6.1.1 数轴上的距离公式与中点公式（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块 下册同步教案（人教版2021）

6．1　坐标系中的基本公式 6．1.1 　数轴上的距离公式与中点公式 课程标准 素养解读 1.掌握数轴上两点间距离公式； 2．掌握数轴上线段的中点坐标公式 1.通过数轴上两点间距离公式和线段的中点坐标公式的学习，培养逻辑推理和直观想象的数学素养； 2．体验“数形结合”研究问题的便捷，感受科学思维方法 我们知道，数轴上的点与实数是一一对应的． 如图所示的就是一条数轴． 如何定义数轴上点P的位置？ [知识点一]　数轴上点的坐标　 如不特别说明，我们约定数轴水平放置，正方向为从左到右．为了方便起见，如果点P与数x 对应，则称 点P的坐标为　x　，记作　P(x)　. 如图，点P的坐标为　－4.5　，记作　P(－4.5)　，点B的坐标为　－2　，记作　B(－2)　，点A的坐标为　3　，记作　A(3)　. [知识点二]　数轴上两点间的距离公式　 一般地，在数轴上，如果A(x1)，B(x2)，则这两点之间的距离公式为　|AB|＝|x2－x1|　. [知识点三]　数轴上线段中点坐标公式　 一般地，在数轴上，以A(x1)，B(x2)两点为端点的线段中点坐标x满足中点公式：　x＝　. 1．已知点A(1)，B(3)，则|AB|为(　　) A．－2　　 B．2　　 C．4　　 D．－4 解析：B　[根据两点间的距离公式可知，|AB|＝|3－1|＝2.] 2．已知点A(2)，B(－3)，则|AB|为(　　) A．－5 B．5 C．－1 D．1 解析：B　[根据两点间的距离公式可知，|AB|＝|－3－2|＝5.] 3．已知点A(－3)，B(7)，则线段AB的中点坐标为(　　) A．－2 B．2 C．－5 D．5 解析：B　[设点M(x)是线段AB的中点，根据线段的中点坐标公式可知，x＝＝2.] 　 求数轴上两点间的距离 　已知点A(－2)，B(4)，C(8)，线段AB、BC的中点分别为E、F，求|AB|，|AC|，|EF|. [思路点拨]　先求出中点坐标，再利用两点之间的距离公式求解． [解]　|AB|＝|－2－4|＝6； |AC|＝|－2－8|＝10； 设点E(x1)，F(x2)，则x1＝＝1，x2＝＝6，故|EF|＝|1－6|＝5. 求数轴上两点间的距离的方法是：先确定点的坐标，然后带入两点间的距离公式，这里常常用到中点公式． [变式训练] 1．已知数轴上两点M(4)，N(－2)，线段MN的中点为P，线段MP的中点为Q，求P，Q两点间的距离． 解：线段MN的中点为P，即P(1)；线段MP的中点为Q，即Q，因此P，Q两点间的距离为＝. 　距离公式的应用 　求满足|x＋1|＋|x－2|＝5的x的值． [思路点拨]　利用距离公式在数轴上的几何意义求解． [解]　|x＋1|＋|x－2|表示数轴上的点P(x)到A(－1)，B(2)的距离之和，由于|AB|＝3，故P(x)不可能在线段AB上，要使P到A，B的距离之和为5，需要P在A的左侧或B的右侧，因此所求P点的坐标x为－2或3. 由距离公式可知|x1－x2|在数轴上的几何意义是点(x1)和点(x2)的距离，结合方程或不等式确定端点坐标，数形结合得结果． [变式训练] 2．不等式|x|＜9的解是(　　) A．x＜9　　　　　 B．x＞－9 C．－9＜x＜9 D．x＞3 解析：C　[先找出满足|x|＝9的点为P(－9)和P(9)，则满足|x|＜9的x应满足－9＜x＜9.] 1．点M(－8)到原点的距离等于(　　) A．8　　 B．4　　 C．0　　 D．－8 解析：A　[由距离公式得：|MO|＝|8－0|＝8.] 2．点A(－2)，B(1)的中点坐标是(　　) A．－1 B．－0.5 C．0 D．3 解析：B　[由中点公式得AB中点为＝－0.5.] 3．方程|x－1|＝1的解为(　　) A．x＝0 B．x＝2 C．x＝0或x＝2 D．x＝1 解析：C　[由距离公式可得x＝0或x＝2.] 4．在数轴上，如果A(x1)，B(x2)，则这两点之间的距离公式为|AB|＝　________　. 解析：由数轴上两点间的距离公式可得结果． 答案：|x2－x1| [基础过关] 1．已知点A(－1)，B(3)，则|AB|为(　　) A．－2　　 B．2　　 C．4　　 D．－4 解析：C　[根据两点间的距离公式可知，|AB|＝|－1－3|＝4.] 2．已知点A(－3)，B(－7)，则线段AB的中点坐标为(　　) A．－2 B．2 C．－5 D．5 解析：C　[设点M(x)是线段AB的中点，根据两点间的距离公式可知，x＝＝－5.] 3．已知点A(3)，B(－3)，线段AB的中点为C，则|AC|为(　　) A．－6 B．6 C．－3 D．3 解析：D　[由中点公式得C(0)，根据两点间的距离公式可知，|AC|＝|0－3|＝3.] 4．不等式|x－2|＞1的解为(　　) A．x＞3 B．x＜1 C．1＜x＜3 D．x＜1或x＞3 解析：D　[先找出满足|x－2|＝1的点为P(1)和P(3)，则满足|x－2|＞1的x应满足x＜1或x＞3.] 5．满足下列条件|x－2|＋|x|＝4的x的值为(　　) A．x＝－1 B．x＝3 C．x＝－1或x＝3 D．x＝0 解析：C　[|x－2|＋|x|表示数轴上的点P(x)到A(0)，B(2)的距离之和，由于|AB|＝2，故P(x)不可能在线段AB上，要使P到A，B的距离之和为4，需要P在A的左侧或B的右侧，因此所求P点的坐标x为－1或3.] 6．若点A(3)，线段AB的中点坐标为5，则点B的坐标为　______　 . 解析：设B(x)，由中点坐标公式：＝5，解得x＝7. 答案：7 7．在数轴上，与原点距离等于3的点的坐标是　______　. 解析：由距离公式可得点的坐标为3或－3. 答案：3或－3 8．满足下列条件|x－1|＋|x＋1|＝4的x的值为　________　 . 解析：|x－1|＋|x＋1|表示数轴上的点P(x)到A(－1)，B(1)的距离之和，由于|AB|＝2，故P(x)不可能在线段AB上，要使P到A，B的距离之和为4，需要P在A的左侧或B的右侧，因此所求P点的坐标x为－2或2. 答案：－2或2 9．在数轴上表示满足下列条件的所有点： (1)－1＜x≤3； (2)|x|≥2. 解：(1) (2) [能力提升] 10．已知点A(3)，B(－3)，C(6)，D(8)，线段AB、CD的中点分别为E、F，则|EF|为(　　) A．－6 B．6 C．－7 D．7 解析：D　[由中点公式得E(0)，F(7)，根据两点间的距离公式可知，|EF|＝|7－0|＝7.] 11．满足条件|x－2|＋|x|＞4的x的值为(　　) A．x＜－1 B．x＞3 C．x＞3或x＜－1 D．－1＜x＜3 解析：C　[先找出满足|x－2|＋|x|＝4的点为P(－1)和P(3)，则满足|x－2|＋|x|＞4的x应满足x＞3或x＜－1.] 12．数轴上到点A(1)的距离与到点B(9)的距离相等的点的坐标为(　　) A．－4 B．4 C．－5 D．5 解析：D　[所求点的坐标为＝5.] 13．数轴上对应代数式(x≠0)值的点的坐标为　________　 . 解析：当x＞0时点的坐标为1；当x＜0时点的坐标为－1. 答案：－1或1 14．满足下列条件|x－2|＋|x|＝2的x的值可以为　______　 .(写出满足条件的一个即可) 解析：|x－2|＋|x|表示数轴上的点P(x)到A(0)，B(2)的距离之和，由于|AB|＝2，故P(x)在线段AB上，故满足0≤x≤2的任何一个x都可以． 答案：1(满足0≤x≤2的任何一个x都可以) 15．在数轴上求某点的坐标，使该点到点A(－9)的距离是到点B(－3)的距离的3倍． 解：设该点的坐标为x，则|x＋9|＝3|x＋3|，所以x＋9＝3(x＋3)或x＋9＝－3(x＋3)，所以x＝0或x＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$ [基础过关] 1．已知点A(－1)，B(3)，则|AB|为(　　) A．－2　　 B．2　　 C．4　　 D．－4 解析：C　[根据两点间的距离公式可知，|AB|＝|－1－3|＝4.] 2．已知点A(－3)，B(－7)，则线段AB的中点坐标为(　　) A．－2 B．2 C．－5 D．5 解析：C　[设点M(x)是线段AB的中点，根据两点间的距离公式可知，x＝＝－5.] 3．已知点A(3)，B(－3)，线段AB的中点为C，则|AC|为(　　) A．－6 B．6 C．－3 D．3 解析：D　[由中点公式得C(0)，根据两点间的距离公式可知，|AC|＝|0－3|＝3.] 4．不等式|x－2|＞1的解为(　　) A．x＞3 B．x＜1 C．1＜x＜3 D．x＜1或x＞3 解析：D　[先找出满足|x－2|＝1的点为P(1)和P(3)，则满足|x－2|＞1的x应满足x＜1或x＞3.] 5．满足下列条件|x－2|＋|x|＝4的x的值为(　　) A．x＝－1 B．x＝3 C．x＝－1或x＝3 D．x＝0 解析：C　[|x－2|＋|x|表示数轴上的点P(x)到A(0)，B(2)的距离之和，由于|AB|＝2，故P(x)不可能在线段AB上，要使P到A，B的距离之和为4，需要P在A的左侧或B的右侧，因此所求P点的坐标x为－1或3.] 6．若点A(3)，线段AB的中点坐标为5，则点B的坐标为　______　 . 解析：设B(x)，由中点坐标公式：＝5，解得x＝7. 答案：7 7．在数轴上，与原点距离等于3的点的坐标是　______　. 解析：由距离公式可得点的坐标为3或－3. 答案：3或－3 8．满足下列条件|x－1|＋|x＋1|＝4的x的值为　________　 . 解析：|x－1|＋|x＋1|表示数轴上的点P(x)到A(－1)，B(1)的距离之和，由于|AB|＝2，故P(x)不可能在线段AB上，要使P到A，B的距离之和为4，需要P在A的左侧或B的右侧，因此所求P点的坐标x为－2或2. 答案：－2或2 9．在数轴上表示满足下列条件的所有点： (1)－1＜x≤3； (2)|x|≥2. 解：(1) (2) [能力提升] 10．已知点A(3)，B(－3)，C(6)，D(8)，线段AB、CD的中点分别为E、F，则|EF|为(　　) A．－6 B．6 C．－7 D．7 解析：D　[由中点公式得E(0)，F(7)，根据两点间的距离公式可知，|EF|＝|7－0|＝7.] 11．满足条件|x－2|＋|x|＞4的x的值为(　　) A．x＜－1 B．x＞3 C．x＞3或x＜－1 D．－1＜x＜3 解析：C　[先找出满足|x－2|＋|x|＝4的点为P(－1)和P(3)，则满足|x－2|＋|x|＞4的x应满足x＞3或x＜－1.] 12．数轴上到点A(1)的距离与到点B(9)的距离相等的点的坐标为(　　) A．－4 B．4 C．－5 D．5 解析：D　[所求点的坐标为＝5.] 13．数轴上对应代数式(x≠0)值的点的坐标为　________　 . 解析：当x＞0时点的坐标为1；当x＜0时点的坐标为－1. 答案：－1或1 14．满足下列条件|x－2|＋|x|＝2的x的值可以为　______　 .(写出满足条件的一个即可) 解析：|x－2|＋|x|表示数轴上的点P(x)到A(0)，B(2)的距离之和，由于|AB|＝2，故P(x)在线段AB上，故满足0≤x≤2的任何一个x都可以． 答案：1(满足0≤x≤2的任何一个x都可以) 15．在数轴上求某点的坐标，使该点到点A(－9)的距离是到点B(－3)的距离的3倍． 解：设该点的坐标为x，则|x＋9|＝3|x＋3|，所以x＋9＝3(x＋3)或x＋9＝－3(x＋3)，所以x＝0或x＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$6.1　坐标系中的基本公式 6.1.1 　数轴上的距离公式与中点公式 第六章　直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第六章 直线和圆的方程 数学基础模块（RJ下） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 　 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RJ下） 第六章 直线和圆的方程 课程标准 素养解读 1.掌握数轴上两点间距离公式； 2．掌握数轴上线段的中点坐标公式 1.通过数轴上两点间距离公式和线段的中点坐标公式的学习，培养逻辑推理和直观想象的数学素养； 2．体验“数形结合”研究问题的便捷，感受科学思维方法 我们知道，数轴上的点与实数是一一对应的． 如图所示的就是一条数轴． 如何定义数轴上点P的位置？ [知识点一]　数轴上点的坐标　 如不特别说明，我们约定数轴水平放置，正方向为从左到右．为了方便起见，如果点P与数x 对应，则称 点P的坐标为　x　，记作　P(x)　. 如图，点P的坐标为　－4.5　，记作　P(－4.5)　，点B的坐标为　－2　，记作　B(－2)　，点A的坐标为　3　，记作　A(3)　. [知识点二]　数轴上两点间的距离公式　 一般地，在数轴上，如果A(x1)，B(x2)，则这两点之间的距离公式为　|AB|＝|x2－x1|　. [知识点三]　数轴上线段中点坐标公式　 一般地，在数轴上，以A(x1)，B(x2)两点为端点的线段中点坐标x满足中点公式：　x＝eq \f(x1＋x2,2)　. 1．已知点A(1)，B(3)，则|AB|为(　　) A．－2　　 B．2　　 C．4　　 D．－4 解析：B　[根据两点间的距离公式可知，|AB|＝|3－1|＝2.] 2．已知点A(2)，B(－3)，则|AB|为(　　) A．－5 B．5 C．－1 D．1 解析：B　[根据两点间的距离公式可知，|AB|＝|－3－2|＝5.] 3．已知点A(－3)，B(7)，则线段AB的中点坐标为(　　) A．－2 B．2 C．－5 D．5 解析：B　[设点M(x)是线段AB的中点，根据线段的中点坐标公式可知，x＝eq \f(－3＋7,2)＝2.] 求数轴上两点间的距离 　已知点A(－2)，B(4)，C(8)，线段AB、BC的中点分别为E、F，求|AB|，|AC|，|EF|. [思路点拨]　先求出中点坐标，再利用两点之间的距离公式求解． [解]　|AB|＝|－2－4|＝6； |AC|＝|－2－8|＝10； 设点E(x1)，F(x2)，则x1＝eq \f(－2＋4,2)＝1，x2＝eq \f(4＋8,2)＝6，故|EF|＝|1－6|＝5. 求数轴上两点间的距离的方法是：先确定点的坐标，然后带入两点间的距离公式，这里常常用到中点公式． [变式训练] 1．已知数轴上两点M(4)，N(－2)，线段MN的中点为P，线段MP的中点为Q，求P，Q两点间的距离． 解：线段MN的中点为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－2,2)))，即P(1)；线段MP的中点为Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4＋1,2)))，即Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))，因此P，Q两点间的距离为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－1))＝eq \f(3,2). 距离公式的应用 　求满足|x＋1|＋|x－2|＝5的x的值． [思路点拨]　利用距离公式在数轴上的几何意义求解． [解]　|x＋1|＋|x－2|表示数轴上的点P(x)到A(－1)，B(2)的距离之和，由于|AB|＝3，故P(x)不可能在线段AB上，要使P到A，B的距离之和为5，需要P在A的左侧或B的右侧，因此所求P点的坐标x为－2或3. 由距离公式可知|x1－x2|在数轴上的几何意义是点(x1)和点(x2)的距离，结合方程或不等式确定端点坐标，数形结合得结果． [变式训练] 2．不等式|x|＜9的解是(　　) A．x＜9　　　　　 B．x＞－9 C．－9＜x＜9 D．x＞3 解析：C　[先找出满足|x|＝9的点为P(－9)和P(9)，则满足|x|＜9的x应满足－9＜x＜9.] 1．点M(－8)到原点的距离等于(　　) A．8　　 B．4　　 C．0　　 D．－8 解析：A　[由距离公式得：|MO|＝|8－0|＝8.] 2．点A(－2)，B(1)的中点坐标是(　　) A．－1 B．－0.5 C．0 D．3 解析：B　[由中点公式得AB中点为eq \f(－2＋1,2)＝－0.5.] 3．方程|x－1|＝1的解为(　　) A．x＝0 B．x＝2 C．x＝0或x＝2 D．x＝1 解析：C　[由距离公式可得x＝0或x＝2.] 4．在数轴上，如果A(x1)，B(x2)，则这两点之间的距离公式为|AB|＝　________　. 解析：由数轴上两点间的距离公式可得结果． 答案：|x2－x1| $$