5.3.2 余弦函数的图象和性质（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块 上册同步教案（人教版2021）

5．3.2　余弦函数的图象和性质 [学习目标] 1．会用“五点法”画余弦函数的图象； 2．会用余弦函数的图象解简单问题； 3．掌握函数y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性； 4．掌握y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值； 5．掌握y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小． 生活中许多美好的事物都有对称性，如漂亮的蝴蝶，它停飞展翅就是一幅异常美丽的对称图案． 数学中的对称美也比比皆是，如圆、等腰三角形、正方形、球、圆柱、正方体等． 上节课我们研究了正弦函数的图象和性质很美，那么余弦函数的图象有怎样的对称性？除此之外还有哪些性质呢？ [知识点一]　余弦函数的图象　 1．函数y＝cosx＝sin，x∈R的图象可以通过正弦函数y＝sinx，x∈R的图象向左平移得到，即将正弦函数图象向左平移就得到余弦函数图象，如图： 2．“五点法”画余弦函数图象 “五点法”：余弦函数上的五个关键点(0,1)，，(π，－1)，(2π，1)，是确定余弦函数y＝cos x在[0,2π]上的图象的关键点．把这五点在坐标系中描出，再用光滑的曲线将它们联接起来，就得到[0,2π]上余弦函数的简图了，这是余弦函数图象的五点法作图． 3．余弦曲线 余弦函数y＝cos x，x∈R的图象称为余弦曲线，余弦曲线关于y轴对称，它是轴对称图形 [知识点二]　余弦函数的性质　 　　 函数 性质　　 y＝cos x 定义域 R 图象 值域 [－1,1] 最值 当x＝2kπ(k∈Z)时，y取最大值，ymax＝1； 当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，y取最小值，ymin＝－1 对称性 对称轴：x＝kπ (k∈Z)；对称中心： 最小正周期 2π 单调性 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上递增； 在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上递减 奇偶性 偶函数 1.从图象的变化趋势来看，正弦、余弦函数的最大值、最小值点分别处在什么位置？ 提示：正弦、余弦函数的最大值、最小值点均处于图形拐弯的地方． 2．余弦函数在[－π，π]上，函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？ 提示：观察图象可知： 当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x的值由－1增大到1； 当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得 当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是增函数，函数值由－1增大到1； 当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是减函数，函数值由1减小到－1. 1．已知点在余弦曲线上，则m＝(　　) A.　　B．－　　　C.　　　D．－ 解析：B　[因为点在余弦函数y＝cos x的图象上，所以m＝cos＝－，故选B.] 2．函数y＝cos 2x的奇偶性为(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 解析：B　[f(－x)＝cos 2(－x)＝cos 2x＝f(x)，故y＝cos 2x是偶函数．] 3．在区间上，下列说法正确的是(　　) A．y＝sin x是增函数，且y＝cos x是减函数 B．y＝sin x是减函数，且y＝cos x是增函数 C．y＝sin x是增函数，且y＝cos x是增函数 D．y＝sin x是减函数，且y＝cos x是减函数 解析：A　[由正余弦函数的图象可知，在区间上，y＝sin x是增函数，且y＝cos x是减函数，故选A.] 4．函数f(x)＝－cos x＋3的值域是　_______　. 解析：因为cos x∈[－1,1]，所以－cos x＋3∈[2,4]，所以f(x)的值域为[2,4]． 答案：[2,4] 　“五点法”作余弦函数的图象 　用“五点法”作出函数y＝2＋cos x， x∈[0,2π]的简图． [解]　按五个关键点列表： x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 2＋cos x 3 2 1 2 3 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示． 用“五点法”画函数y＝Acos x＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤 1．列表： x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 y y1 y2 y3 y4 y5 2.描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y1)，，(π，y3)，，(2π，y5)． 3．连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来． [变式训练] 1．利用“五点法”作出函数y＝－1－cos x(0≤x≤2π)的简图． 解： 列表： x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 －1－cos x －2 －1 0 －1 －2 描点作图，如图所示． 　利用余弦函数图象解不等式 　根据y＝cos x的图象解不等式－≤cos x≤，x∈[0,2π]． [解]　函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象如图所示． 由余弦函数的图象可知，在一个周期[0,2π]内， 满足不等式－≤cos x≤.对应的范围是≤x≤或≤x≤， 故不等式的解集为∪. 利用三角函数图象解cos x>a的三个步骤 (1)作出直线y＝a，y＝cos x的图象． (2)确定cos x＝a的x值． (3)确定cos x>a的解集． [变式训练] 2．利用余弦函数的图象，求满足cos x≤的x的集合． 解：作出余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为，k∈Z. 　比较三角函数值的大小 　不求值，利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小： (1)cos 与cos ； (2)cos 与cos . [解]　(1)y＝cos x在区间[π，2π]上递增，所以cos＜cos . (2)y＝cos x在区间[0，π]上递减，所以cos ＞cos . 　比较两个余弦函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较． [变式训练] 3．比较下列各组数的大小： (1)cos 与cos；(2)cos与cos； (3)cos 与cos 2. 解：(1)因为cos＝cos＝cos， cos＝cos＝cos .又函数y＝cos x在[0，π]上是减函数，所以cos<cos ， 所以cos<cos. (2)cos＞0，cos ＜0，cos ＞cos . (3)因为＜2＜＜π，y＝cos x在上单调递减，所以cos ＜cos 2. 　余弦函数的最值(值域) 　(1)求使函数y＝cos x－1取得最大值，最小值的自变量x的取值范围，并分别写出最大值，最小值． [解]　由题意，函数y＝cos x－1，当x＝2kπ，k∈Z时，y＝cos x取得最大值1，所以函数的最大值为ymax＝×1－1＝－；当x＝2kπ＋π，k∈Z时，y＝cos x取得最小值－1，所以函数的最小值为ymin＝×(－1)－1＝－. (2)函数y＝sin2x－cos x＋2，x∈的最大值是　_____　. [解析]　y＝sin2 x－cos x＋2＝1－cos2 x－cos x＋2＝－cos2 x－cos x＋3＝－＋3＝－2＋. ≤x≤，0≤cos x≤，所以当x＝，cos x＝0时， 函数y＝sin2 x－cos x＋2取得最大值为3. [答案]　3 余弦函数最值问题的类型及求解方法 (1)形如y＝acos x型，可利用余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论． (2)形如y＝acos2 x＋bcos x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝cos x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定． [变式训练] 4．(1)函数y＝cos x的值域为　________　. 解析：因为y＝cos x在[0，π]上是递减函数， 所以y＝cos x在上是递减函数． 所以当x＝0时，ymax＝cos 0＝1， 当x＝时，ymin＝cos ＝. 所以函数y＝cos x的值域是. 答案： (2)函数y＝2cos2 x＋2cos x，x∈，求函数的值域． 解：因为y＝22－， 又因为x∈，所以cos x∈[0,1]， 当且仅当cos x＝0时，ymin＝0，cos x＝1时， ymax＝4. 故函数的值域为[0,4]． 利用余弦函数图象解决图象交点问题 　方程cos x＝在x∈上有两个不同的实数根，求实数a的取值范围． [解]　作出y＝cos x，x∈与y＝的大致图象，如图所示． 由图象，可知当≤＜1，即－1＜a≤0时， y＝cos x，x∈的图象与y＝的图象有两个交点， 即方程cos x＝在x∈上有两个不同的实数根，故实数a的取值范围为(－1,0]． 利用余弦函数图象解决交点问题的关键是通过所给方程两边分别构造两个函数，用五点法画出余弦函数的图象，数形结合解决问题．三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用． [变式训练] 5．(1)从函数y＝cos x，x∈[0,2π)的图象来看，当x∈[0,2π)时，对于cos x＝－的x的值有(　　) A．0个　　B．1个　　　C．2个　　　D．3个 (2)方程x2－cos x＝0的实数解的个数是　______　. 解析：(1)先画出f(x)＝cos x，x∈[0,2π)的图象，即A与D之间的部分，再画出g(x)＝－的图象，如图： 由图象可知它们有2个交点B、C，所以当x∈[0,2π)时，cos x＝－的x的值有2个，故选C. (2)作函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示， 由图象可知，原方程有两个实数解． 答案：(1)C　(2)2 1．下列对y＝cos x的图象描述错误的是(　　) A．在[0,2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同 B．关于x轴对称 C．介于直线y＝1与直线y＝－1之间 D．与y轴仅有一个交点 解析：B　[对于A，由余弦函数的周期T＝2π，则区间[0,2π]和[4π，6π]相差4π，故图象形状相同，只是位置不同，A正确；对于C，由余弦函数的值域为[－1,1]，故其图象介于直线y＝1与直线y＝－1之间，C正确；由余弦函数的图象，可得B错误，D正确，故选B.] 2．设M和m分别表示函数y＝cos x－1的最大值和最小值，则M＋m等于(　　) A.　　B．－　　　C．－　　　D．－2 解析：D　[因为－1≤cos x≤1，所以－≤cos x－1≤－，所以M＝－，m＝－，所以M＋m＝－2，故选D.] 3．函数f(x)＝的定义域是　___________　. 解析：因为cos x－1≥0，所以cos x≥1，因为cos x≤1，所以cos x＝1，所以x＝2kπ(k∈Z)． 答案：{x|x＝2kπ(k∈Z)} 4．满足cos x＜0，x∈[0,2π]的x的取值范围是　__________　. 解析：作出函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，由图象可知，x∈[0,2π]上，满足cos x＜0的x的取值范围是. 答案： 1．函数y＝cos x的图象经过点(　　) A.　　　　　 　B. C．(π，0) D．(π，1) 解析：B　[由cos＝0，知函数y＝cos x的图象经过点，故选B.] 2．函数y＝|cos x|的一个单调增区间是(　　) A. B．[0，π] C. D. 解析：D　[将y＝cos x的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cos x|的图象，根据各选项判断只有D选项正确，故选D.] 3．已知函数y＝2 021sin x与y＝2 022cos x在下列区间内同为单调递增的是(　　) A. B. C. D. 解析：D　[由正弦函数的单调性可知，函数y＝2 021sin x在上单调递增； 由余弦函数的单调性可知，函数y＝2 022cos x在上单调递增； 所以函数y＝2 021sin x与y＝2 022cos x在下列区间内同为单调递增的是，故选D.] 4．已知函数y＝cos x，x∈，值域是(　　) A．[0,1]　　　　　 B．[－1,1] C. D. 解析：A　[由余弦函数的单调性，函数在上是增函数，在上是减函数，故其最大值在x＝0处取到为1，最小值在x＝处取到为0，故值域是[0,1]，故选A.] 5．从函数y＝cos x，x∈[0,2π)的图象来看，对应于cos x＝的x有(　　) A．1个值 B．2个值 C．3个值 D．4个值 解析：B　[如图所示，y＝cos x，x∈[0,2π)与y＝的图象有2个交点，所以方程有2个解，故选B.] 6．函数y＝2－sin x取得最大值时x的取值集合为　________　. 解析：当sin x＝－1时，ymax＝2－(－1)＝3，此时x＝2kπ－，k∈Z. 答案： 7．函数y＝的定义域为(　　) A. B.，k∈Z C.，k∈Z D．R 解析：C　[函数y＝有意义，需cos x≥，解得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，所以函数的定义域为，k∈Z.故选C.] 8．函数y＝－cos x的单调递增区间是　___________　. 解析：根据复合函数的单调性知，函数y＝－cos x的单调增区间对应函数y＝cos x的单调减区间，根据余弦函数的单调性知，函数y＝cos x的单调减区间为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z，所以函数y＝－cos x的单调增区间为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z. 答案：[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z 9．函数y＝sin x和y＝cos x都为减函数的区间是　__________　. 解析：y＝sin x的减区间是(k∈Z)，y＝cos x的减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)，故函数y＝sin x和y＝cos x都为减函数的区间(k∈Z)． 答案：(k∈Z) 10．已知函数y＝a－bcos x(b>0)的最大值是，最小值是－，求a，b的值． 解：由已知，当cos x＝－1时，y有最大值a＋b＝，当cos x＝1时，y有最小值a－b＝，联立两式解得a＝1，b＝. 11．当x∈[0,2π]时，满足cos≥－的x的取值范围是(　　) A.　　　　　　B. C.∪ D. 解析：C　[由cos≥－⇔sin x≥－，又x∈[0,2π]，所以sin ＝－，sin ＝－.再结合正弦函数图象，可得x的取值范围为∪，故选C.] 12．已知函数y＝2cos x的定义域为，值域为[a，b]，则b－a的值是(　　) A．2　　B．3　　　C.＋2　　　D．2 解析：B　[根据三角函数的定义域，求出值域，也即求得a，b的值，进而求得b－a的值． 由于x∈，故cos x∈，2cos x∈[－2,1]，即a＝－2，b＝1，b－a＝3，故选B.] 13．已知函数f(x)＝acos x＋b的最大值为1，最小值为－3，则函数g(x)＝bsin x＋a的最大值为　________　，最小值为　________　. 解析：由题意知或解得或故函数g(x)的最大值为a－b＝a＋1，即最大值为3或－1，函数g(x)的最小值为a＋b＝a－1，即最小值为1或－3. 答案：－1或3　1或－3 14．利用函数y＝sin x，x∈[－π，π]与y＝cos x，x∈[－π，π]的图象，在x∈[－π，π]内求sin x＜0且cos x＜0时x的取值范围． 解：在同一坐标系下作出y＝sin x，x∈[－π，π]与y＝cos x，x∈[－π，π]的图象，如图所示： 故sin x＜0且cos x＜0时x的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$5．3.2　余弦函数的图象和性质 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第五章 三角函数 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 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\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)，是确定余弦函数y＝cos x在[0,2π]上的图象的关键点．把这五点在坐标系中描出，再用光滑的曲线将它们联接起来，就得到[0,2π]上余弦函数的简图了，这是余弦函数图象的五点法作图． 3．余弦曲线 余弦函数y＝cos x，x∈R的图象称为余弦曲线，余弦曲线关于y轴对称，它是轴对称图形 [知识点二]　余弦函数的性质　 　　 函数 性质　　 y＝cos x 定义域 R 图象 值域 [－1,1] 最值 当x＝2kπ(k∈Z)时，y取最大值，ymax＝1； 当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，y取最小值，ymin＝－1 对称性 对称轴：x＝kπ (k∈Z)；对称中心：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0)) 最小正周期 2π 单调性 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上递增； 在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上递减 奇偶性 偶函数 1.从图象的变化趋势来看，正弦、余弦函数的最大值、最小值点分别处在什么位置？ 提示：正弦、余弦函数的最大值、最小值点均处于图形拐弯的地方． 2．余弦函数在[－π，π]上，函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？ 提示：观察图象可知： 当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x的值由－1增大到1；当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得 当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是增函数，函数值由－1增大到1； 当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是减函数，函数值由1减小到－1. 1．已知点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，m))在余弦曲线上，则m＝(　　) A.eq \f(\r(3),2)　　B．－eq \f(\r(3),2)　　　C.eq \f(1,2)　　　D．－eq \f(1,2) 解析：B　[因为点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，m))在余弦函数y＝cos x的图象上，所以m＝coseq \f(5π,6)＝－eq \f(\r(3),2)，故选B.] 2．函数y＝cos 2x的奇偶性为(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 解析：B　[f(－x)＝cos 2(－x)＝cos 2x＝f(x)，故y＝cos 2x是偶函数．] 3．在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上，下列说法正确的是(　　) A．y＝sin x是增函数，且y＝cos x是减函数 B．y＝sin x是减函数，且y＝cos x是增函数 C．y＝sin x是增函数，且y＝cos x是增函数 D．y＝sin x是减函数，且y＝cos x是减函数 解析：A　[由正余弦函数的图象可知，在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上，y＝sin x是增函数，且y＝cos x是减函数，故选A.] 4．函数f(x)＝－cos x＋3的值域是　_______　. 解析：因为cos x∈[－1,1]，所以－cos x＋3∈[2,4]，所以f(x)的值域为[2,4]． 答案：[2,4] 　“五点法”作余弦函数的图象 　用“五点法”作出函数y＝2＋cos x， x∈[0,2π]的简图． [解]　按五个关键点列表： x 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π cos x 1 0 －1 0 1 2＋cos x 3 2 1 2 3 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示． 用“五点法”画函数y＝Acos x＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤 1．列表： x 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π cos x 1 0 －1 0 1 y y1 y2 y3 y4 y5 2.描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，y2))，(π，y3)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，y4))，(2π，y5)． 3．连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来． [变式训练] 1．利用“五点法”作出函数y＝－1－cos x(0≤x≤2π)的简图． 解： 列表： x 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π cos x 1 0 －1 0 1 －1－cos x －2 －1 0 －1 －2 描点作图，如图所示． 　利用余弦函数图象解不等式 　根据y＝cos x的图象解不等式－eq \f(\r(3),2)≤cos x≤eq \f(1,2)，x∈[0,2π]． [解]　函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象如图所示． 由余弦函数的图象可知，在一个周期[0,2π]内， 满足不等式－eq \f(\r(3),2)≤cos x≤eq \f(1,2).对应的范围是eq \f(π,3)≤x≤eq \f(5π,6)或eq \f(7π,6)≤x≤eq \f(5π,3)， 故不等式的解集为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(5π,6)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)，\f(5π,3))). 利用三角函数图象解cos x>a的三个步骤 (1)作出直线y＝a，y＝cos x的图象． (2)确定cos x＝a的x值． (3)确定cos x>a的解集． [变式训练] 2．利用余弦函数的图象，求满足cos x≤eq \f(1,2)的x的集合． 解：作出余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2kπ，\f(5π,3)＋2kπ))，k∈Z. 　比较三角函数值的大小 　不求值，利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小： (1)cos eq \f(8π,5)与cos eq \f(9π,5)； (2)cos eq \f(4π,9)与cos eq \f(7π,9). [解]　(1)y＝cos x在区间[π，2π]上递增，所以coseq \f(8π,5)＜cos eq \f(9π,5). (2)y＝cos x在区间[0，π]上递减，所以cos eq \f(4π,9)＞cos eq \f(7π,9). 　比较两个余弦函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较． [变式训练] 3．比较下列各组数的大小： (1)cos eq \f(17π,8)与coseq \f(37π,9)；(2)coseq \f(2π,7)与coseq \f(6π,7)； (3)cos eq \f(2π,3)与cos 2. 解：(1)因为coseq \f(17π,8)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,8)))＝coseq \f(π,8)，coseq \f(37π,9)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(π,9)))＝cos eq \f(π,9).又函数y＝cos x在[0，π]上是减函数，所以coseq \f(π,8)<cos eq \f(π,9)，所以coseq \f(17π,8)<coseq \f(37π,9). (2)coseq \f(2π,7)＞0，cos eq \f(6π,7)＜0，cos eq \f(2π,7)＞cos eq \f(6π,7). (3)因为eq \f(π,2)＜2＜eq \f(2π,3)＜π，y＝cos x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递减，所以cos eq \f(2π,3)＜cos 2. 　余弦函数的最值(值域) 　(1)求使函数y＝eq \f(1,2)cos x－1取得最大值，最小值的自变量x的取值范围，并分别写出最大值，最小值． [解]　由题意，函数y＝eq \f(1,2)cos x－1，当x＝2kπ，k∈Z时，y＝cos x取得最大值1，所以函数的最大值为ymax＝eq \f(1,2)×1－1＝－eq \f(1,2)；当x＝2kπ＋π，k∈Z时，y＝cos x取得最小值－1，所以函数的最小值为ymin＝eq \f(1,2)×(－1)－1＝－eq \f(3,2). (2)函数y＝sin2x－cos x＋2，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))的最大值是　_____　. [解析]　y＝sin2 x－cos x＋2＝1－cos2 x－cos x＋2＝－cos2 x－cos x＋3＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2x＋cos x＋\f(1,4)－\f(1,4)))＋3＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx＋\f(1,2)))2＋eq \f(13,4). eq \f(π,3)≤x≤eq \f(π,2)，0≤cos x≤eq \f(1,2)，所以当x＝eq \f(π,2)，cos x＝0时， 函数y＝sin2 x－cos x＋2取得最大值为3. [答案]　3 余弦函数最值问题的类型及求解方法 (1)形如y＝acos x型，可利用余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论． (2)形如y＝acos2 x＋bcos x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝cos x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定． [变式训练] 4．(1)函数y＝cos xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(π,3)))的值域为　________　. 解析：因为y＝cos x在[0，π]上是递减函数， 所以y＝cos x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上是递减函数． 所以当x＝0时，ymax＝cos 0＝1，当x＝eq \f(π,3)时，ymin＝cos eq \f(π,3)＝eq \f(1,2). 所以函数y＝cos xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(π,3)))的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)). 答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) (2)函数y＝2cos2 x＋2cos x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求函数的值域． 解：因为y＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos x＋\f(1,2)))2－eq \f(1,2)， 又因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以cos x∈[0,1]， 当且仅当cos x＝0时，ymin＝0，cos x＝1时，ymax＝4. 故函数的值域为[0,4]． 利用余弦函数图象解决图象交点问题 　方程cos x＝eq \f(1－a,2)在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，π))上有两个不同的实数根，求实数a的取值范围． [解]　作出y＝cos x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，π))与y＝eq \f(1－a,2)的大致图象，如图所示． 由图象，可知当eq \f(1,2)≤eq \f(1－a,2)＜1，即－1＜a≤0时， y＝cos x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，π))的图象与y＝eq \f(1－a,2)的图象有两个交点， 即方程cos x＝eq \f(1－a,2)在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，π))上有两个不同的实数根，故实数a的取值范围为(－1,0]． 利用余弦函数图象解决交点问题的关键是通过所给方程两边分别构造两个函数，用五点法画出余弦函数的图象，数形结合解决问题．三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用． [变式训练] 5．(1)从函数y＝cos x，x∈[0,2π)的图象来看，当x∈[0,2π)时，对于cos x＝－eq \f(\r(3),2)的x的值有(　　) A．0个　　B．1个　　　C．2个　　　D．3个 (2)方程x2－cos x＝0的实数解的个数是　______　. 解析：(1)先画出f(x)＝cos x，x∈[0,2π)的图象，即A与D之间的部分，再画出g(x)＝－eq \f(\r(3),2)的图象，如图： 由图象可知它们有2个交点B、C，所以当x∈[0,2π)时，cos x＝－eq \f(\r(3),2)的x的值有2个，故选C. (2)作函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示， 由图象可知，原方程有两个实数解． 答案：(1)C　(2)2 1．下列对y＝cos x的图象描述错误的是(　　) A．在[0,2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同 B．关于x轴对称 C．介于直线y＝1与直线y＝－1之间 D．与y轴仅有一个交点 解析：B　[对于A，由余弦函数的周期T＝2π，则区间[0,2π]和[4π，6π]相差4π，故图象形状相同，只是位置不同，A正确；对于C，由余弦函数的值域为[－1,1]，故其图象介于直线y＝1与直线y＝－1之间，C正确；由余弦函数的图象，可得B错误，D正确，故选B.] 2．设M和m分别表示函数y＝eq \f(1,3)cos x－1的最大值和最小值，则M＋m等于(　　) A.eq \f(2,3)　　B．－eq \f(2,3)　　　C．－eq \f(4,3)　　　D．－2 解析：D　[因为－1≤cos x≤1，所以－eq \f(4,3)≤eq \f(1,3)cos x－1≤－eq \f(2,3)，所以M＝－eq \f(2,3)，m＝－eq \f(4,3)，所以M＋m＝－2，故选D.] 3．函数f(x)＝eq \r(cos x－1)的定义域是　___________　. 解析：因为cos x－1≥0，所以cos x≥1，因为cos x≤1，所以cos x＝1，所以x＝2kπ(k∈Z)． 答案：{x|x＝2kπ(k∈Z)} 4．满足cos x＜0，x∈[0,2π]的x的取值范围是　__________　. 解析：作出函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，由图象可知，x∈[0,2π]上，满足cos x＜0的x的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2))). 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2))) $$ 1．函数y＝cos x的图象经过点(　　) A.　　　　　 　B. C．(π，0) D．(π，1) 解析：B　[由cos＝0，知函数y＝cos x的图象经过点，故选B.] 2．函数y＝|cos x|的一个单调增区间是(　　) A. B．[0，π] C. D. 解析：D　[将y＝cos x的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cos x|的图象，根据各选项判断只有D选项正确，故选D.] 3．已知函数y＝2 021sin x与y＝2 022cos x在下列区间内同为单调递增的是(　　) A. B. C. D. 解析：D　[由正弦函数的单调性可知，函数y＝2 021sin x在上单调递增； 由余弦函数的单调性可知，函数y＝2 022cos x在上单调递增； 所以函数y＝2 021sin x与y＝2 022cos x在下列区间内同为单调递增的是，故选D.] 4．已知函数y＝cos x，x∈，值域是(　　) A．[0,1]　　　　　 B．[－1,1] C. D. 解析：A　[由余弦函数的单调性，函数在上是增函数，在上是减函数，故其最大值在x＝0处取到为1，最小值在x＝处取到为0，故值域是[0,1]，故选A.] 5．从函数y＝cos x，x∈[0,2π)的图象来看，对应于cos x＝的x有(　　) A．1个值 B．2个值 C．3个值 D．4个值 解析：B　[如图所示，y＝cos x，x∈[0,2π)与y＝的图象有2个交点，所以方程有2个解，故选B.] 6．函数y＝2－sin x取得最大值时x的取值集合为　________　. 解析：当sin x＝－1时，ymax＝2－(－1)＝3，此时x＝2kπ－，k∈Z. 答案： 7．函数y＝的定义域为(　　) A. B.，k∈Z C.，k∈Z D．R 解析：C　[函数y＝有意义，需cos x≥，解得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，所以函数的定义域为，k∈Z.故选C.] 8．函数y＝－cos x的单调递增区间是　___________　. 解析：根据复合函数的单调性知，函数y＝－cos x的单调增区间对应函数y＝cos x的单调减区间，根据余弦函数的单调性知，函数y＝cos x的单调减区间为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z，所以函数y＝－cos x的单调增区间为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z. 答案：[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z 9．函数y＝sin x和y＝cos x都为减函数的区间是　__________　. 解析：y＝sin x的减区间是(k∈Z)，y＝cos x的减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)，故函数y＝sin x和y＝cos x都为减函数的区间(k∈Z)． 答案：(k∈Z) 10．已知函数y＝a－bcos x(b>0)的最大值是，最小值是－，求a，b的值． 解：由已知，当cos x＝－1时，y有最大值a＋b＝，当cos x＝1时，y有最小值a－b＝，联立两式解得a＝1，b＝. 11．当x∈[0,2π]时，满足cos≥－的x的取值范围是(　　) A.　　　　　　B. C.∪ D. 解析：C　[由cos≥－⇔sin x≥－，又x∈[0,2π]，所以sin ＝－，sin ＝－.再结合正弦函数图象，可得x的取值范围为∪，故选C.] 12．已知函数y＝2cos x的定义域为，值域为[a，b]，则b－a的值是(　　) A．2　　B．3　　　C.＋2　　　D．2 解析：B　[根据三角函数的定义域，求出值域，也即求得a，b的值，进而求得b－a的值． 由于x∈，故cos x∈，2cos x∈[－2,1]，即a＝－2，b＝1，b－a＝3，故选B.] 13．已知函数f(x)＝acos x＋b的最大值为1，最小值为－3，则函数g(x)＝bsin x＋a的最大值为　________　，最小值为　________　. 解析：由题意知或解得或故函数g(x)的最大值为a－b＝a＋1，即最大值为3或－1，函数g(x)的最小值为a＋b＝a－1，即最小值为1或－3. 答案：－1或3　1或－3 14．利用函数y＝sin x，x∈[－π，π]与y＝cos x，x∈[－π，π]的图象，在x∈[－π，π]内求sin x＜0且cos x＜0时x的取值范围． 解：在同一坐标系下作出y＝sin x，x∈[－π，π]与y＝cos x，x∈[－π，π]的图象，如图所示： 故sin x＜0且cos x＜0时x的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$