5.2.1 任意角三角函数的定义（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块 上册同步教案（人教版2021）

5．2　任意角的三角函数 5．2.1　任意角三角函数的定义 [学习目标] 1．理解并掌握任意角三角函数的定义； 2．会根据三角函数的定义求特殊角的三角函数； 3．熟记三角函数在各象限的符号； 4．掌握三角函数线的定义和画法． 问题情境：(1)初中锐角的三角函数是如何定义的？(让学生回答) (2)在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c 锐角A的正弦sin A＝，A的余弦cos A＝，A的正切tan A＝ 角的概念推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们如何对三角函数重新定义呢？ [知识点一]　任意角三角函数的定义　 如图，已知任意角α，以角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy，在其终边上任取一点P(x，y)(点P与原点不重合)，过点P作x轴的垂线，交x轴与点M，则|OM|＝|x|，|MP|＝|y|.设点P到原点O的距离为r，则r＝|OP|＝. 有如下定义 (1)称为角α的余弦，记作cos α，即cos α＝； (2)称为角α的正弦，记作sin α，即sin α＝； (3)称为角α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0)； sin α，cos α，tan α都是以角α为自变量的函数分别称为正弦函数，余弦函数，正切函数． 1.对于确定的角α，请问三角函数的结果会随点P在α终边上的位置的改变而改变吗？ 提示：不会．三角函数也是函数，是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定． [知识点二]　正弦、余弦、正切在各象限的符号　 当且仅当α的终边在第一、二象限，或y轴正半轴上时，sin α>0；当且仅当α的终边在第三、四象限，或y轴负半轴上时，sin α<0. 当且仅当α的终边在第一、四象限，或x轴正半轴上时，cos α>0；当且仅当α的终边在第二、三象限，或x轴负半轴上时，cos α<0. 当且仅当α的终边在第一、三象限时，tan α>0；当且仅当α的终边在第二、四象限时，tan α<0. 如图所示： 形象的识记口诀：“一全正二正弦，三正切四余弦”． 2.三角函数在各象限的符号由什么决定？ 提示：由三角函数定义可知，三角函数在各象限的符号由角α 终边上任意一点的坐标来确定． [知识点三]　单位圆与三角函数线　 1．单位圆：一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为单位圆．因此，如果角α的终边与单位圆的交点P，由三角函数的定义可知，点P的坐标为(cosα，sinα)． 这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标． 2．余弦线、正弦线： 如图：我们称有向线段OM为角α的余弦线，称有向线段MP为角α的正弦线 3．正切线 设角α的终边与直线x＝1交于点T，则可以直观地表示tan α，因此称为角α的正切线． 当角的终边在第二、三象限或x轴的负半轴上时，终边与直线x＝1没有交点，但终边的反向延长线与x＝1有交点，而且交点的纵坐标也正好是角的正切值． 正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线． 1．已知角α的终边与单位圆的交点为P，则tan α＝(　　) A.　　　　　　 B．－ C. D．－ 解析：B　[tan α＝＝－.] 2．已知角α的终边经过点P(4，－3)，则sin α＝(　　) A．－　B．－　　C.　　D. 解析：B　[因为角α终边过点(4，－3)，所以x＝4，y＝－3，r＝|OP|＝＝5，所以sin α＝＝－，故选B.] 3．若sin α<0且tan α>0，则α在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：C　[因为sin α<0且tan α>0，所以角α所在的象限是第三象限，故选C.] 4．已知角α的终边经过点P(3,4)，则角α的终边与单位圆的交点坐标是　________　. 解析：由任意角三角函数的定义知：sin α＝，cos α＝；又因为角α的终边与单位圆的交点坐标是(cos α，sin α)． 答案： 　利用三角函数定义求三角函数值 　(1)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sin α＝　________　，cos α＝　________　，tan α＝　________　. [解析]　因为x＝5，y＝－12，所以r＝＝13，则sin α＝＝－，cos α＝＝，tan α＝＝－. [答案]　－　　－ (2)已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． [解]　直线x＋y＝0，即y＝－x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，)，则r＝＝2，所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－；在第四象限取直线上的点(1，－)，则r＝＝2，所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－. 已知角α的终边上一点P(x，y)，求三角函数值时，先求r＝|OP|(O为原点)，再根据定义sin α＝，cos α＝，tan α＝确定三角函数值． 若条件中含有参数，要注意对参数进行分类讨论． [变式训练] 1．(1)已知角α的终边上一点P(m，)，且cos α＝，则m＝　________　. 解析：由题意得x＝m，y＝，所以r＝|OP|＝，所以cos α＝＝＝， 很明显m>0，解得m＝. 答案： (2)已知角α的终边经过点P(－12，－5)，求α的正弦、余弦和正切值． 解：因为角α的终边经过点P(－12，－5)，所以sin α＝＝－，cos α＝＝－，tan α＝＝. 　利用单位圆求三角函数值 　在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边与单位圆分别交于点和，那么sin αcos β＝(　　) A．－　　　　　　 B．－ C. D. [解析]　B　[因为角α，β的终边与单位圆分别交于点和， 故sin α＝，cos β＝－， 故sin αcos β＝×＝－.] 单位圆法求三角函数值时的注意点 (1)找点：确定角α的终边与单位圆的交点P(x，y)，r＝1. (2)下结论：根据三角函数的定义得sin α＝y；cos α＝x；tan α＝(x≠0)． [变式训练] 2．设a<0，角α的终边与单位圆的交点为P(－3a,4a)，那么sin α＋2cos α的值等于(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：A　[因为点P在单位圆上，则|OP|＝1. 即＝1，解得a＝±. 因为a<0，故a＝－. 故P点的坐标为. 故sin α＝－，cos α＝. 故sin α＋2cos α＝－＋2×＝.] 　三角函数在各象限的符号运用 　(1)确定下列三角函数值的符号： ①sin 156°；②cosπ；③cos(－450°)； ④tan；⑤sin；⑥tan 556°. [解]　①因为156°是第二象限角， 所以sin 156°＞0. ②因为π为第三象限角，所以cos π＜0. ③因为－450°＝－720°＋270°是终边落在y轴的非正半轴上的角，所以cos(－450°)＝0. ④因为－π＝－2π－π是第四象限角， 所以tan＜0. ⑤因为－＝－2π＋π是第二象限角， 所以sin＞0. ⑥因为556°＝360°＋196°是第三象限角， 所以tan 556°＞0. (2)已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [解析]　C　[因为点P在第四象限，所以有由此可判断角α终边在第三象限．] 判断三角函数值正负的两个步骤 1．定象限：确定角α所在的象限． 2．定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断． 注意：若sin α>0，则α的终边不一定落在第一象限或第二象限内，有可能终边落在y轴的非负半轴上． [变式训练] 3．判断下列各式的符号： (1)tan 120°sin 269°； (2)cos 4tan(－)． 解：(1)因为120°角是第二象限角， 所以tan 120°<0. 因为269°角在第三象限内，所以sin 269°<0. 所以tan 120°sin 269°>0. (2)因为π<4<，所以4弧度角是第三象限角， 所以cos 4<0，因为－＝－6π＋， 所以－是第一象限角，所以tan>0， 所以cos 4tan<0. 　三角函数线的应用 　作出的正弦线、余弦线和正切线，并比较sin，cos，tan的大小． [解]　在直角坐标系中作单位圆，如图，以Ox轴为始边作角，角的终边与单位圆交于点P，作PM⊥x轴，垂足为M，由单位圆与x轴正方向的交点A作x轴的垂线，与OP的反向延长线交于T点，则sin ＝MP， cos＝OM，tan＝AT，即的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.根据三角函数线的应用的知识可知|MP|＝|OM|＝，|AT|＝1, 所以sin ＝， cos＝－， tan＝－1，故sin> cos> tan. 作出三角函数线的基本步骤 (1)作直角坐标系和角的终边． (2)作单位圆，圆与角的终边的交点为P，与x轴正半轴的交点为A. (3)过点P作x轴的垂线，垂足为M. (4)过点A作x轴的垂线，与角的终边或其反向延长线交于点T. (5)有向线段MP，OM，AT即分别为角的正弦线，余弦线和正切线． [变式训练] 4．作出－的正弦线、余弦线和正切线．并比较sin，cos，tan大小． 解：如图所示，角－的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT. 由三角函数线可知cos>sin>tan. 1．已知角α的终边过点P(－1,2)，则tan α＝(　　) A．2　　B．－2　　　C．－　　　D. 解析：B　[由题意可知tan α＝＝－2，故选B.] 2．若－<α<0，则点Q(cos α，sin α)位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：D　[因为－<α<0，所以cos α>0，且sin α<0， 所以点Q(cos α，sin α)在第四象限，故选D.] 3．在直角坐标系xOy中，已知sin α＝－，cos α＝，那么角α的终边与单位圆的交点O的坐标为(　　) A. B. C. D. 解析：A　[因为sin α＝－，cos α＝，所以角α的终边与单位圆交点O的坐标为，故选A.] 4．如果α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，那么sin α＝(　　) A.　B．－　　C.　　D．－ 解析：D　[由题意知，角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，即点(1，－)，则r＝＝2，根据三角函数的定义，可得sin α＝＝－， 故选D.] 5．利用三角函数线比较sin 和sin ，cos 和cos ，tan 和tan 的大小． 解：如图，sin ＝MP， cos ＝OM，tan ＝AT，sin ＝M′P′，cos ＝OM′，tan ＝AT′. 显然|MP|>|M′P′|，符号皆正， 所以sin >sin ； |OM|<|OM′|，符号皆负，所以cos >cos ； |AT|>|AT′|，符号皆负，所以tan <tan . 1．已知点P是角α的终边与单位圆的交点，则cos α＝(　　) A．－　　B.　　C．－　　D．－ 解析：B　[因为点P是角α的终边与单位圆的交点，所以cos α＝，故选B.] 2．已知点P(3，－4)是角α的终边上一点，则sin α－cos α＝(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：A　[由三角函数的定义可得sin α－cos α＝－＝－，故选A.] 3．若sin θ tan θ＜0且sin θ cos θ＞0，则θ是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：C　[sin θ tan θ＝sin θ·＝＜0，所以cos θ＜0，又sin θ cos θ＞0，所以sin θ＜0，故θ是第三象限角，故选C.] 4．已知角α的终边过点P(4，m)(m≠0)，且sin α＝，则cos α的值为(　　) A．± B．－ C．± D. 解析：D　[角α的终边过点P(4，m)(m≠0)，故可得sin α＝＝，解得m2＝9，故cos α＝＝.故选D.] 5．如果<α<，那么下列不等式成立的是(　　) A．cos α<sin α<tan α B．tan α<sin α<cos α C．sin α<cos α<tan α D．cos α<tan α<sin α 解析：A　[如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，则OM<MP<AT，即cos α<sin α<tan α.] 6．若sin α cos α＜0，则α是第　__________　象限的角． 解析：由于sin α cos α＜0，若sin α＞0，则cos α＜0，则α是第二象限角，若sin α＜0，则cos α＞0，则α是第四象限角． 答案：二或四 7．已知角α的终边过点P(5，a)，且tan α＝－，则sin α＋cos α＝　________　. 解析：因为tan α＝＝－，所以a＝－12. 所以r＝＝13. 所以sin α＝－，cos α＝. 所以sin α＋cos α＝－. 答案：－ 8．sin 90°＋2cos 0°－3sin 270°＋10cos 180°＝　___________　. 解析：因为sin 90°＝1，cos 0°＝1，sin 270°＝－1， cos 180°＝－1，所以sin 90°＋2cos 0°－3sin 270°＋10cos 180°＝1＋2＋3－10＝－4. 答案：－4 9．有三个命题：①角和的正弦线长度相等；②角和的正切线相同；③角和的余弦线长度相等． 其中说法正确的为　_________　.(填序号) 解析：角和的正弦线关于y轴对称，长度相等；角和的正切线相同；角和的余弦线长度相等．①②③都正确． 答案：①②③ 10．已知P(－4，m)是角α终边上一点，且sin α＝－. (1)求实数m的值； (2)角α终边与单位圆交点A的坐标． 解：(1)因为P(－4，m)是角α终边上一点， 且sin α＝－，所以sin α＝＝－， 且m＜0，解得m＝－3. (2)所以P(－4，－3)，则|OP|＝＝5，所以角α的终边与单位圆交于A. 11．已知f(sin x)＝x且x∈，则f的值为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：A　[令sin x＝，由x∈，可得x＝，所以f＝f＝，故选A.] 12．已知角α的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段，则角α的终边在(　　) A．第一象限的角平分线上 B．第四象限的角平分线上 C．第二、四象限的角平分线上 D．第一、三象限的角平分线上 解析：C　[由图(1)可知，当α＝135°，即角α的终边在第二象限的角平分线上时，sin α＝－cos α；由图(2)可知，当α＝315°，即角α的终边在第四象限的角平分线上时，sin α＝－cos α.综上，角α的终边应在第二、四象限的角平分线上．] 13．若θ∈，则sin θ与tan θ的大小关系是　__________　. 解析：因为θ∈，设角θ终边上任意一点为P(x，y)，其中x＞0，y＞0，则r＝|OP|＝，由三角函数的定义可得sin θ＝，tan θ＝，又由r＞x＞0，可得＜，即sin θ＜tan θ. 答案：sin θ＜tan θ 14．已知点M是圆x2＋y2＝1上的点，以射线OM为终边的角α的正弦值为－，求cos α和tan α的值． 解：设点M的坐标为(x1，y1)．由题意，可知sin α＝－，即y1＝－.因为点M在圆x2＋y2＝1上，所以x＋y＝1， 即x＋2＝1，解得x1＝或－. 所以cos α＝，tan α＝－1，或cos α＝－，tan α＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．已知点P是角α的终边与单位圆的交点，则cos α＝(　　) A．－　　B.　　C．－　　D．－ 解析：B　[因为点P是角α的终边与单位圆的交点，所以cos α＝，故选B.] 2．已知点P(3，－4)是角α的终边上一点，则sin α－cos α＝(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：A　[由三角函数的定义可得sin α－cos α＝－＝－，故选A.] 3．若sin θ tan θ＜0且sin θ cos θ＞0，则θ是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：C　[sin θ tan θ＝sin θ·＝＜0，所以cos θ＜0，又sin θ cos θ＞0，所以sin θ＜0，故θ是第三象限角，故选C.] 4．已知角α的终边过点P(4，m)(m≠0)，且sin α＝，则cos α的值为(　　) A．± B．－ C．± D. 解析：D　[角α的终边过点P(4，m)(m≠0)，故可得sin α＝＝，解得m2＝9，故cos α＝＝.故选D.] 5．如果<α<，那么下列不等式成立的是(　　) A．cos α<sin α<tan α B．tan α<sin α<cos α C．sin α<cos α<tan α D．cos α<tan α<sin α 解析：A　[如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，则OM<MP<AT，即cos α<sin α<tan α.] 6．若sin α cos α＜0，则α是第　__________　象限的角． 解析：由于sin α cos α＜0，若sin α＞0，则cos α＜0，则α是第二象限角，若sin α＜0，则cos α＞0，则α是第四象限角． 答案：二或四 7．已知角α的终边过点P(5，a)，且tan α＝－，则sin α＋cos α＝　________　. 解析：因为tan α＝＝－，所以a＝－12. 所以r＝＝13. 所以sin α＝－，cos α＝. 所以sin α＋cos α＝－. 答案：－ 8．sin 90°＋2cos 0°－3sin 270°＋10cos 180°＝　___________　. 解析：因为sin 90°＝1，cos 0°＝1，sin 270°＝－1， cos 180°＝－1，所以sin 90°＋2cos 0°－3sin 270°＋10cos 180°＝1＋2＋3－10＝－4. 答案：－4 9．有三个命题：①角和的正弦线长度相等；②角和的正切线相同；③角和的余弦线长度相等． 其中说法正确的为　_________　.(填序号) 解析：角和的正弦线关于y轴对称，长度相等；角和的正切线相同；角和的余弦线长度相等．①②③都正确． 答案：①②③ 10．已知P(－4，m)是角α终边上一点，且sin α＝－. (1)求实数m的值； (2)角α终边与单位圆交点A的坐标． 解：(1)因为P(－4，m)是角α终边上一点， 且sin α＝－，所以sin α＝＝－， 且m＜0，解得m＝－3. (2)所以P(－4，－3)，则|OP|＝＝5，所以角α的终边与单位圆交于A. 11．已知f(sin x)＝x且x∈，则f的值为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：A　[令sin x＝，由x∈，可得x＝，所以f＝f＝，故选A.] 12．已知角α的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段，则角α的终边在(　　) A．第一象限的角平分线上 B．第四象限的角平分线上 C．第二、四象限的角平分线上 D．第一、三象限的角平分线上 解析：C　[由图(1)可知，当α＝135°，即角α的终边在第二象限的角平分线上时，sin α＝－cos α；由图(2)可知，当α＝315°，即角α的终边在第四象限的角平分线上时，sin α＝－cos α.综上，角α的终边应在第二、四象限的角平分线上．] 13．若θ∈，则sin θ与tan θ的大小关系是　__________　. 解析：因为θ∈，设角θ终边上任意一点为P(x，y)，其中x＞0，y＞0，则r＝|OP|＝，由三角函数的定义可得sin θ＝，tan θ＝，又由r＞x＞0，可得＜，即sin θ＜tan θ. 答案：sin θ＜tan θ 14．已知点M是圆x2＋y2＝1上的点，以射线OM为终边的角α的正弦值为－，求cos α和tan α的值． 解：设点M的坐标为(x1，y1)．由题意，可知sin α＝－，即y1＝－.因为点M在圆x2＋y2＝1上，所以x＋y＝1， 即x＋2＝1，解得x1＝或－. 所以cos α＝，tan α＝－1，或cos α＝－，tan α＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$5．2　任意角的三角函数 5．2.1　任意角三角函数的定义 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第五章 三角函数 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第五章 三角函数 [学习目标] 1．理解并掌握任意角三角函数的定义； 2．会根据三角函数的定义求特殊角的三角函数； 3．熟记三角函数在各象限的符号； 4．掌握三角函数线的定义和画法． 问题情境：(1)初中锐角的三角函数是如何定义的？(让学生回答) (2)在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b， C对边为c 锐角A的正弦sin A＝eq \f(a,c)，A的余弦cos A＝eq \f(b,c)，A的正切tan A＝eq \f(a,b) 角的概念推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们如何对三角函数重新定义呢？ [知识点一]　任意角三角函数的定义　 如图，已知任意角α，以角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy，在其终边上任取一点P(x，y)(点P与原点不重合)，过点P作x轴的垂线，交x轴与点M，则|OM|＝|x|，|MP|＝|y|.设点P到原点O的距离为r，则r＝|OP|＝eq \r(x2＋y2). 有如下定义 (1)eq \f(x,r)称为角α的余弦，记作cos α，即cos α＝eq \f(x,r)； (2)eq \f(y,r)称为角α的正弦，记作sin α，即sin α＝eq \f(y,r)； (3)eq \f(y,x)称为角α的正切，记作tan α，即tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)； sin α，cos α，tan α都是以角α为自变量的函数分别称为正弦函数，余弦函数，正切函数． 1.对于确定的角α，请问三角函数的结果会随点P在α终边上的位置的改变而改变吗？ 提示：不会．三角函数也是函数，是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定． [知识点二]　正弦、余弦、正切在各象限的符号　 当且仅当α的终边在第一、二象限，或y轴正半轴上时，sin α>0；当且仅当α的终边在第三、四象限，或y轴负半轴上时，sin α<0. 当且仅当α的终边在第一、四象限，或x轴正半轴上时，cos α>0；当且仅当α的终边在第二、三象限，或x轴负半轴上时，cos α<0. 当且仅当α的终边在第一、三象限时，tan α>0；当且仅当α的终边在第二、四象限时，tan α<0. 如图所示： 形象的识记口诀：“一全正二正弦，三正切四余弦”． 2.三角函数在各象限的符号由什么决定？ 提示：由三角函数定义可知，三角函数在各象限的符号由角α 终边上任意一点的坐标来确定． [知识点三]　单位圆与三角函数线　 1．单位圆：一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为单位圆．因此，如果角α的终边与单位圆的交点P，由三角函数的定义可知，点P的坐标为(cosα，sinα)． 这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标． 2．余弦线、正弦线： 如图：我们称有向线段OM为角α的余弦线，称有向线段MP为角α的正弦线 3．正切线 设角α的终边与直线x＝1交于点T，则eq \o(AT,\s\up6(→))可以直观地表示tan α，因此eq \o(AT,\s\up6(→))称为角α的正切线． 当角的终边在第二、三象限或x轴的负半轴上时，终边与直线x＝1没有交点，但终边的反向延长线与x＝1有交点，而且交点的纵坐标也正好是角的正切值． 正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线． 1．已知角α的终边与单位圆的交点为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，则tan α＝(　　) A.eq \r(3)　　　　　　 B．－eq \r(3) C.eq \f(\r(3),3) D．－eq \f(\r(3),3) 解析：B　[tan α＝eq \f(y,x)＝－eq \r(3).] 2．已知角α的终边经过点P(4，－3)，则sin α＝(　　) A．－eq \f(3,4)　B．－eq \f(3,5)　　C.eq \f(4,5)　　D.eq \f(4,3) 解析：B　[因为角α终边过点(4，－3)，所以x＝4，y＝－3，r＝|OP|＝eq \r(x2＋y2)＝5，所以sin α＝eq \f(y,r)＝－eq \f(3,5)，故选B.] 3．若sin α<0且tan α>0，则α在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：C　[因为sin α<0且tan α>0，所以角α所在的象限是第三象限，故选C.] 4．已知角α的终边经过点P(3,4)，则角α的终边与单位圆的交点坐标是　________　. 解析：由任意角三角函数的定义知：sin α＝eq \f(4,5)，cos α＝eq \f(3,5)；又因为角α的终边与单位圆的交点坐标是(cos α，sin α)． 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(4,5))) [答案]　－eq \f(12,13)　eq \f(5,13)　－eq \f(12,5) 　利用三角函数定义求三角函数值 　(1)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sin α＝　________　，cos α＝　________　，tan α＝　________　. [解析]　因为x＝5，y＝－12，所以r＝eq \r(52＋－122)＝13，则sin α＝eq \f(y,r)＝－eq \f(12,13)，cos α＝eq \f(x,r)＝eq \f(5,13)，tan α＝eq \f(y,x)＝－eq \f(12,5). (2)已知角α的终边落在直线eq \r(3)x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． [解]　直线eq \r(3)x＋y＝0，即y＝－eq \r(3)x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，eq \r(3))，则r＝eq \r(－12＋\r(3)2)＝2，所以sin α＝eq \f(\r(3),2)，cos α＝－eq \f(1,2)，tan α＝－eq \r(3)；在第四象限取直线上的点(1，－eq \r(3))，则r＝eq \r(12＋－\r(3)2)＝2，所以sin α＝－eq \f(\r(3),2)，cos α＝eq \f(1,2)，tan α＝－eq \r(3). 已知角α的终边上一点P(x，y)，求三角函数值时，先求r＝|OP|(O为原点)，再根据定义sin α＝eq \f(y,r)，cos α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)确定三角函数值． 若条件中含有参数，要注意对参数进行分类讨论． [变式训练] 1．(1)已知角α的终边上一点P(m，eq \r(3))，且cos α＝eq \f(\r(10),4)，则m＝　________　. 解析：由题意得x＝m，y＝eq \r(3)，所以r＝|OP|＝eq \r(m2＋3)，所以cos α＝eq \f(x,r)＝eq \f(m,\r(m2＋3))＝eq \f(\r(10),4)，很明显m>0，解得m＝eq \r(5). 答案：eq \r(5) (2)已知角α的终边经过点P(－12，－5)，求α的正弦、余弦和正切值． 解：因为角α的终边经过点P(－12，－5)，所以sin α＝eq \f(－5,\r(144＋25))＝－eq \f(5,13)，cos α＝eq \f(－12,\r(144＋25))＝－eq \f(12,13)，tan α＝eq \f(－5,－12)＝eq \f(5,12). 　利用单位圆求三角函数值 　在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边与单位圆分别交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)，\f(5,13)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，那么sin αcos β＝(　　) A．－eq \f(36,65)　　　　　　 B．－eq \f(3,13) C.eq \f(4,13) D.eq \f(48,65) [解析]　B　[因为角α，β的终边与单位圆分别交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)，\f(5,13)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))， 故sin α＝eq \f(5,13)，cos β＝－eq \f(3,5)， 故sin αcos β＝eq \f(5,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝－eq \f(3,13).] 单位圆法求三角函数值时的注意点 (1)找点：确定角α的终边与单位圆的交点P(x，y)，r＝1. (2)下结论：根据三角函数的定义得sin α＝y；cos α＝x；tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)． [变式训练] 2．设a<0，角α的终边与单位圆的交点为P(－3a,4a)，那么sin α＋2cos α的值等于(　　) A.eq \f(2,5) B．－eq \f(2,5) C.eq \f(1,5) D．－eq \f(1,5) 解析：A　[因为点P在单位圆上，则|OP|＝1. 即eq \r(－3a2＋4a2)＝1，解得a＝±eq \f(1,5). 因为a<0，故a＝－eq \f(1,5).故P点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))). 故sin α＝－eq \f(4,5)，cos α＝eq \f(3,5). 故sin α＋2cos α＝－eq \f(4,5)＋2×eq \f(3,5)＝eq \f(2,5).] 　三角函数在各象限的符号运用 　(1)确定下列三角函数值的符号： ①sin 156°；②coseq \f(16,5)π；③cos(－450°)； ④taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,8)π))；⑤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)π))；⑥tan 556°. [解]　①因为156°是第二象限角，所以sin 156°＞0. ②因为eq \f(16,5)π为第三象限角，所以cos eq \f(16,5)π＜0. ③因为－450°＝－720°＋270°是终边落在y轴的非正半轴上的角，所以cos(－450°)＝0. ④因为－eq \f(17,8)π＝－2π－eq \f(1,8)π是第四象限角，所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,8)π))＜0. ⑤因为－eq \f(4π,3)＝－2π＋eq \f(2,3)π是第二象限角，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)π))＞0. ⑥因为556°＝360°＋196°是第三象限角，所以tan 556°＞0. (2)已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [解析]　C　[因为点P在第四象限，所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(tan α>0，,cos α<0，))由此可判断角α终边在第三象限．] 判断三角函数值正负的两个步骤 1．定象限：确定角α所在的象限． 2．定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断． 注意：若sin α>0，则α的终边不一定落在第一象限或第二象限内，有可能终边落在y轴的非负半轴上． [变式训练] 3．判断下列各式的符号： (1)tan 120°sin 269°； (2)cos 4tan(－eq \f(23π,4))． 解：(1)因为120°角是第二象限角，所以tan 120°<0. 因为269°角在第三象限内，所以sin 269°<0. 所以tan 120°sin 269°>0. (2)因为π<4<eq \f(3π,2)，所以4弧度角是第三象限角， 所以cos 4<0，因为－eq \f(23π,4)＝－6π＋eq \f(π,4)， 所以－eq \f(23π,4)是第一象限角，所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,4)))>0，所以cos 4taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,4)))<0. 　三角函数线的应用 　作出eq \f(3π,4)的正弦线、余弦线和正切线，并比较sineq \f(3π,4)，coseq \f(3π,4)，taneq \f(3π,4)的大小． [解]　在直角坐标系中作单位圆，如图，以Ox轴为始边作eq \f(3π,4)角，角的终边与单位圆交于点P，作PM⊥x轴，垂足为M，由单位圆与x轴正方向的交点A作x轴的垂线，与OP的反向延长线交于T点，则sin eq \f(3π,4)＝MP， coseq \f(3π,4)＝OM，taneq \f(3π,4)＝AT，即eq \f(3π,4)的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.根据三角函数线的应用的知识可知|MP|＝|OM|＝eq \f(\r(2),2)，|AT|＝1, 所以sin eq \f(3π,4)＝eq \f(\r(2),2)， coseq \f(3π,4)＝－eq \f(\r(2),2)， taneq \f(3π,4)＝－1，故sineq \f(3π,4)> coseq \f(3π,4)> taneq \f(3π,4). 作出三角函数线的基本步骤 (1)作直角坐标系和角的终边． (2)作单位圆，圆与角的终边的交点为P，与x轴正半轴的交点为A. (3)过点P作x轴的垂线，垂足为M. (4)过点A作x轴的垂线，与角的终边或其反向延长线交于点T. (5)有向线段MP，OM，AT即分别为角的正弦线，余弦线和正切线． [变式训练] 4．作出－eq \f(9π,4)的正弦线、余弦线和正切线．并比较sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9π,4)))，coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9π,4)))，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9π,4)))大小． 解：如图所示，角－eq \f(9π,4)的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT. 由三角函数线可知coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9π,4)))>sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9π,4)))>taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9π,4))). 1．已知角α的终边过点P(－1,2)，则tan α＝(　　) A．2　　B．－2　　　C．－eq \f(1,2)　　　D.eq \f(1,2) 解析：B　[由题意可知tan α＝eq \f(2,－1)＝－2，故选B.] 2．若－eq \f(π,2)<α<0，则点Q(cos α，sin α)位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：D　[因为－eq \f(π,2)<α<0，所以cos α>0，且sin α<0， 所以点Q(cos α，sin α)在第四象限，故选D.] 3．在直角坐标系xOy中，已知sin α＝－eq \f(4,5)，cos α＝eq \f(3,5)，那么角α的终边与单位圆的交点O的坐标为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5))) 解析：A　[因为sin α＝－eq \f(4,5)，cos α＝eq \f(3,5)，所以角α的终边与单位圆交点O的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5)))，故选A.] 4．如果α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，那么sin α＝(　　) A.eq \f(1,2)　B．－eq \f(1,2)　　C.eq \f(\r(3),2)　　D．－eq \f(\r(3),2) 解析：D　[由题意知，角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，即点(1，－eq \r(3))，则r＝eq \r(12＋－\r(3)2)＝2，根据三角函数的定义，可得sin α＝eq \f(y,r)＝－eq \f(\r(3),2)，故选D.] 5．利用三角函数线比较sin eq \f(2π,3)和sin eq \f(4π,5)，cos eq \f(2π,3)和cos eq \f(4π,5)，tan eq \f(2π,3)和tan eq \f(4π,5)的大小． 解：如图，sin eq \f(2π,3)＝MP， cos eq \f(2π,3)＝OM，tan eq \f(2π,3)＝AT，sin eq \f(4π,5)＝M′P′，cos eq \f(4π,5)＝OM′，tan eq \f(4π,5)＝AT′. 显然|MP|>|M′P′|，符号皆正， 所以sin eq \f(2π,3)>sin eq \f(4π,5)； |OM|<|OM′|，符号皆负，所以cos eq \f(2π,3)>cos eq \f(4π,5)； |AT|>|AT′|，符号皆负，所以tan eq \f(2π,3)<tan eq \f(4π,5). $$