5.3.1 正弦函数的图象和性质（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块 上册同步教案（人教版2021）

5．3　三角函数的图象和性质 5．3.1　正弦函数的图象和性质 [学习目标] 1．了解周期函数的概念； 2．了解利用单位圆作正弦函数图象的方法，会用“五点法”画正弦函数的图象； 3．会用正弦函数的图象解简单问题； 4．掌握函数y＝sin x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性； 5．掌握y＝sin x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值； 6．掌握y＝sin x的单调性，并能利用单调性比较大小． 如果现在是早上9点钟，问你：24小时以后是几点钟？你会毫不犹豫地回答：还是早上9点钟．因为你很清楚，0点、1点、2点、3点……23点，每隔24小时就重复出现一次，如果今天是星期一，问你：7天以后是星期几？你也会回答：还是星期一．因为你很清楚，星期一、星期二……星期天，每隔7天就重复出现一次．相同的间隔重复出现的现象称为周期现象，如“24小时1天”“7天1星期”“365天1年”就是我们所熟悉的周期现象．自然界中有很多周期现象，如日出日落、月圆月缺、四季交替等．正弦函数、余弦函数．是否有这样的周期性呢？这就需要研究正弦函数的图象和性质． [知识点一]　周期函数 　 1．一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为0的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，有　f(x＋T)＝f(x)　，则把函数y＝f(x) 称为周期函数，这个不为0的常数T称为y＝f(x)的周期． 2．如果周期函数y＝f(x)的所有周期中，存在一个最小的正数T0，那么这个最小的正数T0就称为y＝f(x)的最小正周期． 1.对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内无数个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么f(x)是周期函数吗？ 提示：f(x)不是周期函数，因为x应取定义域内每一个值． 2．周期函数都有最小正周期吗？ 提示：并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数f(x)＝C，任一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期． [知识点二]　正弦函数的图象　 1．利用单位圆中的正弦线作画正弦函数的图象 在平面直角坐标系的x轴上任取一点 O1 ，以 O1 为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点 A 起，把圆分为12等份． 过圆上各分点分别作 x 轴的垂线，可以得到孤度为0，，，，...,2π的角的正弦线．相应地，再把x轴上0～2π这一段分成12等份，每个分点分别对应于 x＝0，，，，...,2π，分别过这些分点作这些弧度数对应的正弦线，再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到正弦函数y＝sin x , x∈[0,2π]的图象． 2．“五点法”作正弦函数y＝sin x , x∈[0,2π]的图象 在精确度要求不太高时，常常先找出五个关键点(0,0)，，(π，0)，(2π，0)，再用光滑的曲线将它们联接起来，就得到[0,2π]上正弦函数的简图了，这种作图方法称为五点法． 3．正弦曲线 正弦函数y＝sin x，x∈R的图象称为正弦曲线，如下图 [知识点三]　正弦函数的性质　 　　 函数 性质　　 y＝sin x 定义域 R 图象 y＝sin x，x∈[0,2π] 值域 [－1,1] 最值 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，y取最大值，ymax＝1； 当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，y取最小值，ymin＝－1 对称性 对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)；对称中心：(kπ，0) 周期性 2π 单调性 单调增区间： (k∈Z)； 单调减区间： (k∈Z) 奇偶性 奇函数 　3.在作y＝2＋sin x的图象时，应抓住哪些关键点？ 提示：作正弦函数y＝2＋sin x，x∈[0,2π]的图象时，起关键作用的点有以下五个： (0,2)，，(π，2)，，(2π，2)． 1．用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是(　　) A．0，，π，π，2π　　　 B．0，，，π，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 答案：B 2．正弦函数y＝sin x，x∈R的图象的一条对称轴是(　　) A．y轴 B．x轴 C．直线x＝ D．直线x＝π 解析：C　[根据正弦函数图象性质可知，当x＝时，y取最大值，则x＝是一条对称轴，故选C.] 3．如图所示的是定义在R上的四个函数的图象，其中不是周期函数的图象的是(　　) 解析：D　[观察题图易知，只有D选项中的图象不是周期函数的图象．] 4．函数y＝sin x的单调递增区间为　____________　. 解析：因为y＝sin x，所以函数的增区间为，(k∈Z)． 答案：，(k∈Z) 　“五点法”作正弦函数的图象 　用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y＝sin x－1，x∈[0,2π]； (2)y＝－sin x，x∈[0,2π] [解]　(1)按五个关键点列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 sin x－1 －1 0 －1 －2 －1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示． (2)利用“五点法”作图． 列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 －sin x 0 －1 0 1 0 描点作图，如图． 作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0,2π]的图象的三个步骤 [变式训练] 1．用“五点法”作出函数y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]的图象． 解：找五个关键点列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1＋2sin x 1 3 1 －1 1 在直角坐标系中描出五点(0,1)，，(π，1)，，(2π，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]的图象． 　利用正弦函数图象解不等式 　(1)函数f(x)＝1＋的定义域为　__________　. [解析]　由题意，2sin x－1＞0⇒sin x＞⇒x∈(k∈Z)． [答案]　(k∈Z) (2)求函数y＝ 的定义域． [解]　为使函数有意义，则需要满足2sin x－≥0，即sin x≥.由正弦函数图象可知满足条件的x为＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.所以原函数定义域为. 利用三角函数图象解sin x>a的三个步骤 (1)作出直线y＝a，y＝sin x的图象． (2)确定sin x＝a的x值． (3)确定sin x>a的解集． 注意：解三角不等式sin x>a，如是不限定范围时，一般先用图象求出[0,2π]范围内x的取值范围，然后根据终边相同角的同一三角函数值相等，写出原不等式的解集． [变式训练] 2．利用正弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合． (1)sin x≥； (2)<sin x≤. 解：(1)作出正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为，k∈Z. (2)首先作出y＝sin x在[0,2π]上的图象．如图所示，作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和； 作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和. 观察图象可知，在[0,2π]上，当<x≤，或≤x<时，不等式<sin x≤成立． 所以<sin x≤的解集为 . 　正弦函数的周期性、奇偶性 　(1)求函数f(x)＝|sin x|的最小正周期； (2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，求f的值． [解]　(1)解法一：(定义法) 因为f(x)＝|sin x|， 所以f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝f(x)， 所以f(x)的最小正周期为π. 解法二：(图象法) 函数y＝|sin x|的图象如图所示， 由图象可知最小正周期为π. (2)因为f(x)的最小正周期是π， 所以f＝f＝f. 因为f(x)是R上的偶函数， 所以f＝f＝sin＝. 所以f＝. 求三角函数周期的方法 1．定义法：即利用周期函数的定义求解． 2．图象法：即通过观察函数图象求其周期． [变式训练] 3．(1)写出一个同时具有性质①f(0)＝；②f(x＋2π)＝f(x)的函数f(x)＝　______　(注：f(x)不是常数函数)； (2)函数f(x)为偶函数且f＝－f(x)，f＝1，则f＝　________　. 解析：(1)由f(x＋2π)＝f(x)知函数以2π为周期，又f(0)＝，所以f(x)＝sin x＋， 满足条件． (2)因为f＝－f(x)，所以f(x＋π)＝f(x)，即T＝π，f＝f＝f＝ f＝1. 答案：(1) f(x)＝sin x＋，(答案不唯一)　(2)1 　三角函数值的大小比较 　不求值，利用正弦函数的单调性，比较下列各组数的大小： (1)sin 与sin ；(2)sin 1与sin 2；(3)sin 196°与sin 294°；(4)sin 220°与sin 310°. [解]　(1) 因为y＝sin x在区间上递增， 所以sin ＞sin . (2)1＜＜π－2＜，sin 2＝sin(π－2)， 因为y＝sin x在区间上递增， 所以sin 1＜sin(π－2)＝sin 2. (3)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，sin 294°＝sin(360°－66°)＝－sin 66°，因为0°＜16°＜66°＜90°，y＝sin x在区间[0°，90°]上递增，所以sin 16°＜sin 66°，从而－sin 16°＞－sin 66°，即sin 196°＞sin 294°. (4)sin 220°＝sin(180°＋40°)＝－sin 40°， sin 310°＝sin(360°－50°)＝－sin 50°， 因为y＝sin x在区间[0°，90°]上递增，所以sin 40°＜sin 50°，－sin 40°＞－sin 50°，即sin 220°>sin 310°. 比较三角函数值大小的方法 比较两个正弦函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较． [变式训练] 4．比较下列各组数的大小． (1)sin(－320°)与sin 700°；(2)sin 400°与sin 50°；(3)sin π与sin π. 解：(1)因为sin(－320°)＝sin(－360°＋40°)＝sin 40°， sin 700°＝sin(720°－20°)＝sin(－20°)， 又函数y＝sin x在上是增函数， 所以sin 40°>sin(－20°)， 所以sin(－320°)>sin 700°. (2)sin 400°＝sin(360°＋40°)＝sin 40°， 因为y＝sin x在区间[0°，90°]上递增，sin 40°＜sin 50°，即sin 400°＜sin 50°. (3)因为y＝sin x在区间上递增， 所以sin ＝sin＝sin＜sin . 　正弦函数的最值 　(1)求y＝1－sin x的最大值、最小值，并指出取到最值时x的值； (2)求函数y＝cos2x－sin x＋1的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时x的值． [解]　(1)由题意，函数y＝1－sin x， 当sin x＝－1时，即x＝＋2kπ，k∈Z时，函数取得最大值ymax＝2； 当sin x＝1时，即x＝＋2kπ，k∈Z时，函数取得最小值ymin＝0. (2)令t＝sin x，则cos2x＝1－sin2x＝1－t2，所以y＝－t2－t＋2，t∈[－1,1]．所以y＝－t2－t＋2＝－2＋，t∈[－1,1]，当t＝－，即sin x＝－，x＝－＋2kπ(k∈Z)或x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝；当t＝1，即sin x＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝0. 正弦函数最值问题的类型及求解方法 (1)形如y＝asin x型，可利用正弦函数的有界性，注意对a正负的讨论． (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定． [变式训练] 5．(1)已知函数f(x)＝sin x＋2，当x∈[0,2π]时，求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值． 解：由f(x)图象可知，当x∈[0,2π]时，f(x)在x＝时，f(x)max＝f＝sin＋2＝3. (2)函数f(x)＝sin2x＋cos x－，当x＝　______　时，f(x)的最大值为　______　. 解析：f(x)＝sin2 x＋cos x－＝1－cos2 x＋cos x－＝－cos2 x＋cos x＋＝－2＋，所以cos x＝时，f(x)max＝，此时x＝2kπ±，k∈Z. 答案：2kπ±，k∈Z　 　正弦函数图象的简单应用 　画出函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象． (1)试写出y>1及y<1的自变量的取值范围； (2)判断其函数图象与直线y＝的交点个数． [解]　用五点法画出函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象，如图所示． (1)由图象可知，当x∈(0，π)时，y>1；当x∈(π，2π)时，0<y<1. (2)在平面直角坐标系中作出直线y＝，如图所示，可知此直线与函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象有两个交点． 求方程根的个数的两种判断方法 (1)代数法：直接求出方程的根，得到根的个数． (2)几何法：①方程两边直接作差构造一个函数，作出函数的图象，利用对应函数的图象，观察与x轴的交点个数，有几个交点原方程就有几个根； ②转化为两个函数，分别作这两个函数的图象，观察交点个数，有几个交点原方程就有几个根． [变式训练] 6．已知直线y＝a，函数y＝sin x，x∈[0,2π]，试探求以下问题． (1)当a为何值时，直线y＝a与函数y＝sin x的图象只有一个交点？ (2)当a为何值时，直线与函数图象有两个交点？ 解：由图象易知(1)当a＝±1时，y＝a与函数图象只有一个交点． (2)当a∈(0,1)∪(－1,0)时，y＝a与函数图象有两个交点． 1．以下对于正弦函数y＝sin x的图象描述不正确的是(　　) A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k∈Z上的图象形状相同，只是位置不同 B．关于x轴对称 C．介于直线y＝1和y＝－1之间 D．与y轴仅有一个交点 解析：B　[观察y＝sin x的图象可知A，C，D正确，且关于原点中心对称，故选B.] 2．函数y＝sin(－x)，x∈[0,2π]的简图是(　　) 解析：B　[y＝sin(－x)＝－sin x，x∈[0,2π]的图象可看作是由y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于x轴对称后得到的．] 3．满足sin α＞的角的集合为(　　) A. B. C. D. 解析：D　[sin α＞⇒，故选D.] 4．比较大小：(1)sin 34°　___________　sin 47°； (2)sin　___________　sin. 解析：(1)因为y＝sin x在区间[0°，90°]上递增， 所以sin 34°＜sin 47°； (2)因为函数y＝sin x在上是增函数，且－＜－＜－＜， 所以sin＜sin. 答案：(1)＜　(2)＜ 5．已知函数y＝acos x＋b的最大值是0，最小值是－4，求a，b的值． 解：当a＞0时，解得； 当a＜0时，解得，所以a＝2，b＝－2或a＝b＝－2. 1．根据函数y＝sin x的图象，可得方程sin x＝0的解为(　　) A．x＝2kπ(k∈Z)　　　 B．x＝kπ(k∈Z) C．x＝＋kπ(k∈Z) D．x＝＋2kπ(k∈Z) 解析：B　[由题意和正弦函数y＝sin x的图象可知，sin x＝0可得x＝kπ(k∈Z)，故选B.] 2．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 解析：A　[由于x∈R，且f(－x)＝sin x＝－sin(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．] 3．三角函数y＝2sin x在区间[－π，π]上的图象为(　　) 解析：C　[因为y＝2sin x为奇函数，所以y＝2sin x的图象关于原点对称，故排除A、D选项，三角函数y＝2sin x在区间[－π，π]上的最大值为y＝2sin ＝2，故排除B选项，故选C.] 4．函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值分别为(　　) A．ymax＝3，x＝ B．ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z) C．ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z) D．ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z) 解析：C　[因为y＝2－sin x，所以当sin x＝－1时，ymax＝3，此时x＝－＋2kπ(k∈Z)．] 5．在[0,2π]内，不等式sin x＜－的解集是________________． 解析：画出y＝sin x在[0,2π]内的图像，如图所示， 由sin x＝－得x＝或x＝，由图可知不等式sin x＜－的解集为. 答案： 6．函数f(x)＝sin x在上的最小值为　__________　. 解析：由正弦函数的性质可知：f(x)＝sin x在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)＝sin x在x＝－处取得最小值－1. 答案：－1 7．函数y＝9－sin x的单调递增区间是_________________________． 解析：y＝9－sin x的单调递增区间与y＝sin x的单调递减区间相同，为，k∈Z. 答案：，k∈Z 8．在[0,2π]内，使sin x≥－成立的x的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D.∪ 解析：C　[画出正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，再作出直线y＝－，观察图象即得不等式sin x≥－的解集为∪.] 9．设函数f(x)＝A＋Bsin x，当B<0时，f(x)的最大值是，最小值是－，则A＝______________，B＝　________　. 解析：根据题意，得解得A＝，B＝－1. 答案：　－1 10．求函数y＝－sin2x＋sin x＋的最大值和最小值，并求出函数取得最大值和最小值时x的值． 解：y＝－sin2x＋sin x＋＝－2＋，令t＝sin x， 则y＝－2＋，t∈[－1,1]． 所以当t＝，即sin x＝，x＝2kπ＋或x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值，ymax＝； 当t＝－1，即sin x＝－1，x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最小值，ymin＝－－. 11．记a＝sin 1，b＝sin 2，c＝sin 3，则(　　) A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c 解析：B　[画出f(x)＝sin x的图象，如图所示，其中A(1，sin 1)，B(2，sin 2)，C(3，sin 3)，由图可知sin 3＜sin 1＜sin 2，即c＜a＜b，故选B.] 12．函数f(x)＝1－2sin2x＋2sin x的最大值与最小值的和是(　　) A．－2　　B．0　　　C．－　　　D．－ 解析：C　[令t＝sin x，则y＝－2t2＋2t＋1，t∈[－1,1]，y＝－2t2＋2t＋1＝－22＋， 所以当t＝时，y有最大值， 当t＝－1时，y有最小值－2－2＋1＝－3，所以最大值与最小值的和是－，故选C.] 13．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝　________　. 解析：因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数的周期是4. 因为f(x)在R上是奇函数，且当x∈(0,2)时， f(x)＝2x2，所以f(7)＝f(7－8)＝f(－1)＝－f(1)＝－2. 答案：－2 14．用“五点法”作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题： (1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间． ①y＞1；②y＜1； (2)若直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点，求a的取值范围． 解：列表如下： x －π － 0 π sin x 0 －1 0 1 0 1－2sin x 1 3 1 －1 1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图： (1)由图象可知，图象在直线y＝1上方部分时y＞1，在直线y＝1下方部分时y＜1， 所以①当x∈(－π，0)时，y＞1；②当x∈(0，π)时，y＜1. (2)如图所示，当直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点时，1＜a＜3或－1＜a＜1，所以a的取值范围是(－1,1)∪(1,3)． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．根据函数y＝sin x的图象，可得方程sin x＝0的解为(　　) A．x＝2kπ(k∈Z)　　　 B．x＝kπ(k∈Z) C．x＝＋kπ(k∈Z) D．x＝＋2kπ(k∈Z) 解析：B　[由题意和正弦函数y＝sin x的图象可知，sin x＝0可得x＝kπ(k∈Z)，故选B.] 2．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 解析：A　[由于x∈R，且f(－x)＝sin x＝－sin(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．] 3．三角函数y＝2sin x在区间[－π，π]上的图象为(　　) 解析：C　[因为y＝2sin x为奇函数，所以y＝2sin x的图象关于原点对称，故排除A、D选项，三角函数y＝2sin x在区间[－π，π]上的最大值为y＝2sin ＝2，故排除B选项，故选C.] 4．函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值分别为(　　) A．ymax＝3，x＝ B．ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z) C．ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z) D．ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z) 解析：C　[因为y＝2－sin x，所以当sin x＝－1时，ymax＝3，此时x＝－＋2kπ(k∈Z)．] 5．在[0,2π]内，不等式sin x＜－的解集是________________． 解析：画出y＝sin x在[0,2π]内的图像，如图所示， 由sin x＝－得x＝或x＝，由图可知不等式sin x＜－的解集为. 答案： 6．函数f(x)＝sin x在上的最小值为　__________　. 解析：由正弦函数的性质可知：f(x)＝sin x在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)＝sin x在x＝－处取得最小值－1. 答案：－1 7．函数y＝9－sin x的单调递增区间是_________________________． 解析：y＝9－sin x的单调递增区间与y＝sin x的单调递减区间相同，为，k∈Z. 答案：，k∈Z 8．在[0,2π]内，使sin x≥－成立的x的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D.∪ 解析：C　[画出正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，再作出直线y＝－，观察图象即得不等式sin x≥－的解集为∪.] 9．设函数f(x)＝A＋Bsin x，当B<0时，f(x)的最大值是，最小值是－，则A＝______________，B＝　________　. 解析：根据题意，得解得A＝，B＝－1. 答案：　－1 10．求函数y＝－sin2x＋sin x＋的最大值和最小值，并求出函数取得最大值和最小值时x的值． 解：y＝－sin2x＋sin x＋＝－2＋，令t＝sin x， 则y＝－2＋，t∈[－1,1]． 所以当t＝，即sin x＝，x＝2kπ＋或x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值，ymax＝； 当t＝－1，即sin x＝－1，x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最小值，ymin＝－－. 11．记a＝sin 1，b＝sin 2，c＝sin 3，则(　　) A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c 解析：B　[画出f(x)＝sin x的图象，如图所示，其中A(1，sin 1)，B(2，sin 2)，C(3，sin 3)，由图可知sin 3＜sin 1＜sin 2，即c＜a＜b，故选B.] 12．函数f(x)＝1－2sin2x＋2sin x的最大值与最小值的和是(　　) A．－2　　B．0　　　C．－　　　D．－ 解析：C　[令t＝sin x，则y＝－2t2＋2t＋1，t∈[－1,1]，y＝－2t2＋2t＋1＝－22＋， 所以当t＝时，y有最大值， 当t＝－1时，y有最小值－2－2＋1＝－3，所以最大值与最小值的和是－，故选C.] 13．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝　________　. 解析：因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数的周期是4. 因为f(x)在R上是奇函数，且当x∈(0,2)时， f(x)＝2x2，所以f(7)＝f(7－8)＝f(－1)＝－f(1)＝－2. 答案：－2 14．用“五点法”作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题： (1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间． ①y＞1；②y＜1； (2)若直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点，求a的取值范围． 解：列表如下： x －π － 0 π sin x 0 －1 0 1 0 1－2sin x 1 3 1 －1 1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图： (1)由图象可知，图象在直线y＝1上方部分时y＞1，在直线y＝1下方部分时y＜1， 所以①当x∈(－π，0)时，y＞1；②当x∈(0，π)时，y＜1. (2)如图所示，当直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点时，1＜a＜3或－1＜a＜1，所以a的取值范围是(－1,1)∪(1,3)． 学科网（北京）股份有限公司 $$5．3　三角函数的图象和性质 5．3.1　正弦函数的图象和性质 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第五章 三角函数 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 [学习目标] 1．了解周期函数的概念； 2．了解利用单位圆作正弦函数图象的方法，会用“五点法”画正弦函数的图象； 3．会用正弦函数的图象解简单问题； 4．掌握函数y＝sin x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性； 5．掌握y＝sin x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值； 6．掌握y＝sin x的单调性，并能利用单调性比较大小． 如果现在是早上9点钟，问你：24小时以后是几点钟？你会毫不犹豫地回答：还是早上9点钟．因为你很清楚，0点、1点、2点、3点……23点，每隔24小时就重复出现一次，如果今天是星期一，问你：7天以后是星期几？你也会回答：还是星期一．因为你很清楚，星期一、星期二……星期天，每隔7天就重复出现一次．相同的间隔重复出现的现象称为周期现象，如“24小时1天”“7天1星期”“365天1年”就是我们所熟悉的周期现象．自然界中有很多周期现象，如日出日落、月圆月缺、四季交替等．正弦函数、余弦函数．是否有这样的周期性呢？这就需要研究正弦函数的图象和性质． [知识点一]　周期函数 　 1．一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为0的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，有　f(x＋T)＝f(x)　，则把函数y＝f(x) 称为周期函数，这个不为0的常数T称为y＝f(x)的周期． 2．如果周期函数y＝f(x)的所有周期中，存在一个最小的正数T0，那么这个最小的正数T0就称为y＝f(x)的最小正周期． 1.对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内无数个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么f(x)是周期函数吗？ 提示：f(x)不是周期函数，因为x应取定义域内每一个值． 2．周期函数都有最小正周期吗？ 提示：并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数f(x)＝C，任一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期． [知识点二]　正弦函数的图象　 1．利用单位圆中的正弦线作画正弦函数的图象 在平面直角坐标系的x轴上任取一点 O1 ，以 O1 为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点 A 起，把圆分为12等份． 过圆上各分点分别作 x 轴的垂线，可以得到孤度为0，eq \f(π,6)，eq \f(π,3)，eq \f(π,2)，...,2π的角的正弦线．相应地，再把x轴上0～2π这一段分成12等份，每个分点分别对应于 x＝0，eq \f(π,6)，eq \f(π,3)，eq \f(π,2)，...,2π，分别过这些分点作这些弧度数对应的正弦线，再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到正弦函数y＝sin x , x∈[0,2π]的图象． 2．“五点法”作正弦函数y＝sin x , x∈[0,2π]的图象 在精确度要求不太高时，常常先找出五个关键点(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)，再用光滑的曲线将它们联接起来，就得到[0,2π]上正弦函数的简图了，这种作图方法称为五点法． 3．正弦曲线 正弦函数y＝sin x，x∈R的图象称为正弦曲线，如下图 [知识点三]　正弦函数的性质　 　　 函数 性质　　 y＝sin x 定义域 R 图象 y＝sin x，x∈[0,2π] 值域 [－1,1] 最值 当x＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，y取最大值，ymax＝1； 当x＝－eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，y取最小值，ymin＝－1 对称性 对称轴：x＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；对称中心：(kπ，0) 周期性 2π 单调性 单调增区间： eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)； 单调减区间： eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z) 奇偶性 奇函数 　3.在作y＝2＋sin x的图象时，应抓住哪些关键点？ 提示：作正弦函数y＝2＋sin x，x∈[0,2π]的图象时，起关键作用的点有以下五个： (0,2)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，3))，(π，2)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，1))，(2π，2)． 1．用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是(　　) A．0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3,2)π，2π　　　 B．0，eq \f(π,4)，eq \f(π,2)，eq \f(3,4)π，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，eq \f(π,6)，eq \f(π,3)，eq \f(π,2)，eq \f(2π,3) 答案：B 2．正弦函数y＝sin x，x∈R的图象的一条对称轴是(　　) A．y轴 B．x轴 C．直线x＝eq \f(π,2) D．直线x＝π 解析：C　[根据正弦函数图象性质可知，当x＝eq \f(π,2)时，y取最大值，则x＝eq \f(π,2)是一条对称轴，故选C.] 3．如图所示的是定义在R上的四个函数的图象，其中不是周期函数的图象的是(　　) 解析：D　[观察题图易知，只有D选项中的图象不是周期函数的图象．] 4．函数y＝sin x的单调递增区间为　____________　. 解析：因为y＝sin x，所以函数的增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))，(k∈Z)． 答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))，(k∈Z) 　“五点法”作正弦函数的图象 　用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y＝sin x－1，x∈[0,2π]； (2)y＝－sin x，x∈[0,2π] [解]　(1)按五个关键点列表： x 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π sin x 0 1 0 －1 0 sin x－1 －1 0 －1 －2 －1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示． (2)利用“五点法”作图． 列表： x 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π sin x 0 1 0 －1 0 －sin x 0 －1 0 1 0 描点作图，如图． 作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0,2π]的图象的三个步骤 [变式训练] 1．用“五点法”作出函数y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]的图象． 解：找五个关键点列表： x 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π sin x 0 1 0 －1 0 1＋2sin x 1 3 1 －1 1 在直角坐标系中描出五点(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，3))，(π，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]的图象． [答案]　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋2kπ，\f(5π,6)＋2kπ))(k∈Z) 　利用正弦函数图象解不等式 　(1)函数f(x)＝1＋eq \f(1,\r(2sin x－1))的定义域为　__________　. [解析]　由题意，2sin x－1＞0⇒sin x＞eq \f(1,2)⇒x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋2kπ，\f(5π,6)＋2kπ))(k∈Z)． (2)求函数y＝ eq \r(2sin x－\r(2))的定义域． [解]　为使函数有意义，则需要满足2sin x－eq \r(2)≥0，即sin x≥eq \f(\r(2),2).由正弦函数图象可知满足条件的x为eq \f(π,4)＋2kπ≤x≤eq \f(3π,4)＋2kπ，k∈Z.所以原函数定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(π,4)＋2kπ≤x≤\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z)). 利用三角函数图象解sin x>a的三个步骤 (1)作出直线y＝a，y＝sin x的图象． (2)确定sin x＝a的x值． (3)确定sin x>a的解集． 注意：解三角不等式sin x>a，如是不限定范围时，一般先用图象求出[0,2π]范围内x的取值范围，然后根据终边相同角的同一三角函数值相等，写出原不等式的解集． [变式训练] 2．利用正弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合． (1)sin x≥eq \f(1,2)； (2)eq \f(1,2)<sin x≤eq \f(\r(3),2). 解：(1)作出正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋2kπ，\f(5π,6)＋2kπ))，k∈Z. (2)首先作出y＝sin x在[0,2π]上的图象．如图所示，作直线y＝eq \f(1,2)，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为eq \f(π,6)和eq \f(5π,6)； 作直线y＝eq \f(\r(3),2)，该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为eq \f(π,3)和eq \f(2π,3). 观察图象可知，在[0,2π]上，当eq \f(π,6)<x≤eq \f(π,3)，或eq \f(2π,3)≤x<eq \f(5π,6)时，不等式eq \f(1,2)<sin x≤eq \f(\r(3),2)成立．所以eq \f(1,2)<sin x≤eq \f(\r(3),2)的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(π,6)＋2kπ<x≤\f(π,3)＋2kπ或\f(2π,3)＋2kπ≤x<\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z)). 　正弦函数的周期性、奇偶性 　(1)求函数f(x)＝|sin x|的最小正周期； (2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝sin x，求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))的值． [解]　(1)解法一：(定义法) 因为f(x)＝|sin x|，所以f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝f(x)， 所以f(x)的最小正周期为π. 解法二：(图象法) 函数y＝|sin x|的图象如图所示， 由图象可知最小正周期为π. (2)因为f(x)的最小正周期是π， 所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)－2π))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3))). 因为f(x)是R上的偶函数， 所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2). 所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))＝eq \f(\r(3),2). 求三角函数周期的方法 1．定义法：即利用周期函数的定义求解． 2．图象法：即通过观察函数图象求其周期． [变式训练] 3．(1)写出一个同时具有性质①f(0)＝eq \f(1,2)；②f(x＋2π)＝f(x)的函数f(x)＝　______　(注：f(x)不是常数函数)； (2)函数f(x)为偶函数且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝－f(x)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝1，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))＝　________　. 解析：(1)由f(x＋2π)＝f(x)知函数以2π为周期，又f(0)＝eq \f(1,2)，所以f(x)＝sin x＋eq \f(1,2)， 满足条件． (2)因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝－f(x)，所以f(x＋π)＝f(x)，即T＝π，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)－2π))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝1. 答案：(1) f(x)＝sin x＋eq \f(1,2)，(答案不唯一)　(2)1 　三角函数值的大小比较 　不求值，利用正弦函数的单调性，比较下列各组数的大小： (1)sin eq \f(1,2)与sin eq \f(1,3)；(2)sin 1与sin 2；(3)sin 196°与sin 294°；(4)sin 220°与sin 310°. [解]　(1) 因为y＝sin x在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上递增， 所以sin eq \f(1,2)＞sin eq \f(1,3). (2)1＜eq \f(π,3)＜π－2＜eq \f(π,2)，sin 2＝sin(π－2)， 因为y＝sin x在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上递增， 所以sin 1＜sin(π－2)＝sin 2. (3)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，sin 294°＝sin(360°－66°)＝－sin 66°，因为0°＜16°＜66°＜90°，y＝sin x在区间[0°，90°]上递增，所以sin 16°＜sin 66°，从而－sin 16°＞－sin 66°，即sin 196°＞sin 294°. (4)sin 220°＝sin(180°＋40°)＝－sin 40°， sin 310°＝sin(360°－50°)＝－sin 50°， 因为y＝sin x在区间[0°，90°]上递增，所以sin 40°＜sin 50°，－sin 40°＞－sin 50°，即sin 220°>sin 310°. 比较三角函数值大小的方法 比较两个正弦函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较． [变式训练] 4．比较下列各组数的大小． (1)sin(－320°)与sin 700°；(2)sin 400°与sin 50°；(3)sin eq \f(2,7)π与sineq \f(6,7) π. 解：(1)因为sin(－320°)＝sin(－360°＋40°)＝sin 40°， sin 700°＝sin(720°－20°)＝sin(－20°)， 又函数y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函数， 所以sin 40°>sin(－20°)， 所以sin(－320°)>sin 700°. (2)sin 400°＝sin(360°＋40°)＝sin 40°， 因为y＝sin x在区间[0°，90°]上递增，sin 40°＜sin 50°，即sin 400°＜sin 50°. (3)因为y＝sin x在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上递增， 所以sin eq \f(6π,7)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,7)))＝sineq \f(π,7)＜sin eq \f(2π,7). 　正弦函数的最值 　(1)求y＝1－sin x的最大值、最小值，并指出取到最值时x的值； (2)求函数y＝cos2x－sin x＋1的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时x的值． [解]　(1)由题意，函数y＝1－sin x， 当sin x＝－1时，即x＝eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z时，函数取得最大值ymax＝2； 当sin x＝1时，即x＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，函数取得最小值ymin＝0. (2)令t＝sin x，则cos2x＝1－sin2x＝1－t2，所以y＝－t2－t＋2，t∈[－1,1]．所以y＝－t2－t＋2＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))2＋eq \f(9,4)，t∈[－1,1]，当t＝－eq \f(1,2)，即sin x＝－eq \f(1,2)，x＝－eq \f(π,6)＋2kπ(k∈Z)或x＝－eq \f(5π,6)＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝eq \f(9,4)；当t＝1，即sin x＝1，x＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝0. 正弦函数最值问题的类型及求解方法 (1)形如y＝asin x型，可利用正弦函数的有界性，注意对a正负的讨论． (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定． [变式训练] 5．(1)已知函数f(x)＝sin x＋2，当x∈[0,2π]时，求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值． 解：由f(x)图象可知，当x∈[0,2π]时，f(x)在x＝eq \f(π,2)时，f(x)max＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝sineq \f(π,2)＋2＝3. (2)函数f(x)＝sin2x＋cos x－eq \f(3,4)，当x＝　______　时，f(x)的最大值为　______　. 解析：f(x)＝sin2 x＋cos x－eq \f(3,4)＝1－cos2 x＋cos x－eq \f(3,4)＝－cos2 x＋cos x＋eq \f(1,4)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos x－\f(1,2)))2＋eq \f(1,2)，所以cos x＝eq \f(1,2)时，f(x)max＝eq \f(1,2)，此时x＝2kπ±eq \f(π,3)，k∈Z. 答案：2kπ±eq \f(π,3)，k∈Z　eq \f(1,2) 　正弦函数图象的简单应用 　画出函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象． (1)试写出y>1及y<1的自变量的取值范围； (2)判断其函数图象与直线y＝eq \f(3,2)的交点个数． [解]　用五点法画出函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象，如图所示． (1)由图象可知，当x∈(0，π)时，y>1；当x∈(π，2π)时，0<y<1. (2)在平面直角坐标系中作出直线y＝eq \f(3,2)，如图所示，可知此直线与函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象有两个交点． 求方程根的个数的两种判断方法 (1)代数法：直接求出方程的根，得到根的个数． (2)几何法：①方程两边直接作差构造一个函数，作出函数的图象，利用对应函数的图象，观察与x轴的交点个数，有几个交点原方程就有几个根； ②转化为两个函数，分别作这两个函数的图象，观察交点个数，有几个交点原方程就有几个根． [变式训练] 6．已知直线y＝a，函数y＝sin x，x∈[0,2π]，试探求以下问题． (1)当a为何值时，直线y＝a与函数y＝sin x的图象只有一个交点？ (2)当a为何值时，直线与函数图象有两个交点？ 解：由图象易知(1)当a＝±1时，y＝a与函数图象只有一个交点． (2)当a∈(0,1)∪(－1,0)时，y＝a与函数图象有两个交点． 1．以下对于正弦函数y＝sin x的图象描述不正确的是(　　) A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k∈Z上的图象形状相同，只是位置不同 B．关于x轴对称 C．介于直线y＝1和y＝－1之间 D．与y轴仅有一个交点 解析：B　[观察y＝sin x的图象可知A，C，D正确，且关于原点中心对称，故选B.] 2．函数y＝sin(－x)，x∈[0,2π]的简图是(　　) 解析：B　[y＝sin(－x)＝－sin x，x∈[0,2π]的图象可看作是由y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于x轴对称后得到的．] 3．满足sin α＞eq \f(1,2)的角的集合为(　　) A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＞2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＞2kπ＋\f(π,6)，k∈Z)) C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|2kπ＋\f(π,3)＜α＜2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|2kπ＋\f(π,6)＜α＜2kπ＋\f(5π,6)，k∈Z)) 解析：D　[sin α＞eq \f(1,2)⇒eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|2kπ＋\f(π,6)＜α＜2kπ＋\f(5π,6)，k∈Z))，故选D.] 4．比较大小：(1)sin 34°　___________　sin 47°； (2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,9)))　___________　sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,9))). 解析：(1)因为y＝sin x在区间[0°，90°]上递增， 所以sin 34°＜sin 47°； (2)因为函数y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函数，且－eq \f(π,2)＜－eq \f(2π,9)＜－eq \f(π,9)＜eq \f(π,2)， 所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,9)))＜sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,9))). 答案：(1)＜　(2)＜ 5．已知函数y＝acos x＋b的最大值是0，最小值是－4，求a，b的值． 解：当a＞0时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋b＝0，,－a＋b＝－4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝－2))； 当a＜0时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－a＋b＝0，,a＋b＝－4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－2,b＝－2))，所以a＝2，b＝－2或a＝b＝－2. $$