8.1.1 随机试验与古典概型（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块 下册同步教案（人教版2021）

8．1　概率初步 8．1.1　随机试验与古典概型 课程标准 素养解读 1.理解随机现象、随机事件、古典概型等概念； 2．理解样本点与样本空间的定义，会求试验中的样本空间； 3．初步掌握古典概型的计算方法 1.在理解样本空间定义的基础上，培养学生的数学抽象等核心素养； 2．通过对古典概型的运算，提升学生的逻辑推理和数学运算素养 17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族德·梅耳，他发现了这样的事实：将一枚骰子连掷四次至少出现一个六点的机会比较多，而同时将两枚骰子掷24次，至少出现一次双六的机会却很少．这是什么原因呢？后人称此为著名的德·梅耳问题． [知识点一]　事件的概念及分类　 1．在一定条件下必然发生某种结果的现象称为　必然现象　，当在相同条件下多次观察同一现象，每次观察到的结果不一定相同，事先很难预料哪种结果会出现，这种现象称为　随机现象　. 2．在相同条件下，对随机现象进行的观察或实验称为　随机试验　，简称　试验　. 3．随机试验每一种可能出现的结果，都称为　样本点　，由所有样本点组成的集合称为　样本空间　(通常用大写希腊字母Ω表示)． 4．如果随机试验的样本空间为Ω，那么Ω的任意一个非空真子集称为　随机事件　(简称　事件　)，常用大写英文字母A、B、C等表示，只含有一个样本点的事件通常称为　基本事件　. 5．某一试验中不可能发生的事件(即空集)称为　不可能事件　，必然发生的事件(即全集)称　必然事件　.不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为事件，通常用大写英文字母A、B、C……来表示． 　事件与基本事件的概念相同吗？ 提示：不相同．基本事件是试验中不能再分解的最简单的随机事件，只包含一个样本点，而事件可以由若干个基本事件组成，不止包含一个样本点． [知识点二]　事件概率的概念及性质　 1．概率：对随机事件可能性大小的　度量(数值)　称为事件的概率． 2．事件概率的性质 (1)对于任意事件A，都有0≤P(A)≤1； (2)必然事件的概率为1，即P(Ω)＝1； (3)不可能事件的概率为0，即P(∅)＝0. [知识点三]　古典概型及其概率　 1．古典概型：在随机试验中，如果可能出现的结果只有　有限个　，且它们出现的机会是　均等的　，称这样的随机试验为古典概型． 　古典概型的特点是什么？ 提示：古典概型的两个特征是有限性和等可能性，只有同时具备这两个特征的随机试验才是古典概型． 2．古典概型的概率 对于古典概型，若随机试验的样本空间Ω包含的样本点总数为n，事件A包含的样本点个数为m，则事件A发生的概率(古典概率)为P(A)＝. 1．一个家庭有两个小孩，写出这个试验的样本空间是(　　) A．Ω＝{(男，女)，(男，男)，(女，女)} B．Ω＝{(男，女)，(女，男)} C．Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)} D．Ω＝{(男，男)，(女，女)} 解析：C　[用坐标法表示：将第一个小孩的性别放在横坐标位置，第二个小孩的性别放在纵坐标位置，可得4个不同的样本点(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．] 2．在1,2,3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么下列事件是不可能事件的是(　　) A．3个数字相邻　　　 B．3个数字全是偶数 C．3个数字的和小于5 D．3个数字两两互质 解析：C　[从10个数字中任取3个数字，这3个数字的和大于或等于6，小于5的情况不可能发生，故“这3个数字的和小于5”这一事件是不可能事件．] 3．从1,2,3中任取两个数字，设取出的数字含有2为事件A，则P(A)＝　________　. 解析：从1,2,3中任取两个数字，所有可能的样本点有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3个，其中事件A含有两个样本点，故P(A)＝. 答案： 事件类型的判断 　在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ ①如果a、b都是实数，那么a＋b＝b＋a； ②从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任取一张，得到4号签； ③没有水分，种子发芽； ④某电话总机在60秒内接到至少15个电话； ⑤在标准大气压下，水的温度达到50 ℃时会沸腾； ⑥同性电荷，相互排斥． [思路点拨]　根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念判断． [解]　结合必然事件、不可能事件、随机事件的定义可知． ①对任意实数，都满足加法的交换律，故此事件是必然事件． ②从6张号签中任取一张，得到4号签，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件是随机事件． ③适宜的温度和充足的水分，是种子萌发不可缺少的两个条件，没有水分，种子就不可能发芽，故此事件是不可能事件． ④电话在60秒内接到至少15次传唤，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件是随机事件． ⑤在标准大气压下，水的温度达到100 ℃时，开始沸腾，水温达到50 ℃，水不会沸腾，故此事件是不可能事件． ⑥根据“同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引”的原理判断，该事件是必然事件． 综上可知，①⑥为必然事件，③⑤为不可能事件，②④为随机事件． 判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先一定要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)． [变式训练] 1．指出下列事件哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ (1)函数f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称； (2)某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意拨了一个数字，恰巧是朋友的电话号码； (3)函数y＝kx＋6是定义在R上的增函数． 解：必然事件有(1)；随机事件有(2)，(3)． 探究样本点与样本空间 　袋中有红、白、黄、黑四个颜色不同、大小相同的小球，按下列要求分别进行试验． (1)从中任取一个球； (2)从中任取两个球； (3)先、后各取一个球． 分别写出上面试验的样本空间，并指出样本点的总数． [思路点拨]　解决此类问题的重点是搞清每次试验的条件和结果，关键是充分理解试验，避免列举样本点时不全或有重复．第(3)问可用列表法求解． [解]　(1)Ω＝{红，白，黄，黑}，样本点的总数为4. (2)一次取两个球，若记(红，白)代表一次取出红球、白球各一个，则样本空间Ω＝{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}，样本点的总数为6. (3)先、后各取一个球，如记(红，白)代表第一次取出一个红球，第二次取出一个白球． 列表如下： 　　第一次 第二次　　 红 白 黄 黑 红 (白，红) (黄，红) (黑，红) 白 (红，白) (黄，白) (黑，白) 黄 (红，黄) (白，黄) (黑，黄) 黑 (红，黑) (白，黑) (黄，黑) 则样本空间为Ω＝{(红，白)，(白，红)，(红，黄)，(黄，红)，(红，黑)，(黑，红)，(黄，黑)，(黑，黄)，(黄，白)，(白，黄)，(白，黑)，(黑，白)}，样本点的总数为12. (1)样本点具有如下性质：①不能或不必分解为更小的随机事件；②不同的样本点不可能同时发生． (2)样本空间是由全体样本点构成的，而不是部分样本点．在列举样本点时，要结合事件本身的特征，依据一定的规律和方法，将事件全面地列举出来，避免遗漏． [变式训练] 2．一个口袋内装有除颜色外完全相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球． (1)一共有多少个样本点？ (2)写出“2个球都是白球”这一事件的集合表示． 解：(1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则这个试验的样本点为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，其中(1,2)表示摸到1号球和2号球． (2)记A表示“2个球都是白球”这一事件，则A＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}． 　古典概型的概率计算 　一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，求： (1)样本空间的样本点的总数n； (2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数； (3)摸出2个黑球的概率． [思路点拨]　可采用列举法列举事件确定样本点，然后代入古典概型公式求解． [解]　由于4个球的大小相等，摸出的每个球的可能性是均等的，所以是古典概型． (1)将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，样本空间Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，其中共有6个样本点． (2)事件“摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共3个样本点． (3)样本点总数n＝6，事件“摸出两个黑球”包含的样本点个数m＝3，故P＝＝，即摸出2个黑球的概率为. 求解古典概型“四步”法 [变式训练] 3．从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率： (1)事件A＝{三个数字中不含1和5}； (2)事件B＝{三个数字中含1或5}． 解：这个试验样本空间Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，共10个， 所以样本点总数n＝10. (1)因为事件A＝{(2,3,4)}， 所以事件A包含的样本点数m＝1， 所以P(A)＝＝. (2)因为事件B＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，所以事件B包含的样本点数m＝9， 所以P(B)＝＝. 1．下列事件不是随机事件的是(　　) A．东边日出西边雨　　 B．下雪不冷化雪冷 C．清明时节雨纷纷 D．梅子黄时日日晴 解析：B　[“下雪不冷化雪冷”是必然事件，A、C、D选项中的事件均为随机事件．] 2．下列试验是古典概型的是(　　) A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，样本点为{取中白球}和{取中黑球} B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0 C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面 D．某人射击中靶或不中靶 解析：C　[选项A与D中，每一个样本点发生的可能性不相等，不是古典概型． 选项B中，样本空间的样本点是无限个，不是古典概型． 只有C项，样本点只有两个，且每一个样本点发生是等可能的，是古典概型．] 3．从含有8件正品、2件次品的10件产品中，任意抽取3件，则必然事件是(　　) A．3件都是正品　　 B．至少有1件次品 C．3件都是次品 D．至少有1件正品 解析：D　[将抽到正品记为1，次品记为0，则样本空间为Ω＝{(1,1,0)，(1,0,0)，(1,1,1)}，因此至少有1件正品为必然事件．] 4．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数记为a，从{1,2,3}中随机选取一个数记为b，则b＞a的概率为　________　. 解析：随机选取一个a、b组成实数对(a，b)，有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共有15种，其中b＞a的有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3种，∴b＞a发生的概率P＝＝. 答案： [基础过关] 1．下列是古典概型的是(　　) A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点 B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时 C．近三天中有一天降雨的概率 D．4人站成一排，其中甲、乙相邻的概率 解析：D　[A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是古典概型；B项中的样本点是无限的，故B不是古典概型；而C不是等可能性，故不为古典概型；D项中满足古典概型的有限性和等可能性，故D是古典概型．] 2．将一枚质地均匀的硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是(　　) A．必然事件　　　　 B．随机事件 C．不可能事件 D．无法确定 解析：B　[由于抛掷硬币时，正面朝上和朝下是不确定的，故抛掷10次，正面朝上的次数也是不确定的，故将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是随机事件．] 3．投掷两枚骰子，所得向上点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是(　　) A．一枚是3点，一枚是1点 B．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点 C．两枚都是4点 D．两枚都是2点 解析：B　[投掷两枚骰子，所得向上点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是“一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点”．] 4．从集合{2,4,6,8}中任取两个不同元素，则这两个元素相差2的概率为(　　) A.　　 B.　　　 C.　　　 D. 解析：B　[从集合{2,4,6,8}中任取两个不同元素的取法有(2,4)，(2,6)，(2,8)，(4,6)，(4,8)，(6,8)共6种，其中满足两个元素相差2的取法有(2,4)，(4,6)，(6,8)，共3种．故这两个元素相差2的概率为P＝＝.] 5．写出下列试验的样本空间： (1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)　________　； (2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数　________　. 答案：(1)Ω＝{胜，平，负}　(2)Ω＝{0,1,2,3,4} 6．将一枚质地均匀的一元硬币抛掷3次，恰好出现一次正面朝上的概率是　________　. 解析：试验共有8个结果：(正，正，正)，(反，正，正)，(正，反，正)，(正，正，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(正，反，反)，(反，反，反)，其中恰好出现一次正面朝上的结果有3个，故所求的概率是. 答案： 7．三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为　________　. 解析：由题意知本题是一个古典概型．∵试验的样本空间Ω＝{BEE，EBE，EEB}．而满足条件的样本点只有一个BEE，∴所求概率为. 答案： 8．掷一枚质地均匀，且六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的骰子，求向上的一面点数大于2的概率． 解：这是一个古典概型，每次试验共有6个等可能的结果，即基本事件总数为6.事件“向上的一面点数大于2”包括4个基本事件，从而由古典概型的概率计算公式得P(A)＝＝. 9．做投掷2枚骰子的试验，用(x，y)表示试验结果，其中x表示第一枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数，写出： (1)试验的样本点； (2)事件“出现点数之和大于8”； (3)事件“出现点数相等”； (4)事件“出现点数之和等于7”． 解：(1)这个试验的样本点，列举如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36个． (2)“出现点数之和大于8”包含以下10个样本点：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)． (3)“出现点数相等”包含以下6个样本点：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)． (4)“出现点数之和等于7”包含以下6个样本点：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)． [能力提升] 10．先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：C　[所有样本点的个数为6×6＝36. 由log2xy＝1，得2x＝y，其中x，y∈{1,2,3,4,5,6}，所以或或 故事件“log2xy＝1”包含3个样本点， 所以所求的概率为P＝＝.] 11．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事：“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：A　[设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，B，C，从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc， 根据题设其中Ab，Ac，Bc是胜局，共三种可能，则田忌获胜的概率为P＝＝.] 12．现有10个同类产品，其中7个是正品，3个是次品．有以下事件：从这10个产品中任意抽取4个产品，①4个产品都是正品；②至少有1个次品；③4个产品都是次品；④至少有1个正品．其中随机事件为　________　，不可能事件为　________　，必然事件为　________　.(填序号) 解析：10个同类产品，其中7个是正品，3个是次品．从中任意抽取4个产品，则至少有一个是正品，故④为必然事件，而不可能4个产品都是次品，故③为不可能事件，可能会4个产品都是正品，可能会至少有1个次品，所以①②是随机事件，③为不可能事件，④为必然事件． 答案：①②　③　④ 13．从1,2,3,4,5这5个数字中不放回地任取两数，则两数都是奇数的概率是　________　.若有放回地任取两数，则两数都是偶数的概率是　________　. 解析：从5个数字中不放回地任取两数，样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个． 因为都为奇数的样本点有(1,3)，(1,5)，(3,5)，共3个，所以所求概率P＝. 从5个数字中有放回地任取两数，样本点共有25个，都为偶数的样本点有(2,4)，(4,2)，(2,2)，(4,4)，共4个，故概率P＝. 答案：　 14．从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次． (1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； (2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？ 解：(1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}， 其中小括号内左边的字母表示第一次取出的产品，右边的字母表示第二次取出的产品． Ω由6个样本点组成，这些样本点的出现是等可能的． 用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件， 则A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}， 事件A由4个样本点组成，所以P(A)＝＝. (2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)}，共9个样本点． 用B表示“恰有一件次品”这一事件， 则B＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}． 事件B由4个样本点组成，所以P(B)＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$ [基础过关] 1．下列是古典概型的是(　　) A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点 B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时 C．近三天中有一天降雨的概率 D．4人站成一排，其中甲、乙相邻的概率 解析：D　[A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是古典概型；B项中的样本点是无限的，故B不是古典概型；而C不是等可能性，故不为古典概型；D项中满足古典概型的有限性和等可能性，故D是古典概型．] 2．将一枚质地均匀的硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是(　　) A．必然事件　　　　 B．随机事件 C．不可能事件 D．无法确定 解析：B　[由于抛掷硬币时，正面朝上和朝下是不确定的，故抛掷10次，正面朝上的次数也是不确定的，故将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是随机事件．] 3．投掷两枚骰子，所得向上点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是(　　) A．一枚是3点，一枚是1点 B．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点 C．两枚都是4点 D．两枚都是2点 解析：B　[投掷两枚骰子，所得向上点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是“一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点”．] 4．从集合{2,4,6,8}中任取两个不同元素，则这两个元素相差2的概率为(　　) A.　　 B.　　　 C.　　　 D. 解析：B　[从集合{2,4,6,8}中任取两个不同元素的取法有(2,4)，(2,6)，(2,8)，(4,6)，(4,8)，(6,8)共6种，其中满足两个元素相差2的取法有(2,4)，(4,6)，(6,8)，共3种．故这两个元素相差2的概率为P＝＝.] 5．写出下列试验的样本空间： (1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)　________　； (2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数　________　. 答案：(1)Ω＝{胜，平，负}　(2)Ω＝{0,1,2,3,4} 6．将一枚质地均匀的一元硬币抛掷3次，恰好出现一次正面朝上的概率是　________　. 解析：试验共有8个结果：(正，正，正)，(反，正，正)，(正，反，正)，(正，正，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(正，反，反)，(反，反，反)，其中恰好出现一次正面朝上的结果有3个，故所求的概率是. 答案： 7．三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为　________　. 解析：由题意知本题是一个古典概型．∵试验的样本空间Ω＝{BEE，EBE，EEB}．而满足条件的样本点只有一个BEE，∴所求概率为. 答案： 8．掷一枚质地均匀，且六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的骰子，求向上的一面点数大于2的概率． 解：这是一个古典概型，每次试验共有6个等可能的结果，即基本事件总数为6.事件“向上的一面点数大于2”包括4个基本事件，从而由古典概型的概率计算公式得P(A)＝＝. 9．做投掷2枚骰子的试验，用(x，y)表示试验结果，其中x表示第一枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数，写出： (1)试验的样本点； (2)事件“出现点数之和大于8”； (3)事件“出现点数相等”； (4)事件“出现点数之和等于7”． 解：(1)这个试验的样本点，列举如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36个． (2)“出现点数之和大于8”包含以下10个样本点：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)． (3)“出现点数相等”包含以下6个样本点：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)． (4)“出现点数之和等于7”包含以下6个样本点：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)． [能力提升] 10．先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：C　[所有样本点的个数为6×6＝36. 由log2xy＝1，得2x＝y，其中x，y∈{1,2,3,4,5,6}，所以或或 故事件“log2xy＝1”包含3个样本点， 所以所求的概率为P＝＝.] 11．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事：“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：A　[设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，B，C，从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc， 根据题设其中Ab，Ac，Bc是胜局，共三种可能，则田忌获胜的概率为P＝＝.] 12．现有10个同类产品，其中7个是正品，3个是次品．有以下事件：从这10个产品中任意抽取4个产品，①4个产品都是正品；②至少有1个次品；③4个产品都是次品；④至少有1个正品．其中随机事件为　________　，不可能事件为　________　，必然事件为　________　.(填序号) 解析：10个同类产品，其中7个是正品，3个是次品．从中任意抽取4个产品，则至少有一个是正品，故④为必然事件，而不可能4个产品都是次品，故③为不可能事件，可能会4个产品都是正品，可能会至少有1个次品，所以①②是随机事件，③为不可能事件，④为必然事件． 答案：①②　③　④ 13．从1,2,3,4,5这5个数字中不放回地任取两数，则两数都是奇数的概率是　________　.若有放回地任取两数，则两数都是偶数的概率是　________　. 解析：从5个数字中不放回地任取两数，样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个． 因为都为奇数的样本点有(1,3)，(1,5)，(3,5)，共3个，所以所求概率P＝. 从5个数字中有放回地任取两数，样本点共有25个，都为偶数的样本点有(2,4)，(4,2)，(2,2)，(4,4)，共4个，故概率P＝. 答案：　 14．从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次． (1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； (2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？ 解：(1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}， 其中小括号内左边的字母表示第一次取出的产品，右边的字母表示第二次取出的产品． Ω由6个样本点组成，这些样本点的出现是等可能的． 用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件， 则A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}， 事件A由4个样本点组成，所以P(A)＝＝. (2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)}，共9个样本点． 用B表示“恰有一件次品”这一事件， 则B＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}． 事件B由4个样本点组成，所以P(B)＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$8.1　概率初步 8.1.1　随机试验与古典概型 第八章　概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第八章 概率与统计初步 数学基础模块（RJ下） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第八章 概率与统计初步 课程标准 素养解读 1.理解随机现象、随机事件、古典概型等概念； 2．理解样本点与样本空间的定义，会求试验中的样本空间； 3．初步掌握古典概型的计算方法 1.在理解样本空间定义的基础上，培养学生的数学抽象等核心素养； 2．通过对古典概型的运算，提升学生的逻辑推理和数学运算素养 17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族德·梅耳，他发现了这样的事实：将一枚骰子连掷四次至少出现一个六点的机会比较多，而同时将两枚骰子掷24次，至少出现一次双六的机会却很少．这是什么原因呢？后人称此为著名的德·梅耳问题． [知识点一]　事件的概念及分类　 1．在一定条件下必然发生某种结果的现象称为　必然现象　，当在相同条件下多次观察同一现象，每次观察到的结果不一定相同，事先很难预料哪种结果会出现，这种现象称为　随机现象　. 2．在相同条件下，对随机现象进行的观察或实验称为　随机试验　，简称　试验　. 3．随机试验每一种可能出现的结果，都称为　样本点　，由所有样本点组成的集合称为　样本空间　(通常用大写希腊字母Ω表示)． 4．如果随机试验的样本空间为Ω，那么Ω的任意一个非空真子集称为　随机事件　(简称　事件　)，常用大写英文字母A、B、C等表示，只含有一个样本点的事件通常称为　基本事件　. 5．某一试验中不可能发生的事件(即空集)称为　不可能事件　，必然发生的事件(即全集)称　必然事件　.不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为事件，通常用大写英文字母A、B、C……来表示． 　事件与基本事件的概念相同吗？ 提示：不相同．基本事件是试验中不能再分解的最简单的随机事件，只包含一个样本点，而事件可以由若干个基本事件组成，不止包含一个样本点． [知识点二]　事件概率的概念及性质　 1．概率：对随机事件可能性大小的　度量(数值)　称为事件的概率． 2．事件概率的性质 (1)对于任意事件A，都有0≤P(A)≤1； (2)必然事件的概率为1，即P(Ω)＝1； (3)不可能事件的概率为0，即P(∅)＝0. [知识点三]　古典概型及其概率　 1．古典概型：在随机试验中，如果可能出现的结果只有　有限个　，且它们出现的机会是　均等的　，称这样的随机试验为古典概型． 　古典概型的特点是什么？ 提示：古典概型的两个特征是有限性和等可能性，只有同时具备这两个特征的随机试验才是古典概型． 2．古典概型的概率 对于古典概型，若随机试验的样本空间Ω包含的样本点总数为n，事件A包含的样本点个数为m，则事件A发生的概率(古典概率)为P(A)＝eq \f(m,n). 1．一个家庭有两个小孩，写出这个试验的样本空间是(　　) A．Ω＝{(男，女)，(男，男)，(女，女)} B．Ω＝{(男，女)，(女，男)} C．Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)} D．Ω＝{(男，男)，(女，女)} 解析：C　[用坐标法表示：将第一个小孩的性别放在横坐标位置，第二个小孩的性别放在纵坐标位置，可得4个不同的样本点(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．] 2．在1,2,3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么下列事件是不可能事件的是(　　) A．3个数字相邻　　　 B．3个数字全是偶数 C．3个数字的和小于5 D．3个数字两两互质 解析：C　[从10个数字中任取3个数字，这3个数字的和大于或等于6，小于5的情况不可能发生，故“这3个数字的和小于5”这一事件是不可能事件．] 3．从1,2,3中任取两个数字，设取出的数字含有2为事件A，则P(A)＝　________　. 解析：从1,2,3中任取两个数字，所有可能的样本点有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3个，其中事件A含有两个样本点，故P(A)＝eq \f(2,3). 答案：eq \f(2,3) 事件类型的判断 　在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ ①如果a、b都是实数，那么a＋b＝b＋a； ②从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任取一张，得到4号签； ③没有水分，种子发芽； ④某电话总机在60秒内接到至少15个电话； ⑤在标准大气压下，水的温度达到50 ℃时会沸腾； ⑥同性电荷，相互排斥． [思路点拨]　根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念判断． [解]　结合必然事件、不可能事件、随机事件的定义可知． ①对任意实数，都满足加法的交换律，故此事件是必然事件． ②从6张号签中任取一张，得到4号签，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件是随机事件． ③适宜的温度和充足的水分，是种子萌发不可缺少的两个条件，没有水分，种子就不可能发芽，故此事件是不可能事件． ④电话在60秒内接到至少15次传唤，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件是随机事件． ⑤在标准大气压下，水的温度达到100 ℃时，开始沸腾，水温达到50 ℃，水不会沸腾，故此事件是不可能事件． ⑥根据“同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引”的原理判断，该事件是必然事件． 综上可知，①⑥为必然事件，③⑤为不可能事件，②④为随机事件． 判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先一定要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)． [变式训练] 1．指出下列事件哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ (1)函数f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称； (2)某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意拨了一个数字，恰巧是朋友的电话号码； (3)函数y＝kx＋6是定义在R上的增函数． 解：必然事件有(1)；随机事件有(2)，(3)． 探究样本点与样本空间 　袋中有红、白、黄、黑四个颜色不同、大小相同的小球，按下列要求分别进行试验． (1)从中任取一个球； (2)从中任取两个球； (3)先、后各取一个球． 分别写出上面试验的样本空间，并指出样本点的总数． [思路点拨]　解决此类问题的重点是搞清每次试验的条件和结果，关键是充分理解试验，避免列举样本点时不全或有重复．第(3)问可用列表法求解． [解]　(1)Ω＝{红，白，黄，黑}，样本点的总数为4. (2)一次取两个球，若记(红，白)代表一次取出红球、白球各一个，则样本空间Ω＝{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}，样本点的总数为6. (3)先、后各取一个球，如记(红，白)代表第一次取出一个红球，第二次取出一个白球． 列表如下： 　　第一次 第二次　　 红 白 黄 黑 红 (白，红) (黄，红) (黑，红) 白 (红，白) (黄，白) (黑，白) 黄 (红，黄) (白，黄) (黑，黄) 黑 (红，黑) (白，黑) (黄，黑) 则样本空间为Ω＝{(红，白)，(白，红)，(红，黄)，(黄，红)，(红，黑)，(黑，红)，(黄，黑)，(黑，黄)，(黄，白)，(白，黄)，(白，黑)，(黑，白)}，样本点的总数为12. (1)样本点具有如下性质：①不能或不必分解为更小的随机事件；②不同的样本点不可能同时发生． (2)样本空间是由全体样本点构成的，而不是部分样本点．在列举样本点时，要结合事件本身的特征，依据一定的规律和方法，将事件全面地列举出来，避免遗漏． [变式训练] 2．一个口袋内装有除颜色外完全相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球． (1)一共有多少个样本点？ (2)写出“2个球都是白球”这一事件的集合表示． 解：(1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则这个试验的样本点为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，其中(1,2)表示摸到1号球和2号球． (2)记A表示“2个球都是白球”这一事件，则A＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}． 古典概型的概率计算 　一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，求： (1)样本空间的样本点的总数n； (2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数； (3)摸出2个黑球的概率． [思路点拨]　可采用列举法列举事件确定样本点，然后代入古典概型公式求解． [解]　由于4个球的大小相等，摸出的每个球的可能性是均等的，所以是古典概型． (1)将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，样本空间Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，其中共有6个样本点． (2)事件“摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共3个样本点． (3)样本点总数n＝6，事件“摸出两个黑球”包含的样本点个数m＝3，故P＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，即摸出2个黑球的概率为eq \f(1,2). 求解古典概型“四步”法 [变式训练] 3．从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率： (1)事件A＝{三个数字中不含1和5}； (2)事件B＝{三个数字中含1或5}． 解：这个试验样本空间Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，共10个， 所以样本点总数n＝10. (1)因为事件A＝{(2,3,4)}， 所以事件A包含的样本点数m＝1， 所以P(A)＝eq \f(m,n)＝eq \f(1,10). (2)因为事件B＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，所以事件B包含的样本点数m＝9， 所以P(B)＝eq \f(m,n)＝eq \f(9,10). 1．下列事件不是随机事件的是(　　) A．东边日出西边雨　　 B．下雪不冷化雪冷 C．清明时节雨纷纷 D．梅子黄时日日晴 解析：B　[“下雪不冷化雪冷”是必然事件，A、C、D选项中的事件均为随机事件．] 2．下列试验是古典概型的是(　　) A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，样本点为{取中白球}和{取中黑球} B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0 C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面 D．某人射击中靶或不中靶 解析：C　[选项A与D中，每一个样本点发生的可能性不相等，不是古典概型． 选项B中，样本空间的样本点是无限个，不是古典概型． 只有C项，样本点只有两个，且每一个样本点发生是等可能的，是古典概型．] 3．从含有8件正品、2件次品的10件产品中，任意抽取3件，则必然事件是(　　) A．3件都是正品　　 B．至少有1件次品 C．3件都是次品 D．至少有1件正品 解析：D　[将抽到正品记为1，次品记为0，则样本空间为Ω＝{(1,1,0)，(1,0,0)，(1,1,1)}，因此至少有1件正品为必然事件．] 4．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数记为a，从{1,2,3}中随机选取一个数记为b，则b＞a的概率为　________　. 解析：随机选取一个a、b组成实数对(a，b)，有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共有15种，其中b＞a的有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3种，∴b＞a发生的概率P＝eq \f(3,15)＝eq \f(1,5). 答案：eq \f(1,5) $$