13.3.2三角形的外角（培优教学课件）数学人教版2024八年级上册

人教版2024·八年级上册 13.3.2 三角形的外角 第十三章 三角形 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握三角形外角的定义，能在不同几何图形中准确识别三角形的外角. 能运用三角形外角的性质进行角度计算、角的大小比较以及简单的几何推理. 在探究三角形外角性质和外角和的过程中，体会数学知识的内在联系，增强逻辑推理能力和数学探究能力. A B C 思考：在△ABC中，三个内角分别是什么？它们有什么关系？ D 内角分别是：∠A，∠B，∠C. ∠A+∠B+∠C=180° 思考：若把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD,那∠ACD是什么角呢？ 情境引入 外角 A B C D 思考：你能说一说三角形的外角定义吗？ 三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形的外角： ①角的顶点是三角形的顶点 ②角的一边是三角形的一边 ③另一边是三角形中一边的延长线 那三角形的外角应具备哪些条件呢？ 还能画出其他的外角吗？ 新知探究 思考：如图，在△ABC中，分别延长AC、BC，图中∠1，∠2，∠3哪些是△ABC的外角？ E C B A D 1 2 3 ∠1和∠3是△ABC的外角. 思考：每个顶点处有几个外角？它们有何关系？ 每个顶点处有2个外角，如上图，△ABC在点C处有两个外角，分别是∠1和∠3，它们是对顶角，因此∠1=∠3. 新知探究 分析：先根据三角形内角和定理求出∠ACB,再用邻补角的性质求出∠ACD. 解：∵∠A=70°,∠B=60° ∴∠ACB=180°-∠A-∠B =180°-70°-60° =50° ∵∠ACB和∠ACD互为邻补角 ∴∠ACD=180°-∠ACB=130°. 思考：如图，在△ABC中，∠A=70°,∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角.能由∠A,∠B求出∠ACD吗？ B A C D 70° 60° 新知探究 B A C D 70° 60° 思考：∠ACD与∠A,∠B有什么关系? ∵∠A=70°,∠B=60°，∠ACD=130° ∴∠ACD=∠A+∠B. 任意一个三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角是否都有这种关系? B A C D 猜想： ∠ACD=∠A+∠B. 你能进行推理证明吗？ 新知探究 B A C D 证明：∵∠ACD与∠ACB互为邻补角 ∴∠ACD=180°-∠ACB ∵∠A+∠B+∠ACB=180° ∴∠A+∠B=180°-∠ACB ∴∠ACD=∠A+∠B. 相邻的内角 外角 不相邻的内角 你能得出什么结论吗？ 三角形外角的性质： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 符号语言： ∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠ACD=∠A+∠B. 新知探究 A B C E F D 2 1 3 例4 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是三角形ABC的三个外角，它们的和是多少？ 分析：利用三角形外角的性质来求解. 解法1：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠BAE=∠2+∠3， ∠CBF=∠1+∠3， ∠ACD=∠1+∠2． 所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)． 由∠1+∠2+∠3=180°，得 ∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360°． 同学们还有其他方法吗？ 典例精析 A B C E F D 2 1 3 分析：利用三个平角减去三个内角的和. 解法2：由∠BAE +∠1=∠CBF +∠2=∠ACD+∠3=180°，得 ∠BAE +∠CBF +∠ACD=3×180°-(∠1+∠2+∠3) =540°-180°=360°． 通过例题你能得出什么结论呢？ 三角形的外角和定理： 三角形的外角和等于360°. 符号语言： ∵∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的外角， ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°． 典例精析 ∠1= ∠1= . ∠2= ∠2= . 38° 142° 18° 130° 1.说出下列各图形中∠1和∠2的度数： 分析：综合应用三角形外角的性质和内角和定理. 小试牛刀 A B C D ( ( ( 82° 60° ( 2 1 (1) A B C ( ( ( ( 2 1 50° 32° (2) 1.将一副三角板按如图所示的方式叠放，则∠1等于（　　） A．45° B．60° C．105° D．120° C 2 分析：∠2=90°-45°=45° ∠1=45°+60°=105°. 随堂检测 分析:由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 解：可列方程得 x+x+10=x+70, 解得x=60, 因此，x的值为60. 随堂检测 2.求出图中的x的值. 方法指导 可用方程的思想来解决. 分析：综合应用三角形外角的性质和内角和定理,及角平分线的定义. 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°， ∴∠CBD=90°＋40°=130°. ∵BE是∠CBD的平分线， ∴∠CBE=∠CBD=65°. （2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°， ∴∠CEB=90°－65°=25°. ∵DF∥BE， ∴∠F=∠CEB=25°. 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E. (1)求∠CBE的度数； (2)过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数． 随堂检测 E 1.如图，P为△ABC内一点，∠BPC=150°，∠ABP=20°，∠ACP=30°,求∠A的度数． 分析：找准三角形中外角与内角的关系. 解：延长BP交AC于点E， 则∠BPC，∠PEC 分别为△PCE，△ABE的外角， ∴∠BPC=∠PEC＋∠PCE，∠PEC=∠ABE＋∠A. ∴∠PEC=∠BPC-∠PCE=150°-30°=120°. ∴∠A=∠PEC-∠ABE=120°-20°=100°. 方法指导 添加辅助线构成新的三角形. 拓展提升 课堂小结 1.定义： 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 2.三角形外角的性质： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 符号语言：∵∠ACD是△ABC的一个外角， ∴∠ACD=∠A+∠B. 3.三角形的外角和定理： 三角形的外角和等于360°. 符号语言：∵∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的外角， ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°． B A C D 1.说出下列各图形中∠1和∠2的度数： 分析：综合应用三角形外角的性质和内角和定理,及角平分线的定义. ∠1= ∠1= ∠1= . ∠2= ∠2= ∠2= . 70° 55° 80° 40° 60° 30° 课后作业 2.如图，AB∥CD,∠A＝37°,∠C＝63°,那么∠F等于 ( ) A. 26° B. 63° C. 37° D. 60° A F A B E C D 分析：∵AB∥CD,∠C＝63° ∴∠FEB=63° ∵∠FEB是△AEF的外角 ∴∠F=∠FEB-∠A=63°-37°=26°. 课后作业 培优作业 分析：利用三角形外角的性质及角平分线的定义. 解:∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠ACE=∠A+∠ABC， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE， ∴∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE， ∴∠DCE=∠A+∠DBC， ∵∠DCE是△DBC的外角，∴∠DCE=∠D+∠DBC， ∴∠D+∠DBC=∠A+∠DBC， 即∠D=∠A. 1.如图，BD是∠ABC的角平分线，CD是△ABC的外角平分线,BD、CD交于D，试探索∠A与∠D的关系. 感谢聆听! $$