专题03 一元二次不等式、分式不等式（讲义） -山西省2026年对口升学一轮复习《数学知识点清单》（解析版+原卷版）

编写说明：山西省2026年对口升学一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》及山西历年对口升学真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共51个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是山西省2026年对口升学一轮复习《数学知识点清单》的第3个专题：一元二次不等式、分式不等式。本专题涵盖一元一次不等式（组）、一元二次不等式、分式不等式等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 山西省2026年对口升学 一轮复习 《数学知识点清单》 专题03 一元二次不等式、分式不等式（讲义） 知识点1 一元一次不等式（组） 1. 一元一次不等式的解法一般步骤 （1）去分母； （2）去括号； （3）移项； （4）合并同类项； （5）将未知项的系数化为1. 2. 一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集； （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集． 1．（2025高三·全国·专题练习）若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山西·一模）不等式组的解集是 ． 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．若不等式组无解，则m的值可能是（   ） A．7 B．6 C．3 D．5 3．若关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 4．解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来. (1)； (2). 5．解不等式组并把解集表示在数轴上． 6．已知是关于x的不等式的一个解，那么的取值范围为 . 7．不等式的所有整数解的和为 ． 8．如果关于的不等式组的解集为，那么的取值范围是 ． 9．解不等式． 10．解不等式组：，并利用数轴表示不等式组的解集．. 知识点2 一元二次不等式 1.一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)． (2)计算相应的判别式. (3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根． (4)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2.三个二次之间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2 (x1<x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有 实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x>x2或x<x1} {x|x∈R 且x≠x1} R ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 1．（24-25高三下·山西·三模）已知一元二次不等式的解集是空集，则k的取值范围是 2．（2017高三·山西·学业考试）函数的定义域是 3．（23-24高三·山西·一模）函数的定义域为，求的取值范围. 1．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．不等式的解集为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．不等式的解集为，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 9．不等式的解为（    ） A．或 B．或 C． D． 10．不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 知识点3 简单分式不等式的解法 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔ 1．（24-25高三上·山西·一模）不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·云南·职教高考）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．（19-20高三·云南·对口/高职单招）不等式的解集是 . 1．不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 3．不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 4．不等式 的解集为（     ） A． B． C．或 D． 5．解下列不等式： (1)； (2)； (3). 6．（1）解不等式； （2）解不等式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：山西省2026年对口升学一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》及山西历年对口升学真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共51个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是山西省2026年对口升学一轮复习《数学知识点清单》的第3个专题：一元二次不等式、分式不等式。本专题涵盖一元一次不等式（组）、一元二次不等式、分式不等式等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 山西省2026年对口升学 一轮复习 《数学知识点清单》 专题03 一元二次不等式、分式不等式（讲义） 知识点1 一元一次不等式（组） 1. 一元一次不等式的解法一般步骤 （1）去分母； （2）去括号； （3）移项； （4）合并同类项； （5）将未知项的系数化为1. 2. 一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集； （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集． 1．（2025高三·全国·专题练习）若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式的解集可得且，代入整理后直接求解即可. 【详解】关于x的不等式的解集是， 则有，即，， 代入不等式中，得， 化为，解得， ∴所求不等式的解集为. 故选：C. 2．（24-25高三上·山西·一模）不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】根据含有绝对值的不等式、一元一次不等式组的解法求解即可. 【详解】因为， ， 所以不等式组， 所以不等式组的解集为：. 故答案为：. 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合一元一次不等式的解法，即可求解. 【详解】∵，∴， ∴，∴， 所以原不等式的解集为. 故选：D. 2．若不等式组无解，则m的值可能是（   ） A．7 B．6 C．3 D．5 【答案】C 【分析】根据不等式组的解集列出不等式即可求解. 【详解】因为，所以由①得，由②得. 因为不等式组无解，所以，所以， 选项ABD不符合，选项C符合. 故选：C. 3．若关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式组解的情况列出不等式即可求解. 【详解】∵不等式组无解， ∴， ∴， 解得， 所以的取值范围为. 4．解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来. (1)； (2). 【答案】(1)，答案见解析 (2)，答案见解析 【分析】根据一元一次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）因为， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 所以不等式的解集为，即. 将解集在数轴上表示为：    （2）因为， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 所以不等式的解集为，即. 解集在数轴上表示为：    5．解不等式组并把解集表示在数轴上． 【答案】，答案见解析 【分析】由一元一次不等式组的解法即可求解. 【详解】由①得，由②得，所以， 该不等式组的解集为即．解集在数轴上表示如图所示．    6．已知是关于x的不等式的一个解，那么的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意将带入不等式,即可求解. 【详解】∵是关于的不等式的一个解, ∴,解得. 故答案为:. 7．不等式的所有整数解的和为 ． 【答案】 【分析】先求出不等式组的解析，再判断整数解的和即可. 【详解】不等式， 所以不等式组的解集为， 则不等式组的整数解为．整数解的和为． 故答案为：0. 8．如果关于的不等式组的解集为，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由不等式组的解集为即可求解. 【详解】因为关于的不等式组的解集为，所以，所以． 故答案为：. 9．解不等式． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的解法求解即可. 【详解】已知不等式， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得． 合并同类项，得， 两边同除以，得， 所以原不等式的解集是． 这个不等式的解集在数轴上表示如图． 10．解不等式组：，并利用数轴表示不等式组的解集． 【答案】，数轴见解析 【分析】根据一元一次不等式组的解法求解即可. 【详解】已知， 由不等式①得，， 即，解得， 由不等式②得，， 即，则，解得， 所以原不等式组的解集为，即. 所以该不等式组的解集在数轴上表示如图所示， . 知识点2 一元二次不等式 1.一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)． (2)计算相应的判别式. (3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根． (4)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2.三个二次之间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2 (x1<x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有 实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x>x2或x<x1} {x|x∈R 且x≠x1} R ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 1．（24-25高三下·山西·三模）已知一元二次不等式的解集是空集，则k的取值范围是 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解集是空集，分类讨论求解参数即可； 【详解】因为一元二次不等式的解集是空集， 所以当时，，此时解集为空集满足条件； 当时，则，即，解得； 综上可知，实数的取值范围为. 故答案为： 2．（2017高三·山西·学业考试）函数的定义域是 【答案】 【分析】根据算术平方根底数为非负值，解一元二次不等式即可求解. 【详解】∵函数，而算术平方根底数为非负值， ∴，化简为， 解得或. 因此，函数的定义域是. 故答案为：. 3．（23-24高三·山西·一模）函数的定义域为，求的取值范围. 【答案】. 【分析】根据题意得出不等式恒成立，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以对于任意实数，不等式恒成立， 则，即. 因此，使函数的定义域为的实数的取值范围为. 1．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为，可转化为， 即，解得， 故不等式的解集为． 故选：A. 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据解一元二次不等式的方法求解即可. 【详解】由，得， 即，所以或， 故不等式的解集为. 故选：D. 3．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解法求解. 【详解】， 故不等式的解集为． 故选：C. 4．不等式的解集为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的解集为，判断，进而求的值. 【详解】∵解集为，二次函数的图象恒在轴上方， ∴， 解得，即的取值范围是. 故选：B. 5．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】或． 则，故充要性成立； 当，故必要性不成立， ∴“”是“”的充分不必要条件， 故选：. 6．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，故不等式的解集为． 故选：A. 7．不等式的解集为，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分类讨论，结合二次不等式恒成立问题的解法即可得解． 【详解】不等式的解集为， 当时，，不符合； 当时，根据二次函数的图象与性质可知解集不可能为； 当，且， 即，解得． 故选：C. 8．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先移项再因式分解，即可求得不等式的解集. 【详解】原式等价于， ， 的两个根为， ， 故不等式的解集为. 故选：A. 9．不等式的解为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】因为不等式，即， 所以，解得， 故选：D. 10．不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为， 所以， 即， 解得． 故选：A. 知识点3 简单分式不等式的解法 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔ 1．（24-25高三上·山西·一模）不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的意义，一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】由题意得，不等式 等价于，解得或. 即不等式 的解集为. 故选：B. 2．（23-24高三下·云南·职教高考）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式不等式的求解方法即可得解. 【详解】由题意可得：， 解得，即， 所以不等式的解集为. 故选：. 3．（19-20高三·云南·对口/高职单招）不等式的解集是 . 【答案】 【分析】先将不等式的右边化成0，然后转化为分式不等式，由此解得不等式得解集，注意分母不为零. 【详解】不等式可转化为， 即， 则， 解得， 故不等式的解集为：. 故答案为：. 1．不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把不等式化为一元二次不等式求解. 【详解】∵对于任意，， ∴不等式可化为， 即，解得， 故不等式的解集为. 故选：D. 2．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据分式不等式的解法求解. 【详解】不等式可化为：，解得， ∴不等式的解集为. 故选：D. 3．不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】解分式不等式易得答案. 【详解】不等式， 当时，，所以无解， 当时，，所以， 所以不等式的解集为. 故选：A. 4．不等式 的解集为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据分式不等式的解法，求解即可. 【详解】由，等价于，解得， 故解集为. 故选：D. 5．解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）将式子变形解一元二次不等式即可. （2）将式子化简，根据二次函数的性质即可解得. （3）移项、通分，再写成等价形式即可解得. 【详解】（1）， 解得或， 故不等式解集为或 （2）即， 因为， 故方程无实数根， 又函数开口向上，故恒成立， 所以不等式解集为 （3），可化为， 即, 解得或， 故不等式解集为或 6．（1）解不等式； （2）解不等式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）因式分解法求解一元二次不等式即可； （2）根据分式不等式的解法即可解得. 【详解】（1）由，得，解得或， 则不等式解集为. （2）由，得，即， 即，解得， 则不等式解集为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$