1.1.1 两角和与差的余弦公式（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块同步教案（人教版2021）

1．1　和角公式 1．1.1　两角和与差的余弦公式 课程标准 素养解读 1.了解两角和与两角差的余弦公式的推导过程． 2．理解两角和与两角差的余弦公式在求值、化简及证明等方面的应用. 通过学习两角和与差的余弦公式，重点提升学生的数学运算，逻辑推理的素养. 早在公元2世纪，人们就推导出了两角和与差的余弦公式． cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β 随着时间的推移和研究的深入，现在数学中已很少使用公元2世纪的推导方法，而是首先推导两角差的余弦公式，再通过诱导公式得到两角和的余弦公式．那么现在是怎样推导两角差的余弦公式的呢？ [知识点一]　两角差的余弦公式 对于任意α，β，都有cos(α－β)＝　cos αcos β＋sin αsin β　.这就是两角差的余弦公式，通常简记为Cα－β. [知识点二]　两角和的余弦公式 在两角差的余弦公式中，以－β替代β就得到两角和的余弦公式．即Cα＋β： cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cos αcos(－β)＋sin α·sin(－β)＝　cos_α_cos_β－sin_αsin_β　. 两角和与差的余弦公式有无巧记的方法吗？ 提示：公式的结构特征 巧记为：余余、正正、符号反． 1．cos 105°的值为(　　) A.　　　　 B. C.　　　　　　　 D. 解析：B　[cos 105°＝cos(45°＋60°) ＝cos 45°cos 60°－sin 45°sin 60° ＝·－· ＝－＝.] 2．cos 56°cos 26°＋sin 56°cos 64°的值为(　　) A.　 B．－ C.　　　 D．－ 解析：C　[原式＝cos 56°cos 26°＋sin 56°sin 26°＝cos(56°－26°)＝cos 30°＝.] 3．cos 50°＝(　　) A．cos 70°cos 20°－sin 70°sin 20° B．cos 70°sin 20°－sin 70°cos 20° C．cos 70°cos 20°＋sin 70°sin 20° D．cos 70°sin 20°＋sin 70°cos 20° 解析：C　[cos 50°＝cos(70°－20°)＝cos 70°cos 20°＋sin 70°sin 20°.] 　公式的直接应用 　求cos 75°的值． [思路点拨]　将75°看成是30°与45°的和，利用公式求角． [解]　cos 75°＝cos(30°＋45°) ＝cos 30°cos 45°－sin 30°sin 45° ＝×－×＝. 公式应用的一般规律：把非特殊角转化为特殊角的和与差，后用公式直接求值． [变式训练] 1．求cos 15°的值． 解：cos 15°＝cos(45°－30°) ＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝×＋× ＝. 公式的逆用 化简下列各式． (1)cos 40°cos 20°－sin 40°sin 20°； (2)cos(α－β)cos β－sin(α－β)sin β. [思路点拨]　两角和与差的余弦公式把角α＋β的三角函数转化成了α，β的三角函数式．如果反过来，从右向左使用公式，我们就可以将上述的三角函数式化简． 解：　(1)cos 40°cos 20°－sin 40°sin 20°＝cos(40°＋20°)＝cos 60°＝. (2)cos(α－β)cos β－sin(α－β)sin β＝cos[(α－β)＋β]＝cos α. 在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式右边的形式，然后逆用公式求值． [变式训练] 2．(1)cos 69°cos 9°＋sin 69°sin 9°＝(　　) A．0 B. C. D．1 解析：B　[cos 69°cos 9°＋sin 69°sin 9°＝cos(69°－9°)＝cos 60°＝.] (2)cos 16°cos 14°－sin 16°sin 14°＝(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：D　[cos 16°cos 14°－sin 16°sin 14°＝cos(16°＋14°)＝cos 30°＝.] 　给值求值 　设cos α＝，cos β＝，并且α和β都是锐角，求cos(α＋β)的值． [思路点拨]　可利用两角和的余弦公式来进行求解，但首先应求出sin α，sin β的值，灵活运用公式cos2α＋sin2α＝1即可解决． [解]　因为cos α＝，cos β＝，并且α和β都是锐角，所以由cos2α＋sin2α＝1，cos2β＋sin2β＝1，得sin α＝＝，sin β＝＝， 因此，利用公式得cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝0. 已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角． [变式训练] 3．已知sin θ＝，θ是第二象限角，cos φ＝－，φ是第三象限角，求cos(θ－φ)的值； 解：∵sin θ＝， 又θ是第二象限角，∴cos θ＝－. ∵cos φ＝－，且φ为第三象限角， ∴sin φ＝－， ∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ ＝×＋×＝. 1．cos(－75°)的值为(　　) A. B. C. D. 解析：C　[cos(－75°)＝cos(－30°－45°)＝cos(－30°)cos 45°＋sin(－30°)sin 45°＝×－×＝.] 2．cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°＝(　　) A. B. C. D．－ 解析：B　[cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°＝ cos(78°－18°)＝cos 60°＝.] 3．已知α∈，cos α＝，则cos等于(　　) A.－ B．1－ C.＋ D.－ 解析：A　[因为α∈，cos α＝，所以sin α＝，所以cos＝cos αcos －sin αsin ＝×－×＝－.] 4.cos 105°＋sin 105°的值为　________　. 解析：原式＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°＝cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$ [基础过关] 1．sin 75°的值是(　　) A. B. C. D. 解析：A　[sin 75°＝sin(90°－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝.] 2．cos 15°cos 75°＋sin 15°sin 75°的值为(　　) A．1 B．0 C．－ D. 解析：D　[cos 15°cos 75°＋sin 15°sin 75°＝cos(15°－75°)＝cos(－60°)＝.] 3．cos 40°cos 20°－sin 40°sin 20°＝(　　) A. B. C. D．－ 解析：C　[cos 40°cos 20°－sin 40°sin 20°＝cos(40°＋20°)＝cos 60°＝.] 4．cos 615°的值为(　　) A. B．－ C. D. 解析：D　[cos 615°＝cos(720°－105°)＝cos 105°＝cos(45°＋60°)＝.] 5．已知cos α＝－，α∈，sin β＝－，β是第四象限角，则cos(β－α)的值是(　　) A．－ B. C．－ D．－ 解析：C　[由条件可得sin α＝，cos β＝，则cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝×＋×＝－.] 6．cos 10°·cos 20°－sin 10°·sin 20°＝　________　. 解析：原式＝cos(10°＋20°)＝cos 30°＝. 答案： 7．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝　________　. 解析：原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－35°－25°)＝cos(－60°)＝cos 60°＝. 答案： 8．已知cos α＝－，α为钝角，则cos＝　________　. 解析：因为cos α＝－，α为钝角，所以sin α＝， cos＝cos αcos＋sin αsin ＝－×＋×＝. 答案： 9．证明：cos(－α)＝sin α. 证明：　因为cos(－α)＝cos·cos α＋sin·sin α＝0·cos α＋1·sin α＝sin α， 所以cos(－α)＝sin α. [能力提升] 10．cos 20°＝(　　) A．cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10° B．cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10° C．sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30° D．cos 30°cos 10°－sin 30°cos 10° 解析：B　[cos 20°＝cos(30°－10°) ＝cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°.] 11．在△ABC中，cos A＝，cos B＝，则cos C＝(　　) A. B．－ C．－ D. 解析：D　[易得sin A＝，sin B＝，cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sin Asin B－cos Acos B＝.] 12．已知锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝－，则cos(2π－β)的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：A　[∵α，β为锐角，cos α＝，cos(α＋β)＝－，∴sin α＝，sin(α＋β)＝，∴cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝.] 13．sin(α－β)sin α＋cos(α－β)cos α＝　________　. 解析：原式＝cos[(α－β)－α]＝cos(－β)＝cos β. 答案：cos β 14．已知sin α＝，α为第二象限角，则cos＝　________　. 解析：由题意可知cos α＝－，所以cos＝coscos α＋sinsin α＝×＋×＝. 答案： 15．已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β∈，求cos(α＋β)的值． 解析：由sin α＝，α∈，可得cos α＝－＝－，由cos β＝－，β∈，可得sin β＝－＝－.因此，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$1.1　和角公式 1.1.1 　两角和与差的余弦公式 第一章　三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第一章 三角计算 数学基础模块（RJ） 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 　 公式的直接应用 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模块（RJ） 第一章 三角计算 课程标准 素养解读 1.了解两角和与两角差的余弦公式的推导过程． 2．理解两角和与两角差的余弦公式在求值、化简及证明等方面的应用. 通过学习两角和与差的余弦公式，重点提升学生的数学运算，逻辑推理的素养. 早在公元2世纪，人们就推导出了两角和与差的余弦公式． cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β 随着时间的推移和研究的深入，现在数学中已很少使用公元2世纪的推导方法，而是首先推导两角差的余弦公式，再通过诱导公式得到两角和的余弦公式．那么现在是怎样推导两角差的余弦公式的呢？ [知识点一]　两角差的余弦公式 对于任意α，β，都有cos(α－β)＝　cos αcos β＋sin αsin β　.这就是两角差的余弦公式，通常简记为Cα－β. [知识点二]　两角和的余弦公式 在两角差的余弦公式中，以－β替代β就得到两角和的余弦公式．即Cα＋β： cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cos αcos(－β)＋sin α·sin(－β)＝　cos α cos β－sin αsin β　. 两角和与差的余弦公式有无巧记的方法吗？ 提示：公式的结构特征 巧记为：余余、正正、符号反． 1．cos 105°的值为(　　) A.eq \f(\r(6)－\r(2),4)　　　　 B.eq \f(\r(2)－\r(6),4) C.eq \f(\r(6)＋\r(2),4)　　　　　　　 D.eq \f(\r(2)－\r(6),2) 解析：B　[cos 105°＝cos(45°＋60°) ＝cos 45°cos 60°－sin 45°sin 60° ＝eq \f(\r(2),2)·eq \f(1,2)－eq \f(\r(2),2)·eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(2),4)－eq \f(\r(6),4)＝eq \f(\r(2)－\r(6),4).] 2．cos 56°cos 26°＋sin 56°cos 64°的值为(　　) A.eq \f(1,2)　 B．－eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2)　　　 D．－eq \f(\r(3),2) 解析：C　[原式＝cos 56°cos 26°＋sin 56°sin 26°＝cos(56°－26°)＝cos 30°＝eq \f(\r(3),2).] 3．cos 50°＝(　　) A．cos 70°cos 20°－sin 70°sin 20° B．cos 70°sin 20°－sin 70°cos 20° C．cos 70°cos 20°＋sin 70°sin 20° D．cos 70°sin 20°＋sin 70°cos 20° 解析：C　[cos 50°＝cos(70°－20°)＝cos 70°cos 20°＋sin 70°sin 20°.] 　 　求cos 75°的值． [思路点拨]　将75°看成是30°与45°的和，利用公式求角． [解]　cos 75°＝cos(30°＋45°) ＝cos 30°cos 45°－sin 30°sin 45° ＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(6)－\r(2),4). 公式应用的一般规律：把非特殊角转化为特殊角的和与差，后用公式直接求值． [变式训练] 1．求cos 15°的值． 解：cos 15°＝cos(45°－30°) ＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2) ＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4). 化简下列各式． (1)cos 40°cos 20°－sin 40°sin 20°； (2)cos(α－β)cos β－sin(α－β)sin β. [思路点拨]　两角和与差的余弦公式把角α＋β的三角函数转化成了α，β的三角函数式．如果反过来，从右向左使用公式，我们就可以将上述的三角函数式化简． 解：　(1)cos 40°cos 20°－sin 40°sin 20°＝cos(40°＋20°)＝cos 60°＝eq \f(1,2). (2)cos(α－β)cos β－sin(α－β)sin β＝cos[(α－β)＋β]＝cos α. 公式的逆用 在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式右边的形式，然后逆用公式求值． [变式训练] 2．(1)cos 69°cos 9°＋sin 69°sin 9°＝(　　) A．0 B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D．1 解析：B　[cos 69°cos 9°＋sin 69°sin 9°＝cos(69°－9°)＝cos 60°＝eq \f(1,2).] (2)cos 16°cos 14°－sin 16°sin 14°＝(　　) A．－eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2) 解析：D　[cos 16°cos 14°－sin 16°sin 14°＝cos(16°＋14°)＝cos 30°＝eq \f(\r(3),2).] 　 给值求值 　设cos α＝eq \f(3,5)，cos β＝eq \f(4,5)，并且α和β都是锐角，求cos(α＋β)的值． [思路点拨]　可利用两角和的余弦公式来进行求解，但首先应求出sin α，sin β的值，灵活运用公式cos2α＋sin2α＝1即可解决． [解]　因为cos α＝eq \f(3,5)，cos β＝eq \f(4,5)，并且α和β都是锐角，所以由cos2α＋sin2α＝1，cos2β＋sin2β＝1，得sin α＝eq \r(1－cos2α)＝eq \f(4,5)，sin β＝eq \r(1－cos2β)＝eq \f(3,5)，因此，利用公式得cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝eq \f(3,5)×eq \f(4,5)－eq \f(4,5)×eq \f(3,5)＝0. 已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角． 解：∵sin θ＝eq \f(3,5)，又θ是第二象限角，∴cos θ＝－eq \f(4,5). ∵cos φ＝－eq \f(2\r(5),5)，且φ为第三象限角， ∴sin φ＝－eq \f(\r(5),5)，∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))＋eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)))＝eq \f(\r(5),5). [变式训练] 3．已知sin θ＝eq \f(3,5)，θ是第二象限角，cos φ＝－eq \f(2\r(5),5)，φ是第三象限角，求cos(θ－φ)的值； 1．cos(－75°)的值为(　　) A.eq \f(\r(6)－\r(2),2) B.eq \f(\r(6)＋\r(2),2) C.eq \f(\r(6)－\r(2),4) D.eq \f(\r(6)＋\r(2),4) 解析：C　[cos(－75°)＝cos(－30°－45°)＝cos(－30°)cos 45°＋sin(－30°)sin 45°＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(6)－\r(2),4).] 2．cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°＝(　　) A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(1,2) 解析：B　[cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°＝ cos(78°－18°)＝cos 60°＝eq \f(1,2).] 3．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，cos α＝eq \f(\r(3),3)，则coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))等于(　　) A.eq \f(1,2)－eq \f(\r(6),6) B．1－eq \f(\r(6),6) C.eq \f(1,2)＋eq \f(\r(6),6) D.eq \f(\r(6),2)－eq \f(\r(3),6) 解析：A　[因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，cos α＝eq \f(\r(3),3)，所以sin α＝eq \f(\r(6),3)，所以coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝cos αcos eq \f(π,6)－sin αsin eq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),3)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(\r(6),3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)－eq \f(\r(6),6).] 4.eq \f(1,2)cos 105°＋eq \f(\r(3),2)sin 105°的值为　________　. 解析：原式＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°＝cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝eq \f(\r(2),2). 答案：eq \f(\r(2),2) $$