平面向量的应用-知识点训练卷 广西2026年职教高考《数学考纲百套卷》第41卷（原卷版+解析版）

编写说明：广西2026年职教高考《数学考纲百套卷》，依据《广西高等职业教育考试大纲与说明（数学）》（2026年版）进行编写。本套试卷共100份：第一部分是按照考试大纲与说明编写的59份知识点训练卷；第二部分是集合、不等式、函数等10个章节的26份专题训练卷；第三部分是严格依据考试大纲与说明编写的15份综合模拟卷。 本卷是广西2026年职教高考《数学考纲百套卷》的第41卷，是平面向量的应用知识点训练卷，主要考查学生对平面向量的应用的掌握情况。 广西2026年职教高考《数学考纲百套卷》 第41卷 平面向量的应用 知识点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．小船以的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为．则小船实际航行速度的大小为（   ） A． B． C． D． 2．三个顶点的坐标分别为，则是 （   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 3．平行四边形中，，则四边形一定是（    ） A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．梯形 4．在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(    ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 5．四边形中，，，则这个四边形是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形 6．已知非零向量与满足，且，则为（    ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 7．若向量， 与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．在平行四边形中，，，为的中点，若，则的长为（    ） A．1 B． C． D． 二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 9．在菱形中，，，则 ． 10．一扇中式实木仿古正方形花窗如图1所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形（它们有共同的对称中心与对称轴）单独拿出来放置于同一平面，如图2所示.已知分米，分米，点在正方形的四条边上运动，当取得最大值时， 与夹角的余弦值为 . 11．伴随着国内经济的持续增长，人民的生活水平也相应有所提升，其中旅游业带来的消费是居民消费领域增长最快的，因此挖掘特色景区，营造文化氛围尤为重要．某景区的部分道路如图所示，，，，，要建设一条从点到点的空中长廊，则 ． 三、解答题（本题共3小题，每小题15分，共45分） 12．一辆消防车从A地到地执行任务，先从A地向北偏东方向行驶2km到达地，然后从地沿北偏东方向行驶6km到达地，从地又向南偏西行驶2km才到达地． (1)在如图所示的坐标系中画出； (2)求地相对于地的位移． 13．如图，四边形是正方形，是对角线上的一点（不包括端点），，分别在边，上，且四边形是矩形，试用向量法证明：． 14．如图，在中，，，，点在线段上，且． (1)求的长； (2)求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：广西2026年职教高考《数学考纲百套卷》，依据《广西高等职业教育考试大纲与说明（数学）》（2026年版）进行编写。本套试卷共100份：第一部分是按照考试大纲与说明编写的59份知识点训练卷；第二部分是集合、不等式、函数等10个章节的26份专题训练卷；第三部分是严格依据考试大纲与说明编写的15份综合模拟卷。 本卷是广西2026年职教高考《数学考纲百套卷》的第41卷，是平面向量的应用知识点训练卷，主要考查学生对平面向量的应用的掌握情况。 广西2026年职教高考《数学考纲百套卷》 第41卷 平面向量的应用 知识点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．小船以的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为．则小船实际航行速度的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设船在静水中的速度为，实际航行的速度为，水流的速度 ，它们构成直角三角形，由勾股定理求出小船实际航行速度即可． 【详解】如图所示： 设船在静水中的速度为， 河水的流速为． 设小船实际航行速度为， 则由，得， ，， 即小船实际航行速度的大小为. 故选：B. 2．三个顶点的坐标分别为，则是 （   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】由向量内积的坐标表示和向量模长的坐标表示，进行计算判断即可. 【详解】因为三个顶点的坐标分别为， 所以，，， 所以，，， 故不是等腰三角形，故D项错误； 因为， 所以，故， 所以是直角三角形，故C项正确，A项、B项错误. 故选：C. 3．平行四边形中，，则四边形一定是（    ） A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．梯形 【答案】A 【分析】根据向量的模相等化简得到向量内积，进而得到答案. 【详解】因为. 所以，即. 所以.即. 所以四边形一定是矩形. 故选：A. 4．在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(    ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】由图猜测AN与MN垂直，故验证是否为零即可. 【详解】∵ . ∴， ∴是直角三角形. 故选：C. 5．四边形中，，，则这个四边形是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形 【答案】A 【分析】由可得，且，即四边形为平行四边形，又，即四边形为菱形，即得解 【详解】由题意， 即，且 故四边形为平行四边形 又 故 即四边形为菱形 故选：A 6．已知非零向量与满足，且，则为（    ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】由推出，由推出，则可得答案. 【详解】由，得，得，得， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，即， 所以为等腰直角三角形. 故选：C 7．若向量， 与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数量积为负以及共线情况，即可求解. 【详解】当与共线时，此时，当时，，此时与方向相反， 当与的夹角为钝角时，则需且与不反向，所以且，解得， 故选：A 8．在平行四边形中，，，为的中点，若，则的长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】作出图形，根据平面向量基本定理，得到，再由题中数据，根据向量数量积的运算，即可求出结果． 【详解】解：如图． ． ∴，即． 故选：D． 二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 9．在菱形中，，，则 ． 【答案】 【分析】根据菱形的性质与平面向量的线性运算求解即可. 【详解】如图所示，作出菱形，连接，，交于点， 在菱形中，，， ∵ ∴. 故答案为: 10．一扇中式实木仿古正方形花窗如图1所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形（它们有共同的对称中心与对称轴）单独拿出来放置于同一平面，如图2所示.已知分米，分米，点在正方形的四条边上运动，当取得最大值时， 与夹角的余弦值为 . 【答案】 【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，分类讨论点的位置，根据平面向量数量积的坐标表示可求出结果. 【详解】以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系： 则，， ，， 设，， ， 当时，， ，当且仅当时等号成立， 当时，， ，当且仅当时等号成立， 当时，， ，当且仅当时等号成立， 当时，， ，当且仅当时等号成立， 由以上可知，当时，取得最大值，此时，， 设与的夹角为，则. 故答案为： 11．伴随着国内经济的持续增长，人民的生活水平也相应有所提升，其中旅游业带来的消费是居民消费领域增长最快的，因此挖掘特色景区，营造文化氛围尤为重要．某景区的部分道路如图所示，，，，，要建设一条从点到点的空中长廊，则 ． 【答案】 【解析】根据题中条件，先得到，，利用向量数量积的运算法则，计算，即可求出结果. 【详解】由题可知，所以， 由可得， ， 又，， ， 所以，则． 故答案为：. 三、解答题（本题共3小题，每小题15分，共45分） 12．一辆消防车从A地到地执行任务，先从A地向北偏东方向行驶2km到达地，然后从地沿北偏东方向行驶6km到达地，从地又向南偏西行驶2km才到达地． (1)在如图所示的坐标系中画出； (2)求地相对于地的位移． 【答案】(1)作图见解析 (2)北偏东，6km 【分析】（1）根据题目条件，在坐标系上画出即可. （2）根据向量相等的性质求解即可. 【详解】（1）向量，如图所示． （2）由题意知，则四边形为平行四边形. 所以，则地相对于A地的位移为“北偏东，”． 13．如图，四边形是正方形，是对角线上的一点（不包括端点），，分别在边，上，且四边形是矩形，试用向量法证明：． 【答案】证明见解析 【分析】以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，，根据向量的方法，求出，的坐标，得到其对应的模，即可得出结论成立． 【详解】证明：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，， 则，，，， ∴，． ∴， ， ∴，∴． 14．如图，在中，，，，点在线段上，且． (1)求的长； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用、表示，再根据、的长度和夹角可求出结果； （2）根据夹角公式可求出结果. 【详解】（1）设，， 则． ．故． （2）因为 ． 所以 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$