7.1.3 圆柱、圆锥、球（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块 下册同步教案（人教版2021）

7．1.3　圆柱、圆锥、球 课程标准 素养解读 了解圆柱、圆锥、球的概念，理解圆柱、圆锥、球的结构特征 通过圆柱、圆锥、球的概念和特征的学习，重点培养数学抽象素养及提升直观想象素养 如图，给出下列实物图． (1)上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？ (2)上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否以某平面图形旋转而成？ 提示：(1)它们不是由平面多边形围成的． (2)可将半圆、矩形、直角三角形绕一边所在直线为轴旋转而成． [知识点]　旋转体的结构特征　 旋转体 结构特征 图形 表示 圆柱 以　矩形的一边所在的直线　为旋转轴，将矩形旋转一周，形成的曲面所围成的旋转体称为圆柱．旋转轴称为圆柱的轴；在轴上的这条边或它的长度称为圆柱的高；　垂直　于轴的边旋转而成的圆面称为圆柱的底面；　不垂直于　轴的边旋转而成的曲面称为圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，　不垂直于　轴的边都称为圆柱的母线 圆柱用表示它的轴的字母表示，如图中的圆柱记作　圆柱O′O　 圆锥 以　直角三角形的一条直角边　所在的直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周，形成的曲面所围成的旋转体称为圆锥．旋转轴称为圆锥的轴；在轴上的这条边或它的长度称为圆锥的高；　垂直　于轴的边旋转而成的圆面称为圆锥的底面；　不垂直于　轴的边旋转而成的曲面称为圆锥的侧面；无论旋转到什么位置，　不垂直于　轴的边都称为圆锥的母线 圆锥用表示它的轴的字母表示，如图中的圆锥记作　圆锥SO　 球 一个半圆绕着它的　直径所在直线　旋转一周所形成的曲面称为球面，球面围成的几何体称为球体，简称球．形成球的半圆的圆心称为　球心　，连接球面上任一点和球心的线段称为球的　半径　；连接球面上两点且通过球心的线段称为球的直径．球面被经过　球心　的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过　球心　的平面截得的圆称为球的小圆．球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长称为两点的球面距离 球常用表示球心的字母来表示，如图可表示为　球O　 　球与球面是同一个概念吗？ 提示：球与球面是完全不同的两个概念．球是指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分． 1．圆锥的母线有(　　) A．2条　　　　　　　 B．3条 C．4条 D．无数条 解析：D　[圆锥的顶点与其底面圆上任意一点的连线都是圆锥的母线．] 2．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为(　　) A．一个球体 B．一个球体中间挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球体中间挖去一个长方体 解析：B　[圆面绕着直径所在的轴，旋转而形成球，矩形绕着轴旋转而形成圆柱．] 3．如图所示的图形，　________　是圆柱． 解析：由圆柱的概念可知，只有②为圆柱． 答案：② 旋转体的结构特征 　下列说法正确的是　________　(填序号)． ①圆柱、圆锥的底面都是圆； ②以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥； ③半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球； ④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面． [思路点拨]　根据圆柱、圆锥、球的结构特征逐一判断即可． [解析]　①它们的底面为圆面；②③④正确． [答案]　②③④ 1．判断旋转体结构特征的方法 (1)明确由哪个平面图形旋转而成； (2)明确旋转轴是哪条直线． 2．(1)旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现旋转体结构特征的关键量． (2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想． [变式训练] 1．下列说法正确的是(　　) A．圆柱的母线与它的轴可以不平行 B．圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形 C．在圆柱的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线 D．在球面上任取两点的连线是球的直径 解析：B　[由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知B正确，A，C，D错误．] 简单组合体的结构特征 　请描述如图所示的几何体是如何形成的． [思路点拨]　根据旋转体的结构特征及组合体的组成方式判断即可． [解]　①是由一个圆锥和一个圆柱拼接而成的组合体； ②是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体； ③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体． 1．判定实物图是由哪些简单几何体组成，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体，具有一定的空间想象能力． 2．组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成的．要仔细观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证． [变式训练] 2．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括　________________　. 解析：图1是一个等腰梯形，CD为较长的底边， 以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体， 如图2，包括一个圆柱、两个圆锥． 答案：一个圆柱、两个圆锥 旋转体的有关计算 　已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上，求此正方体的棱长． [思路点拨]　作出轴截面利用三角形相似求解． [解]　作出圆锥的一个轴截面如图所示，其中AB，AC为母线，BC为底面直径，DG，EF是正方体的棱，DE，GF是正方体的上、下底面的对角线． 设正方体的棱长为x， 则DG＝EF＝x，DE＝GF＝x. 依题意，得△ABC∽△ADE， ∴＝，∴x＝， 即此正方体的棱长为. 1．用平行于底面的平面去截柱、锥、球等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形的比例关系，构设相关几何未知量的方程组求解． 2．旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化． [变式训练] 3．一个底面半径为2的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截，则截得的截面圆的面积为　________　. 解析：设截面圆的半径为r， 由相似三角形的性质，得＝， ∴r＝1，故截面圆的面积S＝πr2＝π. 答案：π 1．如图所示图形中，不能卷成圆柱侧面的是(　　) 解析：C　[圆柱的侧面展开图为矩形．] 2．等腰三角形ABC绕底边上的中线AD所在的直线旋转一周所得的几何体是(　　) A．圆台　　　　　　　 B．圆锥 C．圆柱 D．球 解析：B　[等腰三角形绕底边上的中线所在直线旋转一周形成圆锥．] 3．下面几何体的截面一定是圆面的是(　　) A．圆锥 B．球 C．圆柱 D．棱柱 解析：B　[对于选项A，当平面过圆锥的轴时所得截面为等腰三角形．不合题意；对于选项B，平面截球所得截面为大圆或小圆．符合题意；对于选项C，当平面过圆柱的轴时所得截面为矩形．不合题意；对于选项D，当平面平行于棱柱的底面时所得截面为与底面全等的多边形．不合题意．] 4．下列关于球体的说法中，正确的是　________　(填序号)． ①球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合； ②经过球面上不同的两点只能作一个大圆； ③一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体； ④球的对称轴只有1条． 解析：对于①，球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合，①正确；对于②，当这两点是直径的两个端点时可用作无数个大圆，②错误； 对于③，一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体，③正确；对于④，球的每一条直径都是对称轴，有无数条，故④错误． 答案：①③ [基础过关] 1．圆锥的轴截面是(　　) A．三角形　　　　　 B．矩形 C．圆 D．梯形 解析：A　[圆锥的轴截面是等腰三角形．] 2．下列说法正确的是(　　) A．用一个平面截圆柱，截面一定是圆面 B．经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面 C．圆柱的任意两条母线的延长线可相交 D．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一个圆柱 解析：B　[只有用平行于底面的平面截圆柱，截面才是圆面，故A错误；经过圆柱任意两条母线的截面是矩形面，故B正确；圆柱的任意两条母线平行，故C错误；只有夹在平行于圆柱底面的两个平行截面间的几何体才是圆柱，故D错误．] 3．给出下列命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥． 其中正确命题的个数是(　　) A．0　　　 B．1　　　 C．2　　　 D．3 解析：A　[①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线； ②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”； ③不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，它是由两个同底圆锥组成的几何体．] 4．如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的(　　) 解析：A　[此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成，是由A中的平面图形旋转而形成的．] 5．已知一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为60°，则圆锥的高为(　　) A．10 cm B．20 cm C．20 cm 解析：D　[如图，由题意得∠ACB＝60°，BC＝20 cm， 则AC＝BC·cos 60°＝10 cm.] 6．圆锥的顶点与底面圆心的连线　________　于底面． 解析：圆锥的顶点与底面圆心的连线垂直于底面． 答案：垂直 7．已知圆锥的母线长为5，底面圆直径为8，则圆锥的高h＝　________　. 解析：如图， ∵圆锥的底面直径AB＝8， ∴圆锥的底面半径R＝OA＝4， 又SA＝5， ∴圆锥的高h＝SO＝＝3. 答案：3 8．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q，则此圆柱的底面半径为　________　(用Q表示)． 解析：设圆柱的底面半径为r，则母线长为2r， ∴4r2＝Q，解得r＝， ∴此圆柱的底面半径为. 答案： 9．一个圆锥的高为2 cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积． 解：如图为轴截面SAB，圆锥SO的底面直径为AB，SO为高，SA为母线， 则∠ASO＝30°. 在Rt△SOA中， AO＝SO·tan 30°＝(cm)， SA＝＝＝(cm)， 所以S△ASB＝SO·2AO＝(cm2)． 所以圆锥的母线长为 cm，圆锥的轴截面的面积为 cm2. [能力提升] 10．下列命题中不正确的是(　　 ) A．过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径 B．母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等 C．圆锥中所有平行于底面的截面都是圆面 D．圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形 解析：B　[由圆柱、圆锥、球的结构特征和截面的性质可知B选项错误．] 11．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 解析：C　[设圆锥的母线长为l，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则πl＝2π×2，解得l＝4.] 12．如图，各棱长都相等的三棱锥内接于一个球，则经过球心的一个截面图形可能是(　　) A．①③　 B．①④　 C．②③　 D．②④ 解析：A　[①过三棱锥的一条棱且过球心所得截面如图①所示；②棱长都相等的正三棱锥的棱和球心不可能在同一个面上，所以②是错误的；③当平行于三棱锥一底面，过球心的截面如图③所示；④棱长都相等的三棱锥的每个面和球心不可能在同一个面上，所以图④是错误的．综上可知，①③符合题意．] 13．连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB，CD的长度分别等于2，4，M，N分别为AB，CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，则下列说法错误的是(　　) A．弦AB，CD可能相交于点M B．弦AB，CD可能相交于点N C．MN的最大值为5 D．MN的最小值为1 解析：B　[球心到弦AB，CD的距离分别3,2，又因为3>2，所以AB，CD可交于AB的中点M，不可交于CD的中点N；当AB，CD在球心的同侧时，MN的最小值为3－2＝1；当AB，CD在球心的两侧时，MN的最大值为3＋2＝5.] 14．一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的可能图形为　________　.(只填写序号) 解析：当截面与正方体的对角面平行时，截面图形如③；当截面不与正方体的一面平行，截面图形如①②. 答案：①②③ 15．已知一个棱长为6 cm的正方体塑料盒子(无上盖)，上口放着一个半径为5 cm的钢球，则球心到盒底的距离为　________　 cm. 解析：如图所示，球心到盒底的距离可以看作是一个组合体的上顶点到下底面的距离，这个组合体可以看作下面是棱长为6 cm的正方体，上面是以球心为顶点，正方体上底面截钢球所得的圆面为底面的圆锥． 圆锥底面半径为3 cm，母线长为5 cm，则圆锥的高为＝4(cm)， 所以球心到盒底的距离为6＋4＝10(cm)． 答案：10 16．在底面半径为3，母线长为5的圆锥中有一个高为2的内接圆柱，求这个圆柱的底面半径． 解：如图所示，设△ABC的圆锥的轴截面，O1，O分别为圆柱上、下底面的圆心，则OC＝3，AC＝5，OO1＝2. 在Rt△AOC中， AO＝＝＝4， AO1＝AO－OO1＝2， 根据相似三角形的性质，得＝， 即＝，解得O1C1＝， 因此这个圆柱的底面半径为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ [基础过关] 1．圆锥的轴截面是(　　) A．三角形　　　　　 B．矩形 C．圆 D．梯形 解析：A　[圆锥的轴截面是等腰三角形．] 2．下列说法正确的是(　　) A．用一个平面截圆柱，截面一定是圆面 B．经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面 C．圆柱的任意两条母线的延长线可相交 D．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一个圆柱 解析：B　[只有用平行于底面的平面截圆柱，截面才是圆面，故A错误；经过圆柱任意两条母线的截面是矩形面，故B正确；圆柱的任意两条母线平行，故C错误；只有夹在平行于圆柱底面的两个平行截面间的几何体才是圆柱，故D错误．] 3．给出下列命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥． 其中正确命题的个数是(　　) A．0　　　 B．1　　　 C．2　　　 D．3 解析：A　[①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线； ②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”； ③不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，它是由两个同底圆锥组成的几何体．] 4．如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的(　　) 解析：A　[此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成，是由A中的平面图形旋转而形成的．] 5．已知一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为60°，则圆锥的高为(　　) A．10 cm B．20 cm C．20 cm 解析：D　[如图，由题意得∠ACB＝60°，BC＝20 cm， 则AC＝BC·cos 60°＝10 cm.] 6．圆锥的顶点与底面圆心的连线　________　于底面． 解析：圆锥的顶点与底面圆心的连线垂直于底面． 答案：垂直 7．已知圆锥的母线长为5，底面圆直径为8，则圆锥的高h＝　________　. 解析：如图， ∵圆锥的底面直径AB＝8， ∴圆锥的底面半径R＝OA＝4， 又SA＝5， ∴圆锥的高h＝SO＝＝3. 答案：3 8．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q，则此圆柱的底面半径为　________　(用Q表示)． 解析：设圆柱的底面半径为r，则母线长为2r， ∴4r2＝Q，解得r＝， ∴此圆柱的底面半径为. 答案： 9．一个圆锥的高为2 cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积． 解：如图为轴截面SAB，圆锥SO的底面直径为AB，SO为高，SA为母线， 则∠ASO＝30°. 在Rt△SOA中， AO＝SO·tan 30°＝(cm)， SA＝＝＝(cm)， 所以S△ASB＝SO·2AO＝(cm2)． 所以圆锥的母线长为 cm，圆锥的轴截面的面积为 cm2. [能力提升] 10．下列命题中不正确的是(　　 ) A．过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径 B．母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等 C．圆锥中所有平行于底面的截面都是圆面 D．圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形 解析：B　[由圆柱、圆锥、球的结构特征和截面的性质可知B选项错误．] 11．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 解析：C　[设圆锥的母线长为l，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则πl＝2π×2，解得l＝4.] 12．如图，各棱长都相等的三棱锥内接于一个球，则经过球心的一个截面图形可能是(　　) A．①③　 B．①④　 C．②③　 D．②④ 解析：A　[①过三棱锥的一条棱且过球心所得截面如图①所示；②棱长都相等的正三棱锥的棱和球心不可能在同一个面上，所以②是错误的；③当平行于三棱锥一底面，过球心的截面如图③所示；④棱长都相等的三棱锥的每个面和球心不可能在同一个面上，所以图④是错误的．综上可知，①③符合题意．] 13．连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB，CD的长度分别等于2，4，M，N分别为AB，CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，则下列说法错误的是(　　) A．弦AB，CD可能相交于点M B．弦AB，CD可能相交于点N C．MN的最大值为5 D．MN的最小值为1 解析：B　[球心到弦AB，CD的距离分别3,2，又因为3>2，所以AB，CD可交于AB的中点M，不可交于CD的中点N；当AB，CD在球心的同侧时，MN的最小值为3－2＝1；当AB，CD在球心的两侧时，MN的最大值为3＋2＝5.] 14．一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的可能图形为　________　.(只填写序号) 解析：当截面与正方体的对角面平行时，截面图形如③；当截面不与正方体的一面平行，截面图形如①②. 答案：①②③ 15．已知一个棱长为6 cm的正方体塑料盒子(无上盖)，上口放着一个半径为5 cm的钢球，则球心到盒底的距离为　________　 cm. 解析：如图所示，球心到盒底的距离可以看作是一个组合体的上顶点到下底面的距离，这个组合体可以看作下面是棱长为6 cm的正方体，上面是以球心为顶点，正方体上底面截钢球所得的圆面为底面的圆锥． 圆锥底面半径为3 cm，母线长为5 cm，则圆锥的高为＝4(cm)， 所以球心到盒底的距离为6＋4＝10(cm)． 答案：10 16．在底面半径为3，母线长为5的圆锥中有一个高为2的内接圆柱，求这个圆柱的底面半径． 解：如图所示，设△ABC的圆锥的轴截面，O1，O分别为圆柱上、下底面的圆心，则OC＝3，AC＝5，OO1＝2. 在Rt△AOC中， AO＝＝＝4， AO1＝AO－OO1＝2， 根据相似三角形的性质，得＝， 即＝，解得O1C1＝， 因此这个圆柱的底面半径为. 学科网（北京）股份有限公司 $$7.1.3　圆柱、圆锥、球 第七章　简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第七章 简单几何体 数学基础模块（RJ下） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 课程标准 素养解读 了解圆柱、圆锥、球的概念，理解圆柱、圆锥、球的结构特征 通过圆柱、圆锥、球的概念和特征的学习，重点培养数学抽象素养及提升直观想象素养 如图，给出下列实物图． (1)上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？ (2)上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否以某平面图形旋转而成？ 提示：(1)它们不是由平面多边形围成的． (2)可将半圆、矩形、直角三角形绕一边所在直线为轴旋转而成． [知识点]　旋转体的结构特征　 旋转体 结构特征 图形 表示 圆柱 以　矩形的一边所在的直线　为旋转轴，将矩形旋转一周，形成的曲面所围成的旋转体称为圆柱．旋转轴称为圆柱的轴；在轴上的这条边或它的长度称为圆柱的高；　垂直　于轴的边旋转而成的圆面称为圆柱的底面；　不垂直于　轴的边旋转而成的曲面称为圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，　不垂直于　轴的边都称为圆柱的母线 圆柱用表示它的轴的字母表示，如图中的圆柱记作　圆柱O′O　 圆锥 以　直角三角形的一条直角边　所在的直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周，形成的曲面所围成的旋转体称为圆锥．旋转轴称为圆锥的轴；在轴上的这条边或它的长度称为圆锥的高；　垂直　于轴的边旋转而成的圆面称为圆锥的底面；　不垂直于　轴的边旋转而成的曲面称为圆锥的侧面；无论旋转到什么位置，　不垂直于　轴的边都称为圆锥的母线 圆锥用表示它的轴的字母表示，如图中的圆锥记作　圆锥SO　 球 一个半圆绕着它的　直径所在直线　旋转一周所形成的曲面称为球面，球面围成的几何体称为球体，简称球．形成球的半圆的圆心称为　球心　，连接球面上任一点和球心的线段称为球的　半径　；连接球面上两点且通过球心的线段称为球的直径．球面被经过　球心　的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过　球心　的平面截得的圆称为球的小圆．球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长称为两点的球面距离 球常用表示球心的字母来表示，如图可表示为　球O　 　球与球面是同一个概念吗？ 提示：球与球面是完全不同的两个概念．球是指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分． 1．圆锥的母线有(　　) A．2条　　　　　　　 B．3条 C．4条 D．无数条 解析：D　[圆锥的顶点与其底面圆上任意一点的连线都是圆锥的母线．] 2．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为(　　) A．一个球体 B．一个球体中间挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球体中间挖去一个长方体 解析：B　[圆面绕着直径所在的轴，旋转而形成球，矩形绕着轴旋转而形成圆柱．] 3．如图所示的图形，　________　是圆柱． 解析：由圆柱的概念可知，只有②为圆柱． 答案：② 旋转体的结构特征 　下列说法正确的是　________　(填序号)． ①圆柱、圆锥的底面都是圆； ②以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥； ③半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球； ④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面． [思路点拨]　根据圆柱、圆锥、球的结构特征逐一判断即可． [解析]　①它们的底面为圆面；②③④正确． [答案]　②③④ 1．判断旋转体结构特征的方法 (1)明确由哪个平面图形旋转而成； (2)明确旋转轴是哪条直线． 2．(1)旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现旋转体结构特征的关键量． (2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想． [变式训练] 1．下列说法正确的是(　　) A．圆柱的母线与它的轴可以不平行 B．圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形 C．在圆柱的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线 D．在球面上任取两点的连线是球的直径 解析：B　[由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知B正确，A，C，D错误．] 简单组合体的结构特征 　请描述如图所示的几何体是如何形成的． [思路点拨]　根据旋转体的结构特征及组合体的组成方式判断即可． [解]　①是由一个圆锥和一个圆柱拼接而成的组合体； ②是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体； ③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体． 1．判定实物图是由哪些简单几何体组成，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体，具有一定的空间想象能力． 2．组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成的．要仔细观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证． [变式训练] 2．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括　________________　. 解析：图1是一个等腰梯形，CD为较长的底边， 以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体， 如图2，包括一个圆柱、两个圆锥． 答案：一个圆柱、两个圆锥 旋转体的有关计算 　已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上，求此正方体的棱长． [思路点拨]　作出轴截面利用三角形相似求解． [解]　作出圆锥的一个轴截面如图所示，其中AB，AC为母线，BC为底面直径，DG，EF是正方体的棱，DE，GF是正方体的上、下底面的对角线． 设正方体的棱长为x， 则DG＝EF＝x，DE＝GF＝eq \r(2)x. 依题意，得△ABC∽△ADE， ∴eq \f(h,h－x)＝eq \f(2r,\r(2)x)，∴x＝eq \f(\r(2)rh,h＋\r(2)r)， 即此正方体的棱长为eq \f(\r(2)rh,h＋\r(2)r). 1．用平行于底面的平面去截柱、锥、球等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形的比例关系，构设相关几何未知量的方程组求解． 2．旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化． [变式训练] 3．一个底面半径为2的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截，则截得的截面圆的面积为　________　. 解析：设截面圆的半径为r， 由相似三角形的性质，得eq \f(r,2)＝eq \f(1,2)， ∴r＝1，故截面圆的面积S＝πr2＝π. 答案：π 1．如图所示图形中，不能卷成圆柱侧面的是(　　) 解析：C　[圆柱的侧面展开图为矩形．] 2．等腰三角形ABC绕底边上的中线AD所在的直线旋转一周所得的几何体是(　　) A．圆台　　　　　　　 B．圆锥 C．圆柱 D．球 解析：B　[等腰三角形绕底边上的中线所在直线旋转一周形成圆锥．] 3．下面几何体的截面一定是圆面的是(　　) A．圆锥 B．球 C．圆柱 D．棱柱 解析：B　[对于选项A，当平面过圆锥的轴时所得截面为等腰三角形．不合题意；对于选项B，平面截球所得截面为大圆或小圆．符合题意；对于选项C，当平面过圆柱的轴时所得截面为矩形．不合题意；对于选项D，当平面平行于棱柱的底面时所得截面为与底面全等的多边形．不合题意．] 4．下列关于球体的说法中，正确的是　________　(填序号)． ①球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合； ②经过球面上不同的两点只能作一个大圆； ③一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体； ④球的对称轴只有1条． 解析：对于①，球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合，①正确；对于②，当这两点是直径的两个端点时可用作无数个大圆，②错误； 对于③，一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体，③正确；对于④，球的每一条直径都是对称轴，有无数条，故④错误． 答案：①③ $$