7.1.2 棱柱、棱锥（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块 下册同步教案（人教版2021）

7．1.2　棱柱、棱锥 课程标准 素养解读 1.了解棱柱、棱锥的概念，理解棱柱、棱锥的结构特征； 2．理解直棱柱、正棱柱、正棱锥的有关概念 通过棱柱、棱锥概念和特征的学习，重点培养数学抽象素养及提升直观想象素养 　很多物体虽有不同的形状，但也有一些共同点． 问题：观察上图物体，说出它们有什么共同点？ 提示：几何体的表面都是由平面多边形围成的． [知识点一]　棱柱的结构特征　 棱 柱 有两个面互相　平行　，其余各面都是　四边形　，并且相邻两个四边形的公共边都互相　平行　，这样的多面体称为棱柱 记作：棱柱ABCDEF－ A1B1C1D1­ E1F1 底面(底)：两个互相　平行　的面 侧面：其余各面 侧棱：两侧面的　公共边　 高：过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度) 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱 长方体：底面是矩形的直四棱柱 正方体：棱长都相等的长方体 1.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱吗？ 提示：不一定．如图所示的几何体不是棱柱． 2．如果长方体的长宽高分别是a，b，c，则其体对角线的长是多少？ 提示：体对角线的长为，即长方体的一条体对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和． [知识点二] 棱锥的结构特征　 棱 锥 有一个面是　多边形　，其余各面是有一个公共顶点的　三角形　，这样的多面体称为棱锥 记作：棱锥 S－ABCDE 或S－AD 侧面：有公共顶点的三角形 底面(底)：多边形 侧棱：相邻侧面的　公共边　 高：过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段(或它的长度) 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥 斜高：正棱锥的各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高 正四面体：棱长都相等的三棱锥 3．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥吗？ 提示：不一定．如图所示的几何体不是棱锥． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)棱柱的底面互相平行．(　　) (2)棱柱的各个侧面都是平行四边形．(　　) (3)长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体．(　　) (4)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是(　　) A．①是棱柱　　　 B．②不是棱锥 C．③不是棱锥 D．④不是棱锥 解析：B　[①是棱柱，②是棱锥，③不是棱锥，④不是棱锥．] 3．下列关于棱柱的说法： ①所有的面都是平行四边形； ②每一个面都不会是三角形； ③两底面平行，并且各侧棱也平行； ④被平面截成的两部分可以都是棱柱． 其中正确说法的序号是　________　. 解析：　①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；②错误，棱柱的底面可以是三角形；③正确，由棱柱的定义易知；④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是③④. 答案：③④ 棱柱、棱锥的结构特征 　如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1. (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由． [思路点拨]　首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他性质． [解]　(1)是棱柱，并且是四棱柱， 因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的， 其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义． (2)截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N， 左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1. 1．棱柱结构特征的辨析方法 (1)扣定义：判定一个几何体是否为棱柱的关键是棱柱的定义． ①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行且全等的面作为底面，其余各面都是平行四边形； ②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行． (2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除． 2．根据侧棱是否垂直于底面，将棱柱分为直棱柱和斜棱柱． [变式训练] 1．下列说法正确的是(　　) A．棱柱的侧面都是矩形 B．棱柱的侧棱都相等 C．棱柱的棱都平行 D．棱柱的侧棱总与底面垂直 解析：B　[由棱柱的定义知，棱柱的侧面都是平行四边形，不一定都是矩形，故A不正确；而平行四边形的对边相等，故侧棱都相等，所以B正确；侧棱都平行，但底面多边形的边(也是棱)不一定平行，所以C错误；棱柱的侧棱可以与底面垂直也可以不与底面垂直，故D不正确．] 　下列说法中，正确的是(　　) ①正棱锥的各个侧面都是等边三角形； ②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面； ③棱锥的侧棱平行． A．①　　 B．①②　　 C．②　　 D．③ [思路点拨]　利用棱锥的结构特征逐一判断． [解析]　由正棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是全等的等腰三角形，故①错误； 四面体就是由四个三角形面所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面，故②正确； 棱锥的侧棱交于一点，故③错误． [答案]　C 判断棱锥形状的两个方法 (1)举反例法：结合棱锥的定义举反例直接判断关于棱锥结构特征的某些说法不正确． (2)直接法： 棱锥 定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 看侧棱 相交于一点 [变式训练] 2．若一个正棱锥的各侧棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是(　　) A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥 解析：D　[因为正六边形的边长与它的外接圆的半径相等，所以满足题意的棱锥一定不是六棱锥．] 棱柱、棱锥的有关计算 　如图所示，已知正四棱锥S－ABCD的棱长都是4，求棱锥的高SO和斜高SE. [思路点拨]　要注意棱锥的高和斜高的区别． [解]　如题图所示，因为正方形ABCD的边长为4，所以OA＝AC＝×＝2. 由正四棱锥的性质知，△SOA是直角三角形，所以SO＝＝＝2. 在Rt△SOE中，因为OE＝AB＝×4＝2， 所以SE＝＝＝2. 求高与斜高主要是构造直角三角形利用勾股定理求解． [变式训练] 3．长方体同一顶点上的三条棱长分别为2,2,3，则长方体的体对角线长为 　________　 . 解析：＝. 答案： 1．下列四个命题正确的为(　　) A．长方体是正四棱柱 B．有两个相邻的侧面都是矩形的棱柱是直棱柱 C．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 D．底面是正方形的棱柱是正棱柱 解：B　[A错误，因为长方体是底面为矩形，不一定是正方形；B正确，因为若棱柱上有两相邻的侧面都是矩形，则侧面垂直于底面；构成棱锥的侧面三角形必须有公共顶点，所述命题C不成立；D错误，因为底面是正方形的直棱柱才是正棱柱．] 2．从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点E、F、G，过此三点作长方体的截面，那么截去的几何体是(　　) A．三棱柱　　　　　 B．三棱锥 C．四棱柱 D．四棱锥 解析：B　[由题图知，截去的立体图形有四个面，四个顶点，六条边，故该几何体为三棱锥．] 3．下列说法中正确的是(　　) A．棱柱的侧面可以是三角形 B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱 C．所有的几何体的表面都能展成平面图形 D．棱柱的各条棱都相等 解析：B　[棱柱的侧面都是四边形，A不正确；正方体和长方体都是特殊的四棱柱，B正确；所有的几何体的表面都能展成平面图形，球不能展开为平面图形，C不正确；棱柱的各条侧棱都相等，但各条棱不一定相等，所以D不正确．] 4．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为　________　 cm. 解析：因棱柱有10个顶点， 所以该棱柱为五棱柱，共有五条侧棱， 所以侧棱长为＝12(cm)． 答案：12 [基础过关] 1．如图所示的图形中，棱锥的个数是(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 解析：C　[由棱锥定义可知①②④为棱锥．] 2．下列命题正确的是(　　) A．四棱柱都是直棱柱 B．直四棱柱就是正方体 C．六个面都是矩形的四棱柱是长方体 D．底面是矩形的四棱柱是长方体 解析：C　[A错，当侧棱与底面垂直时才是直棱柱；B错，直四棱柱不一定是正方体；D错，底面是矩形的直四棱住才是长方体．所以C选项正确．] 3．下列说法中，其中错误的是(　　) A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 C．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 D．存在每个面都是直角三角形的四面体 解析：A　[A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；B正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个二面角都是直二面角；C正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；D正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形．] 4．下列叙述中，错误的一项为(　　) A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．棱柱的各个侧面都是平行四边形 C．棱柱的两底面是全等的多边形 D．棱柱的面中，至少有两个面相互平行 解析：A　[在A中，棱柱中两个互相平行的平面不一定是棱柱的底面，例如正六棱柱的相对侧面互相平行，故A错误；在B中，由棱柱的定义知棱柱的各个侧面都是平行四边形，故B正确；在C中，由棱柱的定义知棱柱的两底面是互相平行且全等的多边形，故C正确；在D中，棱柱的定义是，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，相邻的公共边互相平行，由这些面围成的几何体是棱柱，由此得到D正确．] 5．棱柱的侧棱(　　) A．相交于一点 B．平行但不相等 C．平行且相等 D．可能平行也可能相交于一点 解析：C　[棱柱的侧棱互相平行且相等．] 6．一个棱锥至少有　________　个面，面数最少的棱锥有　________　个顶点，有　________　条棱． 解析：满足题意的为三棱锥，至少有4个面，4个顶点，6条棱． 答案：4　4　6 7．由6个面围成的几何体，其中一个面是五边形，其余5个面都是有一个公共点的三角形，那么该几何体是　________　. 解析：由题设条件可知该几何体为五棱锥． 答案：五棱锥 8．已知长方体的长、宽、高分别为3、4、12，则长方体的一条对角线长为　________　. 解析：因为长方体的长、宽、高分别为3、4、12， 所以其体对角线长为＝13. 答案：13 9．在如图所示的三棱柱中放置高为h的水，现将三棱柱放倒，使平面ACC1A1着地，则此时水所形成的几何体是棱柱吗？为什么？ 解：是棱柱．如图所示，这是因为将平面ACC1A1着地，上面的水平面为DD1E1E，则水所形成的几何体为四棱柱ADEC－A1D1E1C1. 其中面ADEC与面A1D1E1C1平行且全等，侧面AA1D1D，DD1E1E，CC1E1E，AA1C1C分别为平行四边形，故水所形成的几何体为棱柱． [能力提升] 10．以下各种情况中，是长方体的是(　　) A．直平行六面体 B．侧面是矩形的四棱柱 C．底面是矩形的平行六面体 D．底面是矩形的直棱柱 解析：D　[由长方体的底面是矩形且侧棱与底面垂直可知长方体是底面是矩形的直棱柱．] 11．下列命题正确的是(　　) A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D．棱柱的侧面都是全等的平行四边形 解析：C　[有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体可以是棱台，A错误；有两个面平行， 其余各面都是平行四边形的几何体如图所示，B错误；棱柱的侧面不一定是全等的平行四边形，D错误；由棱柱的定义可知，C正确．] 12．下列说法正确的是(　　) A．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 B．四棱锥的四个侧面不都可以是直角三角形 C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥 D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体 解析：D　[对于A，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故A错误；对于B，四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形，如图所示，故B不正确；对于C，当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；对于D，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确．] 13．①直四棱柱一定是长方体； ②正方体一定是正四棱柱； ③底面是正多边形的棱柱是正棱柱； ④有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱； ⑤直棱柱的侧棱长与高相等． 以上说法中正确的命题有　________　.(写出正确的命题序号) 解析：①侧棱垂直于底面的四棱柱叫做直四棱柱，底面是长方形的直四棱柱才是长方体，底面如果不是长方形或正方形，则该直四棱柱不是长方体，故①错误；②上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱，所以正方体是正四棱柱，但正四棱柱不一定是正方体，故②正确；③底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，底面是正多边形但侧棱与底面不垂直的棱柱不是正棱柱，故③错误；④有两个相邻的侧面是矩形，说明侧棱与底面两条相交直线垂直，则侧棱与底面垂直，所以有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱，故④正确；⑤直棱柱的侧棱垂直于底面，因此侧棱长与高相等，故⑤正确． 答案：②④⑤ 14．如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是　________　cm. 解析：由题意，若以BC为轴展开， 则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm,3 cm， 故两点之间的距离是 cm. 若以BB1为轴展开， 则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1 cm,4 cm， 故两点之间的距离是 cm. 故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm. 答案： 15．若正三棱锥的底面边长是6 cm，侧棱长是5 cm，求该棱锥的高和斜高． 解：如图，BE＝BC＝3 cm，SE⊥BC， SE＝＝4， AE＝ ＝3， OE＝AE＝×3＝， 在Rt△SOE中， SO＝＝＝， 所以棱锥的高为 cm，斜高为4 cm. 学科网（北京）股份有限公司 $$ [基础过关] 1．如图所示的图形中，棱锥的个数是(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 解析：C　[由棱锥定义可知①②④为棱锥．] 2．下列命题正确的是(　　) A．四棱柱都是直棱柱 B．直四棱柱就是正方体 C．六个面都是矩形的四棱柱是长方体 D．底面是矩形的四棱柱是长方体 解析：C　[A错，当侧棱与底面垂直时才是直棱柱；B错，直四棱柱不一定是正方体；D错，底面是矩形的直四棱住才是长方体．所以C选项正确．] 3．下列说法中，其中错误的是(　　) A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 C．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 D．存在每个面都是直角三角形的四面体 解析：A　[A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；B正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个二面角都是直二面角；C正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；D正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形．] 4．下列叙述中，错误的一项为(　　) A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．棱柱的各个侧面都是平行四边形 C．棱柱的两底面是全等的多边形 D．棱柱的面中，至少有两个面相互平行 解析：A　[在A中，棱柱中两个互相平行的平面不一定是棱柱的底面，例如正六棱柱的相对侧面互相平行，故A错误；在B中，由棱柱的定义知棱柱的各个侧面都是平行四边形，故B正确；在C中，由棱柱的定义知棱柱的两底面是互相平行且全等的多边形，故C正确；在D中，棱柱的定义是，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，相邻的公共边互相平行，由这些面围成的几何体是棱柱，由此得到D正确．] 5．棱柱的侧棱(　　) A．相交于一点 B．平行但不相等 C．平行且相等 D．可能平行也可能相交于一点 解析：C　[棱柱的侧棱互相平行且相等．] 6．一个棱锥至少有　________　个面，面数最少的棱锥有　________　个顶点，有　________　条棱． 解析：满足题意的为三棱锥，至少有4个面，4个顶点，6条棱． 答案：4　4　6 7．由6个面围成的几何体，其中一个面是五边形，其余5个面都是有一个公共点的三角形，那么该几何体是　________　. 解析：由题设条件可知该几何体为五棱锥． 答案：五棱锥 8．已知长方体的长、宽、高分别为3、4、12，则长方体的一条对角线长为　________　. 解析：因为长方体的长、宽、高分别为3、4、12， 所以其体对角线长为＝13. 答案：13 9．在如图所示的三棱柱中放置高为h的水，现将三棱柱放倒，使平面ACC1A1着地，则此时水所形成的几何体是棱柱吗？为什么？ 解：是棱柱．如图所示，这是因为将平面ACC1A1着地，上面的水平面为DD1E1E，则水所形成的几何体为四棱柱ADEC－A1D1E1C1. 其中面ADEC与面A1D1E1C1平行且全等，侧面AA1D1D，DD1E1E，CC1E1E，AA1C1C分别为平行四边形，故水所形成的几何体为棱柱． [能力提升] 10．以下各种情况中，是长方体的是(　　) A．直平行六面体 B．侧面是矩形的四棱柱 C．底面是矩形的平行六面体 D．底面是矩形的直棱柱 解析：D　[由长方体的底面是矩形且侧棱与底面垂直可知长方体是底面是矩形的直棱柱．] 11．下列命题正确的是(　　) A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D．棱柱的侧面都是全等的平行四边形 解析：C　[有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体可以是棱台，A错误；有两个面平行， 其余各面都是平行四边形的几何体如图所示，B错误；棱柱的侧面不一定是全等的平行四边形，D错误；由棱柱的定义可知，C正确．] 12．下列说法正确的是(　　) A．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 B．四棱锥的四个侧面不都可以是直角三角形 C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥 D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体 解析：D　[对于A，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故A错误；对于B，四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形，如图所示，故B不正确；对于C，当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；对于D，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确．] 13．①直四棱柱一定是长方体； ②正方体一定是正四棱柱； ③底面是正多边形的棱柱是正棱柱； ④有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱； ⑤直棱柱的侧棱长与高相等． 以上说法中正确的命题有　________　.(写出正确的命题序号) 解析：①侧棱垂直于底面的四棱柱叫做直四棱柱，底面是长方形的直四棱柱才是长方体，底面如果不是长方形或正方形，则该直四棱柱不是长方体，故①错误；②上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱，所以正方体是正四棱柱，但正四棱柱不一定是正方体，故②正确；③底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，底面是正多边形但侧棱与底面不垂直的棱柱不是正棱柱，故③错误；④有两个相邻的侧面是矩形，说明侧棱与底面两条相交直线垂直，则侧棱与底面垂直，所以有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱，故④正确；⑤直棱柱的侧棱垂直于底面，因此侧棱长与高相等，故⑤正确． 答案：②④⑤ 14．如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是　________　cm. 解析：由题意，若以BC为轴展开， 则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm,3 cm， 故两点之间的距离是 cm. 若以BB1为轴展开， 则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1 cm,4 cm， 故两点之间的距离是 cm. 故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm. 答案： 15．若正三棱锥的底面边长是6 cm，侧棱长是5 cm，求该棱锥的高和斜高． 解：如图，BE＝BC＝3 cm，SE⊥BC， SE＝＝4， AE＝ ＝3， OE＝AE＝×3＝， 在Rt△SOE中， SO＝＝＝， 所以棱锥的高为 cm，斜高为4 cm. 学科网（北京）股份有限公司 $$7.1.2　棱柱、棱锥 第七章　简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第七章 简单几何体 数学基础模块（RJ下） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 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返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第七章 简单几何体 课程标准 素养解读 1.了解棱柱、棱锥的概念，理解棱柱、棱锥的结构特征； 2．理解直棱柱、正棱柱、正棱锥的有关概念 通过棱柱、棱锥概念和特征的学习，重点培养数学抽象素养及提升直观想象素养 　很多物体虽有不同的形状，但也有一些共同点． 问题：观察上图物体，说出它们有什么共同点？ 提示：几何体的表面都是由平面多边形围成的． [知识点一]　棱柱的结构特征　 棱 柱 有两个面互相　平行　，其余各面都是　四边形　，并且相邻两个四边 底面(底)：两个互相　平行　的面 侧面：其余各面 侧棱：两侧面的　公共边　 高：过棱柱一个 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱 棱 柱 形的公共边都互相　平行　，这样的多面体称为棱柱 记作：棱柱ABCDEF－A1B1C1D1­ E1F1 底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度) 长方体：底面是矩形的直四棱柱 正方体：棱长都相等的长方体 1.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱吗？ 提示：不一定．如图所示的几何体不是棱柱． 2．如果长方体的长宽高分别是a，b，c，则其体对角线的长是多少？ 提示：体对角线的长为eq \r(a2＋b2＋c2)，即长方体的一条体对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和． [知识点二] 棱锥的结构特征　 棱 锥 有一个面是　多边形　，其余各面是有一个公共顶点的　三角形　，这样的多面体称为棱锥 记作：棱锥 S－ABCDE 或S－AD 侧面：有公共顶点的三角形 底面(底)：多边形 侧棱：相邻侧面的　公共边　 高：过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段(或它的长度) 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥 斜高：正棱锥的各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高 正四面体：棱长都相等的三棱锥 3．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥吗？ 提示：不一定．如图所示的几何体不是棱锥． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)棱柱的底面互相平行．(　　) (2)棱柱的各个侧面都是平行四边形．(　　) (3)长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体．(　　) (4)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是(　　) A．①是棱柱　　　 B．②不是棱锥 C．③不是棱锥 D．④不是棱锥 解析：B　[①是棱柱，②是棱锥，③不是棱锥，④不是棱锥．] 3．下列关于棱柱的说法： ①所有的面都是平行四边形； ②每一个面都不会是三角形； ③两底面平行，并且各侧棱也平行； ④被平面截成的两部分可以都是棱柱． 其中正确说法的序号是　________　. 解析：①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；②错误，棱柱的底面可以是三角形；③正确，由棱柱的定义易知；④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是③④. 答案：③④ 棱柱、棱锥的结构特征 　如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1. (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由． [思路点拨]　首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他性质． [解]　(1)是棱柱，并且是四棱柱， 因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的， 其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义． (2)截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N， 左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1. 1．棱柱结构特征的辨析方法 (1)扣定义：判定一个几何体是否为棱柱的关键是棱柱的定义． ①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行且全等的面作为底面，其余各面都是平行四边形； ②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行． (2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除． 2．根据侧棱是否垂直于底面，将棱柱分为直棱柱和斜棱柱． [变式训练] 1．下列说法正确的是(　　) A．棱柱的侧面都是矩形 B．棱柱的侧棱都相等 C．棱柱的棱都平行 D．棱柱的侧棱总与底面垂直 解析：B　[由棱柱的定义知，棱柱的侧面都是平行四边形，不一定都是矩形，故A不正确；而平行四边形的对边相等，故侧棱都相等，所以B正确；侧棱都平行，但底面多边形的边(也是棱)不一定平行，所以C错误；棱柱的侧棱可以与底面垂直也可以不与底面垂直，故D不正确．] 　下列说法中，正确的是(　　) ①正棱锥的各个侧面都是等边三角形； ②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面； ③棱锥的侧棱平行． A．①　　 B．①②　　 C．②　　 D．③ [思路点拨]　利用棱锥的结构特征逐一判断． [解析]　由正棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是全等的等腰三角形，故①错误； 四面体就是由四个三角形面所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面，故②正确； 棱锥的侧棱交于一点，故③错误． [答案]　C 判断棱锥形状的两个方法 (1)举反例法：结合棱锥的定义举反例直接判断关于棱锥结构特征的某些说法不正确． (2)直接法： 棱锥 定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 看侧棱 相交于一点 [变式训练] 2．若一个正棱锥的各侧棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是(　　) A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥 解析：D　[因为正六边形的边长与它的外接圆的半径相等，所以满足题意的棱锥一定不是六棱锥．] 棱柱、棱锥的有关计算 　如图所示，已知正四棱锥S－ABCD的棱长都是4，求棱锥的高SO和斜高SE. [思路点拨]　要注意棱锥的高和斜高的区别． [解]　如题图所示，因为正方形ABCD的边长为4，所以OA＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(1,2)×eq \r(AB2＋BC2)＝2eq \r(2). 由正四棱锥的性质知，△SOA是直角三角形，所以SO＝eq \r(SA2－OA2)＝eq \r(16－8)＝2eq \r(2). 在Rt△SOE中，因为OE＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)×4＝2， 所以SE＝eq \r(SO2＋OE2)＝eq \r(8＋4)＝2eq \r(3). 求高与斜高主要是构造直角三角形利用勾股定理求解． [变式训练] 3．长方体同一顶点上的三条棱长分别为2,2,3，则长方体的体对角线长为 　________　 . 解析：eq \r(22＋22＋32)＝eq \r(17). 答案：eq \r(17) 1．下列四个命题正确的为(　　) A．长方体是正四棱柱 B．有两个相邻的侧面都是矩形的棱柱是直棱柱 C．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 D．底面是正方形的棱柱是正棱柱 解：B　[A错误，因为长方体是底面为矩形，不一定是正方形；B正确，因为若棱柱上有两相邻的侧面都是矩形，则侧面垂直于底面；构成棱锥的侧面三角形必须有公共顶点，所述命题C不成立；D错误，因为底面是正方形的直棱柱才是正棱柱．] 2．从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点E、F、G，过此三点作长方体的截面，那么截去的几何体是(　　) A．三棱柱　　　　　 B．三棱锥 C．四棱柱 D．四棱锥 解析：B　[由题图知，截去的立体图形有四个面，四个顶点，六条边，故该几何体为三棱锥．] 3．下列说法中正确的是(　　) A．棱柱的侧面可以是三角形 B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱 C．所有的几何体的表面都能展成平面图形 D．棱柱的各条棱都相等 解析：B　[棱柱的侧面都是四边形，A不正确；正方体和长方体都是特殊的四棱柱，B正确；所有的几何体的表面都能展成平面图形，球不能展开为平面图形，C不正确；棱柱的各条侧棱都相等，但各条棱不一定相等，所以D不正确．] 4．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为　________　 cm. 解析：因棱柱有10个顶点， 所以该棱柱为五棱柱，共有五条侧棱， 所以侧棱长为eq \f(60,5)＝12(cm)． 答案：12 $$