5.2.3 诱导公式（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块 上册同步教案（人教版2021）

5．2.3　诱导公式 [学习目标] 1．借助单位圆推导诱导公式； 2．了解诱导公式及其意义和作用； 3．能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题． [问题]　如图，作P1关于原点的对称点P2，以OP2为终边的角β与角α有什么关系？角β，α的三角函数值之间有什么关系？ 提示：β＝π＋α，P1与P2横坐标，纵坐标都互为相反数． [知识点一]　诱导公式　 1．诱导公式 公式① 公式② 公式③ 公式④ 终边 关系 角α与α＋ k·2π(k∈Z)的三角函数间的关系 角α与－α的三角函数间的关系 角α与α±π的三角函数间的关系 角α与角α＋的三角函数间的关系 图形 公式 sin(α＋k·2π)＝sin α， cos(α＋k·2π)＝cos α， tan(α＋k·2π)＝tan α sin(－α)＝　－sin_α　， cos(－α)＝　cos_α　， tan(－α)＝　－tan_α　. sin(α±π)＝　－sin_α　，cos(α±π)＝　－cos_α　，tan(α±π)＝　tan_α　. sin ＝　cos_α　， cos ＝　－sin_α　. 2.本质：单位圆中，终边关于原点、x轴、y轴对称的角的三角函数之间的关系． 3．作用： 公式① 把任意角的三角函数问题转化为0～2π之间的角的三角函数问题 把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数问题 公式② 任意负角的三角函数都可用正角的三角函数表示 公式③ 将0～2π的角转化为0～π的角求值．将～π的角转化为0～的角求值． 公式④ 将～π的角转化为0～的角求值. 1.从函数名称和符号变化两个方面观察公式，你能发现什么规律？ 提示：(1)公式①至③函数的名称都没有变化符号随角的象限而变化．简记函数名不变，符号看象限，(2)公式④函数名称变，符号看象限． 2．诱导公式中角α不能是锐角吗？ 提示：诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z. 1．cos 330°＝(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D．1 解析：C　[cos 330°＝cos(360°－30°)＝cos(－30°)＝cos 30°＝，故选C.] 2．tan＝(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：A　[tan＝tan＝tan＝，故选A.] 3．已知cos(π－α)＝－，则sin＝(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：B　[因cos(π－α)＝－，故cos α＝，故sin＝cos α＝.] 4．cos ＝　_________　. 解析：cos ＝cos＝cos＝－cos＝－. 答案：－ 　给角求值问题 　求下列各三角函数值： (1)cos；(2)tan(－855°)；(3)sin(－1 200°)；(4)tan 945°，(5)cos. [解]　(1)cos＝cos＝cos ＝cos＝－cos＝－. (2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1. (3)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120°＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－. (4)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225° ＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1. (5)cos＝cos＝cos＝cos＝. 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 1．“负化正”——用公式②或③来转化； 2．“大化小”——用公式①将角化为0°到360°间的角； 3．“小化锐”——用公式③或④将大于90°的角转化为锐角； 4．“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值． [变式训练] 1．求下列各三角函数式的值： (1)cos 210°； (2)sin； (3)sin； (4)cos(－1 920°)． 解：(1)cos 210°＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°＝－. (2)sin＝sin＝sin ＝sin＝sin＝. (3)sin＝－sin＝－sin ＝－sin＝sin＝. (4)cos(－1 920°)＝cos 1 920°＝cos(5×360°＋120°) ＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－. 　给值(式)求值问题 　(1)已知sin＝，求cos的值； (2)已知cos＝，求cos的值． [解]　(1)cos＝cos＝－sin＝－. (2)cos＝cos＝－cos＝－. (1)解决条件求值问题时，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． [变式训练] 2．(1)已知cos(α－75°)＝－，求cos(255°－α)的值． (2)已知sin＝，求cos的值． 解：(1)cos(255°－α)＝cos[180°－(α－75°)]＝－cos(α－75°)＝. (2)cos＝cos＝sin＝sin＝. 　化简求值问题 　化简下列各式： (1)； (2)＋. [解]　(1)原式＝＝＝1. (2)因为sin＝cos α，cos＝sin α，cos(π＋α)＝－cos α，sin(π－α)＝sin α，cos＝－sin α，sin(π＋α)＝－sin α，所以原式＝＋＝－sin α＋sin α＝0. 三角函数式化简的常用方法 1．合理转化：(1)将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式． (2)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数． 2．切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． [变式训练] 3．化简： (1)； (2)·sincos. 解：(1)原式＝＝＝1. (2)原式＝·sin(－sin α)＝(－sin α) ＝·(－cos α)(－sin α)＝－cos2 α. 1．若sin α＝，则sin(360°＋α)＝(　　) A．0　　　B.　　　C.　　　D．1 解析：C　[sin(360°＋α)＝sin α＝，故选C.] 2．下列与sin θ的值相等的是(　　) A．sin(π＋θ) B．sin C．cos D．cos 解析：C　[sin(π＋θ)＝－sin θ；sin＝cos θ；cos＝sin θ；cos＝－sin θ.] 3．已知tan＝，则tan＝(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：B　[tan＝tan＝－tan＝－.] 4．sin(－1 560°)cos(－930°)－cos(－1 380°)sin 1 410°等于　________　. 解析：sin(－1 560°)cos(－930°)－cos(－1 380°)·sin 1 410°＝sin(－4×360°－120°)cos(－3×360°＋150°)－cos(－4×360°＋60°)sin(4×360°－30°) ＝sin(－120°)cos 150°－cos 60°sin(－30°) ＝－×(－)＋×＝＋＝1. 答案：1 5．化简：. 解：原式＝＝＝－sin θ. 1．sin(－600°)的值为(　　) A.　　B．－　　　C.　　　D．－ 解析：A　[由题设，sin(－600°)＝－sin(2×360°－120°) ＝sin 120°＝，故选A.] 2．下列式子中正确的是(　　) A．sin (π－α)＝－sin α B．cos (π＋α)＝cos α C．cos α＝sin α D．sin (2π＋α)＝sin α 解析：D　[根据诱导公式知sin (2π＋α)＝sin α正确．] 3．已知a＝cos ，b＝sin，则a，b的大小关系是(　　) A．a<b B．a＝b C．a>b D．不能确定 解析：C　[因为a＝cos＝cos＝cos＝，b＝sin＝－sin＝－sin＝－，所以a>b.] 4．已知sin＝，α∈，则tan α等于(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：A　[因为sin＝，所以cos α＝， 因为α∈，所以α＝－，所以tan α＝－.] 5．已知sin＝－，sin＝(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：C　[由题意，sin＝－sin＝－sin＝.] 6．计算：＝　________　. 解析：＝＝1. 答案：1 7．sin 510°＋cos 660°－tan 585°＝　__________　. 解析：sin 510°＋cos 660°－tan 585°＝sin 150°＋cos(－60°)－tan(180°＋45°)＝＋－1＝0. 答案：0 8．已知sin＝，则sin的值为　___________　. 解析：sin＝sin＝sin＝. 答案： 9.可化简为　________　. 解析： ＝＝＝|1－sin θ|＝1－sin θ. 答案：1－sin θ 10．已知角θ的终边过点P(－1，－3)，求. 解：因为角θ的终边过点P(－1，－3)，所以tan θ＝＝3， 所以＝＝＝＝. 11．若sin(π＋α)＝，α∈，则tan(3π－α)＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：D　[因为sin(π＋α)＝，α∈，所以－sin α＝⇒sin α＝－，cos α＝－＝－，tan α＝，所以tan(3π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－，故选D.] 12．若点P的坐标为(cos 2 023°，sin 2 023°)，则点P在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：C　[cos 2 023°＝cos(360°×5＋223°) ＝cos 223°＜0，sin 2 023°＝sin(360°×5＋223°) ＝sin 223°＜0，故点P在第三象限，故选C.] 13．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上， 则＝　________　. 解析：设θ的终边上一点为P(x,3x)(x≠0)，则tan θ＝＝＝3. 因此＝＝＝＝＝. 14．已知f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若α为第三象限角，且cos＝， 求f(α)的值； (3)若α＝－，求f(α)的值． 解：(1)f(α)＝＝＝－cosα (2)因为cos＝－sinα＝，所以sinα＝－，又因为α为第三象限角，所以 cosα＝－＝－，所以f(α)＝. (3)f＝－cos＝－cos＝－cos＝－cos＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．sin(－600°)的值为(　　) A.　　B．－　　　C.　　　D．－ 解析：A　[由题设，sin(－600°)＝－sin(2×360°－120°) ＝sin 120°＝，故选A.] 2．下列式子中正确的是(　　) A．sin (π－α)＝－sin α B．cos (π＋α)＝cos α C．cos α＝sin α D．sin (2π＋α)＝sin α 解析：D　[根据诱导公式知sin (2π＋α)＝sin α正确．] 3．已知a＝cos ，b＝sin，则a，b的大小关系是(　　) A．a<b B．a＝b C．a>b D．不能确定 解析：C　[因为a＝cos＝cos＝cos＝，b＝sin＝－sin＝－sin＝－，所以a>b.] 4．已知sin＝，α∈，则tan α等于(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：A　[因为sin＝，所以cos α＝， 因为α∈，所以α＝－，所以tan α＝－.] 5．已知sin＝－，sin＝(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：C　[由题意，sin＝－sin＝－sin＝.] 6．计算：＝　________　. 解析：＝＝1. 答案：1 7．sin 510°＋cos 660°－tan 585°＝　__________　. 解析：sin 510°＋cos 660°－tan 585°＝sin 150°＋cos(－60°)－tan(180°＋45°)＝＋－1＝0. 答案：0 8．已知sin＝，则sin的值为　___________　. 解析：sin＝sin＝sin＝. 答案： 9.可化简为　________　. 解析： ＝＝＝|1－sin θ|＝1－sin θ. 答案：1－sin θ 10．已知角θ的终边过点P(－1，－3)，求. 解：因为角θ的终边过点P(－1，－3)，所以tan θ＝＝3， 所以＝＝＝＝. 11．若sin(π＋α)＝，α∈，则tan(3π－α)＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：D　[因为sin(π＋α)＝，α∈，所以－sin α＝⇒sin α＝－，cos α＝－＝－，tan α＝，所以tan(3π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－，故选D.] 12．若点P的坐标为(cos 2 023°，sin 2 023°)，则点P在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：C　[cos 2 023°＝cos(360°×5＋223°) ＝cos 223°＜0，sin 2 023°＝sin(360°×5＋223°) ＝sin 223°＜0，故点P在第三象限，故选C.] 13．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上， 则＝　________　. 解析：设θ的终边上一点为P(x,3x)(x≠0)，则tan θ＝＝＝3. 因此＝＝＝＝＝. 14．已知f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若α为第三象限角，且cos＝， 求f(α)的值； (3)若α＝－，求f(α)的值． 解：(1)f(α)＝＝＝－cosα (2)因为cos＝－sinα＝，所以sinα＝－，又因为α为第三象限角，所以 cosα＝－＝－，所以f(α)＝. (3)f＝－cos＝－cos＝－cos＝－cos＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$5．2.3　诱导公式 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第五章 三角函数 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 [学习目标] 1．借助单位圆推导诱导公式； 2．了解诱导公式及其意义和作用； 3．能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题． [问题]　如图，作P1关于原点的对称点P2，以OP2为终边的角β与角α有什么关系？角β，α的三角函数值之间有什么关系？ 提示：β＝π＋α，P1与P2横坐标，纵坐标都互为相反数． [知识点一]　诱导公式　 1．诱导公式 公式① 公式② 公式③ 公式④ 终边 关系 角α与α＋ k·2π(k∈Z)的三角函数间的关系 角α与－α的三角函数间的关系 角α与α±π的三角函数间的关系 角α与角α＋eq \f(π,2)的三角函数间的关系 图形 公式 sin(α＋k·2π)＝sin α， cos(α＋k·2π)＝cos α， tan(α＋k·2π)＝tan α sin(－α)＝ －sin α ， cos(－α)＝ cos α ， tan(－α)＝ －tan α . sin(α±π)＝－sin α ，cos(α±π)＝－cos α ， tan(α±π)＝ tan α　. sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))) ＝ cos α ， coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))) ＝ －sin α . 2.本质：单位圆中，终边关于原点、x轴、y轴对称的角的三角函数之间的关系． 3．作用： 公式① 把任意角的三角函数问题转化为0～2π之间的角的三角函数问题 把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数问题 公式② 任意负角的三角函数都可用正角的三角函数表示 公式③ 将0～2π的角转化为0～π的角求值．将eq \f(π,2)～π的角转化为0～eq \f(π,2)的角求值． 公式④ 将eq \f(π,2)～π的角转化为0～eq \f(π,2)的角求值. 1.从函数名称和符号变化两个方面观察公式，你能发现什么规律？ 提示：(1)公式①至③函数的名称都没有变化符号随角的象限而变化．简记函数名不变，符号看象限，(2)公式④函数名称变，符号看象限． 2．诱导公式中角α不能是锐角吗？ 提示：诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z. 1．cos 330°＝(　　) A.eq \f(1,2)　　　B.eq \f(\r(2),2)　　　C.eq \f(\r(3),2)　　　D．1 解析：C　[cos 330°＝cos(360°－30°)＝cos(－30°)＝cos 30°＝eq \f(\r(3),2)，故选C.] 2．taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)))＝(　　) A.eq \f(\r(3),3) B.eq \r(3) C．－eq \r(3) D．－eq \f(\r(3),3) 解析：A　[taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－π))＝taneq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),3)，故选A.] 3．已知cos(π－α)＝－eq \f(4,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝(　　) A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5) C．－eq \f(3,5) D．－eq \f(4,5) 解析：B　[因cos(π－α)＝－eq \f(4,5)，故cos α＝eq \f(4,5)，故sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝cos α＝eq \f(4,5).] 4．cos eq \f(28π,3)＝　_________　. 解析：cos eq \f(28π,3)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8π＋\f(4π,3)))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))＝－coseq \f(π,3)＝－eq \f(1,2). 答案：－eq \f(1,2) 　给角求值问题 　求下列各三角函数值： (1)coseq \f(17π,6)；(2)tan(－855°)；(3)sin(－1 200°)；(4)tan 945°，(5)coseq \f(119π,6). [解]　(1)coseq \f(17π,6)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(5π,6)))＝coseq \f(5π,6) ＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))＝－coseq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),2). (2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1. (3)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120°＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－eq \f(\r(3),2). (4)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225° ＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1. (5)coseq \f(119π,6)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20π－\f(π,6)))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝coseq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2). 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 1．“负化正”——用公式②或③来转化； 2．“大化小”——用公式①将角化为0°到360°间的角； 3．“小化锐”——用公式③或④将大于90°的角转化为锐角； 4．“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值． [变式训练] 1．求下列各三角函数式的值： (1)cos 210°； (2)sineq \f(11π,4)； (3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(43π,6)))； (4)cos(－1 920°)． 解：(1)cos 210°＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°＝－eq \f(\r(3),2). (2)sineq \f(11π,4)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(3π,4)))＝sineq \f(3π,4)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,4)))＝sineq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2). (3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(43π,6)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6π＋\f(7π,6)))＝－sineq \f(7π,6)＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,6)))＝sineq \f(π,6)＝eq \f(1,2). (4)cos(－1 920°)＝cos 1 920°＝cos(5×360°＋120°) ＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－eq \f(1,2). 　给值(式)求值问题 　(1)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq \f(\r(2),3)，求coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))的值； (2)已知coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq \f(\r(3),3)，求coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))的值． [解]　(1)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝－eq \f(\r(2),3). (2)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(\r(3),3). (1)解决条件求值问题时，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． [变式训练] 2．(1)已知cos(α－75°)＝－eq \f(1,3)，求cos(255°－α)的值． (2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(4,5)，求coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))的值． 解：(1)cos(255°－α)＝cos[180°－(α－75°)]＝－cos(α－75°)＝eq \f(1,3). (2)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝eq \f(4,5). 　化简求值问题 　化简下列各式： (1)eq \f(cosπ＋α·sin2π＋α,sin－α－π·cos－π－α)； (2)eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)),cosπ＋α)＋eq \f(sinπ－αcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),sinπ＋α). [解]　(1)原式＝eq \f(－cos α·sin α,－sinπ＋α·cosπ＋α)＝eq \f(cos α·sin α,sin α·cos α)＝1. (2)因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cos α，coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sin α，cos(π＋α)＝－cos α，sin(π－α)＝sin α，coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sin α，sin(π＋α)＝－sin α，所以原式＝eq \f(cos α·sin α,－cos α)＋eq \f(sin α·－sin α,－sin α)＝－sin α＋sin α＝0. 三角函数式化简的常用方法 1．合理转化：(1)将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式． (2)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数． 2．切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． [变式训练] 3．化简： (1)eq \f(cos－αtan7π＋α,sinπ－α)； (2)eq \f(cosα－π,sinπ－α)·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)). 解：(1)原式＝eq \f(cos αtanπ＋α,sin α)＝eq \f(cos α·tan α,sin α)＝1. (2)原式＝eq \f(cos[－π－α],sin α)·sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))))(－sin α)＝eq \f(cosπ－α,sin α) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))))(－sin α)＝eq \f(－cos α,sin α)·(－cos α)(－sin α)＝－cos2 α. 1．若sin α＝eq \f(1,2)，则sin(360°＋α)＝(　　) A．0　　　B.eq \f(1,3)　　　C.eq \f(1,2)　　　D．1 解析：C　[sin(360°＋α)＝sin α＝eq \f(1,2)，故选C.] 2．下列与sin θ的值相等的是(　　) A．sin(π＋θ) B．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ)) C．coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ)) D．coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ)) 解析：C　[sin(π＋θ)＝－sin θ；sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝cos θ；coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝sin θ；coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＝－sin θ.] 3．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,3)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋α))＝(　　) A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3) C.eq \f(2\r(3),3) D．－eq \f(2\r(3),3) 解析：B　[taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋α))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))))＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝－eq \f(1,3).] 4．sin(－1 560°)cos(－930°)－cos(－1 380°)sin 1 410°等于　________　. 解析：sin(－1 560°)cos(－930°)－cos(－1 380°)·sin 1 410°＝sin(－4×360°－120°)cos(－3×360°＋150°)－cos(－4×360°＋60°)sin(4×360°－30°)＝sin(－120°)cos 150°－cos 60°sin(－30°) ＝－eq \f(\r(3),2)×(－eq \f(\r(3),2))＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(3,4)＋eq \f(1,4)＝1. 答案：1 5．化简：eq \f(sinθ－5πcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－θ))cos8π－θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2)))sin－θ－4π). 解：原式＝eq \f(sinθ－πcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))cos θ,cos θsin－θ)＝eq \f(－sin θ－sin θcos θ,cos θ－sin θ)＝－sin θ. $$