7.3.2 空间几何体的体积（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块 下册同步教案（人教版2021）

7.3.2　空间几何体的体积 课程标准 素养解读 1.知道棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和球的体积的计算公式； 2．能用公式解决简单的实际问题 通过计算棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和球的体积，培养数学运算素养，通过求体积过程中对几何体特征的判断，提升直观想象素养 问题：同一摞硬币，当改变摆放的形式时，这摞硬币的体积是否会改变？如何计算柱体的体积？ 提示：不会改变；柱体的体积是底面积乘以高． [知识点一]　祖暅原理　 夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积　总相等　，那么这两个几何体的体积相等． [知识点二]　柱、锥、球的体积　 柱体 锥体 球 体积 V柱体＝　Sh　 V锥体＝　Sh　 V球＝πR3 　球的体积与半径的关系如何？ 提示：(1)球的体积是关于其半径的三次函数． (2)根据此函数关系，已知球的半径可求球的体积，已知球的体积可求球的半径． (3)球的体积之比为其半径比的立方． 1．如果一个长方体的长、宽、高分别是6,5,3，则它的体积为(　　) A．15　　　　　　　 B．18 C．30 D．90 解析：D　[因长方体的长、宽、高分别是6,5,3，所以该长方体的体积为V＝6×5×3＝90.] 2．半径为3的球的体积是(　　) A．9π B．27π C．36π D．81π 解析：C　[V＝π×33＝36 π.] 3．若正四棱锥的底面边长和高都是2，则其体积为　________　. 解析：由题意得该四棱锥的体积V＝×2×2×2＝. 答案： 求多面体的体积 　如图，棱锥的底面ABCD是一个矩形，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高．若VM＝4 cm，AB＝4 cm，VC＝5 cm，求锥体的体积． [思路点拨]　利用棱锥体积公式求解． [解]　∵VM是棱锥的高， ∴VM⊥MC. 在Rt△VMC中， MC＝＝＝3(cm)， ∴AC＝2MC＝6(cm)． 在Rt△ABC中， BC＝＝＝2(cm)． S底＝AB·BC＝4×2＝8(cm2)， ∴V锥＝S底h＝×8×4＝(cm3)． ∴棱锥的体积为 cm3. (1)棱柱的体积公式是V＝Sh，求棱柱体积的关键是确定棱柱的底面积和高． (2)棱锥的体积公式是V＝Sh，求棱锥体积的关键是确定棱锥的底面积和高． [变式训练] 1．某泳池池深约3.5 m，容积约为4 375 m3，若水深要求不低于1.8 m，则池内蓄水至少为(　　) A．2 250 m3 B．2 500 m3 C．2 750 m3 D．2 000 m3 解析：A　[由题意，池底面积S＝ m2＝1 250 m2，则蓄水量至少为1 250×1.8＝2 250 m3.] 求旋转体的体积 　(1)一个圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则这个圆柱的体积为(　　) A．16π　　 B．8π　　　C.　　　D. [思路点拨]　利用圆柱的体积公式求解． [解析]　设圆柱的底面半径为r，高为h， 因为圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形， 所以2πr＝4，h＝4，所以h＝4，r＝， 所以该圆柱的体积为πr2·h＝. [答案]　C (2)如图，过球O的一条半径OP的中点O1，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球O的体积是(　　) A.π　　　　 B.π C．32π D．16π [解析]　设球O的半径为R，则R2－＝()2，解得R＝2， ∴球O的体积V＝R3＝π. [答案]　A (3)一圆锥的轴截面是边长为4 cm的等边三角形，则这个圆锥的体积是　________　. [思路点拨]　先确定圆锥的底面半径和高，然后利用圆锥的体积公式求解． [解析]　设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h， 因为圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形， 所以r＝2，l＝4，h＝＝2， 则这个圆锥的体积为V＝Sh＝×π×22×2＝. [答案]　 (1)求圆柱、圆锥的体积，关键是抓住底面半径和母线长、轴截面来寻找各量间的关系． (2)有关球的截面问题应紧扣球及球截面的性质求解： 当球截面不经过球心时，球截面圆心与球心的连线垂直于球截面； 球心到截面的距离d，球的半径R，截面圆的半径r满足关系式：r＝. [变式训练] 2．如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F依次是AB，AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，D，H，G为垂足，若将正三角形ABC绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的体积． 解：由题意知，旋转后的几何体是一个圆锥，从下面挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为2，高为2，圆柱的底面半径为1，高为. 所求旋转体的体积为大圆锥的体积减去里面小圆柱的体积，即V旋转体＝×π×22×2－π×12×＝π， 故所求旋转体的体积为π. 几何体体积的应用 　对24小时内降水在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义： 0～10 10～25 25～50 50～100 小雨 中雨 大雨 暴雨 小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级(　　) A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 [思路点拨]　先利用圆锥的体积公式求出水的体积，再利用圆柱的体积公式求积水厚度，根据表格数据即可得出结果． [解析]　由相似关系可得，雨水形成的小圆锥的底面半径r＝＝50(mm)，故V小圆锥＝×π×502×150＝503·π(mm3)，从而可得积水厚度h＝＝＝12.5(mm)，属于中雨． [答案]　B 解决有关体积的实际应用问题的关键是将实际问题转化为数学问题，即建立有关体积的模型，通过对体积的研究解决数学问题，从而达到解决实际问题的目的． [变式训练] 3．学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体．其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为　______　 g. 解析：由题意得，四棱锥O－EFGH的底面积为4×6－4××2×3＝12(cm2)，其高为点O到底面EFGH的距离，为3 cm，则此四棱锥的体积为V1＝×12×3＝12(cm3)． 又长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为V2＝4×6×6＝144(cm3)， 所以该模型的体积V＝V2－V1＝144－12＝132(cm3)， 因此模型所需原材料的质量为0.9×132＝118.8(g)． 答案：118.8 1．底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是(　　) A.　　　 B．1　　　 C.　　　 D. 解析：A　[底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是×1＝.] 2．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方形，则这个圆柱的体积是(　　) A．2π2 B．π2 C. D. 解析：A　[若圆柱底面半径为r，则2πr＝2π，可得r＝1，且圆柱的高为2π，所以圆柱的体积为2π×π×12＝2π2.] 3．已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，则圆锥的体积为(　　) A.π B．2π C.π D.π 解析：A　[由题意知，圆锥的底面半径r＝，圆锥的高h＝＝，所以圆锥的体积V＝·πr2·h＝.] 4．已知球的半径为2 cm，则其表面积为　________　 cm2，体积为　________　 cm3. 解析：直接代入公式计算即可． S表＝4πr2＝16π cm2，V＝πr3＝ cm3. 答案：16π　 [基础过关] 1．正方体的棱长为2，则它的体积为(　　) A．2　　　 B．4　　　 C．6　　　 D．8 解析：D　[正方体的体积V＝23＝8.] 2．已知某正方体的表面积为96，则该正方体的体积为(　　) A．48 B．64 C．16 D．96 解析：B　[由题意知，若正方体的棱长为a，则6a2＝96，可得a＝4.∴正方体的体积为a3＝64.] 3．如图所示，ABC－A′B′C′是体积为2的直棱柱，则三棱锥C－A′B′C′的体积是(　　) A. B. C．1 D. 解析：B　[VC－A′B′C′＝V棱柱ABC－A′B′C′＝.] 4．以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的体积为(　　) A．2π B．4π C．8π D．16π 解析：C　[以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体为圆柱，圆柱的高为2，底面半径为2， 所以该圆柱的体积为π·22·2＝8π.] 5．一个球的半径扩大为原来的2倍，则体积为原来的(　　) A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍 解析：D　[设球的半径为r，球的半径扩大为2r， 原来球的体积为V1＝πr3，扩大后的球的体积为V2＝π(2r)3＝8×πr3， 所以V1∶V2＝1∶8， 即一个球的半径扩大为原来的2倍，则体积为原来的8倍．] 6．若正四棱柱的底面边长为5，侧棱长为4，则此正四棱柱的体积为　________　. 解析：V＝5×5×4＝100. 答案：100 7．篮球的标准直径是24.6 cm，则它的体积为　________　 cm3.(精确到1 cm3) 解析：篮球的标准直径是24.6 cm，半径为12.3 cm，则它的体积V＝πr3＝π×(12.3)3≈7 795 cm3. 答案：7 795 8．已知一个圆柱的底面半径为2，体积为16π，则该圆柱的表面积为　________　. 解析：由题设，若圆柱的高为h，则V＝4πh＝16π，故h＝4，所以圆柱的表面积为S＝4×2×2π＋2×π×22＝24π. 答案：24π 9．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径是6 cm，圆柱筒长2 cm.这种“浮球”的体积是多少(结果精确到0.1 cm3)． 解：∵球的直径是6 cm，可得半径R＝3 cm， ∴两个半球的体积之和V球＝πR3＝π·27＝36π cm3，而V圆柱＝πR2·h＝π×9×2＝18π cm3， ∴该“浮球”的体积V＝V球＋V圆柱＝36π＋18π＝54π≈169.6 cm3. [能力提升] 10．长方体三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积是(　　) A．6 B．3 C．11 D．12 解析：A　[设长方体长、宽、高分别为a、b、c，则ab＝2，ac＝6，bc＝9，相乘得(abc)2＝108，∴V＝abc＝6.] 11．将半径为2、高为1的实心圆锥体熔成一个球，则该球的表面积为(　　) A．4π B. C．6π D. 解析：A　[由题意知，圆锥的体积等于球的体积，设球的半径为R，则πR3＝π×22×1， 解得R＝1，故球的表面积为4πR2＝4π.] 12．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比为(　　 ) A．1 B. C. D. 解析：D　[设圆柱底面半径为R，圆锥底面半径为r，高都为h，由已知得2Rh＝rh，∴r＝2R， V柱∶V锥＝πR2h∶πr2h＝3∶4.] 13．已知底面直径和高相等的圆柱的底面积为16π，则圆柱的体积为　________　. 解析：依题意，设圆柱的底面圆半径为r，有πr2＝16π，解得r＝4，则圆柱的高h＝2r＝8， 所以圆柱的体积V＝16π·h＝128π. 答案：128π 14．用一平面去截球所得截面的面积为πcm2，已知球心到该截面的距离为1 cm，则该球的体积是　______　 cm3. 解析：用一平面去截球所得截面为圆，设小圆的半径为r，球的半径为R， 由题意，πr2＝π，得r＝1 cm，又因为球心到该截面的距离为1 cm， 所以R＝＝， 得球的体积为πR3＝π()3＝π cm3. 答案：π 15．已知一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积． 解：由三视图易知，该正三棱柱的形状如图所示，其中AA′＝BB′＝CC′＝4，而且正三角形ABC和正三角形A′B′C′的高均为2，所以正三角形ABC的边长为AB＝＝4， 则该正三棱柱的表面积为S＝3×4×4＋2××4×2＝48＋8， 体积为V＝×4×2×4＝16， 故这个三棱柱的表面积为48＋8，体积为16. 学科网（北京）股份有限公司 $$7.3.2　空间几何体的体积 第七章　简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第七章 简单几何体 数学基础模块（RJ下） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 课程标准 素养解读 1.知道棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和球的体积的计算公式； 2．能用公式解决简单的实际问题 通过计算棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和球的体积，培养数学运算素养，通过求体积过程中对几何体特征的判断，提升直观想象素养 问题：同一摞硬币，当改变摆放的形式时，这摞硬币的体积是否会改变？如何计算柱体的体积？ 提示：不会改变；柱体的体积是底面积乘以高． [知识点一]　祖暅原理　 夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积　总相等　，那么这两个几何体的体积相等． [知识点二]　柱、锥、球的体积　 柱体 锥体 球 体积 V柱体＝　Sh　 V锥体＝　eq \f(1,3)Sh　 V球＝eq \f(4,3)πR3 　球的体积与半径的关系如何？ 提示：(1)球的体积是关于其半径的三次函数． (2)根据此函数关系，已知球的半径可求球的体积，已知球的体积可求球的半径． (3)球的体积之比为其半径比的立方． 1．如果一个长方体的长、宽、高分别是6,5,3，则它的体积为(　　) A．15　　　　　　　 B．18 C．30 D．90 解析：D　[因长方体的长、宽、高分别是6,5,3，所以该长方体的体积为V＝6×5×3＝90.] 2．半径为3的球的体积是(　　) A．9π B．27π C．36π D．81π 解析：C　[V＝eq \f(4,3)π×33＝36 π.] 3．若正四棱锥的底面边长和高都是2，则其体积为　________　. 解析：由题意得该四棱锥的体积V＝eq \f(1,3)×2×2×2＝eq \f(8,3). 答案：eq \f(8,3) 求多面体的体积 　如图，棱锥的底面ABCD是一个矩形，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高．若VM＝4 cm，AB＝4 cm，VC＝5 cm，求锥体的体积． [思路点拨]　利用棱锥体积公式求解． [解]　∵VM是棱锥的高， ∴VM⊥MC. 在Rt△VMC中， MC＝eq \r(VC2－VM2)＝eq \r(52－42)＝3(cm)， ∴AC＝2MC＝6(cm)． 在Rt△ABC中， BC＝eq \r(AC2－AB2)＝eq \r(62－42)＝2eq \r(5)(cm)． S底＝AB·BC＝4×2eq \r(5)＝8eq \r(5)(cm2)， ∴V锥＝eq \f(1,3)S底h＝eq \f(1,3)×8eq \r(5)×4＝eq \f(32\r(5),3)(cm3)． ∴棱锥的体积为eq \f(32\r(5),3) cm3. (1)棱柱的体积公式是V＝Sh，求棱柱体积的关键是确定棱柱的底面积和高． (2)棱锥的体积公式是V＝eq \f(1,3)Sh，求棱锥体积的关键是确定棱锥的底面积和高． [变式训练] 1．某泳池池深约3.5 m，容积约为4 375 m3，若水深要求不低于1.8 m，则池内蓄水至少为(　　) A．2 250 m3 B．2 500 m3 C．2 750 m3 D．2 000 m3 解析：A　[由题意，池底面积S＝eq \f(4 375,3.5) m2＝1 250 m2，则蓄水量至少为1 250×1.8＝2 250 m3.] 求旋转体的体积 　(1)一个圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则这个圆柱的体积为(　　) A．16π　　 B．8π　　　C.eq \f(16,π)　　　D.eq \f(8,π) [思路点拨]　利用圆柱的体积公式求解． [解析]　设圆柱的底面半径为r，高为h， 因为圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形， 所以2πr＝4，h＝4，所以h＝4，r＝eq \f(2,π)， 所以该圆柱的体积为πr2·h＝eq \f(16,π). [答案]　C (2)如图，过球O的一条半径OP的中点O1，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为eq \r(3)，则球O的体积是(　　) A.eq \f(32,3)π　　　　 B.eq \f(16,3)π C．32π D．16π [解析]　设球O的半径为R，则R2－eq \f(R2,4)＝(eq \r(3))2，解得R＝2， ∴球O的体积V＝eq \f(4π,3)R3＝eq \f(32,3)π. [答案]　A (3)一圆锥的轴截面是边长为4 cm的等边三角形，则这个圆锥的体积是　________　. [思路点拨]　先确定圆锥的底面半径和高，然后利用圆锥的体积公式求解． [解析]　设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h， 因为圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形， 所以r＝2，l＝4，h＝eq \r(42－22)＝2eq \r(3)， 则这个圆锥的体积为V＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)×π×22×2eq \r(3)＝eq \f(8\r(3)π,3). [答案]　eq \f(8\r(3)π,3) (1)求圆柱、圆锥的体积，关键是抓住底面半径和母线长、轴截面来寻找各量间的关系． (2)有关球的截面问题应紧扣球及球截面的性质求解： 当球截面不经过球心时，球截面圆心与球心的连线垂直于球截面； 球心到截面的距离d，球的半径R，截面圆的半径r满足关系式：r＝eq \r(R2－d2). [变式训练] 2．如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F依次是AB，AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，D，H，G为垂足，若将正三角形ABC绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的体积． 解：由题意知，旋转后的几何体是一个圆锥，从下面挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为2，高为2eq \r(3)，圆柱的底面半径为1，高为eq \r(3). 所求旋转体的体积为大圆锥的体积减去里面小圆柱的体积，即V旋转体＝eq \f(1,3)×π×22×2eq \r(3)－π×12×eq \r(3)＝eq \f(5\r(3),3)π， 故所求旋转体的体积为eq \f(5\r(3),3)π. 几何体体积的应用 　对24小时内降水在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义： 0～10 10～25 25～50 50～100 小雨 中雨 大雨 暴雨 小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级(　　) A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 [思路点拨]　先利用圆锥的体积公式求出水的体积，再利用圆柱的体积公式求积水厚度，根据表格数据即可得出结果． [解析]　由相似关系可得，雨水形成的小圆锥的底面半径r＝eq \f(\f(200,2),2)＝50(mm)，故V小圆锥＝eq \f(1,3)×π×502×150＝503·π(mm3)，从而可得积水厚度h＝eq \f(V小圆锥,S大圆)＝eq \f(503·π,π·1002)＝12.5(mm)，属于中雨． [答案]　B 解决有关体积的实际应用问题的关键是将实际问题转化为数学问题，即建立有关体积的模型，通过对体积的研究解决数学问题，从而达到解决实际问题的目的． [变式训练] 3．学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体．其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为　______　 g. 解析：由题意得，四棱锥O－EFGH的底面积为4×6－4×eq \f(1,2)×2×3＝12(cm2)，其高为点O到底面EFGH的距离，为3 cm，则此四棱锥的体积为V1＝eq \f(1,3)×12×3＝12(cm3)． 又长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为V2＝4×6×6＝144(cm3)， 所以该模型的体积V＝V2－V1＝144－12＝132(cm3)， 因此模型所需原材料的质量为0.9×132＝118.8(g)． 答案：118.8 1．底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是(　　) A.eq \r(3)　　　 B．1　　　 C.eq \f(\r(3),2)　　　 D.eq \f(1,3) 解析：A　[底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)×22))×1＝eq \r(3).] 2．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方形，则这个圆柱的体积是(　　) A．2π2 B．π2 C.eq \f(π2,2) D.eq \f(π3,3) 解析：A　[若圆柱底面半径为r，则2πr＝2π，可得r＝1，且圆柱的高为2π，所以圆柱的体积为2π×π×12＝2π2.] 3．已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，则圆锥的体积为(　　) A.eq \f(2\r(2),3)π B．2eq \r(2)π C.eq \r(2)π D.eq \f(\r(2),3)π 解析：A　[由题意知，圆锥的底面半径r＝eq \r(2)，圆锥的高h＝eq \r(4－2)＝eq \r(2)，所以圆锥的体积V＝eq \f(1,3)·πr2·h＝eq \f(2\r(2)π,3).] 4．已知球的半径为2 cm，则其表面积为　________　 cm2，体积为　________　 cm3. 解析：直接代入公式计算即可． S表＝4πr2＝16π cm2，V＝eq \f(4,3)πr3＝eq \f(32π,3) cm3. 答案：16π　eq \f(32π,3) $$ [基础过关] 1．正方体的棱长为2，则它的体积为(　　) A．2　　　 B．4　　　 C．6　　　 D．8 解析：D　[正方体的体积V＝23＝8.] 2．已知某正方体的表面积为96，则该正方体的体积为(　　) A．48 B．64 C．16 D．96 解析：B　[由题意知，若正方体的棱长为a，则6a2＝96，可得a＝4.∴正方体的体积为a3＝64.] 3．如图所示，ABC－A′B′C′是体积为2的直棱柱，则三棱锥C－A′B′C′的体积是(　　) A. B. C．1 D. 解析：B　[VC－A′B′C′＝V棱柱ABC－A′B′C′＝.] 4．以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的体积为(　　) A．2π B．4π C．8π D．16π 解析：C　[以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体为圆柱，圆柱的高为2，底面半径为2， 所以该圆柱的体积为π·22·2＝8π.] 5．一个球的半径扩大为原来的2倍，则体积为原来的(　　) A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍 解析：D　[设球的半径为r，球的半径扩大为2r， 原来球的体积为V1＝πr3，扩大后的球的体积为V2＝π(2r)3＝8×πr3， 所以V1∶V2＝1∶8， 即一个球的半径扩大为原来的2倍，则体积为原来的8倍．] 6．若正四棱柱的底面边长为5，侧棱长为4，则此正四棱柱的体积为　________　. 解析：V＝5×5×4＝100. 答案：100 7．篮球的标准直径是24.6 cm，则它的体积为　________　 cm3.(精确到1 cm3) 解析：篮球的标准直径是24.6 cm，半径为12.3 cm，则它的体积V＝πr3＝π×(12.3)3≈7 795 cm3. 答案：7 795 8．已知一个圆柱的底面半径为2，体积为16π，则该圆柱的表面积为　________　. 解析：由题设，若圆柱的高为h，则V＝4πh＝16π，故h＝4，所以圆柱的表面积为S＝4×2×2π＋2×π×22＝24π. 答案：24π 9．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径是6 cm，圆柱筒长2 cm.这种“浮球”的体积是多少(结果精确到0.1 cm3)． 解：∵球的直径是6 cm，可得半径R＝3 cm， ∴两个半球的体积之和V球＝πR3＝π·27＝36π cm3，而V圆柱＝πR2·h＝π×9×2＝18π cm3， ∴该“浮球”的体积V＝V球＋V圆柱＝36π＋18π＝54π≈169.6 cm3. [能力提升] 10．长方体三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积是(　　) A．6 B．3 C．11 D．12 解析：A　[设长方体长、宽、高分别为a、b、c，则ab＝2，ac＝6，bc＝9，相乘得(abc)2＝108，∴V＝abc＝6.] 11．将半径为2、高为1的实心圆锥体熔成一个球，则该球的表面积为(　　) A．4π B. C．6π D. 解析：A　[由题意知，圆锥的体积等于球的体积，设球的半径为R，则πR3＝π×22×1， 解得R＝1，故球的表面积为4πR2＝4π.] 12．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比为(　　 ) A．1 B. C. D. 解析：D　[设圆柱底面半径为R，圆锥底面半径为r，高都为h，由已知得2Rh＝rh，∴r＝2R， V柱∶V锥＝πR2h∶πr2h＝3∶4.] 13．已知底面直径和高相等的圆柱的底面积为16π，则圆柱的体积为　________　. 解析：依题意，设圆柱的底面圆半径为r，有πr2＝16π，解得r＝4，则圆柱的高h＝2r＝8， 所以圆柱的体积V＝16π·h＝128π. 答案：128π 14．用一平面去截球所得截面的面积为πcm2，已知球心到该截面的距离为1 cm，则该球的体积是　______　 cm3. 解析：用一平面去截球所得截面为圆，设小圆的半径为r，球的半径为R， 由题意，πr2＝π，得r＝1 cm，又因为球心到该截面的距离为1 cm， 所以R＝＝， 得球的体积为πR3＝π()3＝π cm3. 答案：π 15．已知一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积． 解：由三视图易知，该正三棱柱的形状如图所示，其中AA′＝BB′＝CC′＝4，而且正三角形ABC和正三角形A′B′C′的高均为2，所以正三角形ABC的边长为AB＝＝4， 则该正三棱柱的表面积为S＝3×4×4＋2××4×2＝48＋8， 体积为V＝×4×2×4＝16， 故这个三棱柱的表面积为48＋8，体积为16. 学科网（北京）股份有限公司 $$