由B到C需要航行半小时，则C到灯塔A的距离是(　　) A．10 km B．10 km C．10km D．10km 解析：C　[在△ABC中根据题意可得，∠ABC＝30°，∠ACB＝75°，∠BAC＝75°，BC＝20 km，根据正弦定理得，＝.所以AC＝·sin∠ABC＝·sin 30°＝10(km)．] 6.如图，为了测量两座山峰上P，Q两个之间的距离，选择山坡上一段长度为300m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为　________　m. 解析：由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.又∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ＝PA.在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900(m)，故PQ＝900 m，∴P，Q两点间的距离为900 m. 答案：900 7.如图，CD是京九铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CD所在水平面上的山体外取点A，B，并测得四边形ABCD中，∠ABC＝，∠BAD＝，AB＝BC＝400米，AD＝250米，则应开凿的隧道CD的长为　________　米． 解析：在△ABC中，AB＝BC＝400米，∠ABC＝，所以AC＝AB＝400米，∠BAC＝，所以∠CAD＝∠BAD－∠BAC＝－＝.所以在△CAD中，由余弦定理，得CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos∠CAD＝4002＋2502－2×400×250×cos＝122 500，所以CD＝350(米)． 答案：350 8．在高出海平面200 m的小岛顶点A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为　________　m. 解析： 过点A作AH⊥BC于点H，由图易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200 m，则BH＝AH＝200 m，CH＝AH·tan 60°＝200 m．故两船距离BC＝BH＋CH＝200m. 答案：200 9．已知三个电流瞬时值的函数解析式分别是 I1＝8sin ωt，　　　 　I2＝12sin(ωt－45°)， I3＝10sin(ωt＋30°)， 求合成的正弦波I＝I1＋I2＋I3的函数解析式． 解：I＝I1＋I2＋I3 ＝8sin ωt＋12sin(ωt－45°)＋10sin(ωt＋30°) ＝8sin ωt＋12(sin ωtcos 45°－cos ωtsin 45°)＋10(sin ωtcos 30°＋cos ωtsin 30°) ＝8sin ωt＋12(sin ωt－cos ωt)＋10(sin ωt＋cos ωt) ＝(8＋6＋5)sin ωt＋(6－6)cos ωt [能力提升] 10.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为(　　) A.m B.m C.m D.m 解析：A　[设树的高度为h，由正弦定理可得＝，PB＝＝.h＝PB·sin 45°＝·sin 45°＝m.] 11．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B的观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　) A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东10° D．南偏西10° 解析：B　[由题可知∠ABC＝50°，A，B，C位置关系如图， 则灯塔A在灯塔B的北偏西10°.] 12.如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝5m，起吊的货物与岸的距离AD为(　　) A．30 m 　 B. m C．15 m 　　D．45 m 解析：B　[在△ABC中，AC＝15 m，AB＝5m，BC＝10 m，由余弦定理得cos∠ACB＝＝＝－，所以sin∠ACB＝.又∠ACB＋∠ACD＝180°，所以sin∠ACD＝sin∠ACB＝.在Rt△ACD中，AD＝ACsin∠ACD＝15×＝ m．] 13．一弹簧振子的位移y与时间t的函数关系式为y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，若弹簧振子运动的振幅为3，周期为π，初相为，则这个函数的解析式为　________　. 解析：由题意得A＝3，T＝π，φ＝，则ω＝＝7，故所求函数解析式为y＝3sin. 答案：y＝3sin 14．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝　________　m. 解析：依题意，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°.在△ABC中，因为∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，所以∠ACB＝45°，因为AB＝600 m，由正弦定理可得＝，即BC＝300m.在Rt△BCD中，因为∠CBD＝30°，BC＝300m，所以tan 30°＝ ＝，所以CD＝100 m. 答案：100 15．如图，某军舰艇位于岛屿A的正西方C处，且与岛屿A相距120海里．经过侦察发现，国际海盗船以100海里/小时的速度从岛屿A出发沿北偏东30°方向逃窜，同时，该军舰艇从C处出发沿北偏东90°－α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时追上． (1)求该军舰艇的速度； (2)求sin α的值． 解：(1)依题意知，∠CAB＝120°，AB＝100×2＝200(海里)，AC＝120(海里)，∠ACB＝α，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠CAB＝2002＋1202－2×200×120cos 120°＝78 400，解得BC＝280(海里)．所以该军舰艇的速度为280÷2＝140(海里/小时)． (2)在△ABC中，由正弦定理，得＝，即sin α＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$1.5　三角计算的应用 第一章　三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第一章 三角计算 数学基础模块（RJ） 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 　 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 课程标准 素养解读 运用三角计算公式、正弦定理、余弦定理解决生产生活中的实际问题. 通过本节实例的学习，学会将实际问题转化为数学问题，实现数学建模．通过学习逐步提升数学抽象、数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养. 三角计算广泛应用于生活、生产实践和科学研究等诸多方面，能帮助人们解决很多实际问题．本节将介绍三角计算在面积问题交流电的电压问题、测量与计算问题等方面的应用． [知识点一]　辅助角公式 y＝asin x＋bcos x ＝eq \r(a2＋b2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(a2＋b2))sin x＋\f(b,\r(a2＋b2))cos x)) ＝　eq \r(a2＋b2)sin(x＋θ)　，其中cos θ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sin θ＝eq \f(b,\r(a2＋b2)) [知识点二]　三角形中的几何计算的有关知识 1．正弦定理： 　eq \f(a,sin A)　＝　eq \f(b,sin B)　＝　eq \f(C,sin C)　＝2R(R为△ABC的外接圆半径)． 2．余弦定理： 　a2＝b2＋c2－2bccos A　⇒cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc) 　b2＝a2＋c2－2accos B　⇒cos B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac) 　c2＝a2＋b2－2abcos C　⇒cos C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab) 3. 三角形的面积公式 S＝　eq \f(1,2)absin C　＝　eq \f(1,2)bcsin A　＝　eq \f(1,2)acsin B　. 4．重要结论 (1)在△ABC中，若∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，则sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c. (2)在△ABC中，若∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，且∠A>∠B>∠C，则a>b>c. (3)在△ABC中，给定∠A，∠B的正弦或余弦值，则∠C有解的充要条件是cos A＋cos B>0. (4)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，sineq \f(A＋B,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π－C,2)))＝cos eq \f(C,2). [知识点三]　实际测量中的有关名称、术语 名称 定义 图示 仰 角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角. 俯 角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角. 方 向 角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°). 南偏西60°(指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角) 1．函数y＝eq \f(1,2)sin x＋eq \f(\r(3),2)cos x的最大值为(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 解析：B　[y＝eq \f(1,2)sin x＋eq \f(\r(3),2)cos x ＝sin x·cos eq \f(π,3)＋cos x·sin eq \f(π,3) ＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))∴最大值为1.] 2.一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏 东15°，与灯塔S相距20 n mile，随后货轮按北偏 西30°的方向航行3 h后，又测得灯塔在货轮的东 北方向，则货轮的速度为(　　) A.eq \f(10,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(6)＋\r(2)))n mile/h B.eq \f(10,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(6)－\r(2)))n mile/h C.eq \f(10,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(6)＋\r(3)))n mile/h D.eq \f(10,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(6)－\r(3)))n mile/h 解析：B[由题意知SM＝20海里，∠SMB＝15°，∠BMN＝30°，∠SNA＝45°，∴∠NMS＝45°，∠MNA＝90°－∠BMN＝60°，∴∠SNM＝105°，∴∠MSN＝30°，∵sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)，∴在△MNS中利用正弦定理可得，eq \f(MN,sin 30°)＝eq \f(20,sin 105°)解得MN＝10(eq \r(6)－eq \r(2))海里，∴货轮船行速度v＝eq \f(10\r(6)－\r(2),3)n mile/h.] 3.如图，D，C，B三点在地面同一直线上， DC＝100 m，从C，D两点测得A点仰角分 别是60°，30°，则A点离地面的高度AB等于(　　) A．50eq \r(3) m 　　 B．100eq \r(3) m C．50 m 　　 D．100 m 解析：A　[因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，所以△ADC为等腰三角形．所以AC＝DC＝100 m，在Rt△ABC中，AB＝ACsin 60°＝50eq \r(3) m．] 辅助角公式的应用 　已知函数y＝cos2x＋2sin xcos x－sin2x，x∈R，求： (1)该函数的最大值和最小值． (2)求函数取得最大值时x的取值集合． [思路点拨]　利用二倍角的余弦和正弦公式，将原函数化为y＝cos 2x＋sin 2x，再转化为正弦型函数，然后求最值． [解]　(1)∵y＝cos2x＋2sin xcos x－sin2x ＝cos 2x＋sin 2x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，∴函数取得最大值eq \r(2)，最小值－eq \r(2). (2)函数取得最大值eq \r(2)时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＝1，此时，2x＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z.即x＝eq \f(π,8)＋kπ，k∈Z.∴函数取得最大值时x的取值集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(π,8)＋kπ，k∈Z)))). 将函数y＝asin x＋bcos x转化为asin x＋bcos x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋θ)，其中cos θ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sin θ＝eq \f(b,\r(a2＋b2)). [变式训练] 1．求函数y＝sin x＋eq \r(3)cos x的最大值和周期． 解：由y＝sin x＋eq \r(3)cos x，得y＝ 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin x＋\f(\r(3),2)cos x)) ＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin xcos \f(π,3)＋cos xsin \f(π,3))) ＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))).所以函数最大值为2，周期为：T＝2π. 测量距离问题 　一艘船以每小时36海里的速度向正北方向 航行，在A处观察到灯塔C在船的北偏东30°方向， 0.5小时后船行驶到B处，此时灯塔C在船的北偏东 45°方向，如图所示，求B处到灯塔C的距离． [思路点拨]　应用正余弦定理解决实际问题时要找准所对应的边和角． [解]　因为∠NBC＝45°，∠A＝30°，所以∠C＝15°.由题意知AB＝36×0.5＝18(海里)，利用两角差的正弦公式得出sin 15°＝sin(45°－30°)＝eq \f(\r(6)－\r(2),4).在△ABC中，利用正弦定理可得 BC＝eq \f(AB·sin A,sin C)＝eq \f(18sin 30°,sin 15°)＝9eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(6)＋\r(2)))≈34.8(海里)．所以B处到灯塔C的距离约为34.8海里． 测量距离问题的解题思路 测量距离问题一般分为三种类型：两点间不可达又不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达．解决此类问题的方法是选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解，构建数字模型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中． 2.修筑道路需挖掘隧道，在山的两侧是隧道口A和B， 在平地上选择适合测量的点C，如图所示．如果已知 ∠C＝60°，AC＝350 m，BC＝450 m，试计算隧道AB 的长度(精确到1 m)． 解：在△ABC中，利用余弦定理可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C ＝3502＋4502－2×350×450×cos 60° ＝167 500.则得AB＝eq \r(167 500)≈409(m)．所以隧道AB的长度约为409 m. 测量角度问题 　某海上养殖基地A接到气象部门预报，位于基地南偏东60°方向，相距20eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)＋1))n mile的海面上有一个台风中心，影响半径为20 n mile，正以10eq \r(2)n mile/h的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)＋1))h后开始影响基地，持续2 h．求台风移动的方向． [思路点拨]　正确做出图形构造三角形求解． [解]　如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响 基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心 为D，则B，C，D在一条直线上，且AD＝20 n mile， AC＝20 n mile.由题意得AB＝20eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)＋1))n mile.DC＝20eq \r(2)n mile，BC＝10eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)＋1))n mile.在△ADC中，DC2＝AD2＋AC2，∴∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.在△ABC中，由余弦定理，得cos∠BAC＝eq \f(AC2＋AB2－BC2,2AC·AB) ＝eq \f(\r(3),2)，∠BAC＝30°.∵B位于A的南偏东60°方向，60°＋30°＋90°＝180°.∴D位于A的正北方向．∵∠ADC＝45°，∴台风移动的方向为向量Ceq \o(D,\s\up6(→))的方向，即北偏西45°方向．故台风的移动方向为北偏西45°方向． 解决测量角度问题的基本思路 (1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最主要的一步． (2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正弦、余弦定理解决问题． [变式训练] 3．如图，货轮在海上以50海里每小时的速度沿 方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水 平角)为155°的方向航行．为了确定船位，在B点处 观测到灯塔A的方位角为125°.半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为80°.求此时货轮与灯塔之间的距离(得数保留最简根号)． 解：在△ABC中，∠ABC＝155°－125°＝30°，∠BCA＝180°－155°＋80°＝105°，∠BAC＝180°－30°－105°＝45°，BC＝eq \f(1,2)×50＝25(海里)，由正弦定理，得eq \f(AC,sin 30°)＝eq \f(BC,sin 45°)，解得AC＝eq \f(25\r(2),2)(海里)．即此时货轮与灯塔间的距离为eq \f(25\r(2),2)海里． 1．y＝eq \f(\r(3),2)sin 2x＋eq \f(1,2)cos 2x的最小正周期为(　　) A.eq \f(π,2) B．π C．2π D.eq \f(π,3) 解析：B　[y＝eq \f(\r(3),2)sin 2x＋eq \f(1,2)cos 2x ＝sin 2x·cos eq \f(π,6)＋cos 2x·sin eq \f(π,6) ＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，∴最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.] 2.如图，为了测量隧道两口A，B之间的长度， 对给出的四组数据，计算时要求最简便，测量 时要求最容易，应当采用的一组是(　　) A．a，b，γ B．a，b，α C．a，b，β D．α，β，a 解析：A　[根据实际情况，α，β都是不易测量的数据，在△ABC中，a，b可以测得，角γ也可测得，根据余弦定理能直接求出AB的长．] 3.已知A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为(　　) A．10 km B.eq \r(3) km C．10eq \r(5) km D．10eq \r(7) km 解析：D　[由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC ＝102＋202－2×10×20×cos 120°＝700，所以AC＝10eq \r(7)(km)．] 4.电流I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的关系式是I＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,3)))，则当t＝eq \f(1,200)s时，电流I为　________　. 解析：将t＝eq \f(1,200)s代入关系式，得到I＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,3)))＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100π×\f(1,200)＋\f(π,3)))＝2.5，即I＝2.5 A. 答案：2.5A $$ 1．5　三角计算的应用 课程标准 素养解读 运用三角计算公式、正弦定理、余弦定理解决生产生活中的实际问题. 通过本节实例的学习，学会将实际问题转化为数学问题，实现数学建模．通过学习逐步提升数学抽象、数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养. 三角计算广泛应用于生活、生产实践和科学研究等诸多方面，能帮助人们解决很多实际问题．本节将介绍三角计算在面积问题交流电的电压问题、测量与计算问题等方面的应用． [知识点一]　辅助角公式 y＝asin x＋bcos x ＝ ＝　sin(x＋θ)　，其中cos θ＝，sin θ＝ [知识点二]　三角形中的几何计算的有关知识 1．正弦定理： 　　＝　　＝　　＝2R(R为△ABC的外接圆半径)． 2．余弦定理： 　a2＝b2＋c2－2bccos_A　⇒cos A＝ 　b2＝a2＋c2－2accos_B　⇒cos B＝ 　c2＝a2＋b2－2abcos_C　⇒cos C＝ 3. 三角形的面积公式 S＝　absin C　＝　bcsin A　＝　acsin B　. 4．重要结论 (1)在△ABC中，若∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，则sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c. (2)在△ABC中，若∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，且∠A>∠B>∠C，则a>b>c. (3)在△ABC中，给定∠A，∠B的正弦或余弦值，则∠C有解的充要条件是cos A＋cos B>0. (4)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，sin＝sin＝cos . [知识点三]　实际测量中的有关名称、术语 名称 定义 图示 仰 角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角. 俯 角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角. 方 向 角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°). 南偏西60°(指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角) 1．函数y＝sin x＋cos x的最大值为(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 解析：B　[y＝sin x＋cos x ＝sin x·cos ＋cos x·sin ＝sin∴最大值为1.] 2.一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20 n mile，随后货轮按北偏西30°的方向航行3 h后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为(　　) A.n mile/h B.n mile/h C.n mile/h D.n mile/h 解析：B[由题意知SM＝20海里，∠SMB＝15°，∠BMN＝30°，∠SNA＝45°，∴∠NMS＝45°，∠MNA＝90°－∠BMN＝60°，∴∠SNM＝105°，∴∠MSN＝30°，∵sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝，∴在△MNS中利用正弦定理可得，＝解得MN＝10(－)海里，∴货轮船行速度v＝n mile/h.] 3.如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝100 m，从C，D两点测得A点仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB等于(　　) A．50 m 　　 B．100 m C．50 m 　　 D．100 m 解析：A　[因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，所以△ADC为等腰三角形．所以AC＝DC＝100 m，在Rt△ABC中，AB＝ACsin 60°＝50 m．] 　辅助角公式的应用 　已知函数y＝cos2x＋2sin xcos x－sin2x，x∈R，求： (1)该函数的最大值和最小值． (2)求函数取得最大值时x的取值集合． [思路点拨]　利用二倍角的余弦和正弦公式，将原函数化为y＝cos 2x＋sin 2x，再转化为正弦型函数，然后求最值． [解]　(1)∵y＝cos2x＋2sin xcos x－sin2x ＝cos 2x＋sin 2x＝sin，∴函数取得最大值，最小值－. (2)函数取得最大值时，sin＝1，此时，2x＋＝＋2kπ，k∈Z.即x＝＋kπ，k∈Z.∴函数取得最大值时x的取值集合为 . 将函数y＝asin x＋bcos x转化为asin x＋bcos x＝sin(x＋θ)，其中cos θ＝，sin θ＝. [变式训练] 1．求函数y＝sin x＋cos x的最大值和周期． 解：由y＝sin x＋cos x，得y＝ 2 ＝2 ＝2sin.所以函数最大值为2，周期为：T＝2π. 　测量距离问题 　 一艘船以每小时36海里的速度向正北方向航行，在A处观察到灯塔C在船的北偏东30°方向，0.5小时后船行驶到B处，此时灯塔C在船的北偏东45°方向，如图所示，求B处到灯塔C的距离． [思路点拨]　应用正余弦定理解决实际问题时要找准所对应的边和角． [解]　因为∠NBC＝45°，∠A＝30°，所以∠C＝15°.由题意知AB＝36×0.5＝18(海里)，利用两角差的正弦公式得出sin 15°＝sin(45°－30°)＝.在△ABC中，利用正弦定理可得 BC＝＝＝9≈34.8(海里)．所以B处到灯塔C的距离约为34.8海里． 测量距离问题的解题思路 测量距离问题一般分为三种类型：两点间不可达又不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达．解决此类问题的方法是选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解，构建数字模型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中． [变式训练] 2.修筑道路需挖掘隧道，在山的两侧是隧道口A和B，在平地上选择适合测量的点C，如图所示．如果已知∠C＝60°，AC＝350 m，BC＝450 m，试计算隧道AB的长度(精确到1 m)． 解：在△ABC中，利用余弦定理可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C ＝3502＋4502－2×350×450×cos 60° ＝167 500.则得AB＝≈409(m)．所以隧道AB的长度约为409 m. 　测量角度问题 　某海上养殖基地A接到气象部门预报，位于基地南偏东60°方向，相距20n mile的海面上有一个台风中心，影响半径为20 n mile，正以10n mile/h的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且h后开始影响基地，持续2 h．求台风移动的方向． [思路点拨]　正确做出图形构造三角形求解． [解]　 如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在一条直线上，且AD＝20 n mile，AC＝20 n mile.由题意得AB＝20n mile.DC＝20n mile，BC＝10n mile.在△ADC中，DC2＝AD2＋AC2，∴∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.在△ABC中，由余弦定理，得cos∠BAC＝ ＝，∠BAC＝30°.∵B位于A的南偏东60°方向，60°＋30°＋90°＝180°.∴D位于A的正北方向．∵∠ADC＝45°，∴台风移动的方向为向量C的方向，即北偏西45°方向．故台风的移动方向为北偏西45°方向． 解决测量角度问题的基本思路 (1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最主要的一步． (2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正弦、余弦定理解决问题． [变式训练] 3．如图，货轮在海上以50海里每小时的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为155°的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为125°.半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为80°.求此时货轮与灯塔之间的距离(得数保留最简根号)． 解：在△ABC中，∠ABC＝155°－125°＝30°，∠BCA＝180°－155°＋80°＝105°，∠BAC＝180°－30°－105°＝45°，BC＝×50＝25(海里)，由正弦定理，得＝，解得AC＝(海里)．即此时货轮与灯塔间的距离为海里． 1．y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为(　　) A. B．π C．2π D. 解析：B　[y＝sin 2x＋cos 2x ＝sin 2x·cos ＋cos 2x·sin ＝sin，∴最小正周期T＝＝π.] 2.如图，为了测量隧道两口A，B之间的长度，对给出的四组数据，计算时要求最简便，测量时要求最容易，应当采用的一组是(　　) A．a，b，γ B．a，b，α C．a，b，β D．α，β，a 解析：A　[根据实际情况，α，β都是不易测量的数据，在△ABC中，a，b可以测得，角γ也可测得，根据余弦定理能直接求出AB的长．] 3.已知A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为(　　) A．10 km B. km C．10 km D．10 km 解析：D　[由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC ＝102＋202－2×10×20×cos 120°＝700，所以AC＝10(km)．] 4.电流I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝s时，电流I为　________　. 解析：将t＝s代入关系式，得到I＝5sin＝5sin＝2.5，即I＝2.5 A. 答案：2.5A 学科网（北京）股份有限公司 $$