1.1.2 两角和与差的正弦公式（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块同步教案（人教版2021）

对应学生课时P200 [基础过关] 1．计算sin 155°cos 20°－cos 155°sin 20°的结果等于(　　) A. B. C. D. 解析：B　[sin 155°cos 20°－cos 155°sin 20° ＝sin(155°－20°)＝sin 135°＝sin 45°＝.] 2．计算sin 21°cos 39°＋sin 69°sin 39°的结果等于(　　) A. B. C. D．－ 解析：B　[sin 21°cos 39°＋sin 69°sin 39°＝sin 21°cos 39°＋cos 21°sin 39°＝sin(21°＋39°)＝sin 60°＝.] 3．sin 62°cos 32°＋sin 32°cos 118°＝(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：B　[sin 62°cos 32°＋sin 32°cos 118°＝sin 62°cos 32°＋sin 32°cos(180°－62°)＝sin 62°cos 32°－sin 32°cos 62°＝sin(62°－32°)＝sin 30°＝.] 4．sin 7°cos 37°－sin 83°sin 37°的值为(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：B　[原式＝sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37°＝ sin(－30°)＝－sin 30°＝－.] 5．已知θ为锐角，且sin θ＝，则sin(θ＋45°)＝(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：A　[∵θ为锐角，且sin θ＝， ∴cos θ＝＝， ∴sin(θ＋45°)＝(sin θ＋cos θ) ＝×＝.] 6．sin 20°cos 110°＋cos 160°sin 70°＝　________　. 解析：原式＝sin 20°(－cos 70°)＋(－cos 20°)sin 70° ＝－(sin 20°cos 70°＋cos 20°sin 70°) ＝－sin 90°＝－1. 答案：－1 7．求值：cos ＋sin ＝　________　. 解析：原式＝sin cos ＋cos sin ＝sin＝sin ＝. 答案： 8．若sin cos －sin cos ＝sin x，请写出一个符合要求的x＝　________　. 解析：由两角差的正弦公式知，sin cos －sin cos ＝sin＝sin ，所以x＝2kπ＋或2kπ＋，k∈Z.故答案可为(答案不唯一)． 答案：(答案不唯一) 9．已知α，β为锐角，cos α＝，cos β＝，求α－β的值． 解：因为cos α＝，cos β＝，α、β∈(0，)，所以sin α＝ sin β＝＝ 于是sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－ 因为－<α－β<∴α－β＝－ [能力提升] 10．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　) A．－　 B. C．－ D. 解析：D　[原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝.] 11．已知α∈，sin α＝，则sin＝(　　) A. B. C. D. 解析：D　[因为sin α＝，α∈，所以cos α＝，所以sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝×＋×＝.] 12．若锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝，则sin β的值是(　　) A. B. C. D. 解析：C　[∵cos α＝，cos(α＋β)＝，α，β∈，∴0<α＋β<，∴sin α＝，sin(α＋β)＝.∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－×＝.] 13．已知0<α<<β<π，sin α＝，sin(α＋β)＝， 则sin β＝　________　. 解析：由0<α<<β<π，得<α＋β<， 又sin α＝，sin(α＋β)＝， ∴cos α＝，cos(α＋β)＝－， ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－×＝. 答案： 14．已知<α<β<π，且sin α＝，sin β＝，则α＋β＝　________　. 解析：因为<α<β<π，sin α＝，sin β＝，所以cos α＝－＝－＝－，cos β＝－＝－＝－，于是sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝－.因为<α<β<π，所以π<α＋β<2π，于是α＋β＝或 15．已知<α<，0<β<，cos＝－， sin＝，求sin(α＋β)的值． 解：因为<α<，所以<＋α<π. 因为cos＝－， 所以sin＝. 因为0<β<， 所以<＋β<π. 因为sin＝， 所以cos＝－. 因为＋＝π＋α＋β， 所以sin(α＋β)＝－sin[π＋(α＋β)] ＝－sin ＝－sincos－ cossin ＝－×－×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$1.1.2 　两角和与差的正弦公式 第一章　三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第一章 三角计算 数学基础模块（RJ） 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 　 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 课程标准 素养解读 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式． 2．会用两角和与差的正弦进行简单的三角函数的求值、化简. 理清两角和与差的正弦公式，熟悉公式的特征，完善知识结构，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养. 上一节学习了α±β的余弦，即cos(α±β)可以用α、β的正弦、余弦来表示．那么，α±β的正弦，即sin(α±β)是否也可以用α、β的正弦、余弦来表示呢？ [知识点]　两角和与差的正弦公式 Sα＋β∶sin(α＋β)＝　sin αcos β＋cos αsin β　. Sα－β∶sin(α－β)＝　sin αcos β－cos αsin β　. 两角和与差的正弦公式有巧记的方法吗？ 提示：结构特征． 巧记为：正余、余正符号同． 1．sin 15°的值为(　　) A.eq \f(\r(6)＋\r(2),4) B.eq \f(\r(6)－\r(2),4) C.eq \f(\r(2)－\r(6),4) D.eq \f(\r(6)＋\r(3),4) 解析：B　[sin 15°＝sin(60°－45°) ＝sin 60°cos 45°－cos 60°sin 45°＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(6)－\r(2),4).] 2．sin 105°＝(　　) A.eq \f(\r(3),4) B.eq \f(1,4) C.eq \f(\r(6)－\r(2),4) D.eq \f(\r(6)＋\r(2),4) 解析：D　[sin 105°＝sin(60°＋45°) ＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45° ＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).] 3．sin 30°cos 15°＋cos 30°sin 15°＝(　　) A．1 B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),2) 解析：C　[sin 30°cos 15°＋cos 30°sin 15° ＝sin(30°＋15°)＝sin 45°＝eq \f(\r(2),2).] 　　　 公式的直接应用 　求sin 75°的值． [思路点拨]　将75°看成是30°与45°的和，利用两角和的正弦公式得． [解]　sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2)＋\r(6),4). 把一个大角分解成两个特殊角，用两角和的正弦公式计算． [变式训练] 1．利用两角差的正弦公式求sin(－15°)的值． 解：sin(－15°)＝sin(30°－45°)＝sin 30°cos 45°－cos 30°sin 45° ＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2)－\r(6),4) 求下列各式的值． (1)sin 80°cos 10°＋cos 80°sin 10°； (2)eq \f(\r(3),2)sin 15°＋eq \f(1,2)cos 15°. [思路点拨]　根据式子的特点，逆向使用公式． [解]　(1)sin 80°cos 10°＋cos 80°sin 10°＝sin(80°＋10°)＝sin 90°＝1; (2)eq \f(\r(3),2)sin 15°＋eq \f(1,2)cos 15°＝sin 15°cos 30°＋cos 15°sin 30°＝sin(15°＋30°)＝sin 45°＝eq \f(\r(2),2). 公式的逆用 两角和与差的正弦公式把角α＋β的三角函数转化成了α，β的三角函数式，如果反过来，从右向左使用公式，我们就可以将上述的三角函数式化简． [变式训练] 2．化简下列各式． (1)sin 12°cos 18°＋cos 12°sin 18°； (2)sin βcos(α－β)＋cos βsin(α－β)． 解：(1)sin 12°cos 18°＋cos 12°sin 18°＝sin(12°＋18°)＝sin 30°＝eq \f(1,2). (2)sin βcos(α－β)＋cos βsin(α－β)＝sin[β＋(α－β)]＝sin α. 　　　 给值求值 　已知cos α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))的值． [思路点拨]　可利用两角和的正弦公式来进行求解，但首先应求出sin α的值，灵活运用公式cos2α＋sin2α＝1即可求解． [解]　由于cos α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，所以sin α＝－eq \r(1－cos2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2)＝－eq \f(4,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝sin αcoseq \f(π,3)＋cos αsineq \f(π,3) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq \f(1,2)＋eq \f(3,5)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3)－4,10). 给值求值的解题策略 (1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是： ①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差； ②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角． (2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围． [变式训练] 3．已知sin α＝eq \f(5,13)，cos β＝－eq \f(4,5)，并且α和β都是第二象限角，求sin(α＋β)的值． 解析：因为sin α＝eq \f(5,13)，cos β＝－eq \f(4,5)，并且α和β都是第二象限角，所以cos α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(12,13)，sin β＝eq \r(1－cos2β)＝eq \f(3,5).因此sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝eq \f(5,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))×eq \f(3,5)＝－eq \f(56,65). 1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于(　　) A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),2) 解析：A　[∵sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°＝sin(43°－13°)＝sin 30°＝eq \f(1,2).] 2．sin(α＋15°)cos(45°－α)＋cos(α＋15°)sin(45°－α)＝(　　) A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2) 解析：C　[sin(α＋15°)cos(45°－α)＋cos(α＋15°)sin(45°－α) ＝sin[(α＋15°)＋(45°－α)] ＝sin 60°＝eq \f(\r(3),2).] 3．sin(α＋80°)cos(35°＋α)－cos (α＋80°)sin(35°＋α)的值为(　　) A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),2) D．－eq \f(\r(2),2) 解析：C　[原式＝sin[(α＋80°)－(35°＋α)] ＝sin 45°＝eq \f(\r(2),2).] 4．已知sin α＝eq \f(4,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝　________　. 解析：[sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝sin eq \f(π,4)cos α＋cos eq \f(π,4)sin x＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(4,5)＝eq \f(\r(2),10).] $$ 1．1.2　两角和与差的正弦公式 课程标准 素养解读 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式． 2．会用两角和与差的正弦进行简单的三角函数的求值、化简. 理清两角和与差的正弦公式，熟悉公式的特征，完善知识结构，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养. 上一节学习了α±β的余弦，即cos(α±β)可以用α、β的正弦、余弦来表示．那么，α±β的正弦，即sin(α±β)是否也可以用α、β的正弦、余弦来表示呢？ [知识点]　两角和与差的正弦公式 Sα＋β∶sin(α＋β)＝　sin_αcos_β＋cos_αsin_β　. Sα－β∶sin(α－β)＝　sin_αcos_β－cos_αsin_β　. 两角和与差的正弦公式有巧记的方法吗？ 提示：结构特征． 巧记为：正余、余正符号同． 1．sin 15°的值为(　　) A. B. C. D. 解析：B　[sin 15°＝sin(60°－45°) ＝sin 60°cos 45°－cos 60°sin 45° ＝×－×＝.] 2．sin 105°＝(　　) A. B. C. D. 解析：D　[sin 105°＝sin(60°＋45°) ＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45° ＝×＋×＝.] 3．sin 30°cos 15°＋cos 30°sin 15°＝(　　) A．1 B. C. D. 解析：C　[sin 30°cos 15°＋cos 30°sin 15° ＝sin(30°＋15°)＝sin 45°＝.] 　　　公式的直接应用 　求sin 75°的值． [思路点拨]　将75°看成是30°与45°的和，利用两角和的正弦公式得． [解]　sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝×＋×＝. 把一个大角分解成两个特殊角，用两角和的正弦公式计算． [变式训练] 1．利用两角差的正弦公式求sin(－15°)的值． 解：sin(－15°)＝sin(30°－45°)＝sin 30°cos 45°－cos 30°sin 45° ＝×－×＝ 公式的逆用 求下列各式的值． (1)sin 80°cos 10°＋cos 80°sin 10°； (2)sin 15°＋cos 15°. [思路点拨]　根据式子的特点，逆向使用公式． [解]　(1)sin 80°cos 10°＋cos 80°sin 10°＝sin(80°＋10°)＝sin 90°＝1; (2)sin 15°＋cos 15°＝sin 15°cos 30°＋cos 15°sin 30°＝sin(15°＋30°)＝sin 45°＝. 两角和与差的正弦公式把角α＋β的三角函数转化成了α，β的三角函数式，如果反过来，从右向左使用公式，我们就可以将上述的三角函数式化简． [变式训练] 2．化简下列各式． (1)sin 12°cos 18°＋cos 12°sin 18°； (2)sin βcos(α－β)＋cos βsin(α－β)． 解：(1)sin 12°cos 18°＋cos 12°sin 18°＝sin(12°＋18°)＝sin 30°＝. (2)sin βcos(α－β)＋cos βsin(α－β)＝sin[β＋(α－β)]＝sin α. 　　　给值求值 　已知cos α＝，α∈，求sin的值． [思路点拨]　可利用两角和的正弦公式来进行求解，但首先应求出sin α的值，灵活运用公式cos2α＋sin2α＝1即可求解． [解]　由于cos α＝，α∈，所以sin α＝－＝－＝－， 则sin＝sin αcos＋cos αsin ＝×＋×＝. 给值求值的解题策略 (1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是： ①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差； ②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角． (2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围． [变式训练] 3．已知sin α＝，cos β＝－，并且α和β都是第二象限角，求sin(α＋β)的值． 解析：因为sin α＝，cos β＝－，并且α和β都是第二象限角，所以cos α＝－＝－，sin β＝＝.因此sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝－. 1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于(　　) A. B. C. D. 解析：A　[∵sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°＝sin(43°－13°)＝sin 30°＝.] 2．sin(α＋15°)cos(45°－α)＋cos(α＋15°)sin(45°－α)＝(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：C　[sin(α＋15°)cos(45°－α)＋cos(α＋15°)sin(45°－α) ＝sin[(α＋15°)＋(45°－α)] ＝sin 60°＝.] 3．sin(α＋80°)cos(35°＋α)－cos (α＋80°)sin(35°＋α)的值为(　　) A．－ B. C. D．－ 解析：C　[原式＝sin[(α＋80°)－(35°＋α)] ＝sin 45°＝.] 4．已知sin α＝，α∈，则sin＝　________　. 解析：[sin＝sin cos α＋cos sin x＝×＋×＝.] 学科网（北京）股份有限公司 $$