1.4.2 三角形的面积及正弦定理（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块同步教案（人教版2021）

对应学生课时P208 [基础过关] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则(　　) A．∠A＝30 B．∠A＝60° C．∠A＝30°或150° D．∠A＝60°或120° 解析：D　[因为S△ABC＝bcsin A＝，所以×2×sin A＝，所以sin A＝.所以∠A＝60°或120°.] 2．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC等于(　　) A．4 B．2 C. D. 解析：B　[由正弦定理得＝，所以AC＝＝＝2.] 3．△ABC中，已知a＝，b＝2，∠B＝45°，则角A等于(　　) A．30°或150° B．60°或120° C．60° D．30° 解析：D　[因为a＝，b＝2，∠B＝45°，所以＝，可得sin A＝sin 45°＝，又a<b，可得∠A<∠B，所以∠A＝30°.] 4．在△ABC中，A∶B＝1∶2，sin C＝1，则a∶b∶c＝(　　) A．1∶2∶3 B．3∶2∶1 C．1∶∶2 D．2∶∶1 解析：C　[由sin C＝1，∴C＝，由A∶B＝1∶2，故A＋B＝3A＝，得A＝，B＝，由正弦定理得，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝∶∶1＝1∶∶2.] 5．在△ABC中，A＝60°，a＝，则等于(　　) A. B. C. D．2 解析：B　[由a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C得＝2R＝＝＝.] 6．已知等边三角形的边长为4，则它的面积为　________　. 解析：等边三角形的面积为S＝×4×4×sin 60° ＝8×＝4. 答案：4 7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝，a＝1，b＝，则B＝　________　. 解析：依题意，由正弦定理知＝，得出sin B＝.∵b>a，∴B>，所以B＝或. 答案：或 8．在△ABC中，∠A＝60°，a＝4，b＝4，则∠B等于　________　. 解析：∵在△ABC中，∠A＝60°，a＝4，b＝4，∴由＝，得sin B＝.又a＝4>b＝4，∴60°＝A>B，∴∠B＝45°. 答案：45° 9．在△ABC中，已知∠B＝60°，∠C＝15°，a＝＋1求b，c，S△ABC的值． 解：由三角形的内角和为180°可知∠A＋∠B＋∠C＝180°，则∠A＝180°－∠B－∠C＝180°－60°－15°＝105°. 根据正弦定理＝＝，可得 b＝＝＝； c＝＝＝－1，所以三角形的面积为S△ABC＝acsin B＝×××＝. [能力提升] 10．在△ABC中，若b＝12，∠A＝30°，∠B＝90°，则a＝(　　) A．2 B．2 C．4 D．6 解析：D　[由正弦定理得＝，所以a＝＝＝6.] 11．在△ABC中，已知∠A＝45°，AB＝，BC＝2，则∠C＝(　　) A．30° B．60° C．120° D．30°或150° 解析：A　[利用正弦定理可得＝，从而sin C＝.又AB<BC，且∠A＝45°，∴∠C＝30°.] 12．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是(　　) A．b＝10，∠A＝45°，∠C＝70° B．a＝30，b＝25，∠A＝150° C．a＝7，b＝8，∠A＝98° D．a＝14，b＝16，∠A＝45° 解析：D　[对于A项，∠B＝180°－∠A－∠C＝65°，由正弦定理知只有一解；对于B项，因为a>b，所以∠A>∠B，又∠A＝150°，所以只有一解；对于C项，因为a<b，所以∠A<∠B，而∠A＝98°，所以无解；对于D项，sin B＝＝＝<1，且bsin A<a<b，所以有两解．] 13．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，c＝，cos A＝，则b＝　________　. 解析：在△ABC中，因为cos A＝，所以sin A＝，在△ABC中，a＝1，c＝，由正弦定理可得：sin C＝＝，因为a<c，可得：∠A＝30°，∠C＝120°，所以∠B＝30°，所以b＝a＝1. 答案：1 14．在△ABC中，A＝60°，B＝45°，a＋b＝12，则a＝　________　. 解析：因为＝，所以＝，所以b＝a ①，又因为a＋b＝12 ②，由①②可知a＝12. 答案：12 15．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠B＝，cos A＝，b＝.求：(1)sin C的值；(2)△ABC的面积． 解析：(1)∠A，∠B，∠C为△ABC的内角，且∠B＝，cos A＝，可得∠C＝－∠A，sin A＝，则sin C＝sin＝cos A＋sin A＝. (2)由(1)知sin A＝，sin C＝，且∠B＝，b＝，因此在△ABC中，由正弦定理得a＝＝.则△ABC的面积S＝absin C＝×××＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．4.2　三角形的面积及正弦定理 课程标准 素养解读 1.了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其变形． 2．会用正弦定理解决两类基本的解三角形问题． 3．能综合应用正、余弦定理解三角形. 1.通过正弦定理的推导过程(特殊到一般)，主要培养逻辑推理的核心素养． 2．通过综合应用正、余弦定理解三角形，主要提升数学运算核心素养. 为迎接国庆节，某职业学校对校园重新进行修整．园林工人计划利用一夹角成60°的墙角修建一个三角形花圃(如图)．若墙角的两面墙的长度分别为4 m和6 m，问所建花圃的面积是多少平方米(不考虑其他因素)? [知识点一]　三角形面积公式 在任意△ABC中，用∠A，∠B，∠C分别表示三角形的三个角，用a，b，c分别表示这三个角的对边，则可得： 三角形面积公式：S＝absin C＝　acsin B　＝　bcsin A　. [知识点二]　正弦定理 1．正弦定理：在一个三角形中，各边与其所对角的正弦之比相等．即在任意△ABC中，用∠A，∠B，∠C分别表示三角形的三个角，用a，b，c分别表示这三个角的对边，则　　＝　　＝　　＝2R(R为三角形外接圆的半径)． 2．正弦定理的常见变形 (1)a＝2R　sin_A　，b＝2R　sin_B　，c＝2R　sin_C　； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝　sin_A∶sin_B∶sin_C　； (4)＝　　＝　2R　. 在△ABC中，若已知a>b，如何利用正弦定理得到sin A>sin B? 提示：由a>b，且a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，可得2Rsin A>2Rsin B，即sin A>sin B. [知识点三]　正弦定理的应用 1．已知三角形的两角和一条边，求另一角和其他两条边． 2．已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角． 3．判断三角形形状． 1．在△ABC中，已知a＝8，∠B＝60°，∠C＝75°，则b等于(　　) A．4 B．4 C．4 D．16 解析：C　[在△ABC中，∠A＝180°－(∠B＋∠C)＝45°，由正弦定理＝，得b＝4.] 2．在△ABC中，已知a＝1，c＝2，∠B＝，则△ABC的面积等于(　　) A. B. C．1 D. 解析：B　[根据三角形面积公式得S△ABC＝acsin B＝×1×2×sin ＝.] 3．在△ABC中，已知a＝3，b＝2，∠A＝60°，则sin B＝(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：D　[由正弦定理＝，所以sin B＝＝＝.] 　三角形的面积公式的应用 　在△ABC中，∠C＝60°，b＝6，a＝4，求S△ABC的值． [思路点拨]　根据已知条件，先求出∠C的正弦值，再根据三角形的面积公式即可求解． [解]　由三角形的面积公式可得， S△ABC＝absin C＝×4×6×sin 60° ＝×4×6×＝6. 三角形的面积公式 S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B．根据题设寻求两边及其夹角是解题的关键． [变式训练] 1．在△ABC中，a＝4，c＝2，S△ABC＝4，求∠B. 解：由三角形的面积公式可得， S△ABC＝acsin B＝×4×2×sin B．于是，4sin B＝4，即sin B＝. 又因为0°<∠B<180°，故∠B＝45°或135°. 　已知两角和一边解三角形 　在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝15°，a＝5，求b. [思路点拨]　先求∠A，再根据正弦定理求b. [解]　在△ABC中，由∠A＋∠B＋∠C＝180°，得∠A＝180°－∠B－C＝180°－45°－15°＝120°.由正弦定理知，＝.于是，b＝＝＝＝.因此，b＝. 　已知两角及一边解三角形的一般步骤 [变式训练] 2．在△ABC中，已知b＝14，∠A＝30°，∠B＝120°，求a. 解析：根据正弦定理有＝，所以a＝＝＝. 　　已知两边和其中一边对角解三角形 　在△ABC中，a＝1，b＝. (1)若∠A＝30°，求∠C. (2)若∠B＝135°，求∠C. [思路点拨]　已知三角形的两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，要讨论这个角的取值范围，避免发生错误． [解]　(1)由正弦定理可知，＝.于是，sin B＝＝＝×＝.又因为0°<∠B<180°，所以∠B＝45°或135°.当∠B＝45°时，∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－30°－45°＝105°.当∠B＝135°时，∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－30°－135°＝15°.因此，∠C＝105°或∠C＝15°. (1)由正弦定理可知，＝.于是，sin A＝＝＝.又因为0°<∠A<180°，所以∠A＝30°或150°.当∠A＝150°时，∠A＋∠B＝150°＋135°＝285°>180°，不合题意．因此，∠A＝30°.从而∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－30°－135°＝15°. 已知两边和其中一边对角解三角形的方法 (1)用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解(上节课已讲)． (2)用正弦定理求解，其步骤为 ①由正弦定理求出另一边对角的正弦值． ②如果已知角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一． ③如果已知角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论． [变式训练] 3．已知在△ABC中，∠A＝30°，a＝15，b＝30，求∠B. 解析：根据正弦定理有＝，所以sin B＝＝＝.再由b>a知∠B>∠A，故30°<∠B<180°，所以∠B＝45°或∠B＝135°. 1．在△ABC中，已知b＝3，c＝2，sin A＝，则△ABC的面积等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 解析：A　[S△ABC＝bcsin A＝×3×2×＝2.] 2．在△ABC中，若∠B＝45°，∠C＝60°，c＝1，则最短边的边长是(　　) A. B. C. D. 解析：A　[由已知得∠A＝75°，所以∠B最小，故最短边是b.由＝，得b＝＝.] 3．已知△ABC的三个内角之比为∠A∶∠B∶∠C＝3∶2∶1，那么，对应的三边之比a∶b∶c等于(　　) A．3∶2∶1 B.∶2∶1 C.∶∶1 D．2∶∶1 解析：D　[因为∠A∶∠B∶∠C＝3∶2∶1，∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠A＝90°，∠B＝60°，∠C＝30°，所以a∶b∶c＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30°＝1∶∶＝2∶∶1.] 4．在△ABC中，已知a＝2，b＝2，∠A＝30°，则∠B＝　________　. 解析：由正弦定理，可得sin B＝.因为b>a，所以∠B>∠A＝30°，所以∠B＝45°或135°. 答案：45°或135° 学科网（北京）股份有限公司 $$1.4　解三角形 1.4.2 　三角形的面积及正弦定理 第一章　三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第一章 三角计算 数学基础模块（RJ） 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 　 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 课程标准 素养解读 1.了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其变形． 2．会用正弦定理解决两类基本的解三角形问题． 3．能综合应用正、余弦定理解三角形. 1.通过正弦定理的推导过程(特殊到一般)，主要培养逻辑推理的核心素养． 2．通过综合应用正、余弦定理解三角形，主要提升数学运算核心素养. 为迎接国庆节，某职业学校对校园重新进行修整．园林工人计划利用一夹角成60°的墙角修建一个三角形花圃(如图)．若墙角的两面墙的长度分别为4 m和6 m，问所建花圃的面积是多少平方米(不考虑其他因素)? [知识点一]　三角形面积公式 在任意△ABC中，用∠A，∠B，∠C分别表示三角形的三个角，用a，b，c分别表示这三个角的对边，则可得： 三角形面积公式：S＝eq \f(1,2)absin C＝　eq \f(1,2)acsin B　＝　eq \f(1,2)bcsin A　. [知识点二]　正弦定理 1．正弦定理：在一个三角形中，各边与其所对角的正弦之比相等．即在任意△ABC中，用∠A，∠B，∠C分别表示三角形的三个角，用a，b，c分别表示这三个角的对边，则　eq \f(a,sin A)　＝　eq \f(b,sin B)　＝　eq \f(c,sin C)　＝2R(R为三角形外接圆的半径)． 2．正弦定理的常见变形 (1)a＝2R　sin A　，b＝2R　sin B　，c＝2R　sin C　； (2)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,　2R　)，sin C＝eq \f(c,2R)； (3)a∶b∶c＝　sin_A∶sin_B∶sin_C　； (4)eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝　eq \f(a,sin A)　＝　2R　. 在△ABC中，若已知a>b，如何利用正弦定理得到sin A>sin B? 提示：由a>b，且a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，可得2Rsin A>2Rsin B，即sin A>sin B. [知识点三]　正弦定理的应用 1．已知三角形的两角和一条边，求另一角和其他两条边． 2．已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角． 3．判断三角形形状． 1．在△ABC中，已知a＝8，∠B＝60°，∠C＝75°，则b等于(　　) A．4eq \r(2) B．4eq \r(3) C．4eq \r(6) D．16 解析：C　[在△ABC中，∠A＝180°－(∠B＋∠C)＝45°，由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得b＝4eq \r(6).] 2．在△ABC中，已知a＝1，c＝2，∠B＝eq \f(π,3)，则△ABC的面积等于(　　) A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C．1 D.eq \r(3) 解析：B　[根据三角形面积公式得S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×1×2×sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2).] 3．在△ABC中，已知a＝3，b＝2，∠A＝60°，则sin B＝(　　) A．－eq \f(2\r(2),3) B.eq \f(2\r(2),3) C．－eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(3),3) 解析：D　[由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，所以sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(2×\f(\r(3),2),3)＝eq \f(\r(3),3).] 三角形的面积公式的应用 　在△ABC中，∠C＝60°，b＝6，a＝4，求S△ABC的值． [思路点拨]　根据已知条件，先求出∠C的正弦值，再根据三角形的面积公式即可求解． [解]　由三角形的面积公式可得， S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×4×6×sin 60° ＝eq \f(1,2)×4×6×eq \f(\r(3),2)＝6eq \r(3). 三角形的面积公式 S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B．根据题设寻求两边及其夹角是解题的关键． [变式训练] 1．在△ABC中，a＝4，c＝2eq \r(2)，S△ABC＝4，求∠B. 解：由三角形的面积公式可得， S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×4×2eq \r(2)×sin B．于是，4eq \r(2)sin B＝4，即sin B＝eq \f(\r(2),2).又因为0°<∠B<180°，故∠B＝45°或135°. 已知两角和一边解三角形 　在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝15°，a＝5，求b. [思路点拨]　先求∠A，再根据正弦定理求b. [解]　在△ABC中，由∠A＋∠B＋∠C＝180°，得∠A＝180°－∠B－C＝180°－45°－15°＝120°.由正弦定理知，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B).于是，b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(5×sin 45°,sin 120°)＝eq \f(5×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝eq \f(5\r(6),3).因此，b＝eq \f(5\r(6),3). 　已知两角及一边解三角形的一般步骤 [变式训练] 2．在△ABC中，已知b＝14，∠A＝30°，∠B＝120°，求a. 解析：根据正弦定理有eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，所以a＝eq \f(bsin A,sin B)＝eq \f(14sin 30°,sin 120°)＝eq \f(14\r(3),3). 已知两边和其中一边对角解三角形 　在△ABC中，a＝1，b＝eq \r(2). (1)若∠A＝30°，求∠C. (2)若∠B＝135°，求∠C. [思路点拨]　已知三角形的两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，要讨论这个角的取值范围，避免发生错误． [解]　(1)由正弦定理可知，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B).于是，sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(\r(2)×sin 30°,1)＝eq \r(2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(2),2).又因为0°<∠B<180°，所以∠B＝45°或135°.当∠B＝45°时，∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－30°－45°＝105°.当∠B＝135°时，∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－30°－135°＝15°.因此，∠C＝105°或∠C＝15°. (1)由正弦定理可知，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B).于是，sin A＝eq \f(asin B,b)＝eq \f(1×sin 135°,\r(2))＝eq \f(1,2).又因为0°<∠A<180°，所以∠A＝30°或150°.当∠A＝150°时，∠A＋∠B＝150°＋135°＝285°>180°，不合题意．因此，∠A＝30°.从而∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－30°－135°＝15°. 已知两边和其中一边对角解三角形的方法 (1)用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解(上节课已讲)． (2)用正弦定理求解，其步骤为 ①由正弦定理求出另一边对角的正弦值． ②如果已知角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一． ③如果已知角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论． [变式训练] 3．已知在△ABC中，∠A＝30°，a＝15eq \r(2)，b＝30，求∠B. 解析：根据正弦定理有eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，所以sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(30×sin 30°,15\r(2))＝eq \f(\r(2),2).再由b>a知∠B>∠A，故30°<∠B<180°，所以∠B＝45°或∠B＝135°. 1．在△ABC中，已知b＝3，c＝2，sin A＝eq \f(2,3)，则△ABC的面积等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 解析：A　[S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×3×2×eq \f(2,3)＝2.] 2．在△ABC中，若∠B＝45°，∠C＝60°，c＝1，则最短边的边长是(　　) A.eq \f(\r(6),3) B.eq \f(\r(6),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2) 解析：A　[由已知得∠A＝75°，所以∠B最小，故最短边是b.由eq \f(c,sin C)＝eq \f(b,sin B)，得b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(\r(6),3).] 3．已知△ABC的三个内角之比为∠A∶∠B∶∠C＝3∶2∶1，那么，对应的三边之比a∶b∶c等于(　　) A．3∶2∶1 B.eq \r(3)∶2∶1 C．eq \r(3)∶eq \r(2)∶1 D．2∶eq \r(3)∶1 解析：D　[因为∠A∶∠B∶∠C＝3∶2∶1，∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠A＝90°，∠B＝60°，∠C＝30°，所以a∶b∶c＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30°＝1∶eq \f(\r(3),2)∶eq \f(1,2)＝2∶eq \r(3)∶1.] 4．在△ABC中，已知a＝2，b＝2eq \r(2)，∠A＝30°，则∠B＝　________　. 解析：由正弦定理，可得sin B＝eq \f(\r(2),2).因为b>a，所以∠B>∠A＝30°，所以∠B＝45°或135°. 答案：45°或135° $$