8.2.3 样本平均数与标准差（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块 下册同步教案（人教版2021）

[基础过关] 1．高一某班第7学习小组在期末的数学测试中，得135分的1人，122分的2人，110分的4人，90分的2人，则该学习小组数学成绩的平均数是(　　) A．110　　 B．111　　 C．112　　 D．113 解析：B　[平均数为＝(135＋122×2＋110×4＋90×2)＝111.] 2．想要计算一组数据：197,202,200,201,199,198,203的方差s2，在计算平均数的过程中，将这组数据的每一个数都减去200，得到一组新数据－3,2,0,1，－1，－2,3，且新的这组数据的方差为4，则s2＝(　　) A．4 B．16 C．196 D．204 解析：A　[∵一组数据中的每一个数据都加上(或都减去)同一个常数后，它的平均数都加上(或都减去)这一个常数，两数进行相减，方差不变，∴s2＝4.] 3．某职业院校为了解学生参加“青年大学习”网上班课的情况，对高一年级6个班的学习人数进行了统计，得到各班参加班课的人数数据为5,10,10,12,14,9.对于这组数据，下列说法错误的是(　　) A．平均数是10 B．众数是10 C．中位数是11 D．方差是 解析：C　[A.平均数是(5＋10＋10＋12＋14＋9)÷6＝10，故本选项说法正确，不符合题意；B.∵10出现了2次，出现的次数最多，∴众数是10，故本选项说法正确，不符合题意；C.把这些数从小到大排列为：5,9,10,10,12,14，则中位数是＝10，故本选项说法错误，符合题意；D.方差为：×[(5－10)2＋2×(10－10)2＋(12－10)2＋(14－10)2＋(9－10)2]＝，故本选项说法正确，不符合题意．] 4．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1－2,3x2－2,3x3－2,3x4－2,3x5－2的平均数和方差分别是(　　) A．2， B．2,1 C．4， D．4,3 解析：D　[平均数＝3×2－2＝4，方差变为原来的9倍＝9×＝3.] 5．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表： 甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6 丙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4 s1、s2、s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有(　　) A．s3>s1>s2 B．s2>s1>s3 C．s1>s2>s3 D．s2>s3>s1 解析：B　[设甲、乙、丙三人的平均成绩分别为1，2，3， 计算得1＝＝8.5，同理，2＝3＝8.5.s1＝ ＝，同理，s2＝，s3＝，所以s2>s1>s3.] 6．一个班组共有20名工人，他们的月工资情况如下： 工资xi(元) 1 600 1 440 1 320 1 220 1 150 980 人数ni 2 4 5 5 2 2 则该班组工人月工资的平均数为　________　. 解析：月工资的平均数为(1 600×2＋1 440×4＋1 320×5＋1 220×5＋1 150×2＋980×2)÷20＝25 920÷20＝1 296. 答案：1 296 7．已知样本数据x1，x2，…，xn的平均数＝5，则样本数据2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为　________　. 解析：由条件知＝＝5，则所求平均数0＝ ＝ ＝2＋1＝2×5＋1＝11. 答案：11 8．五个数2,2,3,3，a的平均数是3，这五个数的方差是　________　. 解析：依题意＝3，解得a＝5， 所以方差为[(2－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(3－3)2＋(5－3)2]＝. 答案： 9．某校为了了解甲、乙两班的数学学习情况，从两班各抽出10名学生进行数学水平测试，成绩如下(单位：分)： 甲班：82　84　85　89　79　80　91　89　79　74 乙班：90　76　86　81　84　87　86　82　85　83 (1)求两个样本的平均数； (2)求两个样本的方差和标准差； (3)试分析比较两个班的学习情况． 解：(1)甲＝×(82＋84＋85＋89＋79＋80＋91＋89＋79＋74)＝83.2， 乙＝×(90＋76＋86＋81＋84＋87＋86＋82＋85＋83)＝84. (2)s＝×[(82－83.2)2＋(84－83.2)2＋(85－83.2)2＋(89－83.2)2＋(79－83.2)2＋(80－83.2)2＋(91－83.2)2＋(89－83.2)2＋(79－83.2)2＋(74－83.2)2]＝＝26.36， s＝[(90－84)2＋(76－84)2＋(86－84)2＋(81－84)2＋(84－84)2＋(87－84)2＋(86－84)2＋(82－84)2＋(85－84)2＋(83－84)2]＝＝13.2，则s甲＝，s乙＝. (3)由于甲<乙，则甲班比乙班平均水平低．由于s甲>s乙，则甲班没有乙班稳定． 所以乙班的总体学习情况比甲班好． [能力提升] 10．为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将两人最近6次数学测试的分数进行统计，甲、乙两人的平均成绩分别是x甲、x乙，则下列说法正确的是(　　) 甲 79 78 72 86 85 92 乙 78 86 88 88 91 93 A.x甲>x乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛 B．x甲>x乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛 C．x甲<x乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛 D．x甲<x乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛 解析：D　[可知x甲<x乙，乙的数据集中在88左右，所以乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛．] 11．高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩(单位：分)为：x，y,105,109,110.已知该同学五次数学成绩数据的平均数为108，方差为35.2，则|x－y|的值为(　　 ) A．15 B．16 C．17 D．18 解析：D　[由题意得，＝108，① ＝35.2，② 由①②解得x＝99，y＝117，所以|x－y|＝18.] 12．某班有50名学生，某次数学考试的成绩经计算得到的平均分数是70分，标准差是s，后来发现记录有误，某甲得70分误记为40分，某乙得50分误记为80分，更正后重新计算得标准差为s1，则s与s1之间的大小关系是(　　) A．s＝s1 B．s<s1 C．s>s1 D．不能确定 解析：C　[更正前后的平均数均为70，更正前的s2＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(40－70)2＋(80－70)2]，更正后的s＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(70－70)2＋(50－70)2]，s2>s，即s>s1.] 13．已知某同学五次数学成绩分别是：121,127,123，a,125，若其平均成绩是124，则这组数据的方差是　________　. 解析：由题意得121＋127＋123＋a＋125＝5×124，解得a＝124，所以这组数据的方差是s2＝[(121－124)2＋(127－124)2＋(123－124)2＋(124－124)2＋(125－124)2]＝4. 答案：4 14．如图所示的茎叶图是甲、乙两组各5名学生的数学竞赛成绩(70分～99分)，若甲、乙两组学生的平均成绩一样，则a＝　________　；甲、乙两组学生的成绩相对整齐的是　________　. 解析：由题意可知＝ ＝89，解得a＝5.因为s＝×[(－14)2＋(－1)2＋0＋92＋62]＝62.8，s＝×[(－13)2＋(－4)2＋0＋92＋82]＝66，所以s＜s，故成绩相对整齐的是甲组． 答案：5　甲组 15．一次学情检测中，A，B，C，D，E五位同学的数学、英语成绩有如下信息： A B C D E 平均分 方差 数学 71 68 72 69 70 2 英语 85 88 82 84 86 85 (1)求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的方差； (2)学校进行“达人”社团招新，通过初期筛选，现以本次检测的数学、英语成绩为依据在A、B、C、D、E五位同学中取得分高的录取，规定数学成绩占60%，英语成绩占40%来计算总得分，请问哪位同学得分高，能够被“达人”社团录取？ 解：(1)数学成绩的平均分为：＝70；英语成绩的方差为：×[(85－85)2＋(88－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2]＝4；即五位同学在本次考试中数学成绩的平均分为70和英语成绩的方差为4. (2)A同学的总得分为71×60%＋85×40%＝76.6，B同学的总得分为68×60%＋88×40%＝76，C同学的总得分为72×60%＋82×40%＝76，D同学的总得分为69×60%＋84×40%＝75，E同学的总得分为70×60%＋86×40%＝76.4，因为A同学的总得分高，所以是A同学能够被“达人”社团录取． 即A同学的总得分高，能够被“达人”社团录取． 学科网（北京）股份有限公司 $$8.2.3　样本平均数与标准差 第八章　概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第八章 概率与统计初步 数学基础模块（RJ下） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 课程标准 素养解读 1.理解均值、方差和标准差的含义； 2．掌握均值、方差和标准差的计算方法 在学习和应用均值、方差和标准差的过程中，发展学生的数学运算和数据分析的核心素养 　甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是： 甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7； 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5. 经过计算可知甲、乙的命中环数的平均数都是7环． 问题：若从二人中选一人去和兄弟部队参加射击大赛，只用平均数能否作出选择？ 提示：不能．平均数只能说明二人的平均水平相同，还要用方差来判断谁的射击水平更稳定． [知识点一]　总体均值(总体平均数)、样本均值(样本平均数)　 1．总体均值(总体平均数) 一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为X1，X2，…，XN，则称eq \o(X,\s\up6(－))＝eq \f(X1＋X2＋…＋XN,N)为总体均值，又称总体平均数． 2．样本均值(样本平均数) (1)定义：从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为x1，x2，…，xn，则称eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(x1＋x2＋…＋xn,n)为样本均值，又称样本平均数． (2)意义：在统计工作中，样本均值反映样本的平均水平，通常用来估计总体的　平均数　，样本容量越大，这种估计的可信程度　越高　. [知识点二]　总体方差和总体标准差、样本方差和样本标准差　 1．总体方差和总体标准差 如果总体中所有个体的变量值分别为X1，X，…，XN，总体平均数为eq \o(X,\s\up6(－))，则称S2＝eq \f(X1－\o(X,\s\up6(－))2＋X2－\o(X,\s\up6(－))2＋…＋XN－\o(X,\s\up6(－))2,N)为总体方差，S＝eq \r(S2)为总体标准差． 2．样本方差和标准差 (1)如果一个样本中所有个体的变量值分别为x1，x2，…，xn，样本平均数为eq \o(x,\s\up6(－))，则称s2＝eq \f(x1－\o(x,\s\up6(－))2＋x2－\o(x,\s\up6(－))2＋…＋xn－\o(x,\s\up6(－))2,n)为样本方差，s＝eq \r(s2)为样本标准差． 其中eq \o(x,\s\up6(－))是 x1，x2，…，xn这n个数的样本均值． (2)样本方差和样本标准差的特征：描述一组数据围绕平均数波动程度的大小．方差或标准差越大，说明数据的离散程度越大；方差或标准差越小，说明数据的离散程度越小． 1．下列判断正确的是(　　) A．样本平均数一定小于总体平均数 B．样本平均数一定大于总体平均数 C．样本平均数一定等于总体平均数 D．样本容量越大，样本平均数越接近总体平均数 解析：D　[总体平均数常常用样本平均数来估计，样本容量越大，估计越准确．] 2．下列刻画一组数据离散程度的是(　　) A．平均数　　　　　 B．方差 C．中位数 D．众数 解析：B　[方差和标准差刻画数据的离散程度．] 3．一组观察值2,3,4,5出现的次数分别为2,2,3,3，则样本平均值为(　　) A．3.7 B．3.77 C．3.5 D．9.25 解析：A　[由条件得eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,10)(2×2＋3×2＋4×3＋5×3)＝3.7.] 　平均数的应用 　据报道，某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下： 职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 1 1 2 1 5 3 20 工资 5 500 5 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500 (1)求该公司的职工月工资的平均数； (2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数又是什么？(精确到1元) [思路点拨]　根据平均数的定义解决． [解]　(1)平均数是eq \o(x,\s\up6(－))＝1 500＋ eq \f(4 000＋3 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×20,33) ≈1 500＋591＝2 091(元)． (2)平均数是eq \o(x,\s\up6(－))′＝1 500＋ eq \f(28 500＋18 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×20,33) ≈1 500＋1 788＝3 288(元)． 平均数是刻画数据特征的，但任何一个样本数据改变都会引起平均数的改变，所以平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，它是样本数据的重心． [变式训练] 1．在一次射击训练中，一小组的成绩如下表所示： 环数 7 8 9 人数 2 3 已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数是(　　 ) A．5　　　 B．6　　　 C．4　　　 D．7 解析：A　[设成绩为8环的人数为x，则有 eq \f(7×2＋8x＋9×3,x＋2＋3)＝8.1，解得x＝5.] 标准差、方差的应用 　甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中各抽取6件测量，数据为 甲：99　100　98　100　100　103 乙：99　100　102　99　100　100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． [思路点拨]　先计算两组数据的eq \o(x,\s\up6(－))与s2，然后加以比较并作出判断． [解]　(1)eq \o(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(1,6)×(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100， eq \o(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(1,6)×(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100. seq \o\al(2,甲)＝eq \f(1,6)×[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq \f(14,6)＝eq \f(7,3)， seq \o\al(2,乙)＝eq \f(1,6)×[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1. (2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又seq \o\al(2,甲)＞seq \o\al(2,乙)，所以乙机床加工零件的质量更稳定． 1．平均数反映了数据取值的平均水平，而方差、标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． 2．在随机抽样中，往往用样本的离散程度估计总体的离散程度． [变式训练] 2．甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别是： 甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5 估计两名战士的射击情况．若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？ 解：eq \o(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(1,10)×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)， eq \o(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(1,10)×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(环)． 由方差公式s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq \o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq \o(x,\s\up6(－)))2]，得seq \o\al(2,甲)＝3，seq \o\al(2,乙)＝eq \f(6,5). eq \o(x,\s\up6(－))甲＝eq \o(x,\s\up6(－))乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当． seq \o\al(2,甲)＞seq \o\al(2,乙)，说明甲战士射击情况波动比乙大． 因此，乙战士比甲战士射击情况稳定，从成绩的稳定性考虑，应选择乙参加比赛. 1．一组观察值4,3,5,6出现的次数分别是3,2,4,2，则样本平均数为(　　) A．4.55　　　　　　　 B．4.5 C．12.5 D．1.64 解析：A　[样本平均数为 eq \f(4×3＋3×2＋5×4＋6×2,3＋2＋4＋2)＝4.55.] 2．样本101,98,102,100,99的标准差为(　　) A.eq \r(2) B．0 C．1 D．2 解析：A　[样本平均数eq \o(x,\s\up6(－))＝100. s2＝eq \f(1,5)×[(101－100)2＋(98－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋02]＝2.故样本的标准差s＝eq \r(2).] 3．某高三学生在连续五次月考中的数学成绩(单位：分)为：90,90,93,94,93，则该学生在这五次月考中数学成绩数据的平均数和方差分别为(　　) A．92,2.8 B．92,2 C．93,2 D．93,2.8 解析：A　[该学生在这五次月考中数学成绩数据的平均数为eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,5)×(90＋90＋93＋94＋93)＝92，方差为s2＝eq \f(1,5)×[(90－92)2＋(90－92)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(93－92)2]＝2.8.] 4．已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________. 解析：该题考查数据的方差，考查考生的运算求解能力． 这组数据的平均数eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5,5)＝5.1，则方差s2＝ eq \f(4.7－5.12＋4.8－5.12＋5.1－5.12＋5.4－5.12＋5.5－5.12,5)＝eq \f(0.16＋0.09＋0＋0.09＋0.16,5)＝0.1. 答案：0.1 $$ 8．2.3　样本平均数与标准差 课程标准 素养解读 1.理解均值、方差和标准差的含义； 2．掌握均值、方差和标准差的计算方法 在学习和应用均值、方差和标准差的过程中，发展学生的数学运算和数据分析的核心素养 　甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是： 甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7； 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5. 经过计算可知甲、乙的命中环数的平均数都是7环． 问题：若从二人中选一人去和兄弟部队参加射击大赛，只用平均数能否作出选择？ 提示：不能．平均数只能说明二人的平均水平相同，还要用方差来判断谁的射击水平更稳定． [知识点一]　总体均值(总体平均数)、样本均值(样本平均数)　 1．总体均值(总体平均数) 一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为X1，X2，…，XN，则称＝为总体均值，又称总体平均数． 2．样本均值(样本平均数) (1)定义：从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为x1，x2，…，xn，则称＝为样本均值，又称样本平均数． (2)意义：在统计工作中，样本均值反映样本的平均水平，通常用来估计总体的　平均数　，样本容量越大，这种估计的可信程度　越高　. [知识点二]　总体方差和总体标准差、样本方差和样本标准差　 1．总体方差和总体标准差 如果总体中所有个体的变量值分别为X1，X，…，XN，总体平均数为，则称S2＝为总体方差，S＝为总体标准差． 2．样本方差和标准差 (1)如果一个样本中所有个体的变量值分别为x1，x2，…，xn，样本平均数为，则称s2＝为样本方差，s＝为样本标准差． 其中是 x1，x2，…，xn这n个数的样本均值． (2)样本方差和样本标准差的特征：描述一组数据围绕平均数波动程度的大小．方差或标准差越大，说明数据的离散程度越大；方差或标准差越小，说明数据的离散程度越小． 1．下列判断正确的是(　　) A．样本平均数一定小于总体平均数 B．样本平均数一定大于总体平均数 C．样本平均数一定等于总体平均数 D．样本容量越大，样本平均数越接近总体平均数 解析：D　[总体平均数常常用样本平均数来估计，样本容量越大，估计越准确．] 2．下列刻画一组数据离散程度的是(　　) A．平均数　　　　　 B．方差 C．中位数 D．众数 解析：B　[方差和标准差刻画数据的离散程度．] 3．一组观察值2,3,4,5出现的次数分别为2,2,3,3，则样本平均值为(　　) A．3.7 B．3.77 C．3.5 D．9.25 解析：A　[由条件得＝(2×2＋3×2＋4×3＋5×3)＝3.7.] 　　平均数的应用 　据报道，某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下： 职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 1 1 2 1 5 3 20 工资 5 500 5 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500 (1)求该公司的职工月工资的平均数； (2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数又是什么？(精确到1元) [思路点拨]　根据平均数的定义解决． [解]　(1)平均数是＝1 500＋ ≈1 500＋591＝2 091(元)． (2)平均数是′＝1 500＋ ≈1 500＋1 788＝3 288(元)． 平均数是刻画数据特征的，但任何一个样本数据改变都会引起平均数的改变，所以平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，它是样本数据的重心． [变式训练] 1．在一次射击训练中，一小组的成绩如下表所示： 环数 7 8 9 人数 2 3 已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数是(　　 ) A．5　　　 B．6　　　 C．4　　　 D．7 解析：A　[设成绩为8环的人数为x，则有 ＝8.1，解得x＝5.] 标准差、方差的应用 　甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中各抽取6件测量，数据为 甲：99　100　98　100　100　103 乙：99　100　102　99　100　100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． [思路点拨]　先计算两组数据的与s2，然后加以比较并作出判断． [解]　(1)甲＝×(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100， 乙＝×(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100. s＝×[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝＝， s＝×[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1. (2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又s＞s，所以乙机床加工零件的质量更稳定． 1．平均数反映了数据取值的平均水平，而方差、标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． 2．在随机抽样中，往往用样本的离散程度估计总体的离散程度． [变式训练] 2．甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别是： 甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5 估计两名战士的射击情况．若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？ 解：甲＝×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)， 乙＝×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(环)． 由方差公式s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，得s＝3，s＝. 甲＝乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当． s＞s，说明甲战士射击情况波动比乙大． 因此，乙战士比甲战士射击情况稳定，从成绩的稳定性考虑，应选择乙参加比赛. 1．一组观察值4,3,5,6出现的次数分别是3,2,4,2，则样本平均数为(　　) A．4.55　　　　　　　 B．4.5 C．12.5 D．1.64 解析：A　[样本平均数为 ＝4.55.] 2．样本101,98,102,100,99的标准差为(　　) A. B．0 C．1 D．2 解析：A　[样本平均数＝100. s2＝×[(101－100)2＋(98－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋02]＝2.故样本的标准差s＝.] 3．某高三学生在连续五次月考中的数学成绩(单位：分)为：90,90,93,94,93，则该学生在这五次月考中数学成绩数据的平均数和方差分别为(　　) A．92,2.8 B．92,2 C．93,2 D．93,2.8 解析：A　[该学生在这五次月考中数学成绩数据的平均数为＝×(90＋90＋93＋94＋93)＝92，方差为s2＝×[(90－92)2＋(90－92)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(93－92)2]＝2.8.] 4．已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是　________　. 解析：该题考查数据的方差，考查考生的运算求解能力． 这组数据的平均数＝＝5.1，则方差s2＝ ＝＝0.1. 答案：0.1 [基础过关] 1．高一某班第7学习小组在期末的数学测试中，得135分的1人，122分的2人，110分的4人，90分的2人，则该学习小组数学成绩的平均数是(　　) A．110　　 B．111　　 C．112　　 D．113 解析：B　[平均数为＝(135＋122×2＋110×4＋90×2)＝111.] 2．想要计算一组数据：197,202,200,201,199,198,203的方差s2，在计算平均数的过程中，将这组数据的每一个数都减去200，得到一组新数据－3,2,0,1，－1，－2,3，且新的这组数据的方差为4，则s2＝(　　) A．4 B．16 C．196 D．204 解析：A　[∵一组数据中的每一个数据都加上(或都减去)同一个常数后，它的平均数都加上(或都减去)这一个常数，两数进行相减，方差不变，∴s2＝4.] 3．某职业院校为了解学生参加“青年大学习”网上班课的情况，对高一年级6个班的学习人数进行了统计，得到各班参加班课的人数数据为5,10,10,12,14,9.对于这组数据，下列说法错误的是(　　) A．平均数是10 B．众数是10 C．中位数是11 D．方差是 解析：C　[A.平均数是(5＋10＋10＋12＋14＋9)÷6＝10，故本选项说法正确，不符合题意；B.∵10出现了2次，出现的次数最多，∴众数是10，故本选项说法正确，不符合题意；C.把这些数从小到大排列为：5,9,10,10,12,14，则中位数是＝10，故本选项说法错误，符合题意；D.方差为：×[(5－10)2＋2×(10－10)2＋(12－10)2＋(14－10)2＋(9－10)2]＝，故本选项说法正确，不符合题意．] 4．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1－2,3x2－2,3x3－2,3x4－2,3x5－2的平均数和方差分别是(　　) A．2， B．2,1 C．4， D．4,3 解析：D　[平均数＝3×2－2＝4，方差变为原来的9倍＝9×＝3.] 5．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表： 甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6 丙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4 s1、s2、s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有(　　) A．s3>s1>s2 B．s2>s1>s3 C．s1>s2>s3 D．s2>s3>s1 解析：B　[设甲、乙、丙三人的平均成绩分别为1，2，3， 计算得1＝＝8.5，同理，2＝3＝8.5.s1＝ ＝，同理，s2＝，s3＝，所以s2>s1>s3.] 6．一个班组共有20名工人，他们的月工资情况如下： 工资xi(元) 1 600 1 440 1 320 1 220 1 150 980 人数ni 2 4 5 5 2 2 则该班组工人月工资的平均数为　________　. 解析：月工资的平均数为(1 600×2＋1 440×4＋1 320×5＋1 220×5＋1 150×2＋980×2)÷20＝25 920÷20＝1 296. 答案：1 296 7．已知样本数据x1，x2，…，xn的平均数＝5，则样本数据2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为　________　. 解析：由条件知＝＝5，则所求平均数0＝ ＝ ＝2＋1＝2×5＋1＝11. 答案：11 8．五个数2,2,3,3，a的平均数是3，这五个数的方差是　________　. 解析：依题意＝3，解得a＝5， 所以方差为[(2－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(3－3)2＋(5－3)2]＝. 答案： 9．某校为了了解甲、乙两班的数学学习情况，从两班各抽出10名学生进行数学水平测试，成绩如下(单位：分)： 甲班：82　84　85　89　79　80　91　89　79　74 乙班：90　76　86　81　84　87　86　82　85　83 (1)求两个样本的平均数； (2)求两个样本的方差和标准差； (3)试分析比较两个班的学习情况． 解：(1)甲＝×(82＋84＋85＋89＋79＋80＋91＋89＋79＋74)＝83.2， 乙＝×(90＋76＋86＋81＋84＋87＋86＋82＋85＋83)＝84. (2)s＝×[(82－83.2)2＋(84－83.2)2＋(85－83.2)2＋(89－83.2)2＋(79－83.2)2＋(80－83.2)2＋(91－83.2)2＋(89－83.2)2＋(79－83.2)2＋(74－83.2)2]＝＝26.36， s＝[(90－84)2＋(76－84)2＋(86－84)2＋(81－84)2＋(84－84)2＋(87－84)2＋(86－84)2＋(82－84)2＋(85－84)2＋(83－84)2]＝＝13.2，则s甲＝，s乙＝. (3)由于甲<乙，则甲班比乙班平均水平低．由于s甲>s乙，则甲班没有乙班稳定． 所以乙班的总体学习情况比甲班好． [能力提升] 10．为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将两人最近6次数学测试的分数进行统计，甲、乙两人的平均成绩分别是x甲、x乙，则下列说法正确的是(　　) 甲 79 78 72 86 85 92 乙 78 86 88 88 91 93 A.x甲>x乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛 B．x甲>x乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛 C．x甲<x乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛 D．x甲<x乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛 解析：D　[可知x甲<x乙，乙的数据集中在88左右，所以乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛．] 11．高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩(单位：分)为：x，y,105,109,110.已知该同学五次数学成绩数据的平均数为108，方差为35.2，则|x－y|的值为(　　 ) A．15 B．16 C．17 D．18 解析：D　[由题意得，＝108，① ＝35.2，② 由①②解得x＝99，y＝117，所以|x－y|＝18.] 12．某班有50名学生，某次数学考试的成绩经计算得到的平均分数是70分，标准差是s，后来发现记录有误，某甲得70分误记为40分，某乙得50分误记为80分，更正后重新计算得标准差为s1，则s与s1之间的大小关系是(　　) A．s＝s1 B．s<s1 C．s>s1 D．不能确定 解析：C　[更正前后的平均数均为70，更正前的s2＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(40－70)2＋(80－70)2]，更正后的s＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(70－70)2＋(50－70)2]，s2>s，即s>s1.] 13．已知某同学五次数学成绩分别是：121,127,123，a,125，若其平均成绩是124，则这组数据的方差是　________　. 解析：由题意得121＋127＋123＋a＋125＝5×124，解得a＝124，所以这组数据的方差是s2＝[(121－124)2＋(127－124)2＋(123－124)2＋(124－124)2＋(125－124)2]＝4. 答案：4 14．如图所示的茎叶图是甲、乙两组各5名学生的数学竞赛成绩(70分～99分)，若甲、乙两组学生的平均成绩一样，则a＝　________　；甲、乙两组学生的成绩相对整齐的是　________　. 解析：由题意可知＝ ＝89，解得a＝5.因为s＝×[(－14)2＋(－1)2＋0＋92＋62]＝62.8，s＝×[(－13)2＋(－4)2＋0＋92＋82]＝66，所以s＜s，故成绩相对整齐的是甲组． 答案：5　甲组 15．一次学情检测中，A，B，C，D，E五位同学的数学、英语成绩有如下信息： A B C D E 平均分 方差 数学 71 68 72 69 70 2 英语 85 88 82 84 86 85 (1)求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的方差； (2)学校进行“达人”社团招新，通过初期筛选，现以本次检测的数学、英语成绩为依据在A、B、C、D、E五位同学中取得分高的录取，规定数学成绩占60%，英语成绩占40%来计算总得分，请问哪位同学得分高，能够被“达人”社团录取？ 解：(1)数学成绩的平均分为：＝70；英语成绩的方差为：×[(85－85)2＋(88－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2]＝4；即五位同学在本次考试中数学成绩的平均分为70和英语成绩的方差为4. (2)A同学的总得分为71×60%＋85×40%＝76.6，B同学的总得分为68×60%＋88×40%＝76，C同学的总得分为72×60%＋82×40%＝76，D同学的总得分为69×60%＋84×40%＝75，E同学的总得分为70×60%＋86×40%＝76.4，因为A同学的总得分高，所以是A同学能够被“达人”社团录取． 即A同学的总得分高，能够被“达人”社团录取． 学科网（北京）股份有限公司 $$