5.3.3 已知三角函数值求角（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块 上册同步教案（人教版2021）

5．3.3　已知三角函数值求角 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 章末归纳提升 05 第五章 三角函数 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 章末归纳提升 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 [学习目标] 1．掌握利用计算器求角度的方法； 2．了解已知三角函数值，求指定范围内的角的方法； 3．会利用诱导公式求出指定范围内的角． [问题]　如何求出正弦函数y＝sin x与直线y＝eq \f(1,4)在区间[0,2π)上的交点坐标？如图所示； 提示：要求交点坐标，实际上就是求sin x＝eq \f(1,4)，x∈[0,2π)的解，就是已知三角函数值求指定范围内的角． [知识点一]　已知三角函数值求角　 1．已知任意一个角，可以求出它的三角函数值(角必须属于这个函数的定义域)；反之，已知一个三角函数值，也可以求出与它对应的角． 2．对特殊的三角函数值，容易求出指定范围内的角，对一般的三角函数值，则需要借助函数型计算器与诱导公式求出指定范围内的角． 如果要求指定范围内的角，一般需要使用诱导公式． 3．一些常用特殊角的三角函数值 A(rad) 0 eq \f(π,6) eq \f(π,4) eq \f(π,3) eq \f(π,2) π α(°) 0° 30° 45° 60° 90° 180° sin α 0 eq \f(1,2) eq \f(\r(2),2) eq \f(\r(3),2) 1 0 cos α 1 eq \f(\r(3),2) eq \f(\r(2),2) eq \f(1,2) 0 －1 tan α 0 eq \f(\r(3),3) 1 eq \r(3) 不存在 0 [知识点二]　利用函数型计算器求默认的角的范围　 1．已知正弦值求角时，在RAD(以弧度为单位)的计算状态下，计算器默认的角x的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，在DEG(以角度为单位)的计算状态下，计算器默认的角x满足－90°＜x＜90°. 2．已知余弦值求角时，在RAD(以弧度为单位)的计算状态下，计算器默认的角x的范围是[0，π]，在DEG(以角度为单位)的计算状态下，计算器默认的角x满足0°≤x≤180°. 3．已知正切值求角时，在RAD(以弧度为单位)的计算状态下，计算器默认的角x的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，在DEG(以角度为单位)的计算状态下，计算器默认的角x满足－90°＜x＜90°. 1．已知sin x＝eq \f(\r(2),2)，且0≤x≤eq \f(π,2)，则x＝(　　) A.eq \f(π,4)　　　　　　　 B.eq \f(π,6) C.eq \f(π,4)或eq \f(3π,4) D．－eq \f(π,4) 解析：A　[因为sin eq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)， 且0≤x≤eq \f(π,2)，所以x＝eq \f(π,4).] 2．已知tan x＝－1，且0°≤x≤180°，则x＝(　　) A．45°　　B．60°　　　C．135°　　　D．120° 解析：C　[因为tan 135°＝tan(180°－45°)＝－tan 45°＝－1, 且0≤x≤180°，所以x＝135°.] 3．已知cos x＝－eq \f(\r(2),2)，π＜x＜2π，则x＝(　　) A.eq \f(3π,2) B.eq \f(5π,4) C.eq \f(4π,3) D.eq \f(7π,4) 解析：B　[因为x∈(π，2π)且cos x＝－eq \f(\r(2),2)，所以x＝eq \f(5π,4)；故选B.] 4．已知cos x＝eq \f(\r(3),2)，且x∈[0,2π)，求角x的值． 解：由函数y＝cos x的图象知，在[0,2π)内满足cos x＝eq \f(\r(3),2)的角x有两个，分别在第一、四象限．因为cos eq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2)， 所以在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上角x1＝eq \f(π,6)， 又因为coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,6)))＝cos eq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2).可得在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))上的角x2＝eq \f(11π,6). 所以在[0,2π)内满足cos x＝eq \f(\r(3),2)的角为eq \f(π,6)，eq \f(11π,6). 　已知正弦函数值求角 　(1)已知角x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，求满足sin x＝eq \f(\r(3),2)的x的值： (2)已知角x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，求满足sin x＝0.2672的x的值(精确到0.0001) [解析]　(1)因为在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上，sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2)，所以x＝eq \f(π,3)； (2)使用函数型计算器计算时，首先将计算器置于RAD(以弧度为单位)的计算状态下，然后进行如下操作： 操作 显示 eq \x(SHIFT) eq \x(sin)0.2672eq \x(＝) 0.2704862098 又0.2705∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以x≈0.2705. 已知正弦函数值求角，科学计算器只能显示eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))范围内的角，所以求其他象限内的角，要善于利用三角函数的诱导公式求解，同时利用函数型计算器时，要注意弧度制模式及角度制模式的转化． [变式训练] 1．(1)已知sin x＝eq \f(1,2)，且x∈[0,2π)，求x的取值集合． (2)已知sin x＝－0.2156，且－180°≤x＜180°，求x.(精确到0.01°) 解：(1)由于sin x＝eq \f(1,2)，所以x是第一或第二象限角(如图)，由sin eq \f(π,6)＝eq \f(1,2)，可知符号条件的第一象限角是eq \f(π,6)，又由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))＝sineq \f(π,6)＝eq \f(1,2)，可知符号条件的第二象限角是eq \f(5π,6).于是所求角x的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6))). (2)因为sin x＝－0.2156，所以x是第三或第四象限角，先求符合条件 sin x＝0.2156的锐角x.使用函数型计算器计算时，首先将计算器置于DEG(以角度为单位)的计算状态下，然后进行如下操作： 操作 显示 eq \x(SHIFT) eq \x(sin)0.2156eq \x(＝) 12.45073036 得x≈12.45°.因为sin(－12.45°)＝－sin12.45°＝－0.2156，且sin(12.45°－180°)＝－sin12.45°≈－0.2156， 所以，当－180°≤x＜180°时，所求的角分别是－12.45°，－167.55°. 　已知余弦函数值求角 　(1)已知cos x＝－eq \f(\r(2),2)，且x∈[0,2π)，求x的取值集合． (2)用函数型计算器求出满足cos x＝－0.4，(0°≤x≤180°)的x值(精确到0.01°)： 将计算器置于DEG(以角度为单位)的计算状态下，然后进行如下操作： [解]　(1) 由于x的余弦值为负，所以x是第二或第三象限角(如图)． 由coseq \f(3π,4)＝－coseq \f(π,4)＝－eq \f(\r(2),2) 可知，所求符号条件的第二象限角是x＝eq \f(3π,4). 又因为coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)))＝coseq \f(3π,4)＝－coseq \f(π,4)＝－eq \f(\r(2),2)， 所以在区间内符合条件的第三象限的角x＝－eq \f(3π,4)＋2π＝eq \f(5π,4). 所以x的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，\f(5π,4))). (2)将计算器置于DEG的计算状态下，并进行如下操作： 操作 显示 eq \x(SHIFT) eq \x(cos)－0.4eq \x(＝) 113.5781785 所以x≈113.58°. 已知余弦函数值求角，科学计算器只能显示[0，π]范围内的角，所以求其他象限内的角，要善于利用三角函数的诱导公式求解，同时要注意在给定范围内角有一解或两解． [变式训练] 2．已知cos x＝－eq \f(1,2)，且x∈[0,2π)，求角x的值． 解：由函数y＝cos x的图象知，在[0,2π)内满足cos x＝－eq \f(1,2)的角x有两个，分别在第二、三象限．因为cos x＝－eq \f(1,2)， 所以在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上角x1＝eq \f(2π,3)， 又因为coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))＝cos eq \f(4π,3)＝－eq \f(1,2)，可得在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))上的角x2＝eq \f(4π,3). 所以在[0,2π)内满足cos x＝－eq \f(1,2)的角为eq \f(2π,3)，eq \f(4π,3). 　已知正切函数值求角 　(1)已知tan x＝－eq \f(\r(3),3)且x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，求x的值． (2)用函数型计算器求出满足tan x＝－2，－90°＜x＜90°的x值(精确到0.01°)： [解]　(1) 由于正切函数在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函数(如图)， 所以正切值等于－eq \f(\r(3),3)的角x有且只有一个． 由taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝－taneq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),3)，可知所求的角x＝－eq \f(π,6). (2)将计算器置于RAD的计算状态下，并进行如下操作： 操作 显示 eq \x(SHIFT) eq \x(tan)－2eq \x(＝) －63.43494882 所以x≈－63.43°. 已知正切函数值求角，函数型计算器只能显示eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))范围内的角，所以求其他象限内的角，要善于利用三角函数的诱导公式求解，或者利用正切函数周期为π求解． [变式训练] 3．若taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝eq \f(\r(3),3)，则在区间[0,2π]上解的个数为(　　) A．5　　B．4　　　C．3　　　D．2 解析：B　[因为taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝eq \f(\r(3),3)， 所以2x＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,6)＋kπ，k∈Z，解得x＝－eq \f(π,12)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z， 又因为x∈[0,2π]，所以x＝eq \f(5π,12)，eq \f(11π,12)，eq \f(17π,12)，eq \f(23π,12)， 所以在区间[0,2π]上解的个数为4个；故选B.] 1．已知cos x＝－eq \f(\r(3),2)，且0≤x≤π，则x＝(　　) A.eq \f(π,4)　　　B.eq \f(π,6)　　　C.eq \f(5π,6)　　　D．－eq \f(π,4) 解析：C　[因为cos x＝－eq \f(\r(3),2)，且0≤x≤π， 所以x＝eq \f(5π,6).] 2．已知tan x＝eq \r(3)，且0°≤x≤180°，则x＝(　　) A．45° B．60° C．135° D．120° 解析：B　[因为tan x＝eq \r(3)， 且0°≤x≤180°， 所以x＝60°] 3．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(1,2)，且α∈(0，π)．则α＝(　　) A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6) 解析：C　[因为α∈(0，π)，所以eq \f(π,6)＜α＋eq \f(π,6)＜eq \f(7π,6)， 又因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋\f(π,6)))＝sin eq \f(5π,6)＝sin eq \f(π,6)＝eq \f(1,2). 所以α＝eq \f(2π,3).] 4．已知sin x＝eq \f(1,2)，且0°≤x≤90°，则x＝____________________. 解析：因为sin x＝eq \f(1,2)，且0°≤x≤90°，所以x＝30°. 答案：30° 　角的度量与三角函数的概念 任意角的三角函数的概念是本章的基础，主要包括两个方面： 1．任意角和弧度制．理解任意角的概念及弧度的意义，能正确进行弧度与角度的换算． 2．任意角的三角函数．掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义，能够判断三角函数值在各象限的符号．能利用三角函数线比较三角函数值的大小． 3．任意角的三角函数的定义是本章的核心概念，它是利用角的终边与单位圆的交点P(x，y)的坐标定义． 　(1)终边与直线y＝x重合的角可表示为(　　) A．45°＋k·180°，k∈Z B．45°＋k·360°，k∈Z C．135°＋k·180°，k∈Z D．225°＋k·360°，k∈Z (2)已知弧长为6的圆弧所对的圆心角的弧度数为2，则该圆的半径是(　　) A．1　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 (3)若cos α＝－eq \f(\r(3),2)且α的终边过点P(x,2)，则α是第　________　象限的角． [解析]　(1)终边与直线y＝x重合的角可表示为45°＋k·180°，k∈Z，故选A. (2)由l＝|α|r，得r＝eq \f(l,|α|)＝eq \f(6,2)＝3. (3)cos α＝－eq \f(\r(3),2)＜0，所以α在第二、三象限， 又P(x,2)在第一、二象限，所以α在第二象限． [答案]　(1)A　(2)C　(3)二 [变式训练] 1．(1)已知角α终边上一点P的坐标是(sin 2，－cos 2)，则sin α＝(　　) A．sin 2 B．－sin 2 C．cos 2 D．－cos 2 (2)若sin θ·cos θ＞0，则角θ属于(　　) A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第三、四象限 (3)有一个扇形的弧长为eq \f(π,2)，面积为eq \f(π,4)，则该弧所对弦长为　_______________　 解析：(1)r＝|OP|＝eq \r(sin 22＋－cos 22)＝1，sin α＝eq \f(y,r)＝－cos 2. (2)sin θ·cos θ＞0，所以sin θ与cos θ同号，θ在第一、三象限． (3)设扇形的半径为R，由扇形的面积S＝eq \f(π,4)，得S＝eq \f(π,4)＝eq \f(1,2)×eq \f(π,2)R，得R＝1，则扇形的圆心角α＝eq \f(l,R)＝eq \f(\f(π,2),1)＝eq \f(π,2)，则弧所对弦长为eq \r(2)R＝eq \r(2) 答案：(1)D　(2)B　(3)eq \r(2) 　三角函数的定义域、值域问题 在本章中，通过三角函数的定义域、值域问题以及三角函数求值问题进一步培养提升学生的数学运算核心素养． 　(1)函数y＝eq \r(cos x－\f(1,2))的定义域为　________　，值域为　________　. [解析]　要使函数y＝eq \r(cos x－\f(1,2))有意义， 则cos x－eq \f(1,2)≥0，即cos x≥eq \f(1,2). 解得2kπ－eq \f(π,3)≤x≤2kπ＋eq \f(π,3)，k∈Z. 故函数的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(π,3)))，k∈Z. 又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－1≤cos x≤1，,cos x－\f(1,2)≥0，)) 所以0≤eq \r(cos x－\f(1,2))≤eq \f(\r(2),2)， 即函数的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))). [答案]　eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(π,3)))，k∈Z　eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) (2)当x为何值时，函数y＝3－2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))取得最大值和最小值？分别是多少？ [解]　当coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝－1时，ymax＝3＋2＝5，此时x－eq \f(π,6)＝π＋2kπ， 即x＝eq \f(7π,6)＋2kπ时，ymax＝5，k∈Z， 当coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝1时，ymin＝3－2＝1，此时x－eq \f(π,6)＝2kπ，即x＝eq \f(π,6)＋2kπ时，ymin＝1，k∈Z. [变式训练] 2．(1)y＝sin x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))的值域是(　　) A．[－1,1] B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1)) (2)函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2的最大值为　________　. 解析：(1)由正弦函数的图象可知，当x＝eq \f(π,6)时，ymin＝eq \f(1,2)，当x＝eq \f(π,2)时，ymax＝1.所以y＝sin x的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)). (2)因为f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝(cos2x－sin2x)＋eq \f(1,2)(2cos2x－1)＋eq \f(5,2) ＝cos 2x＋eq \f(1,2)cos 2x＋eq \f(5,2)＝eq \f(3,2)cos 2x＋eq \f(5,2)，所以f(x)的最大值为eq \f(3,2)＋eq \f(5,2)＝4. 答案：(1)B　(2)4 　三角函数的图象 三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质． 　在(0,2π)内，使sin x≥cos x成立的x的取值范围是　________　. [解析]　在同一个坐标系中画出y＝sin x，y＝cos x在(0,2π)内的函数图象，如图所示，则使sin x≥cos x成立的x的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4))). [答案]　eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4))) [变式训练] 3．方程3sin x＝x的实根个数为(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：C　[方程3sin x＝x的实根个数等于函数y＝3sin x与函数y＝x的交点个数，做出函数y＝3sin x与函数y＝x的图象，如图所示： 　三角函数的性质 三角函数在考查时，往往和后面的三角函数知识相联系，着重考查三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等有关性质． 　(1)函数y＝sin xcos x是　__________　函数(填奇或偶)． (2)比较大小：coseq \f(5π,7)　______　coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10π,7))). [解析]　(1)y＝sin xcos x的定义域为R，f(－x)＝sin(－x)cos(－x)＝－sin xcos x＝－f(x)，所以y＝sin xcos x是奇函数． (2)因为coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10π,7)))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,7)－2π))＝coseq \f(4π,7)， 又y＝cos x在[0，π]上是减函数，eq \f(5π,7)＞eq \f(4π,7)，所以coseq \f(5π,7)＜coseq \f(4π,7). [答案]　(1)奇　(2)＜ [变式训练] 4．(1)函数y＝2cos x－1的单调递减区间是　__________　. [解析]　(1)因为y＝cos x的单调递减区间是[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)，所以函数y＝2cos x－1的单调递减区间是[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)． [答案]　[2kπ，π＋2kπ](k∈Z) (2)不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小： ①cos eq \f(2π,7)与coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,5)))；②sin 250°与sin 260°. [解]　①coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,5)))＝coseq \f(3π,5)，因为0＜eq \f(2π,7)＜eq \f(3π,5)＜π，且y＝cos x在(0，π)内为减函数，所以coseq \f(2π,7)＞coseq \f(3π,5)，即coseq \f(2π,7)＞coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,5))). ②因为90°＜250°＜260°＜270°，且y＝sin x在(90°，270°)内为减函数，所以sin 250°＞sin 260°. 　三角函数式的求值 三角函数求值，主要有三种类型，即： 1．“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察这类问题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要诱导公式．解题时，要利用观察得到的关系，结合和差化积、积化和差、升降幂公式转化为特殊角，并且消除非特殊角的三角函数而得到． 2．“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围． 3．“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的值是特殊角的三角函数值，求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围． 　(1)已知coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－eq \f(\r(5),3)，求sin(－5π＋α)的值　______________　. (2)已知sin(π＋α)＝－eq \f(1,3)，且α为第二象限角，求cos(π－α)的值． (3)已知tan α＝3，求eq \f(sin2 α＋sin αcos α－5cos2 α,cos2 α)的值． [解]　(1)因为coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－eq \f(\r(5),3)，所以sin α＝eq \f(\r(5),3)， 所以sin(－5π＋α)＝sin(－π＋α)＝－sin α＝－eq \f(\r(5),3). (2)因为sin(π＋α)＝－sin α＝－eq \f(1,3)，所以sin α＝eq \f(1,3)，又α为第二象限角，所以cos α＜0，所以cos α＝－eq \r(1－sin2 α)＝－eq \f(2\r(2),3)，所以cos(π－α)＝－cos α＝eq \f(2\r(2),3). (3)因为tan α＝3，所以eq \f(sin2 α＋sin αcos α－5cos2 α,cos2 α)＝eq \f(sin2 α,cos2 α)＋eq \f(sin αcos α,cos2 α)－eq \f(5cos2 α,cos2 α)＝tan2 α＋tan α－5＝32＋3－5＝7. [变式训练] 5．(1)已知sin α＝eq \f(4,5)，且α∈(0，π)，则tan α＝(　　) A.eq \f(4,3) B.eq \f(3,4) C．±eq \f(4,3) D．±eq \f(3,4) 解析：C　[因为sin α＝eq \f(4,5)，α∈(0，π)，cos α＝±eq \r(1－sin2 α)＝±eq \f(3,5)，tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝±eq \f(4,3).] (2)已知角α的终边上有一点P(1,3)，则eq \f(sinπ－α－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＋2cos－π＋α)的值为　________　. 解：依题意得tan α＝eq \f(y,x)＝3，则eq \f(sinπ－α－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＋2cos－π＋α)＝eq \f(sin α－cos α,－sin α－2cos α)＝eq \f(tan α－1,－tan α－2)＝eq \f(3－1,－3－2)＝－eq \f(2,5). 　三角函数式的化简 1．三角函数式化简的基本原则 (1)切化弦；(2)异名化同名；(3)异角化同角； (4)常数的处理(特别注意“1”的代换)． 2．三角函数式化简常用公式 诱导公式，同角三角函数基本关系式． 　(1)化简eq \r(1－2sin 50°cos 50°)的结果为(　　) A．sin 50°－cos 50° B．sin 50°＋cos 50° C．cos 50°－sin 50° D．－sin 50°－cos 50° [解析]　A　[eq \r(1－2sin 50°cos 50°)＝ eq \r(cos2 50°＋sin2 50°－2sin 50° cos 50°) ＝eq \r(cos 50°－sin 50°2)＝|cos 50°－sin 50°|＝sin 50°－cos 50°.] (2)化简： eq \f(sinπ－αcos3π－αcos－π－αcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)＋α)),cos2π－αsinπ＋αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)－α))). [解]　原式＝eq \f(sin α·－cos α·－cos α·－sin α,cos α·－sin α·cos α·－cos α)＝－eq \f(sin2 α·cos2 α,cos3 α·sin α)＝－tan α. [变式训练] 6．(1)化简eq \r(1－cos2 440°)的结果是　_______　. 解析：eq \r(1－cos2 440°)＝eq \r(sin2 440°)＝|sin 440°|＝|sin(80°＋360°)|＝|sin 80°|＝sin 80°. 答案：sin 80° (2)化简eq \f(sinπ＋α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－α))). [解]　eq \f(sinπ＋α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－α)))＝eq \f(－sin α,－cos α)＝tan α. 　三角函数恒等式的证明 1．三角函数恒等式的证明的基本原则：从繁到简，从一边到另一边或从两边往中间． 2．证明三角恒等式的常用方法技巧 (1)分析左、右两边式子结构的异同； (2)分析式中不同角之间的联系； (3)注意常数“1”的代换． 　证明：eq \f(sin 20°－\r(1－sin2 20°),\r(1－2sin 20°cos 20°))＝－1. [证明]　左边＝eq \f(sin 20°－\r(1－sin2 20°),\r(1－2sin 20° cos 20°)) ＝eq \f(sin 20°－\r(cos2 20°),\r(cos2 20°＋sin2 20°－2sin 20° cos 20°))＝eq \f(sin 20°－\r(cos2 20°),\r(cos 20°－sin 20°2)) ＝eq \f(sin 20°－|cos 20°|,|cos 20°－sin 20°|)＝eq \f(sin 20°－cos 20°,cos 20°－sin 20°)＝－1＝右边． $$ 5．3.3　已知三角函数值求角 [学习目标] 1．掌握利用计算器求角度的方法； 2．了解已知三角函数值，求指定范围内的角的方法； 3．会利用诱导公式求出指定范围内的角． [问题]　如何求出正弦函数y＝sin x与直线y＝在区间[0,2π)上的交点坐标？如图所示； 提示：要求交点坐标，实际上就是求sin x＝，x∈[0,2π)的解，就是已知三角函数值求指定范围内的角． [知识点一]　已知三角函数值求角　 1．已知任意一个角，可以求出它的三角函数值(角必须属于这个函数的定义域)；反之，已知一个三角函数值，也可以求出与它对应的角． 2．对特殊的三角函数值，容易求出指定范围内的角，对一般的三角函数值，则需要借助函数型计算器与诱导公式求出指定范围内的角． 如果要求指定范围内的角，一般需要使用诱导公式． 3．一些常用特殊角的三角函数值 A(rad) 0 π α(°) 0° 30° 45° 60° 90° 180° sin α 0 1 0 cos α 1 0 －1 tan α 0 1 不存在 0 [知识点二]　利用函数型计算器求默认的角的范围　 1．已知正弦值求角时，在RAD(以弧度为单位)的计算状态下，计算器默认的角x的范围是，在DEG(以角度为单位)的计算状态下，计算器默认的角x满足－90°＜x＜90°. 2．已知余弦值求角时，在RAD(以弧度为单位)的计算状态下，计算器默认的角x的范围是[0，π]，在DEG(以角度为单位)的计算状态下，计算器默认的角x满足0°≤x≤180°. 3．已知正切值求角时，在RAD(以弧度为单位)的计算状态下，计算器默认的角x的范围是，在DEG(以角度为单位)的计算状态下，计算器默认的角x满足－90°＜x＜90°. 1．已知sin x＝，且0≤x≤，则x＝(　　) A.　　　　　　　 　B. C.或 D．－ 解析：A　[因为sin ＝， 且0≤x≤， 所以x＝.] 2．已知tan x＝－1，且0°≤x≤180°，则x＝(　　) A．45°　　B．60°　　　C．135°　　　D．120° 解析：C　[因为tan 135°＝tan(180°－45°)＝－tan 45°＝－1, 且0≤x≤180°，所以x＝135°.] 3．已知cos x＝－，π＜x＜2π，则x＝(　　) A. B. C. D. 解析：B　[因为x∈(π，2π)且cos x＝－，所以x＝；故选B.] 4．已知cos x＝，且x∈[0,2π)，求角x的值． 解：由函数y＝cos x的图象知，在[0,2π)内满足cos x＝的角x有两个，分别在第一、四象限． 因为cos ＝， 所以在上角x1＝， 又因为cos＝cos ＝. 可得在上的角x2＝. 所以在[0,2π)内满足cos x＝的角为，. 　已知正弦函数值求角 　(1)已知角x∈，求满足sin x＝的x的值： (2)已知角x∈，求满足sin x＝0.2672的x的值(精确到0.0001) [解析]　(1)因为在上，sin ＝，所以x＝； (2)使用函数型计算器计算时，首先将计算器置于RAD(以弧度为单位)的计算状态下，然后进行如下操作： 操作 显示 0.2672 0.2704862098 又0.2705∈，所以x≈0.2705. 已知正弦函数值求角，科学计算器只能显示范围内的角，所以求其他象限内的角，要善于利用三角函数的诱导公式求解，同时利用函数型计算器时，要注意弧度制模式及角度制模式的转化． [变式训练] 1．(1)已知sin x＝，且x∈[0,2π)，求x的取值集合． (2)已知sin x＝－0.2156，且－180°≤x＜180°，求x.(精确到0.01°) 解：(1)由于sin x＝，所以x是第一或第二象限角(如图)， 由sin ＝，可知符号条件的第一象限角是，又由sin＝sin＝，可知符号条件的第二象限角是. 于是所求角x的取值集合为. (2)因为sin x＝－0.2156，所以x是第三或第四象限角，先求符合条件 sin x＝0.2156的锐角x.使用函数型计算器计算时，首先将计算器置于DEG(以角度为单位)的计算状态下，然后进行如下操作： 操作 显示 0.2156 12.45073036 得x≈12.45°.因为sin(－12.45°)＝－sin12.45°＝－0.2156，且sin(12.45°－180°)＝－sin12.45°≈－0.2156， 所以，当－180°≤x＜180°时，所求的角分别是－12.45°，－167.55°. 　已知余弦函数值求角 　(1)已知cos x＝－，且x∈[0,2π)，求x的取值集合． (2)用函数型计算器求出满足cos x＝－0.4，(0°≤x≤180°)的x值(精确到0.01°)： 将计算器置于DEG(以角度为单位)的计算状态下，然后进行如下操作： [解]　(1) 由于x的余弦值为负，所以x是第二或第三象限角(如图)． 由cos＝－cos＝－ 可知，所求符号条件的第二象限角是x＝. 又因为cos＝cos＝－cos＝－， 所以在区间内符合条件的第三象限的角x＝－＋2π＝. 所以x的取值集合为. (2)将计算器置于DEG的计算状态下，并进行如下操作： 操作 显示 －0.4 113.5781785 所以x≈113.58°. 已知余弦函数值求角，科学计算器只能显示[0，π]范围内的角，所以求其他象限内的角，要善于利用三角函数的诱导公式求解，同时要注意在给定范围内角有一解或两解． [变式训练] 2．已知cos x＝－，且x∈[0,2π)，求角x的值． 解：由函数y＝cos x的图象知，在[0,2π)内满足cos x＝－的角x有两个，分别在第二、三象限．因为cos x＝－， 所以在上角x1＝， 又因为cos＝cos ＝－，可得在上的角x2＝. 所以在[0,2π)内满足cos x＝－的角为，. 　已知正切函数值求角 　(1)已知tan x＝－且x∈，求x的值． (2)用函数型计算器求出满足tan x＝－2，－90°＜x＜90°的x值(精确到0.01°)： [解]　(1) 由于正切函数在区间上是增函数(如图)， 所以正切值等于－的角x有且只有一个． 由tan＝－tan＝－， 可知所求的角x＝－. (2)将计算器置于RAD的计算状态下，并进行如下操作： 操作 显示 －2 －63.43494882 所以x≈－63.43°. 已知正切函数值求角，函数型计算器只能显示范围内的角，所以求其他象限内的角，要善于利用三角函数的诱导公式求解，或者利用正切函数周期为π求解． [变式训练] 3．若tan＝，则在区间[0,2π]上解的个数为(　　) A．5　　B．4　　　C．3　　　D．2 解析：B　[因为tan＝， 所以2x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝－＋，k∈Z， 又因为x∈[0,2π]，所以x＝，，，， 所以在区间[0,2π]上解的个数为4个；故选B.] 1．已知cos x＝－，且0≤x≤π，则x＝(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D．－ 解析：C　[因为cos x＝－，且0≤x≤π， 所以x＝.] 2．已知tan x＝，且0°≤x≤180°，则x＝(　　) A．45° B．60° C．135° D．120° 解析：B　[因为tan x＝， 且0°≤x≤180°， 所以x＝60°] 3．若sin＝，且α∈(0，π)．则α＝(　　) A. B. C. D. 解析：C　[因为α∈(0，π)，所以＜α＋＜， 又因为sin＝sin ＝sin ＝. 所以α＝.] 4．已知sin x＝，且0°≤x≤90°，则x＝____________________. 解析：因为sin x＝，且0°≤x≤90°，所以x＝30°. 答案：30° 1．已知tan A＝－，且A是三角形的一个内角，则A＝(　　) A．45°　　B．60°　　　C．135°　　　D．120° 解析：D　[因为tan A＝－， 且0°＜A＜180°，所以A＝120°.] 2．已知sin x＝，且0≤x≤π，则x＝(　　) A. B.或 C.或 D．－ 解析：C　[因为sin ＝， sin ＝，且0≤x≤π，所以x＝或.] 3．已知tan x＝－，且0°≤x≤180°，则x＝(　　) A．45° B．60° C．150° D．120° 解析：C　[因为tan 150°＝tan(180°－30°)＝－tan 30°＝－，且0°≤x≤180°，所以x＝150°.] 4．已知cos x＝－，且0°≤x≤180°，则x＝(　　) A．45° B．135° C．120° D．160° 解析：B　[因为cos 135°＝cos(180°－45°)＝－cos 45°＝－，且0°≤x≤180°，所以x＝135°.] 5．已知tan x＝－，且0°≤x≤360°，则x＝(　　) A．60° B．60°或300° C．120°或300° D．300° 解析：C　[因为tan 120°＝－，tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－，且0°≤x≤360°，所以x＝120°或300°.] 6．若sin(x－π)＝－，且－2π＜x≤0，则x＝　________　. 解析：因为sin(x－π)＝－sin(π－x)＝－sin x＝－，所以sin x＝，所以x＝2kπ＋或2kπ＋π(k∈Z)． 又－2π＜x≤0，所以x＝－π或－π. 答案：－π或－π 7．已知tan x＝，x∈[0,2π]，那么x＝　________　. 解析：因为tan ＝，tan ＝，又因为x∈[0,2π]，所以x＝或. 答案：或 8．已知tan x＝－1，且0≤x≤2π，则x＝_________________； 解析：因为tan ＝－1，tan＝tan ＝－tan ＝－1，所以x＝或. 答案：或 9．若x＝是方程2cos(x＋α)＝1的解，其中α∈(0,2π)，则α＝　______　. 解析：因为x＝是方程2cos(x＋α)＝1的解，所以2cos＝1，即cos＝. 又α∈(0,2π)，所以＋α∈.所以＋α＝.所以α＝. 答案： 10．已知cos＝－，x∈[0,2π]，求x的取值集合． 解：因为cos＝－， 则cosπ＝－，cosπ＝－， 所以2x＋＝2kπ＋(k∈Z)或2x＋＝2kπ＋(k∈Z)， 即x＝kπ＋(k∈Z)或x＝kπ＋(k∈Z)； 又x∈[0,2π]， 所以x的取值集合为. 11．已知cos x＝－0.766 0，且0°≤x≤180°，求x.(精确到度) 解：由余弦函数在闭区间0°≤x≤180°上是减函数和cos x＝－0.766 0，可知符合条件的角只有一个，这个角为钝角．按函数型计算器步骤计算，得到0°≤x≤180°内的角为x≈140°. 12．已知sin x＝－0.332 2，且－90°≤x≤90°，求x.(精确到秒) 解：因为sin x＝－0.332 2＜0，所以角x在第三、四象限，且－90°≤x≤90°， 所以角x在第四象限，按函数型计算器步骤计算，得到－90°≤x≤90°内的角为x≈－19°24′8.5″. 13．已知tan x＝，求0°～360°范围内的角x的值．(精确到秒) 解：因为tan x＝＞0，所以角x在第一或三象限． 利用计算器按步骤计算，得到所求的第一象限角为x≈18°26′5.82″. 利用周期性得到相应第三象限的角为x2＝180°＋18°26′5.82″＝198°26′5.82″. 所以在0°～360°范围内，正切值为的角为18°26′5.82″和198°26′5.82″. 14．已知sin x＝. (1)当x∈时，求x的取值集合； (2)当x∈[0,2π]时，求x的取值集合； (3)当x∈R时，求x的取值集合． 解：(1)因为y＝sin x在上是增函数，且sin＝，所以x＝.所以x的取值集合为； (2)因为sin x＝＞0，所以x为第一、二象限的角，且sin＝sin＝， 所以在[0,2π]上符合条件的角有x＝或x＝π.所以x的取值集合为； (3)当x∈R时，x的取值集合为. 　角的度量与三角函数的概念 任意角的三角函数的概念是本章的基础，主要包括两个方面： 1．任意角和弧度制．理解任意角的概念及弧度的意义，能正确进行弧度与角度的换算． 2．任意角的三角函数．掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义，能够判断三角函数值在各象限的符号．能利用三角函数线比较三角函数值的大小． 3．任意角的三角函数的定义是本章的核心概念，它是利用角的终边与单位圆的交点P(x，y)的坐标定义． 　(1)终边与直线y＝x重合的角可表示为(　　) A．45°＋k·180°，k∈Z B．45°＋k·360°，k∈Z C．135°＋k·180°，k∈Z D．225°＋k·360°，k∈Z (2)已知弧长为6的圆弧所对的圆心角的弧度数为2，则该圆的半径是(　　) A．1　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 (3)若cos α＝－且α的终边过点P(x,2)，则α是第　________　象限的角． [解析]　(1)终边与直线y＝x重合的角可表示为45°＋k·180°，k∈Z，故选A. (2)由l＝|α|r，得r＝＝＝3. (3)cos α＝－＜0，所以α在第二、三象限， 又P(x,2)在第一、二象限，所以α在第二象限． [答案]　(1)A　(2)C　(3)二 [变式训练] 1．(1)已知角α终边上一点P的坐标是(sin 2，－cos 2)，则sin α＝(　　) A．sin 2 B．－sin 2 C．cos 2 D．－cos 2 (2)若sin θ·cos θ＞0，则角θ属于(　　) A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第三、四象限 (3)有一个扇形的弧长为，面积为，则该弧所对弦长为　_______________　 解析：(1)r＝|OP|＝＝1，sin α＝＝－cos 2. (2)sin θ·cos θ＞0，所以sin θ与cos θ同号，θ在第一、三象限． (3)设扇形的半径为R，由扇形的面积S＝，得S＝＝×R，得R＝1， 则扇形的圆心角α＝＝＝，则弧所对弦长为R＝ 答案：(1)D　(2)B　(3) 　三角函数的定义域、值域问题 在本章中，通过三角函数的定义域、值域问题以及三角函数求值问题进一步培养提升学生的数学运算核心素养． 　(1)函数y＝的定义域为　________　，值域为　________　. [解析]　要使函数y＝有意义， 则cos x－≥0，即cos x≥. 解得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z. 故函数的定义域为，k∈Z. 又 所以0≤≤， 即函数的值域为. [答案]　，k∈Z　 (2)当x为何值时，函数y＝3－2cos取得最大值和最小值？分别是多少？ [解]　当cos＝－1时，ymax＝3＋2＝5，此时x－＝π＋2kπ， 即x＝＋2kπ时，ymax＝5，k∈Z， 当cos＝1时，ymin＝3－2＝1，此时x－＝2kπ，即x＝＋2kπ时，ymin＝1，k∈Z. [变式训练] 2．(1)y＝sin x，x∈的值域是(　　) A．[－1,1] B. C. D. (2)函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2的最大值为　________　. 解析：(1)由正弦函数的图象可知，当x＝时，ymin＝，当x＝时，ymax＝1. 所以y＝sin x的值域是. (2)因为f(x)＝2cos2x－sin2x＋2 ＝(cos2x－sin2x)＋(2cos2x－1)＋ ＝cos 2x＋cos 2x＋＝cos 2x＋， 所以f(x)的最大值为＋＝4. 答案：(1)B　(2)4 　三角函数的图象 三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质． 　在(0,2π)内，使sin x≥cos x成立的x的取值范围是　________　. [解析]　在同一个坐标系中画出y＝sin x，y＝cos x在(0,2π)内的函数图象，如图所示，则使sin x≥cos x成立的x的取值范围是. [答案]　 [变式训练] 3．方程3sin x＝x的实根个数为(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：C　[方程3sin x＝x的实根个数等于函数y＝3sin x与函数y＝x的交点个数，做出函数y＝3sin x与函数y＝x的图象，如图所示：由图可知，函数y＝3sin x与函数y＝x的图象的交点个数为3个，故选C.] 　三角函数的性质 三角函数在考查时，往往和后面的三角函数知识相联系，着重考查三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等有关性质． 　(1)函数y＝sin xcos x是　__________　函数(填奇或偶)． (2)比较大小：cos　______　cos. [解析]　(1)y＝sin xcos x的定义域为R， f(－x)＝sin(－x)cos(－x)＝－sin xcos x＝－f(x)， 所以y＝sin xcos x是奇函数． (2)因为cos＝cos＝cos， 又y＝cos x在[0，π]上是减函数，＞， 所以cos＜cos. [答案]　(1)奇　(2)＜ [变式训练] 4．(1)函数y＝2cos x－1的单调递减区间是　__________　. [解析]　(1)因为y＝cos x的单调递减区间是[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)，所以函数y＝2cos x－1的单调递减区间是[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)． [答案]　[2kπ，π＋2kπ](k∈Z) (2)不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小： ①cos 与cos；②sin 250°与sin 260°. [解]　①cos＝cos，因为0＜＜＜π，且y＝cos x在(0，π)内为减函数，所以cos＞cos，即cos＞cos. ②因为90°＜250°＜260°＜270°，且y＝sin x在(90°，270°)内为减函数，所以sin 250°＞sin 260°. 　三角函数式的求值 三角函数求值，主要有三种类型，即： 1．“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察这类问题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要诱导公式．解题时，要利用观察得到的关系，结合和差化积、积化和差、升降幂公式转化为特殊角，并且消除非特殊角的三角函数而得到． 2．“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围． 3．“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的值是特殊角的三角函数值，求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围． 　(1)已知cos＝－，求sin(－5π＋α)的值　______________　. (2)已知sin(π＋α)＝－，且α为第二象限角，求cos(π－α)的值． (3)已知tan α＝3，求的值． [解]　(1)因为cos＝－，所以sin α＝， 所以sin(－5π＋α)＝sin(－π＋α)＝－sin α＝－. (2)因为sin(π＋α)＝－sin α＝－，所以sin α＝，又α为第二象限角，所以cos α＜0，所以cos α＝－＝－，所以cos(π－α)＝－cos α＝. (3)因为tan α＝3，所以＝＋－＝tan2 α＋tan α－5＝32＋3－5＝7. [变式训练] 5．(1)已知sin α＝，且α∈(0，π)，则tan α＝(　　) A. B. C．± D．± 解析：C　[因为sin α＝，α∈(0，π)，cos α＝±＝±，tan α＝＝±.] (2)已知角α的终边上有一点P(1,3)，则的值为　________　. 解：依题意得tan α＝＝3，则＝＝＝＝－. 　三角函数式的化简 1．三角函数式化简的基本原则 (1)切化弦；(2)异名化同名；(3)异角化同角； (4)常数的处理(特别注意“1”的代换)． 2．三角函数式化简常用公式 诱导公式，同角三角函数基本关系式． 　(1)化简的结果为(　　) A．sin 50°－cos 50° B．sin 50°＋cos 50° C．cos 50°－sin 50° D．－sin 50°－cos 50° [解析]　A　[＝ ＝＝|cos 50°－sin 50°|＝sin 50°－cos 50°.] (2)化简： . [解]　原式＝＝－＝－tan α. [变式训练] 6．(1)化简的结果是　_______　. 解析：＝＝|sin 440°|＝|sin(80°＋360°)|＝|sin 80°|＝sin 80°. 答案：sin 80° (2)化简. [解]　＝＝tan α. 　三角函数恒等式的证明 1．三角函数恒等式的证明的基本原则：从繁到简，从一边到另一边或从两边往中间． 2．证明三角恒等式的常用方法技巧 (1)分析左、右两边式子结构的异同； (2)分析式中不同角之间的联系； (3)注意常数“1”的代换． 　证明：＝－1. [证明]　左边＝ ＝ ＝＝ ＝＝－1＝右边． [变式训练] 7．证明：＝1. 证明：左边＝＝＝＝1＝右边，即原等式成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．已知tan A＝－，且A是三角形的一个内角，则A＝(　　) A．45°　　B．60°　　　C．135°　　　D．120° 解析：D　[因为tan A＝－， 且0°＜A＜180°，所以A＝120°.] 2．已知sin x＝，且0≤x≤π，则x＝(　　) A. B.或 C.或 D．－ 解析：C　[因为sin ＝， sin ＝，且0≤x≤π，所以x＝或.] 3．已知tan x＝－，且0°≤x≤180°，则x＝(　　) A．45° B．60° C．150° D．120° 解析：C　[因为tan 150°＝tan(180°－30°)＝－tan 30°＝－，且0°≤x≤180°，所以x＝150°.] 4．已知cos x＝－，且0°≤x≤180°，则x＝(　　) A．45° B．135° C．120° D．160° 解析：B　[因为cos 135°＝cos(180°－45°)＝－cos 45°＝－，且0°≤x≤180°，所以x＝135°.] 5．已知tan x＝－，且0°≤x≤360°，则x＝(　　) A．60° B．60°或300° C．120°或300° D．300° 解析：C　[因为tan 120°＝－，tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－，且0°≤x≤360°，所以x＝120°或300°.] 6．若sin(x－π)＝－，且－2π＜x≤0，则x＝　________　. 解析：因为sin(x－π)＝－sin(π－x)＝－sin x＝－，所以sin x＝，所以x＝2kπ＋或2kπ＋π(k∈Z)． 又－2π＜x≤0，所以x＝－π或－π. 答案：－π或－π 7．已知tan x＝，x∈[0,2π]，那么x＝　________　. 解析：因为tan ＝，tan ＝，又因为x∈[0,2π]，所以x＝或. 答案：或 8．已知tan x＝－1，且0≤x≤2π，则x＝_________________； 解析：因为tan ＝－1，tan＝tan ＝－tan ＝－1，所以x＝或. 答案：或 9．若x＝是方程2cos(x＋α)＝1的解，其中α∈(0,2π)，则α＝　______　. 解析：因为x＝是方程2cos(x＋α)＝1的解，所以2cos＝1，即cos＝. 又α∈(0,2π)，所以＋α∈.所以＋α＝.所以α＝. 答案： 10．已知cos＝－，x∈[0,2π]，求x的取值集合． 解：因为cos＝－， 则cosπ＝－，cosπ＝－， 所以2x＋＝2kπ＋(k∈Z)或2x＋＝2kπ＋(k∈Z)， 即x＝kπ＋(k∈Z)或x＝kπ＋(k∈Z)； 又x∈[0,2π]， 所以x的取值集合为. 11．已知cos x＝－0.766 0，且0°≤x≤180°，求x.(精确到度) 解：由余弦函数在闭区间0°≤x≤180°上是减函数和cos x＝－0.766 0，可知符合条件的角只有一个，这个角为钝角．按函数型计算器步骤计算，得到0°≤x≤180°内的角为x≈140°. 12．已知sin x＝－0.332 2，且－90°≤x≤90°，求x.(精确到秒) 解：因为sin x＝－0.332 2＜0，所以角x在第三、四象限，且－90°≤x≤90°， 所以角x在第四象限，按函数型计算器步骤计算，得到－90°≤x≤90°内的角为x≈－19°24′8.5″. 13．已知tan x＝，求0°～360°范围内的角x的值．(精确到秒) 解：因为tan x＝＞0，所以角x在第一或三象限． 利用计算器按步骤计算，得到所求的第一象限角为x≈18°26′5.82″. 利用周期性得到相应第三象限的角为x2＝180°＋18°26′5.82″＝198°26′5.82″. 所以在0°～360°范围内，正切值为的角为18°26′5.82″和198°26′5.82″. 14．已知sin x＝. (1)当x∈时，求x的取值集合； (2)当x∈[0,2π]时，求x的取值集合； (3)当x∈R时，求x的取值集合． 解：(1)因为y＝sin x在上是增函数，且sin＝，所以x＝.所以x的取值集合为； (2)因为sin x＝＞0，所以x为第一、二象限的角，且sin＝sin＝， 所以在[0,2π]上符合条件的角有x＝或x＝π.所以x的取值集合为； (3)当x∈R时，x的取值集合为. 学科网（北京）股份有限公司 $$