6.1.2 平面直角坐标系中的距离公式与中点公式（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块 下册同步教案（人教版2021）

6.1.2　平面直角坐标系中的距离公式与中点公式 第六章　直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第六章 直线和圆的方程 数学基础模块（RJ下） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 　 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 　 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 课程标准 素养解读 1.掌握两点间的距离公式； 2．掌握线段的中点坐标公式 1.通过两点间距离公式和线段的中点坐标公式的学习，培养逻辑推理和直观想象的数学素养； 2．体验“数形结合”研究问题的便捷，感受科学思维方法 围棋起源于中国．如果把围棋的棋盘看作平面直角坐标系，黑白棋子所落的位置，可以用点坐标表示．棋盘上两枚棋子之间间隔大小和中位所在，对应的就是平面直角坐标系上两点间的距离和线段的中点． 在平面直角坐标系中，每个点对应着一对有序实数对，即每个点都有坐标，那么两点间的距离与它们的坐标又有着怎样的关系呢？ [知识点一]　平面直角坐标系中的距离公式　 (1)公式：平面直角坐标系中A(x1，y1)，B(x2，y2)两点的距离公式：|AB|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12). (2)两点间距离的特殊情况 ①原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝　eq \r(x2＋y2)　. ②当AB∥x轴(y1＝y2)时，|AB|＝　|x2－x1|　. ③当AB∥y轴(x1＝x2)时，|AB|＝　|y2－y1|　. 　两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|AB|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22)的形式？ 提示：可以，原因是eq \r(x2－x12＋y2－y12)＝eq \r(x1－x22＋y1－y22)，也就是说公式中A，B两点的位置没有先后之分． [知识点二]　平面直角坐标系中的中点坐标　 设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面内任意两点，则线段AB中点M(x，y)的坐标为：x＝　eq \f(x1＋x2,2)　，y＝　eq \f(y1＋y2,2)　. 1．已知点A(2,4)，B(5,4)，那么A，B两点之间的距离等于(　　) A．8　　　 B．6 　　 C．3　 　 D．0 解析：C　[由点A(2,4)，B(5,4)，得|AB|＝eq \r(2－52＋4－42)＝3， 所以A，B两点之间的距离等于3.] 2．已知线段AB的端点A(3,4)及中点O(0,3)，则点B的坐标为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(7,2))) B．(－3,2) C．(3,2) D．(3,10) 解析：B　[设B(x，y)，AB的端点A(3,4)及中点O(0,3)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0＝\f(3＋x,2),3＝\f(4＋y,2)))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－3,y＝2))，故点B的坐标为(－3,2)．] 3．已知点A(2,3)和B(－4,1)，则线段AB的长及中点坐标分别是(　　) A．2eq \r(10)，(1,2) B．2eq \r(10)，(－1，－2) C．2eq \r(10)，(－1,2) D．2eq \r(10)，(1，－2) 解析：C　[|AB|＝eq \r(－4－22＋1－32)＝2eq \r(10)，中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2－4,2)，\f(3＋1,2)))，即(－1,2)．] 平面上两点间的距离 　已知A(a,3)和B(3,3a＋3)的距离为5，求a的值． [思路点拨]　利用两点间的距离公式列方程解得a的值． [解]　∵|AB|＝eq \r(a－32＋3－3a－32)＝5， 即5a2－3a－8＝0，∴a＝－1或a＝eq \f(8,5). 两点间的距离公式|AB|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22)与两点的先后顺序无关，利用此公式可以将有关的几何问题转化为代数问题进行研究．我们求线段的长度时，常常使用两点间的距离公式． [变式训练] 1．已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为　________　. 解析：设点P的坐标为(x,0)，由|PA|＝10，得eq \r(x－32＋0－62)＝10， 解得x＝11或x＝－5.∴点P的坐标为(－5,0)或(11,0)． 答案：(－5,0)或(11,0) 线段的中点坐标 　已知平面上两点M(－1,0)，N(3,4)，则线段MN的中点R的坐标为(　　) A．(1,2)　　　　　　　 B．(1,4) C．(－2,2) D．(2,4) [思路点拨]　直接带入中点坐标公式求解即可． [解析]　由题意知，中点R的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1＋3,2)，\f(0＋4,2)))，即(1,2)． [答案]　A 　已知直角坐标平面上连接点(－2,5)和点M的线段的中点是(1,0)，则点M到原点的距离为(　　) A．41　　　 B.eq \r(41)　　　 C.eq \r(39)　　 D．39 [思路点拨]　先由中点坐标公式求出M的坐标，再由两点间距离公式求解． [解析]　设M(x，y)，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＝\f(－2＋x,2)，,0＝\f(5＋y,2)，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－5，))即M(4，－5)． 则点M到原点的距离为eq \r(4－02＋－5－02)＝eq \r(41). [答案]　B [变式训练] 2．若点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是(3,4)，则|AB|的长为(　　) A．10 B．5 C．8 D．6 解析：A　[线段AB的中点为M， 设A(a,0)，B(0，b)⇒Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(b,2)))，所以eq \f(a,2)＝3，eq \f(b,2)＝4⇒a＝6，b＝8，所以A(6,0)，B(0,8)⇒|AB|＝eq \r(62＋82)＝10.] 1．已知点A(2，－1)，B(a,4)，且|AB|＝eq \r(41)，则a的值为(　　) A．2　　　　　　　　　 B．6 C．－2或－6 D．－2或6 解析：D　[由两点间的距离公式，可得|AB|＝eq \r(a－22＋4＋12)＝eq \r(41)，解得a＝－2或a＝6.] 2．已知点A(1,5)，点B的坐标是(－1,2)，则AB的中点M的坐标为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,2))) B．(－3，－1) C．(2,3) D．(0,7) 解析：A　[因点A(1,5)，点B(－1,2)，于是得线段AB中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,2)))，所以AB的中点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,2))).] 3．已知△ABC的顶点为A(2,1)，B(－2,3)，C(0，－1)，则AC边上的中线长为(　　) A．3 B．3eq \r(2) C．4 D．4eq \r(2) 解析：B　[设AC的中点为D，因为A(2,1)，C(0，－1)，所以D(1,0)，所以AC边上的中线长BD＝eq \r(－2－12＋3－02)＝3eq \r(2).] 4．已知两点A(－1,0)、B(0，－2)，则|AB|＝　________　，线段AB的中点坐标为　________　. 答案：eq \r(5)　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1)) $$ 6．1.2　平面直角坐标系中的距离公式与中点公式 课程标准 素养解读 1.掌握两点间的距离公式； 2．掌握线段的中点坐标公式 1.通过两点间距离公式和线段的中点坐标公式的学习，培养逻辑推理和直观想象的数学素养； 2．体验“数形结合”研究问题的便捷，感受科学思维方法 围棋起源于中国．如果把围棋的棋盘看作平面直角坐标系，黑白棋子所落的位置，可以用点坐标表示．棋盘上两枚棋子之间间隔大小和中位所在，对应的就是平面直角坐标系上两点间的距离和线段的中点． 在平面直角坐标系中，每个点对应着一对有序实数对，即每个点都有坐标，那么两点间的距离与它们的坐标又有着怎样的关系呢？ [知识点一]　平面直角坐标系中的距离公式　 (1)公式：平面直角坐标系中A(x1，y1)，B(x2，y2)两点的距离公式：|AB|＝. (2)两点间距离的特殊情况 ①原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝　　. ②当AB∥x轴(y1＝y2)时，|AB|＝　|x2－x1|　. ③当AB∥y轴(x1＝x2)时，|AB|＝　|y2－y1|　. 　两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|AB|＝的形式？ 提示：可以，原因是＝，也就是说公式中A，B两点的位置没有先后之分． [知识点二]　平面直角坐标系中的中点坐标　 设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面内任意两点，则线段AB中点M(x，y)的坐标为：x＝　　，y＝　　. 1．已知点A(2,4)，B(5,4)，那么A，B两点之间的距离等于(　　) A．8　　　 B．6 　　 C．3　 　 D．0 解析：C　[由点A(2,4)，B(5,4)，得|AB|＝＝3， 所以A，B两点之间的距离等于3.] 2．已知线段AB的端点A(3,4)及中点O(0,3)，则点B的坐标为(　　) A. B．(－3,2) C．(3,2) D．(3,10) 解析：B　[设B(x，y)，AB的端点A(3,4)及中点O(0,3)，则，解得，故点B的坐标为(－3,2)．] 3．已知点A(2,3)和B(－4,1)，则线段AB的长及中点坐标分别是(　　) A．2，(1,2) B．2，(－1，－2) C．2，(－1,2) D．2，(1，－2) 解析：C　[|AB|＝＝2，中点坐标为，即(－1,2)．] 　 　　平面上两点间的距离 　已知A(a,3)和B(3,3a＋3)的距离为5，求a的值． [思路点拨]　利用两点间的距离公式列方程解得a的值． [解]　∵|AB|＝＝5， 即5a2－3a－8＝0，∴a＝－1或a＝. 两点间的距离公式|AB|＝与两点的先后顺序无关，利用此公式可以将有关的几何问题转化为代数问题进行研究．我们求线段的长度时，常常使用两点间的距离公式． [变式训练] 1．已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为　________　. 解析：设点P的坐标为(x,0)，由|PA|＝10，得＝10， 解得x＝11或x＝－5.∴点P的坐标为(－5,0)或(11,0)． 答案：(－5,0)或(11,0) 　 　　线段的中点坐标 　已知平面上两点M(－1,0)，N(3,4)，则线段MN的中点R的坐标为(　　) A．(1,2)　　　　　　　 B．(1,4) C．(－2,2) D．(2,4) [思路点拨]　直接带入中点坐标公式求解即可． [解析]　由题意知，中点R的坐标为，即(1,2)． [答案]　A 　已知直角坐标平面上连接点(－2,5)和点M的线段的中点是(1,0)，则点M到原点的距离为(　　) A．41　　　 B.　　　 C.　　 D．39 [思路点拨]　先由中点坐标公式求出M的坐标，再由两点间距离公式求解． [解析]　设M(x，y)，由题意得 解得即M(4，－5)． 则点M到原点的距离为＝. [答案]　B [变式训练] 2．若点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是(3,4)，则|AB|的长为(　　) A．10 B．5 C．8 D．6 解析：A　[线段AB的中点为M， 设A(a,0)，B(0，b)⇒M，所以＝3，＝4⇒a＝6，b＝8，所以A(6,0)，B(0,8)⇒|AB|＝＝10.] 1．已知点A(2，－1)，B(a,4)，且|AB|＝，则a的值为(　　) A．2　　　　　　　　　 B．6 C．－2或－6 D．－2或6 解析：D　[由两点间的距离公式，可得|AB|＝＝，解得a＝－2或a＝6.] 2．已知点A(1,5)，点B的坐标是(－1,2)，则AB的中点M的坐标为(　　) A. B．(－3，－1) C．(2,3) D．(0,7) 解析：A　[因点A(1,5)，点B(－1,2)，于是得线段AB中点坐标为，所以AB的中点M的坐标为.] 3．已知△ABC的顶点为A(2,1)，B(－2,3)，C(0，－1)，则AC边上的中线长为(　　) A．3 B．3 C．4 D．4 解析：B　[设AC的中点为D，因为A(2,1)，C(0，－1)，所以D(1,0)，所以AC边上的中线长BD＝＝3.] 4．已知两点A(－1,0)、B(0，－2)，则|AB|＝　________　，线段AB的中点坐标为　________　. 答案：　 [基础过关] 1．已知A(a,2)，B(－2，－3)，C(1,6)三点，且|AB|＝|AC|，则实数a的值为(　　) A．－2　　 B．－1　　 C．1　　 D．2 解析：A　[由两点间的距离公式及|AB|＝|AC|，可得＝， 解得a＝－2.] 2．点M(1,2)关于y轴的对称点N到原点的距离为(　　) A．2 B．1 C. D．5 解析：C　[N(－1,2)，|ON|＝＝.] 3．若平行四边形ABCD的两个顶点A、C的坐标分别为(0，－3)(6，－1)，则其对角线交点O的坐标为(　　) A．(－3,2) B．(3，－2) C．(－2,3) D．(2，－3) 解析：B　[对角线交点O为AC的中点，由两点间的距离公式可得O点坐标为(3，－2)．] 4．△ABC三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)，B(2,2)，C(4，－2)，则三角形AB边上的中线长为(　　) A. B. C. D. 解析：A　[AB的中点D的坐标为D(－1，－1)． ∴|CD|＝＝.] 5．已知点M(m，－1)，N(5，m)，且|MN|＝2，则实数m等于(　　) A．1 B．3 C．1或3 D．－1或3 解析：C　[因为|MN|＝＝，所以＝2，即m2－4m＋3＝0，解得m＝1或m＝3.] 6．点P(3,2)关于点Q(1,4)的对称点M为　________　. 解析：设M(x，y)，则＝1，＝4，∴x＝－1，y＝6，∴点M(－1,6)． 答案：(－1,6) 7．点P(－2,5)为平面直角坐标系内一点，线段PM的中点是(1,0)，那么点M的坐标为　________　. 解析：设M(x，y)，由中点坐标公式得＝1，＝0，解得x＝4，y＝－5. 所以点M(4，－5)． 答案：(4，－5) 8．已知A(2,1)，B(－1，b)，|AB|＝5，则b＝　________　. 解析：由两点间的距离公式知|AB|＝＝， 由5＝，解得b＝－3或b＝5. 答案：－3或5 9．求连接下列两点的线段的长度和中点坐标： (1)A(7,4)，B(3,2)； (2)M(3,1)，N(2,1)； (3)P(6，－4)，Q(－2，－2)． 解：(1)由两点间距离公式知|AB|＝＝2，中点坐标为＝(5,3)． (2)由两点间距离公式知|MN|＝＝1，中点坐标为＝. (3)由两点间距离公式知|PQ|＝＝2，中点坐标为＝(2，－3)． [能力提升] 10．一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A(2,1)，则它的另一个端点B的坐标为(　　) A．(－3,1)或(7,1) B．(2，－2)或(2,7) C．(－3,1)或(5,1) D．(2，－3)或(2,5) 解析：A　[∵AB∥x轴，∴设B(a,1)，又|AB|＝5，∴a＝－3或7.] 11．以点A(－3,0)，B(3，－2)，C(－1,2)为顶点的三角形是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是 解析：C　[|AB|＝＝2， |BC|＝＝4， |AC|＝＝2， |AC|2＋|BC|2＝|AB|2， 所以三角形ABC是直角三角形．] 12．已知A(1，－1)，B(a,3)，C(4,5)，且|AB|＝|BC|，则a＝　________　. 解析：由|AB|＝|BC|，可得＝，解得a＝. 答案： 13．若等腰三角形ABC的顶点A(3,0)，底边BC的长为4，BC边的中点为D(5,4)，求等腰三角形ABC的腰长为　________　. 解析：因为|AD|＝＝2. 在Rt△ABD中，由勾股定理得|AB|＝＝＝2. 所以等腰三角形ABC的腰长为2. 答案：2 14．已知点A(－3,4)，B(2，)，在x轴上找一点P使得|PA|＝|PB|，并求出|PA|的值． 解：设P(x,0)，则|PA|＝ ＝， |PB|＝＝， 由|PA|＝|PB|，得＝. 解得x＝－，所以P，则|PA|＝. 15．已知点A(1,1)，B(5,3)，C(0,3)，求证：△ABC为直角三角形． 解：由点A(1,1)，B(5,3)，C(0,3)， 得|AB|＝＝2， |AC|＝＝， |BC|＝＝5， 从而得|AB|2＋|AC|2＝(2)2＋()2＝25 ＝|BC|2， 所以△ABC为直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$ [基础过关] 1．已知A(a,2)，B(－2，－3)，C(1,6)三点，且|AB|＝|AC|，则实数a的值为(　　) A．－2　　 B．－1　　 C．1　　 D．2 解析：A　[由两点间的距离公式及|AB|＝|AC|，可得＝， 解得a＝－2.] 2．点M(1,2)关于y轴的对称点N到原点的距离为(　　) A．2 B．1 C. D．5 解析：C　[N(－1,2)，|ON|＝＝.] 3．若平行四边形ABCD的两个顶点A、C的坐标分别为(0，－3)(6，－1)，则其对角线交点O的坐标为(　　) A．(－3,2) B．(3，－2) C．(－2,3) D．(2，－3) 解析：B　[对角线交点O为AC的中点，由两点间的距离公式可得O点坐标为(3，－2)．] 4．△ABC三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)，B(2,2)，C(4，－2)，则三角形AB边上的中线长为(　　) A. B. C. D. 解析：A　[AB的中点D的坐标为D(－1，－1)． ∴|CD|＝＝.] 5．已知点M(m，－1)，N(5，m)，且|MN|＝2，则实数m等于(　　) A．1 B．3 C．1或3 D．－1或3 解析：C　[因为|MN|＝＝，所以＝2，即m2－4m＋3＝0，解得m＝1或m＝3.] 6．点P(3,2)关于点Q(1,4)的对称点M为　________　. 解析：设M(x，y)，则＝1，＝4，∴x＝－1，y＝6，∴点M(－1,6)． 答案：(－1,6) 7．点P(－2,5)为平面直角坐标系内一点，线段PM的中点是(1,0)，那么点M的坐标为　________　. 解析：设M(x，y)，由中点坐标公式得＝1，＝0，解得x＝4，y＝－5. 所以点M(4，－5)． 答案：(4，－5) 8．已知A(2,1)，B(－1，b)，|AB|＝5，则b＝　________　. 解析：由两点间的距离公式知|AB|＝＝， 由5＝，解得b＝－3或b＝5. 答案：－3或5 9．求连接下列两点的线段的长度和中点坐标： (1)A(7,4)，B(3,2)； (2)M(3,1)，N(2,1)； (3)P(6，－4)，Q(－2，－2)． 解：(1)由两点间距离公式知|AB|＝＝2，中点坐标为＝(5,3)． (2)由两点间距离公式知|MN|＝＝1，中点坐标为＝. (3)由两点间距离公式知|PQ|＝＝2，中点坐标为＝(2，－3)． [能力提升] 10．一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A(2,1)，则它的另一个端点B的坐标为(　　) A．(－3,1)或(7,1) B．(2，－2)或(2,7) C．(－3,1)或(5,1) D．(2，－3)或(2,5) 解析：A　[∵AB∥x轴，∴设B(a,1)，又|AB|＝5，∴a＝－3或7.] 11．以点A(－3,0)，B(3，－2)，C(－1,2)为顶点的三角形是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是 解析：C　[|AB|＝＝2， |BC|＝＝4， |AC|＝＝2， |AC|2＋|BC|2＝|AB|2， 所以三角形ABC是直角三角形．] 12．已知A(1，－1)，B(a,3)，C(4,5)，且|AB|＝|BC|，则a＝　________　. 解析：由|AB|＝|BC|，可得＝，解得a＝. 答案： 13．若等腰三角形ABC的顶点A(3,0)，底边BC的长为4，BC边的中点为D(5,4)，求等腰三角形ABC的腰长为　________　. 解析：因为|AD|＝＝2. 在Rt△ABD中，由勾股定理得|AB|＝＝＝2. 所以等腰三角形ABC的腰长为2. 答案：2 14．已知点A(－3,4)，B(2，)，在x轴上找一点P使得|PA|＝|PB|，并求出|PA|的值． 解：设P(x,0)，则|PA|＝ ＝， |PB|＝＝， 由|PA|＝|PB|，得＝. 解得x＝－，所以P，则|PA|＝. 15．已知点A(1,1)，B(5,3)，C(0,3)，求证：△ABC为直角三角形． 解：由点A(1,1)，B(5,3)，C(0,3)， 得|AB|＝＝2， |AC|＝＝， |BC|＝＝5， 从而得|AB|2＋|AC|2＝(2)2＋()2＝25 ＝|BC|2， 所以△ABC为直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$