4.3 指数函数与对数函数的应用（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块 上册同步教案（人教版2021）

1．某电子产品自投放市场以来，经过三次降价，单价由375元降到192元，若每次降价的百分率相同，这种产品每次降价的百分率是(　　) A．18%　B．20%　　C．19%　　D．17% 解析：B　[设每次降价的百分率为x，则375×(1－x)3＝192，(1－x)3＝0.512,1－x＝0.8, x＝20%.] 2．2018年5月至2019年春季，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8 000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦．假设蝗虫的日增长率为5%，最初有N0只，则经过　________　天能达到最初的16 000倍(参考数据；ln 1.050≈0.048 8，ln 1.5≈0.405 5，ln 1 600≈7.377 8，ln 160 00≈9.680 3)．(　　) A．198 B．199 C．197 D．200 解析：B　[设过x天能达到最初的16 000倍，由已知可得，N0(1＋0.05)x＝16 000N0， 所以x＝≈198.4， 又x∈N，故x＝199天能达到最初的16 000倍．故选B.] 3．某地为了保护水土资源，实行退耕还林，如果2018年退耕8万公顷，以后每年比上一年增加10%，那么2023年需退耕(　　) A．8×1.14万公顷 B．8×1.15万公顷 C．8×1.16万公顷 D．8×1.13万公顷 解析：B　[2023年需退耕8×(1＋10%)5＝8×1.15， 故选B.] 4．为改善环境，某城市对污水处理系统进行改造．三年后，城市污水排放量由原来每年排放125万吨降到27万吨，那么污水排放量平均每年降低的百分率是(　　) A．50% B．40% C．30% D．20% 解析：B　[设污水排放量平均每年降低的百分率为p，则有125(1－p)3＝27，故p＝＝0.4＝40%，故选B.] 5．设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系为y＝cekx，其中c，k为常量．已知海平面处的大气压强为1.01×105 Pa，在1 000 m高空处的大气压强为0.90×105 Pa，则在600 m高空处的大气压强约为(参考数据：0.890.6≈0.93)(　　) A．9.4×104 Pa B．9.4×106 Pa C．9×103 Pa D．9×105 Pa 解析：A　[依题意得：1.01×105＝ce0＝c,0.90×105＝ce1 000k，因此e1 000k＝≈0.89， 因此当x＝600时，y＝1.01×105e600k＝1.01×105(e1 000k)0.6＝1.01×105×0.890.6≈9.4×104，故选A.] 6．计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低，现在价格为8 100元的计算机，9年后的价格为　________　元． 解析：由题意可得，9年后计算机的价格为：8100×＝8100×3＝2400 答案：2400 7．《中华人民共和国国民经济和社会发展第十一个五年规划纲要》提出，“十一五”期间单位国内生产总值能耗降低20%.如果这五年平均每年降低的百分率为x，那么x满足的方程是　________　. 解析：由已知可得，每年的国民生产总值是上一年的1－x，由题意可得(1－x)5＝1－20%＝0.8. 答案：(1－x)5＝0.8 8．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1 ℃，空气的温度是θ0 ℃，t min后物体的温度θ ℃可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－0.24t求得，且把温度是100 ℃的物体放在10 ℃的空气中冷却t min后，物体的温度是40 ℃，那么t的值约等于　______　.(参考数据：ln 3取1.099，ln 2取0.693) 解析：由题意可得40＝10＋(100－10)e－0.24t， 化简可得e－0.24t＝， 所以－0.24t＝ln ＝－ln 3， 所以0.24t＝ln 3＝1.099，所以t≈4.58. 答案：4.58 9．一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少．为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么这个驾驶员至少要经过　________　小时才能开车． (精确到1小时，参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) 解析：设经过n小时后才能开车，此时酒精含量为0.3(1－0.25)n.根据题意，有0.3(1－0.25)n≤0.09，即(1－0.25)n≤0.3，在不等式两边取常用对数，则有nlg ＝n(lg 3－2lg 2)≤lg 0.3＝lg 3－1，将已知数据代入，得n(0.48－0.6)≤0.48－1，解得n≥＝4，故至少经过5小时才能开车． 答案：5 10．某生态文明小镇2019年底人口为20万人，人均住房面积为8 m2，计划2023年底人均住房达到10 m2，如果该镇将每年人口平均增长率控制在1%，那么要实现上述计划，这个城市平均每年至少要新增住房多少万m2.(精确到1万m2) 解：设这个城市平均每年要新增住房x万m2， 据题意可得20×8＋4x＝20(1＋1%)4·10， 所以x＝50×1.014－40≈12. 所以这个城市平均每年至少需新增住房12万m2. 11．核酸检测在新冠病毒防控中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR法进行的，即通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中的靶标DNA进行实时检测．已知被标靶的DNA在PCR扩增期间，每扩增一次，DNA的数量就增加p%.若被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，则p的值约为(参考数据：100.2≈1.585,10－0.2≈0.631)，(　　) A．36.9 B．41.15 C．58.5 D．63.1 解析：C　[设DNA数量没有扩增前数量为a，由题意可得a(1＋p%)5＝10a， 所以(1＋p%)5＝10，所以1＋p%＝100.2，可得p%＝100.2－1＝0.585，p＝58.5，故选C.] 12．某公司2016年产值为2000万元，2022年产值为8000万元，则年产值的平均每年的增长率是　______　. 解析：设年产值的平均每年的增长率是x， 则2000(1＋x)6＝8000，解得x＝－1. 故答案为：－1. 答案：－1 13．2019年3月10日，山间一道赤焰拔地而起，巨大的轰鸣声响彻大凉山，长征三号乙运载火箭托举“中星6C”卫星成功发射升空．这一刻，中国长征系列运载火箭的发射次数刷新为“300”．长征系列运载火箭实现第一个“百发”用了37年，第二个“百发”用了不到8年，第三个“百发”用时仅4年多。已知在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v＝2 000·ln.当燃料质量是火箭质量的　________　倍时，火箭的最大速度可达12 000米/秒． 解析：由题意可得v＝12 000，则2 000·ln＝12 000，解得＝e6－1. 答案：e6－1. 14．已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物1个单位，设经过y个小时后，药物在病人血液中的量为x个单位． (1)求y与x的关系式； (2)当该药物在病人血液中的量保持在个单位以上，才有疗效；而低于个单位，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过几小时(精确到0.1)．(参考数据：lg 5≈0.699，lg 4≈0.602) 解：(1)由已知，1×(1－0.2)y＝x， 所以y＝log0.8x，其中0<x≤1. (2)由(1－0.2)y≥， 即0.8y≥0.2，y≤log0.80.2＝＝＝≈7.2. 学科网（北京）股份有限公司 $$4．3　指数函数与对数函数的应用 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 章末归纳提升 05 第四章 指数函数与对数函数 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 章末归纳提升 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第四章 指数函数与对数函数 [学习目标] 1．了解函数模型的广泛应用，体现指数函数与对数函数的应用价值； 2．初步掌握从实际情境中抽象出指数函数或对数函数模型，解决有关简单的实际问题． 一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2 KB，然后每3分自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍．那么开机后多少分，该病毒会占据64 MB内存(1 MB＝1 024 KB)? 提示：2×2n＝64×210，n＝15 故需时间为15×3＝45分钟． [知识点一]　指数函数、对数函数模型　 能用指数函数表达的函数模型叫做指数函数模型；能用对数函数表达的函数模型叫对数函数模型．指数函数模型、对数函数模型在实际生活中有着广泛的应用． 设原有量为N，每次的增长量为p，经过x次增长，该量增长到y，则x，y之间满足的关系式是什么？ 提示：y＝N(1＋p)x(x∈N)． [知识点二]　解指数函数、对数函数应用题的一般步骤　 第一步：阅读理解、认真审题． 第二步：引进数学符号，建立数学模型． 第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答，求得结果． 第四步：转译成具体问题作出解答． 解题时要善于对信息进行加工、转化、抽象，概括出数学模型，要准确使用符号和语言，要注意解题格式和步骤的规范． 1．某电子产品以每件860元的价格投放市场以来，经过了3次降价，若平均每次降价20%，则现在每件的价格为(　　) A．440　　B．324　　　C．280　　　D．7 解析：A　[A.由题意可得现在的价格是860×(1－20%)3，计算得出440；故选A.] 2．某种细菌每半小时分裂一次(一个分裂为两个)，经过3小时，这种细菌由1个可繁殖(　　) A．8个 B．16个 C．32个 D．64个 解析：D　[根据题意知，该种细菌分裂的个数满足指数函数y＝2x，x∈N*； 经过3小时，细菌分裂6次，x＝6， 细菌分裂的个数为y＝26＝64.故选D.] 3．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·lgeq \f(I,I0)(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的(　　) A.eq \f(7,6)倍 B．10倍 C．10eq \f(7,6)倍 D．lneq \f(7,6)倍 解析：B　[依题意可知，η1＝10·lgeq \f(I1,I0)，η2＝10·lgeq \f(I2,I0)，所以η1－η2＝10·lgeq \f(I1,I0)－10·lgeq \f(I2,I0)，则1＝lg I1－lg I2，所以eq \f(I1,I2)＝10.故选B.] 4．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为　________　. 解析：设新设备的价值为单位1，每年消耗为b%，则第二年设备的价值为(1－b%)，所以经过n年后此批设备的价值为a(1－b%)n. 答案：a(1－b%)n [答案]　B 　　　指数函数模型的应用 　随着我国经济的不断发展，2018年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的平均增长率增长，那么2025年年底该地区的农民人均年收入为(　　) A．3 000×1.06×7元　　 B．3 000×1.067元 C．3 000×1.06×8元 D．3 000×1.068元 [解析]　由题意知，2025年底该地区农民人均收入为3 000×(1＋6%)7＝3 000×1.067，故选B. 　容器内现有纯酒精10 L，每次从中倒出1 L溶液后再加满水，试给出操作次数x与所剩酒精y之间的函数解析式，已知75%纯度的酒精可作医用，问操作4次后，容器中的溶液能否作医用？ [思路点拨]　每次从容器中倒出1 L溶液，再加满水，等同于容器中溶液的酒精浓度被稀释为之前的eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10))). [解]　依题意可以得到，10 L的纯酒精在操作了x次后，所剩的酒精含量y(L)为y＝10×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10)))x(x∈N)． 经过4次操作后，容器中的酒精含量为y＝10×0.94＝6.561， 此时，容器中溶液的酒精浓度为eq \f(6.561,10)＝65.61%＜75%，不能作医用． [答案]　操作次数x与所剩酒精y之间的函数关系为y＝10×0.9x(x∈N)，操作4次后，容器中的溶液不能作医用． 指数函数模型的应用 在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式． [变式训练] 1．(1)已知某种产品的生产成本每年降低25%.若该产品2020年底的生产成本为6 400元/件，那么2023年底的生产成本为　________　元/件． 解析：2023年底生产成本6 400×(1－25%)3＝2 700元． 答案：2 700 (2)调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/ml.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8 mg/ml，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过　__________　小时后才可以驾驶机动车．(　　) A．1　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 解析：B　[设n小时后才可以驾车，据题意得 0．8(1－50%)n≤0.2，所以0.5n≤eq \f(1,4)，所以n≥2， 即至少要经过2小时后才可以驾驶机动车，故选B.] 　　对数函数模型的应用 　某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少eq \f(1,4)，问至少应过滤多少次，才能使产品达到市场要求？(参考数据lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1) [解析]　设过滤y次后杂质含量为x， 则x＝0.02eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))y，即50x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))y，则y＝ (50x)， 令x＝0.001，则y＝logeq \f(3,4)0.05＝eq \f(1,20)＝－eq \f(lg 20,lg \f(3,4))＝eq \f(lg 20,lg 4－lg 3) ＝eq \f(1＋0.301 0,2×0.301 0－0.477 1)≈10.42， 所以至少过滤11次才能使产品达到市场要求． 　大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为v(单位：m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现v与log3eq \f(Q,100)成正比，且当Q＝900时，v＝1. (1)求出v关于Q的函数解析式； (2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数； (3)一条鲑鱼要想把游速提高1 m/s，其耗氧量的单位数应怎样变化？ [解]　(1)设v＝k·，因为当Q＝900时， v＝1，所以1＝k·，所以k＝eq \f(1,2). 故v关于Q的函数解析式为v＝eq \f(1,2). (2)令v＝1.5，则1.5＝eq \f(1,2)，解得Q＝2 700. 故一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时的耗氧量为2 700个单位． (3)设鲑鱼耗氧量为Q1，Q2时，游速分别为v1，v2， 由题意知v2－v1＝1，即eq \f(1,2)log3eq \f(Q2,100)－eq \f(1,2)log3eq \f(Q1,100)＝1. 所以eq \f(1,2)log3eq \f(Q2,Q1)＝1，所以eq \f(Q2,Q1)＝9，即Q2＝9Q1. 故鲑鱼要想把游速提高1 m/s，其耗氧量单位数应变为原来的9倍． 建立对数函数模型解决应用问题 对数运算是求指数的运算，因此要建立对数函数模型，可设指数变量为y，利用指数与对数的互化得到对数函数解析式，再利用已知数据或计算工具计算解题． [变式训练] 2．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(单位：只)与引入时间x(单位：年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到(　　) A．300只 B．400只 C．600只 D．700只 解析：A　[将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)， 解得a＝100， 所以y＝100log2(x＋1) 所以当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.故选A.] 3．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，求该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)． 解析：设经过y年后公司的研发资金为x， 则x＝130(1＋12%)y，即eq \f(x,130)＝1.12y， 所以y＝log1.12eq \f(x,130)，令x＝200， 所以y＝log1.12eq \f(200,130)＝log1.12eq \f(2,1.3)＝eq \f(lg 2－lg 1.3,lg 1.12)≈3.8， 所以到2027年，公司研发资金开始超过200万元． 1．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足(　　) A．y＝a(1＋5%x)　　　　　 B．y＝a＋5% C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)x 解析：D　[经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年，y＝a(1＋5%)2，…，经过x年，y＝a(1＋5%)x.] 2．专家预测，在我国大西北某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为(　　) 解析：D　[由题意可知y＝(1＋10.4%)x，故选D.] 3．一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么a千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半)t等于(　　) A．lgeq \f(0.5,0.92) B．lgeq \f(0.92,0.5) C.eq \f(lg 0.5,lg 0.92) D.eq \f(lg 0.92,lg 0.5) 解析：C　[由题意知a(1－8%)t＝eq \f(a,2)，即(1－8%)t＝eq \f(1,2)，等式两边取对数得lg 0.92t＝lg 0.5， 即tlg 0.92＝lg 0.5，所以t＝eq \f(lg 0.5,lg 0.92)，故C选项是正确的．] 4．为绿化生活环境，某市开展植树活动．今年全年植树6.4万棵，若植树的棵数每年的增长率均为a，则经过x年后植树的棵数y与x之间的解析式是　________　，若计划3年后全年植树12.5万棵，则a＝　________　. 解析：经过x年后植树的棵数y与x之间的解析式是y＝6.4(1＋a)x，由题意可知6.4(1＋a)3＝12.5，所以(1＋a)3＝eq \f(125,64)，所以1＋a＝eq \f(5,4)，故a＝eq \f(1,4)＝25%. 答案：y＝6.4(1＋a)x　25% 5．某种产品的年产量为a，在今后m年内，计划使产量平均每年比上年增加p%. (1)写出产量y随年数x变化的函数解析式； (2)若使年产量两年内实现翻两番的目标，求p. 解：(1)设年产量为y，年数为x，则y＝a(1＋p%)x，定义域为{x|0≤x≤m，且x∈N*}． (2)y＝a(1＋p%)2＝4a，解得p＝100. 　指数的运算 指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的． 　计算下列各式： (1) ×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,6)))0＋80.25×eq \r(4,2)＋(eq \r(3,2)×eq \r(3))6；(2)2eq \r(3)×eq \r(3,1.5)×eq \r(6,12) [变式训练] 解：(1)原式＝eq \r(\f(9,4))－1－＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))－2＝eq \f(3,2)－1－eq \f(4,9)＋eq \f(4,9)＝eq \f(1,2)； (2)原式＝－4－1＋eq \r(0.25)×(－eq \r(2))4＝－3. 　对数的运算 对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧． 　求下列各式的值： (1)log345－log35； (2)lg 25＋eq \f(2,3)lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2； [解]　(1)log345－log35＝log3eq \f(45,5)＝log39＝log332＝2. (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. 　计算：①log29·log34；②eq \f(log5\r(2)×log79,log5\f(1,3)×log7\r(3,4)). [解]　①原式＝eq \f(lg 9,lg 2)·eq \f(lg 4,lg 3)＝eq \f(lg 32·lg 22,lg 2·lg 3)＝eq \f(2lg 3·2lg 2,lg 2·lg 3)＝4. ②原式＝eq \f(log5\r(2),log5\f(1,3))×eq \f(log79,log7\r(3,4))＝logeq \f(1,3)eq \r(2)×logeq \r(3,4)9＝eq \f(lg \r(2)×lg 9,lg \f(1,3)×lg \r(3,4))＝eq \f(\f(1,2)lg 2×2lg 3,－lg 3×\f(2,3)lg 2)＝－eq \f(3,2). [变式训练] 2．计算(1)2log63＋log64； 解：(1)原式＝log632＋log64＝log6(32×4)＝log6(62)＝2log66＝2. (2)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(25,\f(1,4))))÷＝(lg 102)÷10－1＝2×10＝20. 3．log2eq \f(1,25)·log3eq \f(1,8)·log5eq \f(1,9)＝　________　. 解析：原式＝eq \f(lg\f(1,25),lg 2)·eq \f(lg\f(1,8),lg 3)·eq \f(lg\f(1,9),lg 5)＝eq \f(－2lg 5·－3lg 2·－2lg 3,lg 2·lg 3·lg 5)＝－12. 答案：－12 　　　指数函数、对数函数的图象及应用 指数函数、对数函数的图象按底数a分为a>1和0<a<1两类，注意掌握它们的形状和画法，函数图象有着广泛的应用，利用函数的图象可以求函数的单调性、值域与最值等． 　(1)函数y＝ax－3＋3(a＞0，且a≠1)的图象过定点　________　. (2)函数y＝log3(3x)的图象大致为(　　) [解析]　(1)因为指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝ax－3＋3的图象过定点(3,4)． (2)由对数函数性质知y＝log3(3x)为增函数，故排除BD； 当x＝eq \f(1,3)时，y＝log3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3×\f(1,3)))＝0，即函数过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))，排除C. [答案]　(1)(3,4)　 (2)A [变式训练] 4．函数y＝3－x与函数y＝－3x的图象(　　) A．关于x轴对称　　 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称 解析：C　[在同一坐标系中，作出函数y＝3－x与函数y＝－3x的图象，如图所示： 由图象知：函数y＝3－x与函数y＝－3x的图象关于原点对称．] 　指数函数的性质及应用 指数函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、定点．注意掌握这些函数的性质，特别注意掌握好函数的单调性，函数的单调性有着广泛的应用，利用函数的单调性可以比较两数的大小，求函数的值域，解不等式等． 　判断下列各数的大小关系： (1)1.8a与1.8a＋1；(2) ，34，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－2；(3)20.2，(2.5)0，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0.3. [解]　(1)因为y＝1.8x在R上为增函数，且a＋1＞a，所以1.8a＋1＞1.8a. (2)因为34＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－4，且y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在R上为减函数，且eq \f(2,3)＞－2＞－4，所以＜eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－2＜34. (3)因为20.2＞20＝1，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0.3＜eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0＝1,2.50＝1，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0.3＜(2.5)0＜20.2. 　若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2a＋1＜eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3－2a，则实数a的取值范围是　________　. [解析]　因为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在R上为减函数，且eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2a＋1＜eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3－2a，所以2a＋1＞3－2a， 解得a＞eq \f(1,2). [答案]　a＞eq \f(1,2) [变式训练] 5．(1)已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a、b、c的大小关系是　________　 (2)若x满足不等式≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x－2，则函数y＝2x的值域是(　　) A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2))　　　　　　 B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2)) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,8))) D．[2，＋∞) 解析：(1)因为y＝(0.8)x在R上为减函数，且0.7＜0.9，所以0.80.7＞0.80.9，又因1.20.8＞1.20＝1,0.80.7＜0.80＝1，所以c＞a＞b. (2)由≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x－2可得≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x－2＝2－2(x－2)， 因为y＝2x在R上单调递增，所以x2＋1≤－2x＋4 即x2＋2x－3≤0，解得：－3≤x≤1， 所以2－3≤y＝2x≤21，即函数y＝2x的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2))，故选B. 答案：(1)c＞a＞b　(2)B 　对数函数的性质及应用 对数函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、定点．注意掌握这些函数的性质，特别注意掌握好函数的单调性，函数的单调性有着广泛的应用，利用函数的单调性可以比较两数的大小，求函数的值域，解不等式等． 　已知实数a＝log45，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b<c<a B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a [解析]　D　[由题知，a＝log45>1，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0＝1，c＝log30.4<0，故c<b<a.] 　根据函数f(x)＝log2x的图象和性质解决以下问题： (1)若f(a)>f(2)，求a的取值范围； (2)求y＝log2(2x－1)在[2,14]上的最值． [解]　(1)函数f(x)＝log2x的图象如图： 因为f(x)＝log2x是增函数，故f(a)>f(2)，即log2a>log22，则a>2. 所以a的取值范围为(2，＋∞)． (2)因为2≤x≤14，所以3≤2x－1≤27， 所以log23≤log2(2x－1)≤log227. 所以函数y＝log2(2x－1)在[2,14]上的最小值为log23，最大值为log227. [变式训练] 6．(1)函数f(x)＝logax(0＜a＜1)在[a2，a]上的最大值是(　　) A．0　　　B．1　　　　C．2　　　　D．a (2)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则(　　) A．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c 解析：(1)因为0＜a＜1，所以f(x)＝logax在[a2，a]上是减函数，所以f(x)max＝f(a2)＝logaa2＝2. (2)a＝log36＝log33＋log32＝1＋log32，b＝log510＝log55＋log52＝1＋log52，c＝log714＝log77＋log72＝1＋log72，因为log32>log52>log72， 所以a>b>c，故选D. 答案：(1)C　(2)D 　指数函数、对数函数的应用 常见的指数函数、对数函数模型应用问题有二类： 1．利用给定的函数模型解决问题．这一类的特点是实际问题所符合的函数模型已经给定，只需要根据模型解决问题即可； 2．建立确定性函数模型解决问题．这一类的特点是实际问题所符合的函数模型是确定的，但没明确给出，需要根据题中数据信息先求出该模型，再运用它解决实际问题； 　衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发而体积变小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为V＝ae－kt，新丸经过50天后，体积变为eq \f(4,9)a.若一个新丸体积变为eq \f(8,27)a，则需经过　______　天． [解析]　由题意，得eq \f(4,9)a＝ae－50k，解得e－25k＝eq \f(2,3).令ae－kt＝eq \f(8,27)a，即e－kt＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝(e－25k)3＝e－75k，即需经过的天数为75. 答案：75 　“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t＝－144 lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(N,90)))中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数．则当N＝40时，t＝　________　.(已知lg 3≈0.477，lg 5≈0.699) [解析]　当N＝40时，则t＝－144 lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(40,90)))＝－144 lgeq \f(5,9)＝－144(lg 5－2lg 3)＝36.72. [答案]　36.72 [变式训练] 7．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是(　　) A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．21小时 解析：C　[由题意，知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(192＝eb，,48＝e22k＋b，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(eb＝192，,e11k＝\f(1,2).))当x＝33时， y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3×192＝24(小时)．] 8．一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减． (1)求t年后，这种放射性元素质量ω的表达式； (2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期)．(精确到0.1年，已知lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771) $$ 4．3　指数函数与对数函数的应用 [学习目标] 1．了解函数模型的广泛应用，体现指数函数与对数函数的应用价值； 2．初步掌握从实际情境中抽象出指数函数或对数函数模型，解决有关简单的实际问题． 一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2 KB，然后每3分自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍．那么开机后多少分，该病毒会占据64 MB内存(1 MB＝1 024 KB)? 提示：2×2n＝64×210，n＝15 故需时间为15×3＝45分钟． [知识点一]　指数函数、对数函数模型　 能用指数函数表达的函数模型叫做指数函数模型；能用对数函数表达的函数模型叫对数函数模型．指数函数模型、对数函数模型在实际生活中有着广泛的应用． 设原有量为N，每次的增长量为p，经过x次增长，该量增长到y，则x，y之间满足的关系式是什么？ 提示：y＝N(1＋p)x(x∈N)． [知识点二]　解指数函数、对数函数应用题的一般步骤　 第一步：阅读理解、认真审题． 第二步：引进数学符号，建立数学模型． 第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答，求得结果． 第四步：转译成具体问题作出解答． 解题时要善于对信息进行加工、转化、抽象，概括出数学模型，要准确使用符号和语言，要注意解题格式和步骤的规范． 1．某电子产品以每件860元的价格投放市场以来，经过了3次降价，若平均每次降价20%，则现在每件的价格为(　　) A．440　　B．324　　　C．280　　　D．7 解析：A　[A.由题意可得现在的价格是860×(1－20%)3，计算得出440；故选A.] 2．某种细菌每半小时分裂一次(一个分裂为两个)，经过3小时，这种细菌由1个可繁殖(　　) A．8个 B．16个 C．32个 D．64个 解析：D　[根据题意知，该种细菌分裂的个数满足指数函数y＝2x，x∈N*； 经过3小时，细菌分裂6次，x＝6， 细菌分裂的个数为y＝26＝64.故选D.] 3．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·lg(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的(　　) A.倍 B．10倍 C．10倍 D．ln倍 解析：B　[依题意可知，η1＝10·lg，η2＝10·lg，所以η1－η2＝10·lg－10·lg，则1＝lg I1－lg I2，所以＝10.故选B.] 4．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为　________　. 解析：设新设备的价值为单位1，每年消耗为b%，则第二年设备的价值为(1－b%)，所以经过n年后此批设备的价值为a(1－b%)n. 答案：a(1－b%)n 　　　指数函数模型的应用 　随着我国经济的不断发展，2018年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的平均增长率增长，那么2025年年底该地区的农民人均年收入为(　　) A．3 000×1.06×7元　　 B．3 000×1.067元 C．3 000×1.06×8元 D．3 000×1.068元 [解析]　由题意知，2025年底该地区农民人均收入为3 000×(1＋6%)7＝3 000×1.067，故选B. [答案]　B 　容器内现有纯酒精10 L，每次从中倒出1 L溶液后再加满水，试给出操作次数x与所剩酒精y之间的函数解析式，已知75%纯度的酒精可作医用，问操作4次后，容器中的溶液能否作医用？ [思路点拨]　每次从容器中倒出1 L溶液，再加满水，等同于容器中溶液的酒精浓度被稀释为之前的. [解]　依题意可以得到，10 L的纯酒精在操作了x次后，所剩的酒精含量y(L)为y＝10×x(x∈N)． 经过4次操作后，容器中的酒精含量为y＝10×0.94＝6.561， 此时，容器中溶液的酒精浓度为＝65.61%＜75%，不能作医用． [答案]　操作次数x与所剩酒精y之间的函数关系为y＝10×0.9x(x∈N)，操作4次后，容器中的溶液不能作医用． 指数函数模型的应用 在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式． [变式训练] 1．(1)已知某种产品的生产成本每年降低25%.若该产品2020年底的生产成本为6 400元/件，那么2023年底的生产成本为　________　元/件． 解析：2023年底生产成本6 400×(1－25%)3＝2 700元． 答案：2 700 (2)调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/ml.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8 mg/ml，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过　__________　小时后才可以驾驶机动车．(　　) A．1　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 解析：B　[设n小时后才可以驾车，据题意得 0．8(1－50%)n≤0.2，所以0.5n≤，所以n≥2， 即至少要经过2小时后才可以驾驶机动车，故选B.] 　　对数函数模型的应用 　某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤多少次，才能使产品达到市场要求？(参考数据lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1) [解析]　设过滤y次后杂质含量为x， 则x＝0.02y，即50x＝y， 则y＝ (50x)， 令x＝0.001，则y＝log0.05＝＝－＝ ＝≈10.42， 所以至少过滤11次才能使产品达到市场要求． 　大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为v(单位：m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现v与log3成正比，且当Q＝900时，v＝1. (1)求出v关于Q的函数解析式； (2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数； (3)一条鲑鱼要想把游速提高1 m/s，其耗氧量的单位数应怎样变化？ [解]　(1)设v＝k·，因为当Q＝900时， v＝1，所以1＝k·，所以k＝. 故v关于Q的函数解析式为v＝. (2)令v＝1.5，则1.5＝，解得Q＝2 700. 故一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时的耗氧量为2 700个单位． (3)设鲑鱼耗氧量为Q1，Q2时，游速分别为v1，v2， 由题意知v2－v1＝1，即log3－log3＝1. 所以log3＝1，所以＝9，即Q2＝9Q1. 故鲑鱼要想把游速提高1 m/s，其耗氧量单位数应变为原来的9倍． 建立对数函数模型解决应用问题 对数运算是求指数的运算，因此要建立对数函数模型，可设指数变量为y，利用指数与对数的互化得到对数函数解析式，再利用已知数据或计算工具计算解题． [变式训练] 2．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(单位：只)与引入时间x(单位：年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到(　　) A．300只 B．400只 C．600只 D．700只 解析：A　[将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)， 解得a＝100， 所以y＝100log2(x＋1) 所以当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.故选A.] 3．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，求该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)． 解析：设经过y年后公司的研发资金为x， 则x＝130(1＋12%)y，即＝1.12y， 所以y＝log1.12，令x＝200， 所以y＝log1.12＝log1.12＝≈3.8， 所以到2027年，公司研发资金开始超过200万元． 1．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足(　　) A．y＝a(1＋5%x)　　　　　 B．y＝a＋5% C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)x 解析：D　[经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年，y＝a(1＋5%)2，…，经过x年，y＝a(1＋5%)x.] 2．专家预测，在我国大西北某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为(　　) 解析：D　[由题意可知y＝(1＋10.4%)x，故选D.] 3．一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么a千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半)t等于(　　) A．lg B．lg C. D. 解析：C　[由题意知a(1－8%)t＝，即(1－8%)t＝，等式两边取对数得lg 0.92t＝lg 0.5， 即tlg 0.92＝lg 0.5，所以t＝，故C选项是正确的．] 4．为绿化生活环境，某市开展植树活动．今年全年植树6.4万棵，若植树的棵数每年的增长率均为a，则经过x年后植树的棵数y与x之间的解析式是　________　，若计划3年后全年植树12.5万棵，则a＝　________　. 解析：经过x年后植树的棵数y与x之间的解析式是y＝6.4(1＋a)x，由题意可知6.4(1＋a)3＝12.5，所以(1＋a)3＝，所以1＋a＝，故a＝＝25%. 答案：y＝6.4(1＋a)x　25% 5．某种产品的年产量为a，在今后m年内，计划使产量平均每年比上年增加p%. (1)写出产量y随年数x变化的函数解析式； (2)若使年产量两年内实现翻两番的目标，求p. 解：(1)设年产量为y，年数为x，则y＝a(1＋p%)x，定义域为{x|0≤x≤m，且x∈N*}． (2)y＝a(1＋p%)2＝4a，解得p＝100. 1．某电子产品自投放市场以来，经过三次降价，单价由375元降到192元，若每次降价的百分率相同，这种产品每次降价的百分率是(　　) A．18%　B．20%　　C．19%　　D．17% 解析：B　[设每次降价的百分率为x，则375×(1－x)3＝192，(1－x)3＝0.512,1－x＝0.8, x＝20%.] 2．2018年5月至2019年春季，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8 000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦．假设蝗虫的日增长率为5%，最初有N0只，则经过　________　天能达到最初的16 000倍(参考数据；ln 1.050≈0.048 8，ln 1.5≈0.405 5，ln 1 600≈7.377 8，ln 160 00≈9.680 3)．(　　) A．198 B．199 C．197 D．200 解析：B　[设过x天能达到最初的16 000倍，由已知可得，N0(1＋0.05)x＝16 000N0， 所以x＝≈198.4， 又x∈N，故x＝199天能达到最初的16 000倍．故选B.] 3．某地为了保护水土资源，实行退耕还林，如果2018年退耕8万公顷，以后每年比上一年增加10%，那么2023年需退耕(　　) A．8×1.14万公顷 B．8×1.15万公顷 C．8×1.16万公顷 D．8×1.13万公顷 解析：B　[2023年需退耕8×(1＋10%)5＝8×1.15， 故选B.] 4．为改善环境，某城市对污水处理系统进行改造．三年后，城市污水排放量由原来每年排放125万吨降到27万吨，那么污水排放量平均每年降低的百分率是(　　) A．50% B．40% C．30% D．20% 解析：B　[设污水排放量平均每年降低的百分率为p，则有125(1－p)3＝27，故p＝＝0.4＝40%，故选B.] 5．设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系为y＝cekx，其中c，k为常量．已知海平面处的大气压强为1.01×105 Pa，在1 000 m高空处的大气压强为0.90×105 Pa，则在600 m高空处的大气压强约为(参考数据：0.890.6≈0.93)(　　) A．9.4×104 Pa B．9.4×106 Pa C．9×103 Pa D．9×105 Pa 解析：A　[依题意得：1.01×105＝ce0＝c,0.90×105＝ce1 000k，因此e1 000k＝≈0.89， 因此当x＝600时，y＝1.01×105e600k＝1.01×105(e1 000k)0.6＝1.01×105×0.890.6≈9.4×104，故选A.] 6．计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低，现在价格为8 100元的计算机，9年后的价格为　________　元． 解析：由题意可得，9年后计算机的价格为：8100×＝8100×3＝2400 答案：2400 7．《中华人民共和国国民经济和社会发展第十一个五年规划纲要》提出，“十一五”期间单位国内生产总值能耗降低20%.如果这五年平均每年降低的百分率为x，那么x满足的方程是　________　. 解析：由已知可得，每年的国民生产总值是上一年的1－x，由题意可得(1－x)5＝1－20%＝0.8. 答案：(1－x)5＝0.8 8．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1 ℃，空气的温度是θ0 ℃，t min后物体的温度θ ℃可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－0.24t求得，且把温度是100 ℃的物体放在10 ℃的空气中冷却t min后，物体的温度是40 ℃，那么t的值约等于　______　.(参考数据：ln 3取1.099，ln 2取0.693) 解析：由题意可得40＝10＋(100－10)e－0.24t， 化简可得e－0.24t＝， 所以－0.24t＝ln ＝－ln 3， 所以0.24t＝ln 3＝1.099，所以t≈4.58. 答案：4.58 9．一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少．为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么这个驾驶员至少要经过　________　小时才能开车． (精确到1小时，参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) 解析：设经过n小时后才能开车，此时酒精含量为0.3(1－0.25)n.根据题意，有0.3(1－0.25)n≤0.09，即(1－0.25)n≤0.3，在不等式两边取常用对数，则有nlg ＝n(lg 3－2lg 2)≤lg 0.3＝lg 3－1，将已知数据代入，得n(0.48－0.6)≤0.48－1，解得n≥＝4，故至少经过5小时才能开车． 答案：5 10．某生态文明小镇2019年底人口为20万人，人均住房面积为8 m2，计划2023年底人均住房达到10 m2，如果该镇将每年人口平均增长率控制在1%，那么要实现上述计划，这个城市平均每年至少要新增住房多少万m2.(精确到1万m2) 解：设这个城市平均每年要新增住房x万m2， 据题意可得20×8＋4x＝20(1＋1%)4·10， 所以x＝50×1.014－40≈12. 所以这个城市平均每年至少需新增住房12万m2. 11．核酸检测在新冠病毒防控中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR法进行的，即通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中的靶标DNA进行实时检测．已知被标靶的DNA在PCR扩增期间，每扩增一次，DNA的数量就增加p%.若被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，则p的值约为(参考数据：100.2≈1.585,10－0.2≈0.631)，(　　) A．36.9 B．41.15 C．58.5 D．63.1 解析：C　[设DNA数量没有扩增前数量为a，由题意可得a(1＋p%)5＝10a， 所以(1＋p%)5＝10，所以1＋p%＝100.2，可得p%＝100.2－1＝0.585，p＝58.5，故选C.] 12．某公司2016年产值为2000万元，2022年产值为8000万元，则年产值的平均每年的增长率是　______　. 解析：设年产值的平均每年的增长率是x， 则2000(1＋x)6＝8000，解得x＝－1. 故答案为：－1. 答案：－1 13．2019年3月10日，山间一道赤焰拔地而起，巨大的轰鸣声响彻大凉山，长征三号乙运载火箭托举“中星6C”卫星成功发射升空．这一刻，中国长征系列运载火箭的发射次数刷新为“300”．长征系列运载火箭实现第一个“百发”用了37年，第二个“百发”用了不到8年，第三个“百发”用时仅4年多。已知在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v＝2 000·ln.当燃料质量是火箭质量的　________　倍时，火箭的最大速度可达12 000米/秒． 解析：由题意可得v＝12 000，则2 000·ln＝12 000，解得＝e6－1. 答案：e6－1. 14．已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物1个单位，设经过y个小时后，药物在病人血液中的量为x个单位． (1)求y与x的关系式； (2)当该药物在病人血液中的量保持在个单位以上，才有疗效；而低于个单位，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过几小时(精确到0.1)．(参考数据：lg 5≈0.699，lg 4≈0.602) 解：(1)由已知，1×(1－0.2)y＝x， 所以y＝log0.8x，其中0<x≤1. (2)由(1－0.2)y≥， 即0.8y≥0.2，y≤log0.80.2＝＝＝≈7.2. 　指数的运算 指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的． 　计算下列各式： (1) ×0＋80.25×＋(×)6；(2)2×× [变式训练] 解：(1)原式＝－1－＋－2＝－1－＋＝； (2)原式＝－4－1＋×(－)4＝－3. 　对数的运算 对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧． 　求下列各式的值： (1)log345－log35； (2)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2； [解]　(1)log345－log35＝log3＝log39＝log332＝2. (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. 　计算：①log29·log34；②. [解]　①原式＝·＝＝＝4. ②原式＝×＝log×log9＝＝＝－. [变式训练] 2．计算(1)2log63＋log64； 解：(1)原式＝log632＋log64＝log6(32×4)＝log6(62)＝2log66＝2. (2)原式＝÷＝(lg 102)÷10－1＝2×10＝20. 3．log2·log3·log5＝　________　. 解析：原式＝··＝＝－12. 答案：－12 　　　指数函数、对数函数的图象及应用 指数函数、对数函数的图象按底数a分为a>1和0<a<1两类，注意掌握它们的形状和画法，函数图象有着广泛的应用，利用函数的图象可以求函数的单调性、值域与最值等． 　(1)函数y＝ax－3＋3(a＞0，且a≠1)的图象过定点　________　. (2)函数y＝log3(3x)的图象大致为(　　) [解析]　(1)因为指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝ax－3＋3的图象过定点(3,4)． (2)由对数函数性质知y＝log3(3x)为增函数，故排除BD； 当x＝时，y＝log3＝0，即函数过点，排除C. [答案]　(1)(3,4)　 (2)A [变式训练] 4．函数y＝3－x与函数y＝－3x的图象(　　) A．关于x轴对称　　 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称 解析：C　[在同一坐标系中，作出函数y＝3－x与函数y＝－3x的图象，如图所示： 由图象知：函数y＝3－x与函数y＝－3x的图象关于原点对称．] 　指数函数的性质及应用 指数函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、定点．注意掌握这些函数的性质，特别注意掌握好函数的单调性，函数的单调性有着广泛的应用，利用函数的单调性可以比较两数的大小，求函数的值域，解不等式等． 　判断下列各数的大小关系： (1)1.8a与1.8a＋1；(2) ，34，－2；(3)20.2，(2.5)0，0.3. [解]　(1)因为y＝1.8x在R上为增函数，且a＋1＞a，所以1.8a＋1＞1.8a. (2)因为34＝－4，且y＝x在R上为减函数，且＞－2＞－4，所以＜－2＜34. (3)因为20.2＞20＝1，0.3＜0＝1,2.50＝1，所以0.3＜(2.5)0＜20.2. 　若2a＋1＜3－2a，则实数a的取值范围是　________　. [解析]　因为y＝x在R上为减函数，且2a＋1＜3－2a，所以2a＋1＞3－2a， 解得a＞. [答案]　a＞ [变式训练] 5．(1)已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a、b、c的大小关系是　________　 (2)若x满足不等式≤x－2，则函数y＝2x的值域是(　　) A.　　　　　　 B. C. D．[2，＋∞) 解析：(1)因为y＝(0.8)x在R上为减函数，且0.7＜0.9，所以0.80.7＞0.80.9，又因1.20.8＞1.20＝1,0.80.7＜0.80＝1，所以c＞a＞b. (2)由≤x－2可得≤x－2＝2－2(x－2)， 因为y＝2x在R上单调递增，所以x2＋1≤－2x＋4 即x2＋2x－3≤0，解得：－3≤x≤1， 所以2－3≤y＝2x≤21，即函数y＝2x的值域是，故选B. 答案：(1)c＞a＞b　(2)B 　对数函数的性质及应用 对数函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、定点．注意掌握这些函数的性质，特别注意掌握好函数的单调性，函数的单调性有着广泛的应用，利用函数的单调性可以比较两数的大小，求函数的值域，解不等式等． 　已知实数a＝log45，b＝0，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b<c<a B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a [解析]　D　[由题知，a＝log45>1，b＝0＝1，c＝log30.4<0，故c<b<a.] 　根据函数f(x)＝log2x的图象和性质解决以下问题： (1)若f(a)>f(2)，求a的取值范围； (2)求y＝log2(2x－1)在[2,14]上的最值． [解]　(1)函数f(x)＝log2x的图象如图： 因为f(x)＝log2x是增函数，故f(a)>f(2)，即log2a>log22，则a>2. 所以a的取值范围为(2，＋∞)． (2)因为2≤x≤14，所以3≤2x－1≤27， 所以log23≤log2(2x－1)≤log227. 所以函数y＝log2(2x－1)在[2,14]上的最小值为log23，最大值为log227. [变式训练] 6．(1)函数f(x)＝logax(0＜a＜1)在[a2，a]上的最大值是(　　) A．0　　　B．1　　　　C．2　　　　D．a (2)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则(　　) A．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c 解析：(1)因为0＜a＜1，所以f(x)＝logax在[a2，a]上是减函数，所以f(x)max＝f(a2)＝logaa2＝2. (2)a＝log36＝log33＋log32＝1＋log32，b＝log510＝log55＋log52＝1＋log52，c＝log714＝log77＋log72＝1＋log72，因为log32>log52>log72， 所以a>b>c，故选D. 答案：(1)C　(2)D 　指数函数、对数函数的应用 常见的指数函数、对数函数模型应用问题有二类： 1．利用给定的函数模型解决问题．这一类的特点是实际问题所符合的函数模型已经给定，只需要根据模型解决问题即可； 2．建立确定性函数模型解决问题．这一类的特点是实际问题所符合的函数模型是确定的，但没明确给出，需要根据题中数据信息先求出该模型，再运用它解决实际问题； 　衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发而体积变小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为V＝ae－kt，新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过　______　天． [解析]　由题意，得a＝ae－50k，解得e－25k＝.令ae－kt＝a，即e－kt＝3＝(e－25k)3＝e－75k，即需经过的天数为75. 答案：75 　“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t＝－144 lg中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数．则当N＝40时，t＝　________　.(已知lg 3≈0.477，lg 5≈0.699) [解析]　当N＝40时，则t＝－144 lg＝－144 lg＝－144(lg 5－2lg 3)＝36.72. [答案]　36.72 [变式训练] 7．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是(　　) A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．21小时 解析：C　[由题意，知解得当x＝33时， y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝3×192＝24(小时)．] 8．一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减． (1)求t年后，这种放射性元素质量ω的表达式； (2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期)．(精确到0.1年，已知lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771) 解：(1)最初的质量为500 g. 经过1年后，ω＝500(1－10%)＝500×0.91； 经过2年后，ω＝500×0.91×(1－10%)＝500×0.92；由此推知，t年后，ω＝500×0.9t. (2)解方程500×0.9t＝250，则0.9t＝0.5，所以t＝＝≈6.6(年)，即这种放射性元素的半衰期约为6.6年． 学科网（北京）股份有限公司 $$