6.4 直线与圆的位置关系（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块 下册同步教案（人教版2021）

6．4　直线与圆的位置关系 课程标准 素养解读 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离； 2．会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系； 3．掌握圆的切线方程的求法及直线与圆相交时弦长的求法 通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象、数学抽象的数学素养 “海上生明月，天涯共此时。”，表达了诗人望月怀人的深厚情谊．在海天交于一线的天际，一轮明月慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着迷人的风采． 这个过程中，月亮看作一个圆，海天交线看作一条直线，月出的过程中也体现了直线与圆的三种位置关系：相交、相切和相离． 在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系，前面我们学习了直线的方程，圆的方程，已经用方程研究两条直线的位置关系，下面我们根据用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线与圆的方程通过定量计算研究直线与圆的位置关系． [知识点一]　直线与圆有三种位置关系　 位置关系 交点个数 相交 有　两个　公共点 相切 只有　一个　公共点 相离 　没有　公共点 [知识点二]　直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断　 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 两个 一个 零个 判 定 方 法 几何法：设圆心到直线的距离d ＝ d＜r d＝r d＞r 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 　用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？ 提示：“几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×” ) (1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．(　　) (2)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切．(　　) (3)若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解．(　　) (4)过半径外端的直线与圆相切．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 解析：B　[圆心(0,0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝＝1.∵d＝r，∴直线与圆相切．] 3．直线x＋2y＝0被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于　________　. 解析：由已知得圆心C(3,1)，半径r＝5.又圆心C到直线l的距离d＝＝，则弦长＝2＝4. 答案：4 　　　直线与圆的位置关系的判断 　已知直线方程为mx－y－m－1＝0，圆的方程为x2＋y2－4x－2y＋1＝0. 当m为何值时，直线与圆 (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． [思路点拨]　可联立方程组，由方程组解的个数判断，也可求出圆心到直线的距离，通过与半径比较大小判断． [解]　法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程，化简、整理， 得(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0. ∵Δ＝4m(3m＋4)， (1)当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点． (2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点． (3)当Δ<0，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为(2,1)，半径r＝2.圆心(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝＝. (1)当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点． (2)当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点． (3)当d>2，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 直线与圆的位置关系的判断方法 直线与圆的位置关系反映在三个方面： 一是点到直线的距离与半径大小的关系； 二是直线与圆的公共点的个数； 三是两方程组成的方程组解的个数． 因此，若给出图形，可根据公共点的个数判断；若给出直线与圆的方程，可选择用几何法或代数法，几何法计算量小，代数法可一同求出交点．解题时可根据条件作出恰当的选择． [变式训练] 1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．相交且直线过圆心 D．相离 解析：B　[∵圆心(0,0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝，则0<<1，∴直线与圆相交但直线不过圆心．] 　　　圆的切线方程 　已知圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1，判断过点A(4，－3)与圆C有几条切线，并求切线方程． [思路点拨]　先判断点与圆的位置关系，再利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率，进而求出切线方程． [解]　因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点A在圆外，过点A与圆C有两条切线． (1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k， 则切线方程为y＋3＝k(x－4)． 因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径，半径为1，所以＝1，即|k＋4|＝， 所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－.所以切线方程为y＋3＝－(x－4)，即15x＋8y－36＝0. (2)若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4距离也为1， 这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4. 求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线时，常用几何方法求解： 设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而切线方程即可求出．但要注意，此时的切线有两条，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可通过数形结合求出． [变式训练] 2．过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程为(　　) A．2x－y＋9＝0　　　　 B．2x＋y－9＝0 C．2x＋y＋9＝0 D．2x－y－9＝0 解析：B　[x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1,2)， kPC＝，∴切线的斜率k＝－2，∴切线方程为y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0.] 　　　直线与圆的相交问题 　求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长． [思路点拨]　法一： 法二： [解]　法一：圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，其圆心坐标为(0,1)，半径r＝. 点(0,1)到直线l的距离为d＝＝，l＝2＝，所以截得的弦长为. 法二：设直线l与圆C交于A、B两点． 由得交点A(1,3)，B(2,0)， 所以弦AB的长为|AB|＝＝. 求弦长常用的三种方法 (1)利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系2＋d2＝r2解题． (2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长． (3)利用弦长公式，设直线l：y＝kx＋m与圆的两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系求得弦长l＝|x1－x2|＝. [变式训练] 3．过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点．若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为　________　. 解析：由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)， 即x＋y－1＝0， 圆心O(0,0)到直线l的距离为d＝＝， 则有|AB|＝2＝2＝. 答案： 1．直线4x－3y＋11＝0与圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的位置关系是(　　) A．相离　　　　　　　 B．相切 C．相交 D．不确定 解析：B　[圆心坐标为(－1，－1)，半径为2， 圆心到直线的距离为＝2， 所以直线4x－3y＋11＝0与圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4相切．] 2．直线m：x＋y－1＝0被圆M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(　　) A．4　　 B．2　　　 C.　　　 D. 解析：B　[∵x2＋y2－2x－4y＝0， ∴(x－1)2＋(y－2)2＝5， ∴圆M的圆心坐标为(1,2)，半径为，又点(1,2)到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝，直线m被圆M截得的弦长等于2＝2.] 3．若直线y＝x与圆(x－a)2＋y2＝2(a＞0)相切，则a＝(　　) A. B．2 C．3 D．2 解析：A　[因为圆心坐标为(a,0)，半径为， 所以该圆心到直线x－y＝0的距离d＝＝，结合a＞0解得a＝.] 4．圆x2＋y2＝4在点P(，－1)处的切线方程为　________　. 解析：∵()2＋(－1)2＝4， ∴点P在圆上．∴P为切点． ∵切点与圆心连线的斜率为－， ∴切线的斜率为， ∴切线方程为y＋1＝(x－)， 即x－y－4＝0. 答案：x－y－4＝0 [基础过关] 1．直线x－y＋4＝0与圆x2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　) A．相离　　　　　 B．相交 C．相切 D．相交或相切 解析：A　[因为圆x2＋(y－1)2＝1的圆心坐标为(0,1)，半径为1. 所以圆心(0,1)到直线x－y＋4＝0的距离为＝＞1，所以直线x－y＋4＝0与圆x2＋(y－1)2＝1的位置关系是相离．] 2．直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(　　) A．1 B．2 C．4 D．4 解析：C　[依题意，圆的圆心为(1,2)，半径r＝，圆心到直线的距离d＝＝1，所以结合图形可知弦长的一半为＝2，故弦长为4.] 3．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　) A．[－3,1] B．[－1,3] C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[－1，＋∞) 解析：C　[圆(x－a)2＋y2＝2的圆心为(a,0)，半径为，由题意得≤，解得a∈[－3,1]．] 4．过点A(1,2)作圆x2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程是(　　) A．x＝1 B．y＝2 C．x＝2或y＝1 D．x＝1或y＝2 解析：D　[点A(1,2)在圆外，所以切线有两条，做出圆图象，x2＋(y－1)2＝1的圆心为(0,1)，半径为1，根据点A的位置关系，过点A的切线方程为x＝1或y＝2.] 5．直线x＋y－3＝0与圆x2＋y2＝25的位置关系是　________　.(相交，相切，相离) 解析：圆x2＋y2＝25的圆心为(0,0)，半径为5， 点(0,0)到直线x＋y－3＝0的距离＜5， 所以直线x＋y－3＝0与圆x2＋y2＝25相交． 答案：相交 6．直线y＝x＋m与圆x2＋(y＋1)2＝1相切，则m＝　________　. 解析：因为直线y＝x＋m与圆x2＋(y＋1)2＝1相切，所以＝1，即|m＋1|＝2，所以m＝－3或1. 答案：－3或1 7．若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为　________　. 解析：由题意，得kOP＝＝2，则该圆在点P处的切线的斜率为－，所以所求切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0. 答案：x＋2y－5＝0 8．求满足下列条件的圆x2＋y2＝4的切线方程： (1)经过点P(，1); (2)过点Q(3,0)． 解：(1)∵点P(，1)在圆上． ∴所求切线方程为x＋y－4＝0. (2)法一：∵32＋02>4，∴点Q在圆外． 设切线方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0. ∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径， ∴＝2，∴k＝±， ∴所求切线方程为2x±y－6＝0. 法二：设切点为M(x0，y0)，则过点M的切线方程为x0x＋y0y＝4，∵点Q(3,0)在切线上，∴x0＝，① 又M(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，∴x＋y＝4，② 由①②构成的方程组可解得 或 ∴所求切线方程为 x＋y＝4或x－y＝4， 即2x＋y－6＝0或2x－y－6＝0. 9．已知圆C经过坐标原点O和点(4,0)，且圆心在x轴上 (1)求圆C的方程； (2)已知直线l：3x＋4y－11＝0与圆C相交于A、B两点，求所得弦长|AB|的值． 解：(1)由题意可得，圆心为(2,0)，半径为2.则圆的方程为(x－2)2＋y2＝4. (2)由(1)可知：圆C半径为r＝2，设圆心(2,0)到l的距离为d，则d＝＝1，由垂径定理得|AB|＝2＝2. [能力提升] 10．过点P(4,1)作圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝4的切线，则切线方程为(　　) A．3x－4y－8＝0 B．3x－4y－8＝0或x＝4 C．3x＋4y－8＝0 D．3x＋4y－8＝0或x＝4 解析：B　[若切线的斜率不存在，则过P的直线为x＝4， 此时圆心C(2，－3)到此直线的距离为2，即为圆的半径，故直线x＝4为圆的切线． 若切线的斜率存在，设切线方程为y＝k(x－4)＋1，即kx－y＋1－4k＝0， 故2＝，解得k＝， 故此时切线方程为3x－4y－8＝0.] 11．已知直线l：y＝x被圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝r2(r＞0)截得的弦长为2，则r＝(　　) A. B. C．3 D．4 解析：A　[圆心到直线的距离d＝＝，弦长的一半为1，r＝＝.] 12．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0关于直线3x－ay－11＝0对称，则圆C中以为中点的弦长为(　　 ) A．1　　 B．2　　 C．3　　 D．4 解析：D　[依题意可知直线过圆心(1，－2)， 即3＋2a－11＝0，a＝4. 故＝(1，－1)．圆方程配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝5，(1，－1)与圆心距离为1，故弦长为2＝4.] 13．以点(2，－1)为圆心且与直线3x＋4y－7＝0相切的圆的标准方程是　________　. 解析：设圆心(2，－1)到直线3x＋4y－7＝0的距离为d， 则d＝＝1， 因为圆与直线相切，则r＝d＝1， 所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1. 答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝1 14．已知直线l：y＝kx－1与圆C：x2＋y2－4x＋3＝0相切，则正实数k的值为　________　. 解析：l：y＝kx－1⇒kx－1－y＝0， C：x2＋y2－4x＋3＝0⇒(x－2)2＋y2＝1， 圆心为(2,0)，r＝1， 直线与圆相切可得＝1， 解得k＝或k＝0，所以正实数k的值为. 答案： 15．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)． (1)求证：不论m取什么实数，直线l与圆C恒交于两点； (2)求直线被圆C截得的弦长最小时的l的方程． 解：(1)证明：l的方程可化为(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0(m∈R)， 由解得 即l恒过定点A(3,1)． 因为圆心为C(1,2)，|AC|＝<5(半径)， 所以点A在圆C内， 从而直线l与圆C恒交于两点． (2)由题意可知弦长最小时，l⊥AC. 因为kAC＝－，所以l的斜率为2. 又l过点A(3,1)， 所以l的方程为2x－y－5＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$ [基础过关] 1．直线x－y＋4＝0与圆x2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　) A．相离　　　　　 B．相交 C．相切 D．相交或相切 解析：A　[因为圆x2＋(y－1)2＝1的圆心坐标为(0,1)，半径为1. 所以圆心(0,1)到直线x－y＋4＝0的距离为＝＞1，所以直线x－y＋4＝0与圆x2＋(y－1)2＝1的位置关系是相离．] 2．直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(　　) A．1 B．2 C．4 D．4 解析：C　[依题意，圆的圆心为(1,2)，半径r＝，圆心到直线的距离d＝＝1，所以结合图形可知弦长的一半为＝2，故弦长为4.] 3．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　) A．[－3,1] B．[－1,3] C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[－1，＋∞) 解析：C　[圆(x－a)2＋y2＝2的圆心为(a,0)，半径为，由题意得≤，解得a∈[－3,1]．] 4．过点A(1,2)作圆x2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程是(　　) A．x＝1 B．y＝2 C．x＝2或y＝1 D．x＝1或y＝2 解析：D　[点A(1,2)在圆外，所以切线有两条，做出圆图象，x2＋(y－1)2＝1的圆心为(0,1)，半径为1，根据点A的位置关系，过点A的切线方程为x＝1或y＝2.] 5．直线x＋y－3＝0与圆x2＋y2＝25的位置关系是　________　.(相交，相切，相离) 解析：圆x2＋y2＝25的圆心为(0,0)，半径为5， 点(0,0)到直线x＋y－3＝0的距离＜5， 所以直线x＋y－3＝0与圆x2＋y2＝25相交． 答案：相交 6．直线y＝x＋m与圆x2＋(y＋1)2＝1相切，则m＝　________　. 解析：因为直线y＝x＋m与圆x2＋(y＋1)2＝1相切，所以＝1，即|m＋1|＝2，所以m＝－3或1. 答案：－3或1 7．若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为　________　. 解析：由题意，得kOP＝＝2，则该圆在点P处的切线的斜率为－，所以所求切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0. 答案：x＋2y－5＝0 8．求满足下列条件的圆x2＋y2＝4的切线方程： (1)经过点P(，1); (2)过点Q(3,0)． 解：(1)∵点P(，1)在圆上． ∴所求切线方程为x＋y－4＝0. (2)法一：∵32＋02>4，∴点Q在圆外． 设切线方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0. ∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径， ∴＝2，∴k＝±， ∴所求切线方程为2x±y－6＝0. 法二：设切点为M(x0，y0)，则过点M的切线方程为x0x＋y0y＝4，∵点Q(3,0)在切线上，∴x0＝，① 又M(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，∴x＋y＝4，② 由①②构成的方程组可解得 或 ∴所求切线方程为 x＋y＝4或x－y＝4， 即2x＋y－6＝0或2x－y－6＝0. 9．已知圆C经过坐标原点O和点(4,0)，且圆心在x轴上 (1)求圆C的方程； (2)已知直线l：3x＋4y－11＝0与圆C相交于A、B两点，求所得弦长|AB|的值． 解：(1)由题意可得，圆心为(2,0)，半径为2.则圆的方程为(x－2)2＋y2＝4. (2)由(1)可知：圆C半径为r＝2，设圆心(2,0)到l的距离为d，则d＝＝1，由垂径定理得|AB|＝2＝2. [能力提升] 10．过点P(4,1)作圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝4的切线，则切线方程为(　　) A．3x－4y－8＝0 B．3x－4y－8＝0或x＝4 C．3x＋4y－8＝0 D．3x＋4y－8＝0或x＝4 解析：B　[若切线的斜率不存在，则过P的直线为x＝4， 此时圆心C(2，－3)到此直线的距离为2，即为圆的半径，故直线x＝4为圆的切线． 若切线的斜率存在，设切线方程为y＝k(x－4)＋1，即kx－y＋1－4k＝0， 故2＝，解得k＝， 故此时切线方程为3x－4y－8＝0.] 11．已知直线l：y＝x被圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝r2(r＞0)截得的弦长为2，则r＝(　　) A. B. C．3 D．4 解析：A　[圆心到直线的距离d＝＝，弦长的一半为1，r＝＝.] 12．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0关于直线3x－ay－11＝0对称，则圆C中以为中点的弦长为(　　 ) A．1　　 B．2　　 C．3　　 D．4 解析：D　[依题意可知直线过圆心(1，－2)， 即3＋2a－11＝0，a＝4. 故＝(1，－1)．圆方程配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝5，(1，－1)与圆心距离为1，故弦长为2＝4.] 13．以点(2，－1)为圆心且与直线3x＋4y－7＝0相切的圆的标准方程是　________　. 解析：设圆心(2，－1)到直线3x＋4y－7＝0的距离为d， 则d＝＝1， 因为圆与直线相切，则r＝d＝1， 所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1. 答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝1 14．已知直线l：y＝kx－1与圆C：x2＋y2－4x＋3＝0相切，则正实数k的值为　________　. 解析：l：y＝kx－1⇒kx－1－y＝0， C：x2＋y2－4x＋3＝0⇒(x－2)2＋y2＝1， 圆心为(2,0)，r＝1， 直线与圆相切可得＝1， 解得k＝或k＝0，所以正实数k的值为. 答案： 15．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)． (1)求证：不论m取什么实数，直线l与圆C恒交于两点； (2)求直线被圆C截得的弦长最小时的l的方程． 解：(1)证明：l的方程可化为(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0(m∈R)， 由解得 即l恒过定点A(3,1)． 因为圆心为C(1,2)，|AC|＝<5(半径)， 所以点A在圆C内， 从而直线l与圆C恒交于两点． (2)由题意可知弦长最小时，l⊥AC. 因为kAC＝－，所以l的斜率为2. 又l过点A(3,1)， 所以l的方程为2x－y－5＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$6.4　直线与圆的位置关系 第六章　直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第六章 直线和圆的方程 数学基础模块（RJ下） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 课程标准 素养解读 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离； 2．会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系； 3．掌握圆的切线方程的求法及直线与圆相交时弦长的求法 通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象、数学抽象的数学素养 “海上生明月，天涯共此时。”，表达了诗人望月怀人的深厚情谊．在海天交于一线的天际，一轮明月慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着迷人的风采． 这个过程中，月亮看作一个圆，海天交线看作一条直线，月出的过程中也体现了直线与圆的三种位置关系：相交、相切和相离． 在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系，前面我们学习了直线的方程，圆的方程，已经用方程研究两条直线的位置关系，下面我们根据用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线与圆的方程通过定量计算研究直线与圆的位置关系． [知识点一]　直线与圆有三种位置关系　 位置关系 交点个数 相交 有　两个　公共点 相切 只有　一个　公共点 相离 　没有　公共点 [知识点二]　直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断　 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 两个 一个 零个 判 定 方 法 几何法：设圆心到直线的距离d＝eq \f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2)) d＜r d＝r d＞r 代数法：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0,x－a2＋y－b2＝r2)) 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 　用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？ 提示：“几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×” ) (1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．(　　) (2)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切．(　　) (3)若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解．(　　) (4)过半径外端的直线与圆相切．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 解析：B　[圆心(0,0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝eq \f(|－5|,\r(32＋42))＝1.∵d＝r，∴直线与圆相切．] 3．直线x＋2y＝0被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于　________　. 解析：由已知得圆心C(3,1)，半径r＝5.又圆心C到直线l的距离d＝eq \f(|3＋2|,\r(5))＝eq \r(5)，则弦长＝2eq \r(r2－d2)＝4eq \r(5). 答案：4eq \r(5) 直线与圆的位置关系的判断 　已知直线方程为mx－y－m－1＝0，圆的方程为x2＋y2－4x－2y＋1＝0. 当m为何值时，直线与圆 (1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点． [思路点拨]　可联立方程组，由方程组解的个数判断，也可求出圆心到直线的距离，通过与半径比较大小判断． [解]　法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程，化简、整理， 得(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0. ∵Δ＝4m(3m＋4)， (1)当Δ>0，即m>0或m<－eq \f(4,3)时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点． (2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－eq \f(4,3)时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点． (3)当Δ<0，即－eq \f(4,3)<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为(2,1)，半径r＝2.圆心(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝eq \f(|2m－1－m－1|,\r(1＋m2))＝eq \f(|m－2|,\r(1＋m2)). (1)当d<2，即m>0或m<－eq \f(4,3)时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点． (2)当d＝2，即m＝0或m＝－eq \f(4,3)时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点． (3)当d>2，即－eq \f(4,3)<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 直线与圆的位置关系的判断方法 直线与圆的位置关系反映在三个方面： 一是点到直线的距离与半径大小的关系； 二是直线与圆的公共点的个数； 三是两方程组成的方程组解的个数． 因此，若给出图形，可根据公共点的个数判断；若给出直线与圆的方程，可选择用几何法或代数法，几何法计算量小，代数法可一同求出交点．解题时可根据条件作出恰当的选择． [变式训练] 1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．相交且直线过圆心 D．相离 解析：B　[∵圆心(0,0)到直线y＝x＋1的距离d＝eq \f(1,\r(1＋1))＝eq \f(\r(2),2)，则0<eq \f(\r(2),2)<1，∴直线与圆相交但直线不过圆心．] 　　　圆的切线方程 　已知圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1，判断过点A(4，－3)与圆C有几条切线，并求切线方程． [思路点拨]　先判断点与圆的位置关系，再利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率，进而求出切线方程． [解]　因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点A在圆外，过点A与圆C有两条切线． (1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k， 则切线方程为y＋3＝k(x－4)． 因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径，半径为1，所以eq \f(|3k－1－3－4k|,\r(k2＋1))＝1，即|k＋4|＝eq \r(k2＋1)， 所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－eq \f(15,8).所以切线方程为y＋3＝－eq \f(15,8)(x－4)，即15x＋8y－36＝0. (2)若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4距离也为1， 这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4. 求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线时，常用几何方法求解： 设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而切线方程即可求出．但要注意，此时的切线有两条，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可通过数形结合求出． [变式训练] 2．过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程为(　　) A．2x－y＋9＝0　　　　 B．2x＋y－9＝0 C．2x＋y＋9＝0 D．2x－y－9＝0 解析：B　[x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1,2)， kPC＝eq \f(1,2)，∴切线的斜率k＝－2，∴切线方程为y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0.] 直线与圆的相交问题 　求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长． [思路点拨]　法一：eq \x(求圆心半径) eq \o(――――→,\s\up17(勾股定理)) eq \x(弦心距，半弦长和半径构成的直角三角形求解) 法二：eq \x(求交点坐标) eq \o(――――――――→,\s\up17(利用两点间距离公式)) eq \x(求弦长) [解]　法一：圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，其圆心坐标为(0,1)，半径r＝eq \r(5). 点(0,1)到直线l的距离为d＝eq \f(|3×0＋1－6|,\r(32＋12))＝eq \f(\r(10),2)，l＝2eq \r(r2－d2)＝eq \r(10)，所以截得的弦长为eq \r(10). 法二：设直线l与圆C交于A、B两点． 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x＋y－6＝0，,x2＋y2－2y－4＝0，))得交点A(1,3)，B(2,0)， 所以弦AB的长为|AB|＝eq \r(2－12＋0－32)＝eq \r(10). 求弦长常用的三种方法 (1)利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)l))2＋d2＝r2解题． (2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长． (3)利用弦长公式，设直线l：y＝kx＋m与圆的两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系求得弦长l＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2]). [变式训练] 3．过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点．若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为　________　. 解析：由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)， 即x＋y－1＝0， 圆心O(0,0)到直线l的距离为d＝eq \f(|－1|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)， 则有|AB|＝2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(8－\f(1,2))＝eq \r(30). 答案：eq \r(30) 1．直线4x－3y＋11＝0与圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的位置关系是(　　) A．相离　　　　　　　 B．相切 C．相交 D．不确定 解析：B　[圆心坐标为(－1，－1)，半径为2， 圆心到直线的距离为eq \f(|3－4＋11|,5)＝2， 所以直线4x－3y＋11＝0与圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4相切．] 2．直线m：x＋y－1＝0被圆M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(　　) A．4　　 B．2eq \r(3)　　　 C.eq \f(1,2)　　　 D.eq \f(1,3) 解析：B　[∵x2＋y2－2x－4y＝0， ∴(x－1)2＋(y－2)2＝5， ∴圆M的圆心坐标为(1,2)，半径为eq \r(5)，又点(1,2)到直线x＋y－1＝0的距离d＝eq \f(|1×1＋1×2－1|,\r(12＋12))＝eq \r(2)，直线m被圆M截得的弦长等于2eq \r(\r(5)2－\r(2)2)＝2eq \r(3).] 3．若直线y＝eq \r(2)x与圆(x－a)2＋y2＝2(a＞0)相切，则a＝(　　) A.eq \r(3) B．2 C．3 D．2eq \r(3) 解析：A　[因为圆心坐标为(a,0)，半径为eq \r(2)， 所以该圆心到直线eq \r(2)x－y＝0的距离d＝eq \f(|\r(2)a|,\r(3))＝eq \r(2)，结合a＞0解得a＝eq \r(3).] 4．圆x2＋y2＝4在点P(eq \r(3)，－1)处的切线方程为　________　. 解析：∵(eq \r(3))2＋(－1)2＝4， ∴点P在圆上．∴P为切点． ∵切点与圆心连线的斜率为－eq \f(\r(3),3)， ∴切线的斜率为eq \r(3)， ∴切线方程为y＋1＝eq \r(3)(x－eq \r(3))， 即eq \r(3)x－y－4＝0. 答案：eq \r(3)x－y－4＝0 $$