1.1.3 两角和与差的正切公式（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块同步教案（人教版2021）

对应学生课时P201 [基础过关] 1．已知tan α＝3，则tan＝(　　) A．1 B. C．2 D．－2 解析：D　[tan＝＝－2.] 2.＝(　　) A．1 B. C．2 D．－ 解析：B　[原式＝tan( 75°－15°)＝tan 60°＝.] 3．若tan α＝3，tan β＝，则tan(α－β)＝(　　) A．－3 B．－ C．3 D. 解析：D　[tan(α－β)＝ ＝＝.] 4．已知tan α＝，则的值是(　　) A．2 B. C．－1 D．－3 解析：B　[因为tan α＝，所以tan＝＝3，所以＝＝.] 5.＝(　　) A．－ B．－1 C．1 D. 解析：D　[＝＝tan 60°＝.] 6．△ABC中，已知tan A＝，tan B＝，则C等于　________　. 解析：∵tan A＝，tan B＝，∴tan C＝tan(π－A－B)＝－tan(A＋B)＝－ ＝－ ＝－1，∵0<C<π，∴C＝. 7．已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝　________　. 解析：∵B为锐角，sin B＝，∴cos B＝， ∴tan B＝，∴tan(A＋B)＝＝＝1.∵0<A＋B<π，∴A＋B＝. 答案： 8．tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝　________　. 解析：因为tan 60°＝tan(10°＋50°)＝＝，所以tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝. 答案： 9．已知角α∈，sin α＝. (1)求tan α的值； (2)求tan的值． 解析：(1)[因为角α∈，sin α＝，所以cos α＝－＝－，所以tan α＝＝－. (2)tan＝＝＝.] [能力提升] 10．设α，β∈，且tan α＝，tan β＝，则α－β等于(　　) A. B. C.π D．－ 解析：D　[∵tan α＝，tan β＝， ∴tan(α－β)＝＝＝－1.∵α，β∈，∴α－β∈.∴α－β＝－.] 11．已知tan α＋tan β＋tan αtan β＝，且α，β∈，则α＋β＝(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：B　[∵tan α＋tan β＋tan αtan β＝ ∴tan α＋tan β＝(1－tan αtan β)，tan(α＋β)＝＝ 又∵α，β∈，∴α＋β∈(0，π)， ∴α＋β＝60°.] 12．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β＝(　　) A．2 B．1 C. D．4 解析：C　[∵tan(α＋β)＝， ∴＝4，∴tan αtan β＝.] 13．已知tan＝－7，则tan α＝　________　. 解析：tan＝＝－7，解得tan α＝－. 答案：－ 14．已知tan＝，tan＝－，则tan＝　________　. 解析：tan＝tan ＝＝. 答案： 15．设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，求tan(α＋β)的值． 解析：因为tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两个根，所以tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，则tan(α＋β)＝＝＝－3. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．1.3　两角和与差的正切公式 课程标准 素养解读 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式． 2．能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明. 从公式间的联系入手，引导学生对公式变形，感悟数学抽象、逻辑推理、数学运算素养. 我们知道，α±β的正弦、余弦都可以用α、β的正弦与余弦表示，那么α±β的正切，即tan(α±β)，能否用α、β的正切来表示呢？ [知识点一]　两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正切公式 T(α＋β) tan(α＋β)＝ α，β，α＋β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠±1 两角差的正切公式 T(α－β) tan(α－β)＝　 [知识点二]　两角和与差的正切公式的变形 1．T(α＋β)的变形： tan α＋tan β＝　tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)　. tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)． tan αtan β＝1－. 2．T(α－β)的变形： tan α－tan β＝　tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)　. tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝　tan(α－β)　. tan αtan β＝　－1　. 1．tan 75°＝(　　) A．2－ B．2＋ C.－2 D. 解析：B　[tan 75°＝tan(45°＋30°) ＝＝＝2＋.] 2．tan＝(　　) A．2－ B．2＋ C.－2 D. 解析：C　[tan＝ ＝＝－2.] 3．若tan α＝－，tan β＝－，则tan(α＋β)等于(　　) A. B．1 C．－1 D．－ 解析：C　[∵tan α＝－，tan β＝－， ∴tan(α＋β)＝＝＝＝－1.] 　　　利用两角和与差的正切公式求值 　计算：tan 15°. [思路点拨]　15°＝45°－30°，利用公式直接求解． [解]　tan 15°＝tan(45°－30°)＝ ＝＝2－. 在求值的过程中要特别注意所求角与特殊角(如30°，45°，60°)之间的关系，还要注意角之间的互余、互补等． [变式训练] 1．计算tan 105°的值． 解：tan 105°＝tan(45°＋60°)＝ ＝＝－2－. 　　和与差的正切公式的变形及其应用 　化简下列各式． (1)； (2)tan 50°＋tan 70°－tan 50°tan 70°. [思路点拨]　观察两角和的正切公式，当α＋β为特殊角时可得到一个含tan α＋tan β和tan αtan β的等式，利用这个等式可进行tan α＋tan β与tan αtan β之间的转换． [解]　(1)原式＝＝tan(60°－15°)＝tan 45°＝1. (2)原式＝tan 120°(1－tan 50°tan 70°)－tan 50°tan 70°＝－＋tan 50°tan 70°－tan 50°tan 70°＝－. 灵活运用两角和与差的正切公式的变形解题公式Tα＋β，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)[或tan(α－β)]，三者知二可表示或求出第三个． [变式训练] 2．求值：(1)tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°； (2)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)． 解：(1)∵tan 10°＋tan 35°＝tan 45°(1－tan 10°tan 35°)＝1－tan 10°tan 35°，所以tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°＝1. (2)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°·tan 27°＝2. 　给值求值问题 　(1)已知tan(α＋β)＝1，tan＝，则tan＝　________　. (2)已知α，β为锐角，cos α＝，tan(α－β)＝－，则tan β的值为　________　. [思路点拨]　(1)β＋＝(α＋β)－(α－)． (2)β＝α－(α－β)． [解]　(1)tan＝tan ＝＝＝. (2)∵α为锐角，cos α＝，∴tan α＝. ∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝ ＝＝. 答案：(1)　(2) 给值求值问题的两种变换 (1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系以实现求值． (2)角的变换：首先从角间的关系入手，分析已知角与待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值． [变式训练] 3．已知tan α＝，求tan的值． 解析：tan＝ ＝＝. 1．若tan α＝2，tan β＝，则tan(α－β)＝(　　) A．－ B. C．3 D. 解析：B　[tan(α－β)＝ ＝＝.] 2.＝(　　) A. B. C. D. 解析：C　[＝tan(48°－18°)＝tan 30°＝.] 3．若tan＝2，则tan α的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：A　[tan＝＝2， 解得tan α＝.] 4．若α，β∈且tan α＝，tan β＝，则α＋β＝　________　. 解析：tan(α＋β)＝＝＝1. ∴α＋β＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$1.1　两角公式 1.1.3 　两角和与差的正切公式 第一章　三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第一章 三角计算 数学基础模块（RJ） 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 　 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 课程标准 素养解读 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式． 2．能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明. 从公式间的联系入手，引导学生对公式变形，感悟数学抽象、逻辑推理、数学运算素养. 我们知道，α±β的正弦、余弦都可以用α、β的正弦与余弦表示，那么α±β的正切，即tan(α±β)，能否用α、β的正切来表示呢？ [知识点一]　两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正切公式 T(α＋β) tan(α＋β)＝ eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β) α，β，α＋β，α－β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)且tan α·tan β≠±1 两角差的正切公式 T(α－β) tan(α－β)＝　eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β) [知识点二]　两角和与差的正切公式的变形 1．T(α＋β)的变形： tan α＋tan β＝　tan(α＋β)(1－tan αtan β)　. tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)． tan αtan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β). 2．T(α－β)的变形： tan α－tan β＝　tan(α－β)(1＋tan αtan β)　. tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝　tan(α－β)　. tan αtan β＝　eq \f(tan α－tan β,tanα－β)－1　. 1．tan 75°＝(　　) A．2－eq \r(3) B．2＋eq \r(3) C.eq \r(3)－2 D.eq \f(2＋\r(3),3) 解析：B　[tan 75°＝tan(45°＋30°) ＝eq \f(tan 45°＋tan 30°,1－tan 45°tan 30°)＝eq \f(1＋\f(\r(3),3),1－\f(\r(3),3))＝2＋eq \r(3).] 2．taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(π,3)))＝(　　) A．2－eq \r(3) B．2＋eq \r(3) C.eq \r(3)－2 D.eq \f(2＋\r(3),3) 解析：C　[taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(π,3)))＝eq \f(tan\f(π,4)－tan \f(π,3),1＋tan \f(π,4)tan \f(π,3)) ＝eq \f(1－\r(3),1＋\r(3))＝eq \r(3)－2.] 解析：C　[∵tan α＝－eq \f(1,7)，tan β＝－eq \f(3,4)， ∴tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(－\f(1,7)－\f(3,4),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,7)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))))＝eq \f(－\f(25,28),\f(25,28))＝－1.] 3．若tan α＝－eq \f(1,7)，tan β＝－eq \f(3,4)，则tan(α＋β)等于(　　) A.eq \f(\r(3),3) B．1 C．－1 D．－eq \f(\r(3),3) 　　　 利用两角和与差的正切公式求值 　计算：tan 15°. [思路点拨]　15°＝45°－30°，利用公式直接求解． [解]　tan 15°＝tan(45°－30°)＝eq \f(tan 45°－tan 30°,1＋tan 45°tan 30°) ＝eq \f(1－\f(\r(3),3),1＋\f(\r(3),3))＝2－eq \r(3). 在求值的过程中要特别注意所求角与特殊角(如30°，45°，60°)之间的关系，还要注意角之间的互余、互补等． [变式训练] 1．计算tan 105°的值． 解：tan 105°＝tan(45°＋60°)＝eq \f(tan 45°＋tan 60°,1－tan 45°·tan 60°) ＝eq \f(1＋\r(3),1－\r(3))＝－2－eq \r(3). 　　 和与差的正切公式的变形及其应用 　化简下列各式． (1)eq \f(\r(3)－tan 15°,1＋\r(3)tan 15°)； (2)tan 50°＋tan 70°－eq \r(3)tan 50°tan 70°. [思路点拨]　观察两角和的正切公式，当α＋β为特殊角时可得到一个含tan α＋tan β和tan αtan β的等式，利用这个等式可进行tan α＋tan β与tan αtan β之间的转换． [解]　(1)原式＝eq \f(tan 60°－tan15°,1＋tan 60°tan 15°)＝tan(60°－15°)＝tan 45°＝1. (2)原式＝tan 120°(1－tan 50°tan 70°)－eq \r(3)tan 50°tan 70°＝－eq \r(3)＋eq \r(3)tan 50°tan 70°－eq \r(3)tan 50°tan 70°＝－eq \r(3). 灵活运用两角和与差的正切公式的变形解题公式Tα＋β，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)[或tan(α－β)]，三者知二可表示或求出第三个． [变式训练] 2．求值：(1)tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°； (2)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)． 解：(1)∵tan 10°＋tan 35°＝tan 45°(1－tan 10°tan 35°)＝1－tan 10°tan 35°，所以tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°＝1. (2)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°·tan 27°＝2. 　 给值求值问题 　(1)已知tan(α＋β)＝1，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝eq \f(1,3)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,3)))＝　________　. (2)已知α，β为锐角，cos α＝eq \f(4,5)，tan(α－β)＝－eq \f(1,3)，则tan β的值为　________　. [思路点拨]　(1)β＋eq \f(π,3)＝(α＋β)－(α－eq \f(π,3))． (2)β＝α－(α－β)． [解]　(1)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,3)))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3))))) ＝eq \f(tanα＋β－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3))),1＋tanα＋βtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3))))＝eq \f(1－\f(1,3),1＋1×\f(1,3))＝eq \f(1,2). (2)∵α为锐角，cos α＝eq \f(4,5)，∴tan α＝eq \f(3,4). ∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝eq \f(tan α－tanα－β,1＋tan αtanα－β)＝eq \f(\f(3,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))),1＋\f(3,4)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))))＝eq \f(13,9). 答案：(1)eq \f(1,2)　(2)eq \f(13,9) 给值求值问题的两种变换 (1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系以实现求值． (2)角的变换：首先从角间的关系入手，分析已知角与待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值． [变式训练] 3．已知tan α＝eq \f(2,5)，求taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))的值． 解析：taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(tan\f(π,4)＋tan α,1－tan\f(π,4)tan α) ＝eq \f(1＋\f(2,5),1－1×\f(2,5))＝eq \f(7,3). 解析：B　[tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β) ＝eq \f(2－\f(1,2),1＋2×\f(1,2))＝eq \f(3,4).] 1．若tan α＝2，tan β＝eq \f(1,2)，则tan(α－β)＝(　　) A．－eq \f(3,4) B.eq \f(3,4) C．3 D.eq \f(1,3) 2.eq \f(tan 48°－tan 18°,1＋tan 48°tan 18°)＝(　　) A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \r(3) 解析：C　[eq \f(tan 48°－tan 18°,1＋tan 48°tan 18°)＝tan(48°－18°)＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3).] 3．若taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝2，则tan α的值为(　　) A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3) C.eq \f(2,3) D．－eq \f(2,3) 解析：A　[taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝2， 解得tan α＝eq \f(1,3).] 4．若α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))且tan α＝eq \f(1,2)，tan β＝eq \f(1,3)，则α＋β＝　________　. 解析：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,6))＝1. ∴α＋β＝eq \f(π,4). $$