7.2 第2课时 直观图（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块 下册同步教案（人教版2021）

第2课时　直观图 第七章　简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第七章 简单几何体 数学基础模块（RJ下） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 课程标准 素养解读 1.了解斜二测画法的概念； 2．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图 通过画平面图形和空间图形的直观图，重点培养学生数学抽象素养及提升直观想象素养 　随处可见的建筑、公路、桥梁、工业生产中处处都有空间几何体． 问题：你能用什么方法画出这些几何体的直观图？ 提示：由斜二测画法画出空间图形的直观图． [知识点]　直观图的概念及其画法　 1．概念 当投射线和投影面成适当的　角度　时，一个空间图形左投影面上的　平行投影　可以直观地表示这个空间图形．用来表示空间图形的平面图形，称为空间图形的直观图． 2．斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 (1)在已知图形中取互相　垂直　的x轴和y轴，两轴相交于点O，把x轴和y轴画成对应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，x′轴和y′轴确定的平面表示水平面． (2)已知图形中与x轴平行(或重合)的线段，在直观图中分别画成与　x′轴　平行(或重合)的线段，且长度　不变　；已知图形中与y轴平行(或重合)的线段，在直观图中分别画成与　y′轴　平行(或重合)的线段，且长度为　原来的一半　. (3)连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线． 3．画空间几何体的直观图的步骤 (1)在立体图形中取水平面，在其中取　互相垂直　的x轴与y轴，作出水平面上图形的直观图(保留x′轴和y′轴)． (2)在立体图形中，过x轴与y轴的　交点　取z轴，并使z轴　 垂直　于x轴与y轴．过x′轴与y′轴的　交点　作z轴对应的z′轴，且 z′轴垂直于　x′轴　. 图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z′轴平行(或重合)的线段，且长度　不变　. 连接有关线段． (3)擦去有关辅助线，并把被面遮挡的线段改成虚线(或擦除)． 　空间几何体的直观图一定唯一吗？ 提示：不一定．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图就不一定相同． 1．在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段(　　) A．平行且相等　　　 B．平行但不相等 C．相等但不平行 D．既不平行也不相等 解析：A　[在直观图中平行性不变，在原图中两线段平行且相等，在直观图中对应的两线段仍平行且相等．] 2．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是(　　) 解析：C　[正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.] 3．根据斜二测画法的规则画直观图时，把x、y轴画成对应的x′、y′轴，则∠x′O′y′的度数为　________　. 解析：由斜二测画法的画图规则可知，∠x′O′y′＝45°或135°. 答案：45°或135° 水平放置的平面图形直观图的画法 　用斜二测画法画出水平放置的正五边形的直观图． [思路点拨]　先在原图中建系，再画轴、画线、取长度，最后成图． [解]　(1)以正五边形的中心为原点O，建立如图甲所示的直角坐标系xOy，再建立如图乙所示的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°. (2)在图甲中作BG⊥x轴于G，EH⊥x轴于H，在坐标系x′O′y′中作O′H′＝OH，O′G′＝OG，O′A′＝eq \f(1,2)OA，O′F′＝eq \f(1,2)OF，过F′作C′D′∥x′轴使C′D′＝CD且F′为C′D′的中点． (3)在平面x′O′y′中，过G′作G′B′∥y′轴，且G′B′＝eq \f(1,2)GB，过H′作H′E′∥y′轴，且H′E′＝eq \f(1,2)HE，连接A′B′，B′C′、C′D′、D′E′、E′A′，得五边形A′B′C′D′E′为正五边形ABCDE的平面直观图． (4)擦去x′、y′轴得直观图五边形A′B′C′D′E′(如图丙)． 画平面图形的直观图的关键点 画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置．顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或与轴平行的线段上；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，遇到这类顶点一般通过过此点作与轴平行的线段，将其转化到与轴平行的线段上来确定． [变式训练] 1．用斜二测画法画边长为1 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图． 解：(1)如图甲所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画如图乙对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°. (2)在图乙中x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5 cm，在y′轴上截取O′A′＝eq \f(1,2)AO＝eq \f(\r(3),4) cm，连接A′B′、A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图． (3)擦去x′、y′轴得直观图△A′B′C′(如图丙)． INCLUDEPICTURE"S78B.TIF" 　 几何体的直观图画法 　若一个几何体的三视图如图所示，请用斜二测画法画出它的直观图． [思路点拨]　首先认清几何体的形状大小，然后按斜二测画法的规则及步骤作出直观图即可． [解]　通过观察三视图可知，这个几何体是一个长为4，宽为3，高为2的长方体．用斜二测画法如下： (1)画轴．如图①所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝eq \f(3,2) cm.分别过点M和点N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD. (3)画侧棱符号，过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′. (4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理(擦掉辅助线，将被遮挡的线改为虚线)，就得到长方体的直观图(如图②)． 简单几何体直观图的画法规则 (1)画轴：通常以高所在直线为z轴建系． (2)画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面． (3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点． (4)连线成图． [变式训练] 2．用斜二测画法画一个底面边长为4 cm，高为6 cm的正六棱柱(底面为正六边形，侧面为矩形的棱柱)的直观图． 解：(1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，记坐标原点为O，如图①所示． (2)画底面：按x′轴、y′轴画边长为4 cm的正六边形的直观图ABCDEF. (3)画侧棱：过A，B，C，D，E，F各点分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′，使它们都等于6 cm. (4)成图：顺次连接A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理(去掉辅助线，并将被遮住的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图，如图②所示． 1．梯形的直观图是(　　) A．梯形　　　　　 B．矩形 C．三角形 D．任意四边形 解析：A　[梯形的直观图仍为梯形．] 2．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的是(　　) A．水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形 B．平行四边形的直观图仍是平行四边形 C．两条相交直线的直观图可能是平行直线 D．两条垂直的直线的直观图仍互相垂直 解析：B　[平行四边形的边平行，则在直观图中仍然平行，故选项B正确．] 3．如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′B′＝A′C′，则△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 解析：B　[∵A′B′∥x′轴，A′C′∥y′轴，∴AB⊥AC.又AC＝2A′C′＝2AB，∴△ABC是直角三角形，不是等腰三角形．] 4．在用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图时，若在直角坐标系中∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于　________　. 解析：用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图时，在直角坐标系中∠A的两边分别平行于x轴、y轴，在直观图中∠A′＝45°或135°. $$ 第2课时　直观图 课程标准 素养解读 1.了解斜二测画法的概念； 2．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图 通过画平面图形和空间图形的直观图，重点培养学生数学抽象素养及提升直观想象素养 　随处可见的建筑、公路、桥梁、工业生产中处处都有空间几何体． 问题：你能用什么方法画出这些几何体的直观图？ 提示：由斜二测画法画出空间图形的直观图． [知识点]　直观图的概念及其画法　 1．概念 当投射线和投影面成适当的　角度　时，一个空间图形左投影面上的　平行投影　可以直观地表示这个空间图形．用来表示空间图形的平面图形，称为空间图形的直观图． 2．斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 (1)在已知图形中取互相　垂直　的x轴和y轴，两轴相交于点O，把x轴和y轴画成对应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，x′轴和y′轴确定的平面表示水平面． (2)已知图形中与x轴平行(或重合)的线段，在直观图中分别画成与　x′轴　平行(或重合)的线段，且长度　不变　；已知图形中与y轴平行(或重合)的线段，在直观图中分别画成与　y′轴　平行(或重合)的线段，且长度为　原来的一半　. (3)连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线． 3．画空间几何体的直观图的步骤 (1)在立体图形中取水平面，在其中取　互相垂直　的x轴与y轴，作出水平面上图形的直观图(保留x′轴和y′轴)． (2)在立体图形中，过x轴与y轴的　交点　取z轴，并使z轴　垂直　于x轴与y轴．过x′轴与y′轴的　交点　作z轴对应的z′轴，且 z′轴垂直于　x′轴　. 图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z′轴平行(或重合)的线段，且长度　不变　. 连接有关线段． (3)擦去有关辅助线，并把被面遮挡的线段改成虚线(或擦除)． 　空间几何体的直观图一定唯一吗？ 提示：不一定．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图就不一定相同． 1．在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段(　　) A．平行且相等　　　 B．平行但不相等 C．相等但不平行 D．既不平行也不相等 解析：A　[在直观图中平行性不变，在原图中两线段平行且相等，在直观图中对应的两线段仍平行且相等．] 2．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是(　　) 解析：C　[正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.] 3．根据斜二测画法的规则画直观图时，把x、y轴画成对应的x′、y′轴，则∠x′O′y′的度数为　________　. 解析：由斜二测画法的画图规则可知，∠x′O′y′＝45°或135°. 答案：45°或135° 　　　水平放置的平面图形直观图的画法 　用斜二测画法画出水平放置的正五边形的直观图． [思路点拨]　先在原图中建系，再画轴、画线、取长度，最后成图． [解]　(1)以正五边形的中心为原点O，建立如图甲所示的直角坐标系xOy，再建立如图乙所示的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°. (2)在图甲中作BG⊥x轴于G，EH⊥x轴于H，在坐标系x′O′y′中作O′H′＝OH，O′G′＝OG，O′A′＝OA，O′F′＝OF，过F′作C′D′∥x′轴使C′D′＝CD且F′为C′D′的中点． (3)在平面x′O′y′中，过G′作G′B′∥y′轴，且G′B′＝GB，过H′作H′E′∥y′轴，且H′E′＝HE，连接A′B′，B′C′、C′D′、D′E′、E′A′，得五边形A′B′C′D′E′为正五边形ABCDE的平面直观图． (4)擦去x′、y′轴得直观图五边形A′B′C′D′E′(如图丙)． 画平面图形的直观图的关键点 画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置．顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或与轴平行的线段上；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，遇到这类顶点一般通过过此点作与轴平行的线段，将其转化到与轴平行的线段上来确定． [变式训练] 1．用斜二测画法画边长为1 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图． 解：(1)如图甲所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画如图乙对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°. (2)在图乙中x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5 cm，在y′轴上截取O′A′＝AO＝ cm，连接A′B′、A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图． (3)擦去x′、y′轴得直观图△A′B′C′(如图丙)． 　 几何体的直观图画法 　若一个几何体的三视图如图所示，请用斜二测画法画出它的直观图． [思路点拨]　首先认清几何体的形状大小，然后按斜二测画法的规则及步骤作出直观图即可． [解]　通过观察三视图可知，这个几何体是一个长为4，宽为3，高为2的长方体．用斜二测画法如下： (1)画轴．如图①所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝ cm.分别过点M和点N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD. (3)画侧棱符号，过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′. (4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理(擦掉辅助线，将被遮挡的线改为虚线)，就得到长方体的直观图(如图②)． 简单几何体直观图的画法规则 (1)画轴：通常以高所在直线为z轴建系． (2)画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面． (3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点． (4)连线成图． [变式训练] 2．用斜二测画法画一个底面边长为4 cm，高为6 cm的正六棱柱(底面为正六边形，侧面为矩形的棱柱)的直观图． 解：(1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，记坐标原点为O，如图①所示． (2)画底面：按x′轴、y′轴画边长为4 cm的正六边形的直观图ABCDEF. (3)画侧棱：过A，B，C，D，E，F各点分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′，使它们都等于6 cm. (4)成图：顺次连接A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理(去掉辅助线，并将被遮住的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图，如图②所示． 1．梯形的直观图是(　　) A．梯形　　　　　 B．矩形 C．三角形 D．任意四边形 解析：A　[梯形的直观图仍为梯形．] 2．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的是(　　) A．水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形 B．平行四边形的直观图仍是平行四边形 C．两条相交直线的直观图可能是平行直线 D．两条垂直的直线的直观图仍互相垂直 解析：B　[平行四边形的边平行，则在直观图中仍然平行，故选项B正确．] 3．如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′B′＝A′C′，则△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 解析：B　[∵A′B′∥x′轴，A′C′∥y′轴，∴AB⊥AC.又AC＝2A′C′＝2AB，∴△ABC是直角三角形，不是等腰三角形．] 4．在用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图时，若在直角坐标系中∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于　________　. 解析：用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图时，在直角坐标系中∠A的两边分别平行于x轴、y轴，在直观图中∠A′＝45°或135°. [基础过关] 1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是(　　) A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直 C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点 解析：B　[根据斜二测画法可知，平行不变，即原图中的平行，则直观图也平行，原图的相交，直观图中也相交，但相对应的角度会改变，所以错误的是B.] 2．斜二测画法是绘制直观图的常用方法，下列关于斜二测画法和直观图的说法正确的是(　　) A．矩形的直观图一定是矩形 B．等腰三角形的直观图一定是等腰三角形 C．平行四边形的直观图一定是平行四边形 D．菱形的直观图一定是菱形 解析：C　[对于A，矩形的直观图可以是平行四边形，故A错误；对于B，等腰三角形的直观图的两腰不相等，不一定为等腰三角形，故B错误；对于C，根据斜二测画法的规则线段的平行性不变，所以平行四边形的直观图一定是平行四边形，故C正确；对于D，菱形的直观图中，一组对边长度可以改变，所以直观图不一定是菱形，故D错误．] 3．如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为(　　) A.a2　　　　　　 B．2a2 C．a2 D．2a2 解析：B　[由直观图还原出原图，如图，所以S＝a·2a＝2a2.] 4．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形是(　　) A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 解析：C　[设y′轴与B′C′交于点D′，则O′D′＝2. 在原图形中，OD＝4，CD＝2，则OD⊥CD. ∴OC＝＝6＝OA，∴原图形是菱形．] 5．边长为12的正三角形直观图的面积为(　　) A．9 B．18 C．36 D．36 解析：A　[在△ABC中，作AD⊥BC，交BC于点D，则AD＝12sin 60°＝6. 所以在直观图中，A′D′＝AD＝3. 又∵∠A′D′C′＝45°，∴△A′B′C′的高h＝A′D′sin 45°＝3·＝.∴S△A′B′C′＝B′C′·h＝×12×＝9.] 6．根据斜二测画法的规则画几何体的直观图时，把x、z轴画成对应的x′、z′轴，则∠x′O′z′的度数为　________　. 答案：90° 7．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是　________　三角形(“锐角”“直角”或“钝角”)． 解析：根据斜二测画法作平面图形的直观图原理，得△ABC中有一角为钝角，是钝角三角形． 答案：钝角 8．在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系中原四边形OABC为　________　(填具体形状)，其面积为　________　 cm2. 解析：由斜二测画法规则可知，在四边形OABC中，OA⊥OC，OA＝O′A′＝2 cm，OC＝2O′C′＝4 cm，所以四边形OABC是矩形，其面积为2×4＝8(cm2)． 答案：矩形　8 9．用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图． (1)边长为3 cm的正三角形； (2)边长为4 cm的正方形． 解：(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边的高线AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， 画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°， 在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝OB＝OC＝1.5 cm，在y′轴上截取O′A′＝OA， 连接A′B′、A′C′、B′C′，则△A′B′C′即为等边△ABC的直观图，如图③所示． (2)如图④所示，以AB、AD边所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 如图⑤，画对应的x′轴、y′轴，使∠x′A′y′＝45°， 在x′轴上截取A′B′＝AB＝4 cm，在y′轴上截取A′D′＝AD＝2 cm， 作D′C′∥x′轴，且D′C′＝4 cm，连接B′C′， 则平行四边形A′B′C′D′即为正方形ABCD的直观图，如图⑥所示． [能力提升] 10．如图所示是△AOB用斜二测画法画出的直观图，则△AOB的面积为　________　. 解析：由题图可知△AOB的底边长为4，高为16，所以面积为×4×16＝32. 答案：32 11．如图所示是一个几何体的三视图，画出它的直观图． 解：该几何体的直观图如图所示． 12．已知等边△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为，则等边△ABC的面积是多少？ 解：按照斜二测画法的规则，把如图①所示的等边△ABC的平面直观图△A′B′C′还原为如图②所示的等边△ABC. 设AB＝x，则B′C′＝x，等边△ABC的高为x， 所以△A′B′C′的高为×x＝x， 所以△A′B′C′的面积为×x×x＝x2＝， 解得x＝1， 所以△ABC的面积为×x×x＝x2＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$ [基础过关] 1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是(　　) A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直 C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点 解析：B　[根据斜二测画法可知，平行不变，即原图中的平行，则直观图也平行，原图的相交，直观图中也相交，但相对应的角度会改变，所以错误的是B.] 2．斜二测画法是绘制直观图的常用方法，下列关于斜二测画法和直观图的说法正确的是(　　) A．矩形的直观图一定是矩形 B．等腰三角形的直观图一定是等腰三角形 C．平行四边形的直观图一定是平行四边形 D．菱形的直观图一定是菱形 解析：C　[对于A，矩形的直观图可以是平行四边形，故A错误；对于B，等腰三角形的直观图的两腰不相等，不一定为等腰三角形，故B错误；对于C，根据斜二测画法的规则线段的平行性不变，所以平行四边形的直观图一定是平行四边形，故C正确；对于D，菱形的直观图中，一组对边长度可以改变，所以直观图不一定是菱形，故D错误．] 3．如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为(　　) A.a2　　　　　　 B．2a2 C．a2 D．2a2 解析：B　[由直观图还原出原图，如图，所以S＝a·2a＝2a2.] 4．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形是(　　) A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 解析：C　[设y′轴与B′C′交于点D′，则O′D′＝2. 在原图形中，OD＝4，CD＝2，则OD⊥CD. ∴OC＝＝6＝OA，∴原图形是菱形．] 5．边长为12的正三角形直观图的面积为(　　) A．9 B．18 C．36 D．36 解析：A　[在△ABC中，作AD⊥BC，交BC于点D，则AD＝12sin 60°＝6. 所以在直观图中，A′D′＝AD＝3. 又∵∠A′D′C′＝45°，∴△A′B′C′的高h＝A′D′sin 45°＝3·＝.∴S△A′B′C′＝B′C′·h＝×12×＝9.] 6．根据斜二测画法的规则画几何体的直观图时，把x、z轴画成对应的x′、z′轴，则∠x′O′z′的度数为　________　. 答案：90° 7．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是　________　三角形(“锐角”“直角”或“钝角”)． 解析：根据斜二测画法作平面图形的直观图原理，得△ABC中有一角为钝角，是钝角三角形． 答案：钝角 8．在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系中原四边形OABC为　________　(填具体形状)，其面积为　________　 cm2. 解析：由斜二测画法规则可知，在四边形OABC中，OA⊥OC，OA＝O′A′＝2 cm，OC＝2O′C′＝4 cm，所以四边形OABC是矩形，其面积为2×4＝8(cm2)． 答案：矩形　8 9．用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图． (1)边长为3 cm的正三角形； (2)边长为4 cm的正方形． 解：(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边的高线AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， 画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°， 在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝OB＝OC＝1.5 cm，在y′轴上截取O′A′＝OA， 连接A′B′、A′C′、B′C′，则△A′B′C′即为等边△ABC的直观图，如图③所示． (2)如图④所示，以AB、AD边所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 如图⑤，画对应的x′轴、y′轴，使∠x′A′y′＝45°， 在x′轴上截取A′B′＝AB＝4 cm，在y′轴上截取A′D′＝AD＝2 cm， 作D′C′∥x′轴，且D′C′＝4 cm，连接B′C′， 则平行四边形A′B′C′D′即为正方形ABCD的直观图，如图⑥所示． [能力提升] 10．如图所示是△AOB用斜二测画法画出的直观图，则△AOB的面积为　________　. 解析：由题图可知△AOB的底边长为4，高为16，所以面积为×4×16＝32. 答案：32 11．如图所示是一个几何体的三视图，画出它的直观图． 解：该几何体的直观图如图所示． 12．已知等边△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为，则等边△ABC的面积是多少？ 解：按照斜二测画法的规则，把如图①所示的等边△ABC的平面直观图△A′B′C′还原为如图②所示的等边△ABC. 设AB＝x，则B′C′＝x，等边△ABC的高为x， 所以△A′B′C′的高为×x＝x， 所以△A′B′C′的面积为×x×x＝x2＝， 解得x＝1， 所以△ABC的面积为×x×x＝x2＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$