2025年九年级中考数学三轮重难点-二次函数与面积问题

2025年九年级中考数学三轮重难点-二次函数与面积问题 1．如图，二次函数的图象经过坐标原点，与x轴交于点．    (1)求此二次函数的解析式及点顶点B的坐标； (2)在抛物线上否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长； (2)若的面积与的面积相等，求点的坐标． 3．如图，已知抛物线过点 ， ，且它的对称轴为直线，是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限． (1)求抛物线的解析式； (2)当的面积为15时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，是抛物线上的动点，当的值最大时，求点的坐标及的最大值． 4．如图，抛物线经过两点． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)若在直线下方的抛物线上存在一点P，使得的面积等于1，求P点横坐标； (3)若直线是常数，与抛物线有且只有一个公共点． ①求直线l解析式； ②将直线l向下平移2个单位得到直线，过点A的直线与抛物线的另一个交点为D（异于点B），过点B的直线与抛物线的另一交点为E（异于点A），当直线m，n的交点P在定直线上时，试探究直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，过作轴交抛物线于点 (1)求抛物线解析式； (2)连接并延长交抛物线于点，点为第三象限抛物线上一点，点的横坐标为，连接、，的面积为，求与的函数关系式．（不用写出的取值范围） (3)在（2）的条件下，过作的延长线于点，过作于点，连接，，求的值． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，其中，，为抛物线顶点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点在线段上方抛物线上运动（不含端点、，求的最大值及此时点的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴于、两点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，连接，点在直线上方的抛物线上，过点作的垂线交于点，作轴的平行线交于点．求周长的最大值； (3)将抛物线向上平移2个单位得到抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值之差为8，求的值． 8．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，点C为抛物线与y轴的交点． (1)如图，若该抛物线经过点； ①求抛物线的解析式，并直接写出抛物线与x轴的另一个交点B的坐标； ②连接．若点E为直线上方抛物线上的动点，连接、，则四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点E的横坐标；若不存在，请说明理由． (2)当时，对于任意的正数t，若点，在该抛物线上，则________（填“”“”或“”）； (3)已知点，，若该抛物线与线段恰有一个公共点，求a的取值范围． 9．如图，抛物线与轴交于和B两点，与轴交于点．点D是抛物线的顶点． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，和，求的面积； (3)当时，的最大值是m，最小值是n，且，求t的值． 10．如图，已知二次函数的图象交x轴于点，交y轴于点C． (1)求二次函数的解析式． (2)如图，点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点C运动，同时点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点B运动．设运动时间为．当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ 11．在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，，．抛物线与轴交于点和点． (1)如图，若抛物线过点，求抛物线的表达式； (2)如图，在（）的条件下，连接，线段与抛物线交于点，与交于点，求线段的长； (3)用含的式子表示顶点坐标； 若抛物线与正方形恰有两个交点，直接写出的取值范围． 12．如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②该抛物线上存在点P，使得，请直接写出所有点P的坐标． 13．已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)___________，___________． (2)如图1，点P为直线下方抛物线上一点，连接交于点D，求的最大值． (3)点N是抛物线上一动点，M是直线上一动点，当是以N为直角顶点的等腰直角三角形时，直接写出N的坐标． 14．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于两点，交轴于点， (1)如图1，求抛物线的解析式： (2)如图，为第一象限内抛物线上一点，的面积为，点的横坐标为，求与的函数关系式： (3)如图3，在（2）的条件下，抛物线顶点为，点在的延长线上，连接，过点作垂直于轴于点交于点，若，，求的值． 15．在平面直角坐标系中中，二次函数的图象与轴交于点、（在的左侧），与轴交于点，其顶点的横坐标是． (1) ________， ________； (2)已知一次函数（k为常数）的图象为直线，直线与x轴交于点． ①连接，若，求的取值范围； ②当直线与该抛物线有且只有一个公共点时，在该抛物线上是否存在点，使得直线与所夹的锐角是的2倍？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年九年级中考数学三轮重难点-二次函数与面积问题》参考答案 1．(1)； (2)点P的坐标为或或 【分析】本题考查了二次函数解析式的求法以及利用点的坐标求三角形的面积，同时注意数形结合思想的灵活运用． （1）由于二次函数经过原点和A点，将二点坐标代入，求解即可； （2）由，求得y的值，再将y的值代入解析式求解x，得出P点坐标． 【详解】（1）解：将A、O两点坐标代入解析式，有 ，解得：； ∴此二次函数的解析式为， 变化形式得: ，故顶点坐标； （2）解：假设存在满足条件的点P， 则根据题意得：， 解得：或， 当时，，即， 解得，，即； 当时，， 则； ∴点P的坐标为或或． 2．(1) (2) 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）先求出、的坐标，然后根据两点间距离公式求解即可； （2）先求出顶点的坐标，直线解析式为，过作轴交轴于，轴交于，设，，得出，根据面积相等建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：令， ∴， 解得： ∴， ∴ ∴， （2）过作轴交轴于，轴交于，如图： ， ， 由，得直线解析式为， 设，， 在中，令得， ， ， ； 的面积与的面积相等， 而， ， 解得（舍去）或， 3．(1)抛物线的解析式为； (2)点 的坐标为； (3)点 的坐标为， 的最大值为． 【分析】本题考查二次函数与几何综合，一次函数，三角形三边的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． （1）根据对称轴可得交点坐标，用待定系数法，代入点的坐标，即可得抛物线的解析式； （2）用点的坐标表示线段长度，结合三角形的面积，即可得点的坐标； （3）由三角形三边的关系可得点在直线上，用待定系数法可得直线的解析式，与抛物线的解析式联立，可得点的坐标，由点的坐标求线段长度，即可得的最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线过点 ， ，且它的对称轴为直线 ， ∴抛物线与 轴的另一个交点的坐标为 ． 设抛物线的解析式为，把 代入，得 ，解得 ， ∴， 答：抛物线的解析式为． （2）设点的坐标为 ，直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为； 如图，设直线与抛物线的对称轴交于点，则点的坐标为 ， ∴，， ，， 解得，， ∴， 答：点的坐标为． （3）解：设直线 的解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴直线 的解析式为， 如图，当的值最大时，点，，在同一条直线上， ∵是抛物线上的动点， ∴ ， 解得， 或（舍去）， ∴， 此时，， 答：点的坐标为，的最大值为． 4．(1)抛物线的表达式为 (2)存在，P点横坐标为 (3)①直线l的表达式为；②直线是过定点，该定点的坐标为 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合运用，涉及到根和系数关系的运用、待定系数法求函数表达式、图形的平移等，强大的运算能力是解题的关键． （1）依据题意，由待定系数法即可求解； （2）待定系数法求得直线的解析式为，过作轴交于，设，则，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）①依据题意，直线与抛物线有且只有一个公共点，则，即可求解； ②依据题意，求出点的坐标为：，得到，设直线的表达式为：，得到，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：． （2）解：如图，∵， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 过作轴交于， 设，则， ∵的面积等于 1 ，且点 P 在直线下方， ， 解得：， ∴存在，点横坐标为； （3）解：①由题意，当时，，即点， 将点代入得，即， 则直线的表达式为：， ∵直线与抛物线有且只有一个公共点， 则联立上述两个函数表达式得：， 则， 解得：， 则直线的表达式为：； ②由题意，直线过定点， 理由：直线向下平移 2 个单位得到直线，则直线为：， 联立直线与抛物线的表达式得：， 即， 而，则， 即点， 联立直线与抛物线的表达式得：， 即， 而，则， 即点， 联立直线的表达式得：， 解得：， 则点的坐标为：， ∵点在直线上， 则， 整理得：， 设直线的表达式为：， 则， 解得：， ， 则直线的表达式， ∴当时，， 即直线过定点． 5．(1) (2) (3) 【分析】（1）依题意，，将代入，即可求解； （2）过点作轴，交的延长线于点，求得直线的解析式为，进而联立直线与抛物线解析式得出的坐标为：，根据题意得出，则，进而表示出，根据，即可求解； （3）过点作轴，轴，交于点，设与轴交于点，连接，过点作于点，证明，根据，的坐标为：，得出，则，根据得出，结合已知证明，根据得出，代入数据求得的值，再代入（2）的关系式，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， ∴， 代入得， 解得： ∴ （2）解：如图，过点作轴，交的延长线于点， 设直线的解析式为：，代入 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得： ∴的坐标为： ∵点的横坐标为， ∴，则 ∴ （3）解：如图，过点作轴，轴，交于点，设与轴交于点，连接，过点作于点 ∵ ∴ ∴ ∵，的坐标为：， ∴ 解得： ∴ ∵，的横坐标为，则， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴，则 ∴ ∴ ∴ 则， ， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：（舍）或 ∴ 【点睛】本题考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，面积问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6．(1) (2)的最大值为，此时点的坐标为 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）把抛物线解析式化为顶点式可得；再求出，进而得到直线解析式为；过点E作轴交于F，设，则，则；根据，可得，据此利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解；∵抛物线解析式为， ∴； 当时，解得或， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 如图所示，过点E作轴交于F， 设，则， ∴； ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴的最大值为，此时点的坐标为． 7．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线的对称性质可知点的坐标为，把点和点的坐标代入抛物线，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，设点的坐标是，则点的坐标是，得出，解直角三角形求出，得出，然后根据二次函数的性质求出的最大值即可； （3）先求出平移后的表达式，然后分当时、当时、当时三种情况求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴于、两点，对称轴为直线， 点的横坐标为， 点的坐标为， 把点和点的坐标代入抛物线， 可得：， 解得：， 抛物线的函数表达式是； （2）解：∵抛物线的函数表达式为：， ， 设直线的解析式为， 解得：， 直线的解析式为， 设，则， ， ， ∴， ，轴， ，则， ，则， 的周长为：， 当最大时，的周长有最大值， ， ， 当时，有最大值，最大值为，此时的周长有最大值，最大值为； （3）将抛物线向上平移2个单位得到抛物线， ， 当时，， 当时， 当时，， 当时，， ， （舍），， 当时， 当时，， 当时，， ， 不符合题意，应舍去； 当时， 当时，， 当时，， ， ， 综上可得，． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与几何图形综合，解直角三角形，二次函数的平移等知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 8．(1)①，点B的坐标的坐标为；②存在， (2) (3)或 【分析】（1）①利用待定系数法求出表达式，然后根据对称性求出点B坐标； ②首先求出，所占直线解析式为，如图所示，过点E作轴交x轴于点G，交于点F，设，则，表示出，得到，然后根据二次函数的性质求解即可； （2）首先得到抛物线开口向上，然后判断出点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，即可得到； （3）首先得到抛物线，然后分两种情况讨论：和，然后分别求解即可． 【详解】（1）①∵抛物线的对称轴是直线，经过点 ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为 ∵，对称轴是直线 ∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标的坐标为； ②∵， ∴ ∵ 当时， ∴，即 ∴ 设所占直线解析式为 ∴将代入得， 解得 ∴所占直线解析式为 如图所示，过点E作轴交x轴于点G，交于点F ∵点E为直线上方抛物线上的动点 ∴设，则 ∴ ∴ ∵ ∴当时，由最大值 ∴此时； （2）∵当时， ∴抛物线开口向上 ∵对于任意的正数t，若点，在该抛物线上， ∴， ∵ ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离 ∴； （3）∵抛物线的对称轴是直线 ∴ ∴抛物线 如图所示，当时，抛物线开口向上，当抛物线经过点时， ∴ 解得 ∴若该抛物线与线段恰有一个公共点 ∴； 如图所示，当时，抛物线开口向下，当抛物线的顶点在线段上时，此时抛物线与线段只有一个交点 ∴此时抛物线顶点坐标为 ∴ 解得 综上所述，若该抛物线与线段恰有一个公共点，a的取值范围为或． 【点睛】本题考查抛物线综合，二次函数的性质，抛物线与线段的公共交点问题，掌握抛物线的顶点坐标，二次函数的性质，抛物线与线段的公共交点，掌握二次函数的性质是解题关键． 9．(1) (2) (3)t的值为或2 【分析】（1）将A，C两点坐标代入抛物线解析式中，求出待定系数即可； （2）先求出抛物线的顶点，再求出直线的函数解析式，然后求出直线与y轴交于点，从而可利用求解； （3）先求出抛物线的对称轴，再分，，，四种情况，分别求解，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于和B两点，与轴交于点． ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）∵， ∴抛物线的顶点， 设直线的函数解析式为， ∵，， ∴，解得：， ∴直线的函数解析式为， 当时， ∴直线与y轴交于点， ∴； （3）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ①当，即时，区间在对称轴的左侧，y随x 的增大而增大， ∴当时，y取最大值，即， 当时，y取最小值，即， ∵，即， 解得：；   ②当，，，即时，对称轴在区间内， ∵当时，y取最大值，即． 当时距离对称轴远，y取最小值，， ∵，即， 解得：（舍去）； ③当，，，即时，对称轴在区间内， ∵当时，y 取最大值，即， 当时距离对称轴远，y取最小值，， ∵，即． 解得：（舍去）； ④当时，区间在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴当时，y 取最大值，即， 当时，y取最小值，即， ∵，即． 解得：， 综上所述，t的值为或2． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，利用待定系数法求二次函数解析式，求二次函数的最值等知识点，解题关键是利用待定系数法求出二次函数解析式． 10．(1) (2)当时，最大面积是 【详解】解：（1）将分别代入中，得解得 ∴二次函数的解析式为． （2）如图，过点M作轴于点E，设面积为S． 由题意，得． ． 在中，令，得， ， ， 是等腰直角三角形，． ， ， ． 在中，由勾股定理，得，即， ． ， ∴当时，的面积最大，最大面积是． 11．(1)； (2)； (3)顶点坐标为；或． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）由二次函数性质可得，然后求出直线的表达式，则当时，，即点坐标为；当时，，则点坐标为，从而求出即可； （）四边形是正方形，，则，，由点和点的横坐标为，点和点的横坐标为，则有，然后通过配方即可求出顶点坐标； （）当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，（）当抛物线与直线交点在点下方，且与直线交点在点上方时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得：， ∴； （2）解：令，， ∴， 解得：，， ∴， 设直线的表达式为过点，， ∴， 解得：， ∴， 当时，， ∴点坐标为； 当时，， ∴点坐标为； ∴； （3）解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∴点和点的横坐标为，点和点的横坐标为， 将代入，得， ∴， ∴顶点坐标为； （）如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点， ∴， ∴； （）如图，当抛物线与直线交点在点下方，且与直线交点在点上方时， 与正方形有两个交点，， ∴， 综上，的取值范围为或． 【点睛】本题考查了二次函数、一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，解一元一次不等式组等知识，利用分类讨论的思想，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 12．(1) (2)①；②或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，解题的关键是需要利用分类讨论的思想求解； （1）将点、坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）①利用待定系数法可得直线的解析式为，如图1，过点作轴的平行线交于点，设点，则点，，根据，即可求解； ②分点在直线下方、上方两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：将点、代入抛物线， 得：， 解得：， 该抛物线的表达式为：①； （2）解：①令，得， 解得：，， 点， 设直线的解析式为，将点、的坐标代入得：， 解得：， 直线的解析式为②， 如图1，过点作轴的平行线交于点， 设点，则点， ， ， ， 有最大值，当时，其最大值为，此时； ②， 顶点， 设直线与交于点， 当点在直线下方时， ， 点在的中垂线上， 线段的中点坐标为，过该点与垂直的直线的值为， 设中垂线的表达式为：，将点代入上式得， 解得：， 直线中垂线的表达式为：③， 设直线的解析式为，把，代入得：， 解得：， 直线的解析式为：④， 联立③④得：， 解得：， 点， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为：⑤， 联立①⑤得， 解得：，（舍去）， 故点； 当点在直线上方时， ， ， 则直线的表达式为：，将点坐标代入上式并解得：， 即直线的表达式为：⑥， 联立①⑥并解得：或（舍去， 故点； 综上所述，点的坐标为或． 13．(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）把点，代入抛物线，即可求解； （2）对于抛物线为，令，得到，运用待定系数法求出直线的解析式为．过点P作轴于点Q，交于点E，设（），则，，由，得到，根据二次函数的性质即可求解； （3）设，连接，分两种情况分别求解：①将线段绕着点N逆时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰；②将线段绕着点N顺时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴，解得． 故答案为：， （2）解：∵，， ∴抛物线为， 令，则， ∴， ∴． 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 过点P作轴于点Q，交于点E， 设（），则， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴． ∴当时，有最大值，为． （3）解：∵点N在抛物线上， ∴设． 连接， ①将线段绕着点N逆时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰， 过点N作x轴的垂线，垂足为点F，过点M作于点G， ∵，， ∴，， ∵轴，， ∴， ∴， ∵是以点N为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点M在直线上， ∴ 解得， ∴． ②将线段绕着点N顺时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰， 过点N作x轴的平行线，分别过点A，点M作该平行线的垂线，垂足分别为点Q，点H， ∵，， ∴，， 同①同理可得， ∴，， ∴， ∵点M在直线上， ∴， 解得， ∴或． 综上所述，点N的坐标为或或． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定及性质，二次函数的性质，全等三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． 14．(1) (2) (3) 【分析】（1）先求抛物线与轴交点、坐标，得长度，由确定点坐标，代入抛物线表达式求 （2）设直线解析式，用待定系数法求出，过作辅助线，把面积拆分为两个小三角形面积和，结合点坐标（横坐标）表示出相关线段长度，推导面积表达式． （3）通过作辅助线构造全等三角形，利用三角函数、线段比例关系，结合已知条件列方程求出，代入（2）中函数关系式得 ． 【详解】（1）解：当时， 解得： ∴点坐标为点坐标为 ∴点坐标为 把代入得 拋物线的解析式为 （2）解：设直线的解析式为过点 ， 直线的解析式为 过点作轴于点，交于点，过点作于点 （3）解：连接，过点作交延长线于点，延长至点，使得， 连接， ∴顶点坐标为 ． ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ． ∵，， ∴， ∴ ． ∵、，， ∴，， ∴ ． 在和中： ∴ 由， 得 ， 设 在中由勾股定理得． ， 即 解得 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、一次函数解析式求解、三角形面积计算、全等三角形构造与性质、三角函数应用，熟练掌握二次函数与坐标轴交点求法、函数图象辅助线构造、几何图形性质及代数与几何综合推导是解题的关键． 15．(1)2； (2)①或且；②或 【分析】（1）根据顶点横坐标可得对称轴为直线，再由对称轴计算公式可得b的值，把点C坐标代入解析式即可求出c的值； （2）①先求出，再求出，根据，可得；则可求出且，求出直线恰好经过点，点，点时，k的值即可得到答案； ②联立得，根据直线与该抛物线有且只有一个公共点，可得关于x的方程有两个相等的实数根，则可求出，据此可得到，取，作直线，可证明，得到，则，即可得到直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置；求出直线解析式为，联立，解得或，则此时点P的坐标为；过点D作，过点D作交直线于I，则，，可推出直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置；求出直线解析式为，得到设，由，得到，则，同理可得此时点P的坐标为；综上所述，点P的坐标为或． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点的横坐标是， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于点， ∴； （2）解：①∵， ∴， 由（1）可得抛物线解析式为， 在中，当时，解得或， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴且， 当直线恰好经过点时，则，解得， 当直线恰好经过点时，则，解得， 当直线恰好经过点时，则，解得， ∴当时，或且； ②联立得， ∵直线与该抛物线有且只有一个公共点， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴直线l解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴； 如图所示，取，作直线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴直线与直线所夹的锐角是的2倍， ∴直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 如图所示，过点D作，过点D作交直线于I， ∴， ∴， ∵ ∴直线与直线所夹的锐角是的2倍， ∴直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置； ∵， ∴可设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 同理可得直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，两点距离计算公式，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键在于利用分类讨论的思想求解即可． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$