6.3.2 圆的一般方程（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块 下册同步教案（人教版2021）

[基础过关] 1．圆x2＋y2＋6x－8y＝0的圆心和半径长分别为(　　) A．(3，－4)，25　　　　 B．(3，－4)，5 C．(－3,4)，5 D．(3，－4)，20 解析：C　[由x2＋y2＋6x－8y＝0，得(x＋3)2＋(y－4)2＝25，故圆心为(－3,4)，半径长为5.] 2．圆心是C(2，－3)，且经过原点的圆的一般方程为(　　) A．x2＋y2＋4x－6y＋1＝0 B．x2＋y2－4x＋6y＋1＝0 C．x2＋y2＋4x－6y＝0 D．x2＋y2－4x＋6y＝0 解析：D　[设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为圆C经过原点，所以F＝0，又圆心为(2，－3)，所以D＝－4，E＝6.因此，所求圆的方程是x2＋y2－4x＋6y＝0.] 3．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是(　　) A．R B．(－∞，1) C．(－∞，1] D．[1，＋∞) 解析：B　[∵D2＋E2－4F>0，∴16＋4－20k>0，∴k<1.] 4．方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为(　　) A．－2,4,4 B．－2，－4,4 C．2，－4,4 D．2，－4，－4 解析：A　[配方得(x＋a)2＋2＝a2＋－c，由题知解题故a，b，c的值依次为－2,4,4.] 5．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为(　　) A．－2或2 B.或 C．2或0 D．－2或0 解析：C　[化圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，则由圆心(1,2)到直线x－y＋a＝0的距离为，得＝，∴a＝2或0.] 6．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为　________________　. 解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， 则解得 即圆的方程为x2＋y2－2x＝0. 答案：x2＋y2－2x＝0 7．圆x2＋y2－2x＋4y＝0的面积为　________　. 解析：圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝5， 所以圆的半径r＝，面积为πr2＝5π. 答案：5π 8．已知圆x2＋y2＋ax＋by＝0的圆心坐标为(3,4)，则圆的半径是　________　. 解析：圆x2＋y2＋ax＋by＝0的圆心为＝(3,4)⇒a＝－6，b＝－8， 所以圆的半径为＝5. 答案：5 9．已知圆经过A(2，－3)和B(－2，－5)，若圆心在直线x－2y－3＝0上，求圆的方程． 解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则， 解得. ∴圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0. [能力提升] 10．若圆x2＋y2－mx＋2my＋m2－3m＝0过坐标原点，则实数m的值为(　　) A．0或3 B．－1或－2 C．3 D．0 解析：C　[将(0,0)代入圆的方程，得m2－3m＝0，解得m＝3或0， 当m＝3时，x2＋y2－3x＋6y＝0，满足题意； 当m＝0时，x2＋y2＝0，不满足题意．所以m＝3.] 11．下列方程表示圆的是(　　) A．x2＋y2＋xy－1＝0 B．x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0 C．x2＋y2－3x＋y＋4＝0 D．2x2＋2y2＋4x＋5y＋1＝0 解析：D　[对于A选项，方程x2＋y2＋xy－1＝0中有xy项，该方程不表示圆； 对于B选项，对于方程x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0，∵22＋22－4×2＝0，该方程不表示圆； 对于C选项，对于方程x2＋y2－3x＋y＋4＝0， ∵(－3)2＋12－4×4＜0，该方程不表示圆； 对于D选项，方程2x2＋2y2＋4x＋5y＋1＝0可化为x2＋y2＋2x＋y＋＝0， 因为22＋2－4×＞0，该方程表示圆．] 12．已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，则圆C的圆心的轨迹是(　　) A．点 B．直线 C．线段 D．圆 解析：D　[∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)， ∴(1－a)2＋(0－b)2＝1， ∴(a－1)2＋b2＝1， ∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径的圆．] 13．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是　________　，半径是　________　. 解析：由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2. 当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a＝2时，方程不表示圆． 答案：(－2，－4)　5 14．点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为　________　. 解析：圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标是， 由圆的性质知直线x－y＋1＝0经过圆心， ∴－＋1＋1＝0，得k＝4， 圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为 ＝3，∴该圆的面积为9π. 答案：9π 15．已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程． 解：设点M(x，y)，点P(x0，y0)，则 ∴ ∵点P(x0，y0)在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上， ∴x＋y－8x0－6y0＋21＝0. ∴(2x)2＋(2y)2－8×2x－6×2y＋21＝0， 即点M的轨迹方程为x2＋y2－4x－3y＋＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6．3.2　圆的一般方程 课程标准 素养解读 1.掌握圆的一般方程； 2．了解二元二次方程表示圆的条件 通过学习圆的一般方程，提升逻辑推理、数学运算的数学素养 前面我们已讨论了圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，现将其展开可得：x2＋y2－2ax－2bx＋a2＋b2－r2＝0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式． 请大家思考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示的曲线是不是圆？下面我们来探讨这一方面的问题． [知识点一]　圆的一般方程　 当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程，其中圆心为　C　，半径为r＝　　. 　所有形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程都表示圆吗？ 提示：不是，只有当D2＋E2－4F>0时才表示圆．当D2＋E2－4F＝0时表示点，当D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形． [知识点二]　用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤　 ①根据题意，选择圆的标准方程或圆的一般方程； ②根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组； ③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程．(　　) (2)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程．(　　) 答案：(1)√　(2)√ 2．圆x2＋y2－6x＋4y＝0的圆心坐标是(　　) A．(3,2)　　　　　 B．(3，－2) C．(－3，－2) D．(－3,2) 解析：B　[－＝3，－＝－2，∴圆心坐标是(3，－2)．] 3．圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的半径为2，则m的值为　________　. 解析：∵(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，∴r＝＝2，∴m＝1. 答案：1 　　　圆的一般方程的认识 　判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆．若能表示圆，求出圆心和半径． [思路点拨]　可直接利用D2＋E2－4F>0是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数． [解]　法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0， 可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20， ∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80 ＝20(m－2)2. 因此，当m＝2时，它表示一个点； 当m≠2时，原方程表示圆，此时圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝＝|m－2|. 法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，因此，当m＝2时，它表示一个点；当m≠2时，原方程表示圆，此时圆的圆心为(2m，－m), 半径为r＝|m－2|. 二元二次方程表示圆的判断方法 任何一个圆的方程都可化为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，但形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程不一定表示圆．判断它是否表示圆可以有以下两种方法： (1)计算D2＋E2－4F，若其值为正，则表示圆；若其值为0，则表示一个点；若其值为负，则不表示任何图形． (2)将该方程配方为2＋2＝，根据圆的标准方程来判断． [变式训练] 1．若方程x2＋y2－x＋y＋a＝0表示一个圆，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2]　　　　　 B．(－∞，2) C. D. 解析：C　[由二元二次方程表示圆的条件，知(－1)2＋12－4a＞0，解得a＜.] 　　　求圆的一般方程 　已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径． [思路点拨]　可以先设出圆的一般式方程，用待定系数法求解，也可以先确定圆心和半径，再写出方程． [解]　法一：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， ∵A，B，C在圆上， ∴解得 ∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25. ∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5. 法二：∵kAB＝＝，kAC＝＝－3， ∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC. ∴△ABC是以角A为直角的直角三角形， ∴圆心是线段BC的中点，坐标为(1，－1)， r＝|BC|＝5. ∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25. (1)由圆的标准方程和圆的一般方程可以看出方程都含有三个参数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆； (2)求圆的方程时，若能根据已知条件找出圆心坐标和半径，则可直接写出圆的标准方程，否则可通过圆的标准方程或圆的一般方程用待定系数法求解． [变式训练] 2．求过点A(－1,0)、B(3,0)和C(0,1)的圆的方程． 解：法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(*) 把A、B、C三点坐标代入方程(*)得 ，解得. 故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 法二：线段AB的中垂线方程为x＝1，线段AC的中垂线方程为x＋y＝0， 由，得圆心坐标为M(1，－1)， 半径r＝|MA|＝， ∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 　　　求动点的轨迹方程 　求到点O(0,0)的距离是到点A(3,0)的距离的2倍的点M的轨迹方程． [思路点拨]　先设出M的坐标(x，y)，根据两点间距离公式和距离的关系列式化简即可． [解]　设点M的坐标是(x，y)， 则＝2.∴＝2. 化简，得x2＋y2－12x＋18＝0，即所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝18. 求轨迹方程的三种常用方法 (1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明． (2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程． (3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程． [特别提醒]　在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，故应排除不合适的点． [变式训练] 3．已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求直角顶点C的轨迹方程． 解：法一：设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3，且x≠－1. 又因为kAC＝，kBC＝，且kAC·kBC＝－1， 所以·＝－1，化简， 得x2＋y2－2x－3＝0. 所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1)． 法二：同法一，得x≠3，且x≠－1. 由勾股定理，得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2， 即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16， 化简得x2＋y2－2x－3＝0. 所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1)． 法三：设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D(1,0)． 由直角三角形的性质，知|CD|＝|AB|＝2. 由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，以2为半径长的圆(因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)． 设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1). 1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是(　　) A．一个点　　　　　 B．一个圆 C．一条直线 D．不存在 解析：A　[方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，∴方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2)．] 2．圆x2＋y2－4x＋2y＝0的圆心和半径分别是(　　) A．(2，－1)， B．(2，－1)，5 C．(－2,1)， D．(－2,1)，5 解析：A　[方程x2＋y2－4x＋2y＝0，即(x－2)2＋(y＋1)2＝5，所以圆心为(2，－1)，半径为.] 3．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为(　　) A．－1 B．1 C．3 D．－3 解析：B　[将圆的一般方程化为标准方程得(x＋1)2＋(y－2)2＝5，则圆心为(－1,2)． ∵直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a＝0，∴a＝1.] 4．圆心是(－3,4)，经过点M(5,1)的圆的一般方程为　________________　. 解析：由题意知r＝＝， 所以圆的一般方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝73， 即x2＋y2＋6x－8y－48＝0. 答案：x2＋y2＋6x－8y－48＝0 [基础过关] 1．圆x2＋y2＋6x－8y＝0的圆心和半径长分别为(　　) A．(3，－4)，25　　　　 B．(3，－4)，5 C．(－3,4)，5 D．(3，－4)，20 解析：C　[由x2＋y2＋6x－8y＝0，得(x＋3)2＋(y－4)2＝25，故圆心为(－3,4)，半径长为5.] 2．圆心是C(2，－3)，且经过原点的圆的一般方程为(　　) A．x2＋y2＋4x－6y＋1＝0 B．x2＋y2－4x＋6y＋1＝0 C．x2＋y2＋4x－6y＝0 D．x2＋y2－4x＋6y＝0 解析：D　[设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为圆C经过原点，所以F＝0，又圆心为(2，－3)，所以D＝－4，E＝6.因此，所求圆的方程是x2＋y2－4x＋6y＝0.] 3．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是(　　) A．R B．(－∞，1) C．(－∞，1] D．[1，＋∞) 解析：B　[∵D2＋E2－4F>0，∴16＋4－20k>0，∴k<1.] 4．方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为(　　) A．－2,4,4 B．－2，－4,4 C．2，－4,4 D．2，－4，－4 解析：A　[配方得(x＋a)2＋2＝a2＋－c，由题知解题故a，b，c的值依次为－2,4,4.] 5．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为(　　) A．－2或2 B.或 C．2或0 D．－2或0 解析：C　[化圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，则由圆心(1,2)到直线x－y＋a＝0的距离为，得＝，∴a＝2或0.] 6．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为　________________　. 解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， 则解得 即圆的方程为x2＋y2－2x＝0. 答案：x2＋y2－2x＝0 7．圆x2＋y2－2x＋4y＝0的面积为　________　. 解析：圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝5， 所以圆的半径r＝，面积为πr2＝5π. 答案：5π 8．已知圆x2＋y2＋ax＋by＝0的圆心坐标为(3,4)，则圆的半径是　________　. 解析：圆x2＋y2＋ax＋by＝0的圆心为＝(3,4)⇒a＝－6，b＝－8， 所以圆的半径为＝5. 答案：5 9．已知圆经过A(2，－3)和B(－2，－5)，若圆心在直线x－2y－3＝0上，求圆的方程． 解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则， 解得. ∴圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0. [能力提升] 10．若圆x2＋y2－mx＋2my＋m2－3m＝0过坐标原点，则实数m的值为(　　) A．0或3 B．－1或－2 C．3 D．0 解析：C　[将(0,0)代入圆的方程，得m2－3m＝0，解得m＝3或0， 当m＝3时，x2＋y2－3x＋6y＝0，满足题意； 当m＝0时，x2＋y2＝0，不满足题意．所以m＝3.] 11．下列方程表示圆的是(　　) A．x2＋y2＋xy－1＝0 B．x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0 C．x2＋y2－3x＋y＋4＝0 D．2x2＋2y2＋4x＋5y＋1＝0 解析：D　[对于A选项，方程x2＋y2＋xy－1＝0中有xy项，该方程不表示圆； 对于B选项，对于方程x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0，∵22＋22－4×2＝0，该方程不表示圆； 对于C选项，对于方程x2＋y2－3x＋y＋4＝0， ∵(－3)2＋12－4×4＜0，该方程不表示圆； 对于D选项，方程2x2＋2y2＋4x＋5y＋1＝0可化为x2＋y2＋2x＋y＋＝0， 因为22＋2－4×＞0，该方程表示圆．] 12．已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，则圆C的圆心的轨迹是(　　) A．点 B．直线 C．线段 D．圆 解析：D　[∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)， ∴(1－a)2＋(0－b)2＝1， ∴(a－1)2＋b2＝1， ∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径的圆．] 13．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是　________　，半径是　________　. 解析：由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2. 当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a＝2时，方程不表示圆． 答案：(－2，－4)　5 14．点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为　________　. 解析：圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标是， 由圆的性质知直线x－y＋1＝0经过圆心， ∴－＋1＋1＝0，得k＝4， 圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为 ＝3，∴该圆的面积为9π. 答案：9π 15．已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程． 解：设点M(x，y)，点P(x0，y0)，则 ∴ ∵点P(x0，y0)在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上， ∴x＋y－8x0－6y0＋21＝0. ∴(2x)2＋(2y)2－8×2x－6×2y＋21＝0， 即点M的轨迹方程为x2＋y2－4x－3y＋＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$6.3.2　圆的一般方程 第六章　直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第六章 直线和圆的方程 数学基础模块（RJ下） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 课程标准 素养解读 1.掌握圆的一般方程； 2．了解二元二次方程表示圆的条件 通过学习圆的一般方程，提升逻辑推理、数学运算的数学素养 前面我们已讨论了圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，现将其展开可得：x2＋y2－2ax－2bx＋a2＋b2－r2＝0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式． 请大家思考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示的曲线是不是圆？下面我们来探讨这一方面的问题． [知识点一]　圆的一般方程　 当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程，其中圆心为　Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))　，半径为r＝　eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F)　. 　所有形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程都表示圆吗？ 提示：不是，只有当D2＋E2－4F>0时才表示圆．当D2＋E2－4F＝0时表示点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，当D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形． [知识点二]　用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤　 ①根据题意，选择圆的标准方程或圆的一般方程； ②根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组； ③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程．(　　) (2)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程．(　　) 答案：(1)√　(2)√ 2．圆x2＋y2－6x＋4y＝0的圆心坐标是(　　) A．(3,2)　　　　　 B．(3，－2) C．(－3，－2) D．(－3,2) 解析：B　[－eq \f(D,2)＝3，－eq \f(E,2)＝－2，∴圆心坐标是(3，－2)．] 3．圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的半径为2，则m的值为　________　. 解析：∵(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，∴r＝eq \r(5－m)＝2，∴m＝1. 答案：1 圆的一般方程的认识 　判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆．若能表示圆，求出圆心和半径． [思路点拨]　可直接利用D2＋E2－4F>0是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数． [解]　法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0， 可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20， ∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80 ＝20(m－2)2. 因此，当m＝2时，它表示一个点； 当m≠2时，原方程表示圆，此时圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F)＝eq \r(5)|m－2|. 法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，因此，当m＝2时，它表示一个点；当m≠2时，原方程表示圆，此时圆的圆心为(2m，－m), 半径为r＝eq \r(5)|m－2|. 二元二次方程表示圆的判断方法 任何一个圆的方程都可化为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，但形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程不一定表示圆．判断它是否表示圆可以有以下两种方法： (1)计算D2＋E2－4F，若其值为正，则表示圆；若其值为0，则表示一个点；若其值为负，则不表示任何图形． (2)将该方程配方为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(D,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(E,2)))2＝eq \f(D2＋E2－4F,4)，根据圆的标准方程来判断． [变式训练] 1．若方程x2＋y2－x＋y＋a＝0表示一个圆，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2]　　　　　 B．(－∞，2) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) 解析：C　[由二元二次方程表示圆的条件，知(－1)2＋12－4a＞0，解得a＜eq \f(1,2).] 求圆的一般方程 　已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径． [思路点拨]　可以先设出圆的一般式方程，用待定系数法求解，也可以先确定圆心和半径，再写出方程． [解]　法一：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， ∵A，B，C在圆上， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＋16＋D＋4E＋F＝0，,4＋9－2D＋3E＋F＝0，,16＋25＋4D－5E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝2，,F＝－23，)) ∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25. ∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5. 法二：∵kAB＝eq \f(4－3,1＋2)＝eq \f(1,3)，kAC＝eq \f(4＋5,1－4)＝－3， ∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC. ∴△ABC是以角A为直角的直角三角形， ∴圆心是线段BC的中点，坐标为(1，－1)， r＝eq \f(1,2)|BC|＝5. ∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25. (1)由圆的标准方程和圆的一般方程可以看出方程都含有三个参数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆； (2)求圆的方程时，若能根据已知条件找出圆心坐标和半径，则可直接写出圆的标准方程，否则可通过圆的标准方程或圆的一般方程用待定系数法求解． [变式训练] 2．求过点A(－1,0)、B(3,0)和C(0,1)的圆的方程． 解：法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(*) 把A、B、C三点坐标代入方程(*)得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－D＋F＝0,9＋3D＋F＝0,1＋E＋F＝0))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝－2,E＝2,F＝－3)). 故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 法二：线段AB的中垂线方程为x＝1，线段AC的中垂线方程为x＋y＝0， 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1,x＋y＝0))，得圆心坐标为M(1，－1)， 半径r＝|MA|＝eq \r(5)， ∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 求动点的轨迹方程 　求到点O(0,0)的距离是到点A(3,0)的距离的2倍的点M的轨迹方程． [思路点拨]　先设出M的坐标(x，y)，根据两点间距离公式和距离的关系列式化简即可． [解]　设点M的坐标是(x，y)， 则eq \f(|MO|,|MA|)＝2.∴eq \f(\r(x2＋y2),\r(x－32＋y2))＝2. 化简，得x2＋y2－12x＋18＝0，即所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝18. 求轨迹方程的三种常用方法 (1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明． (2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程． (3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程． [特别提醒]　在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，故应排除不合适的点． [变式训练] 3．已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求直角顶点C的轨迹方程． 解：法一：设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3，且x≠－1. 又因为kAC＝eq \f(y,x＋1)，kBC＝eq \f(y,x－3)，且kAC·kBC＝－1， 所以eq \f(y,x＋1)·eq \f(y,x－3)＝－1，化简， 得x2＋y2－2x－3＝0. 所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1)． 法二：同法一，得x≠3，且x≠－1. 由勾股定理，得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2， 即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16， 化简得x2＋y2－2x－3＝0. 所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1)． 法三：设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D(1,0)． 由直角三角形的性质，知|CD|＝eq \f(1,2)|AB|＝2. 由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，以2为半径长的圆(因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)． 设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1). 1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是(　　) A．一个点　　　　　 B．一个圆 C．一条直线 D．不存在 解析：A　[方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，∴方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2)．] 2．圆x2＋y2－4x＋2y＝0的圆心和半径分别是(　　) A．(2，－1)，eq \r(5) B．(2，－1)，5 C．(－2,1)，eq \r(5) D．(－2,1)，5 解析：A　[方程x2＋y2－4x＋2y＝0，即(x－2)2＋(y＋1)2＝5，所以圆心为(2，－1)，半径为eq \r(5).] 3．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为(　　) A．－1 B．1 C．3 D．－3 解析：B　[将圆的一般方程化为标准方程得(x＋1)2＋(y－2)2＝5，则圆心为(－1,2)． ∵直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a＝0，∴a＝1.] 4．圆心是(－3,4)，经过点M(5,1)的圆的一般方程为_____________. 解析：由题意知r＝eq \r([5－－3]2＋4－12)＝eq \r(73)， 所以圆的一般方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝73， 即x2＋y2＋6x－8y－48＝0. 答案：x2＋y2＋6x－8y－48＝0 $$