3.3 函数的应用（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块 上册同步教案（人教版2021）

3．3　函数的应用 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 章末归纳提升 05 第三章 函数 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 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提示：利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行： (一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原． 这些步骤用框图表示如图： 1．一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系： 每间每天定价 20元 18元 16元 14元 住房率 65% 75% 85% 95% 要使收入每天达到最高，则每间应定价为(　　) A．20元　　　　　 B．18元 C．16元 D．14元 解析：C　[每天的收入在四种情况下分别为20×65%×100＝1 300(元)，18×75%×100＝1 350(元)，16×85%×100＝1 360(元)，14×95%×100＝1 330(元)．] 2.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是(　　) A．310元 B．300元 C．290元 D．280元 解析：B　[由题意可知，收入y是销售量x的一次函数，设y＝ax＋b(a≠0)，将(1,800)，(2,1 300)代入得a＝500，b＝300.故y＝500x＋300，当x＝0时，y＝300.] 3．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是　______________　. 解析：当0＜x≤100时，y＝0.5x，当x>100时，y＝0.4x＋10. 所以y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0.5x　　　0<x≤100,0.4x＋10　x>100)). 答案：y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0.5x　　　0<x≤100,0.4x＋10　x>100)) 4．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，且K(Q)＝40Q－eq \f(1,20)Q2，则总利润L(Q)的最大值是　________　万元． 解析：L(Q)＝40Q－eq \f(1,20)Q2－10Q－2 000＝－eq \f(1,20)Q2＋30Q－2 000＝－eq \f(1,20)(Q－300)2＋2 500，当Q＝300时，L(Q)取得最大值，最大值为2 500万元． 答案：2 500 　一次函数模型的应用 　某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为　_________　. [解析]　设每件售价x元时，售出y件，设y＝kx＋b，k≠0， 因为x＝80，y＝30，所以30＝80k＋b①， 因为x＝120，y＝20，所以20＝120k＋b②， 解由①②组成的方程组得，k＝－eq \f(1,4)，b＝50， 所以y＝－eq \f(1,4)x＋50.由y＝－eq \f(1,4)x＋50＞0，x＜200. [答案]　y＝－eq \f(1,4)x＋50，x∈(0,200) 1．一次函数模型解决实际问题的原则 一次函数模型的应用层次要求不高，一般情况下按照“问什么，设什么，列什么”的原则来处理，求解过程也比较简单． 2．一次函数模型解决问题的注意点 用一次函数模型解决实际问题时，对于给出图象的应用题可先结合图象利用待定系数法求出解析式．对于一次函数y＝ax＋b(a≠0)，当a>0时为增函数，当a<0时为减函数．另外，要结合题目理解(0，b)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)，0))这些特殊点的意义． [变式训练] 1．已知从甲地到乙地通话m min的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06×(0.5×[m]＋1)确定，其中m>0，[m]表示大于或等于m的最小整数(如[3]＝3，[3.8]＝4，[3.1]＝4)．若从甲地到乙地某次通话时间为5.5 min，则电话费为(　　) A．3.71元　　　　　　　 B．3.97元 C．4.24元 D．4.77元 解析：C　[由题设，知f(5.5)＝1.06×(0.5×[5.5]＋1)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24，故选C.] 　二次函数模型的应用 　某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． (1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ [解]　(1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)． (2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润． 所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N)． (3)因为w＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200，所以当x<60时，w随x的增大而增大． 又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125. 所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元． 二次函数模型解题思路 二次函数模型的解析式为g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．在函数建模中，它占有重要的地位．在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答． [变式训练] 2．随着新冠病毒在全球范围内爆发，口罩已成为人们日常生活中不可或缺的必备品．某商人将进货单价为8元的某种口罩按10元一个销售时，每天可卖出100个．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种口罩销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值． 解析：设每个提价x元(x≥0，x∈N)，利润为y元． 每天销售总额为(10＋x)(100－10x)元， 进货总额8(100－10x)元，显然100－10x>0，即x<10， 则y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x)＝(2＋x)(100－10x) ＝－10(x－4)2＋360(0≤x<10，x∈N)． 当x＝4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元．所以当售价定为14元时，可使每天所赚的利润最大，最大利润为360元． 　分段函数模型 　某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购1个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元． (1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？ (2)设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式． (3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)? [解]　(1)设每个零件的实际出厂单价恰好降为51元时，一次订购量为 x0个，则x0＝100＋eq \f(60－51,0.02)＝550(个)，因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价格恰好降为51元． (2)当0＜x≤100时，P＝60； 当100＜x＜550时，P＝60－0.02(x－100) ＝62－eq \f(x,50)；当x≥550时，P＝51. 所以P＝f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(60，0＜x≤100，x∈N，,62－\f(x,50)，100＜x＜550，x∈N，,51，x≥550x∈N.)) (3)设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则L＝(P－40)x ＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(20x，0＜x≤100，,22x－\f(x2,50)，100＜x＜550.x∈N,11x，x≥550.)) 当x＝500时，L＝6 000；当x＝1 000时，L＝11 000.因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果订购1 000个时，利润是11 000元． (1)现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数是刻画现实问题的重要模型． (2)分段函数的每一段自变量变化所遵循的规律不同，因此可以先将其看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值． [变式训练] 3．共享单车是城市慢行系统的一种模式创新，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元，根据初步测算，自行车厂生产新样式单车的总收益(单位：元)满足分段函数h(x)，其中h(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2，0<x≤400,80 000，x>400)) x是新样式单车的产量(单位：辆)，利润＝总收益－总成本． (1)试将自行车厂生产新样式单车的利润y(单位：元)表示为产量x的函数； (2)当产量为多少时，自行车厂生产新样式单车的利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)依题意，生产x辆新样式单车的总成本为(20 000＋100x)元， 则y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋300x－20 000，0<x≤400且x∈N，,60 000－100x，x>400且x∈N.)) (2)当0<x≤400时，y＝－eq \f(1,2)(x－300)2＋25 000， 则当x＝300时，ymax＝25 000； 当x>400时，y＝60 000－100x单调递减， 则y<60 000－100×400＝20 000， 所以当产量为300辆时，自行车厂生产新样式单车的利润最大，最大利润为25 000元． 1．一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x的函数解析式为(默认y>x)(　　) A．y＝10－x(0<x<5) B．y＝10－2x(0<x<10) C．y＝20－x(0<x<5) D．y＝20－2x(0<x<10) 解析：A　[由题意可知2y＋2x＝20，即y＝10－x，又10－x>x，所以0<x<5.所以函数解析式为y＝10－x(0＜x＜5)．] 2．某商品的进货价为每件40元，当售价为50元/件时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若该商品的单价每提高1元，则该商品一个月的销售量就会减少10件，为使销售该商品的月利润最高，商店应将每件商品定价为(　　) A．45元 B．55元 C．65元 D．70元 解析：D　[设在50元的基础上提高x元，每月的月利润为y，则y与x的函数关系式为y＝(500－10x)(50＋x－40)＝－10x2＋400x＋5 000，其图象的对称轴为直线x＝20，故每件商品的定价为70元时，月利润最高．] 3．图中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(min)之间的函数关系图象，根据图象填空：通话2 min，需付电话费　____________　元；通话5 min，需付电话费　__________　元；如果t≥3 min，电话费y(元)与通话时间t(min)之间的函数关系式是　________　. 解析：由题图知通话2 min，需付电话费3.6元； 通话5 min需付电话费6元； 当t≥3时，设y＝kx＋b， 则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3.6＝3k＋b，,6＝5k＋b，)) 解得k＝1.2，b＝0， 所以y＝1.2t(t≥3)． 答案：3.6　6　y＝1.2t(t≥3) 4．通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间一段时间，学生保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力随时间t(min)的变化规律，f(t)越大，表明学生注意力越集中)，经实验分析得知： f(t)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－t2＋24t＋100，0<t≤10，,240，10<t≤20，,－7t＋380，20<t≤40.)) (1)讲课开始多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？ (2)讲课开始后5 min与讲课开始后25 min比较，何时学生的注意力更集中？ (3)一道数学难题，需要讲解24 min，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需要的状态下讲完这道题目？ 解：(1)当0<t≤10时，f(t)＝－t2＋24t＋100是增函数，当20<t≤40时，f(t)＝－7t＋380是减函数，且f(10)＝f(20)＝240，所以讲课开始10 min，学生的注意力最集中，能持续10 min. (2)因为f(5)＝195，f(25)＝205， 所以讲课开始后25 min比讲课开始后5 min学生的注意力更集中． (3)当0<t≤10时，令f(t)＝－t2＋24t＋100＝180，得t＝4， 当20<t≤40时，令f(t)＝－7t＋380＝180，得t≈28.57，又28.57－4＝24.57>24， 所以经过适当的安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲完这道题目． 　求函数的定义域 求函数定义域的类型与方法 (1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合． (2)实际问题；求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义． (3)复合函数问题 ①若f(x)的定义域为[a，b]，f[g(x)]的定义域应由a≤g(x)≤b解出； ②若f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域． 注意：①f(x)中的x与f[g(x)]中的g(x)地位相同； ②定义域所指永远是自变量x的范围． 　(1)函数y＝eq \r(x＋4)＋eq \f(1,x＋1)的定义域为(　　) A．[－4，－1)　　　 B．[－4，－1)∪(－1，＋∞) C．(－1，＋∞) D．[－4，＋∞) (2)已知函数y＝f(x－1)的定义域是[－1,2]，则y＝f(1－3x)的定义域为(　　) A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，3)) C．[0,1] D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1)) [解析]　(1) 依题意eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋4≥0,x＋1≠0))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≥－4,x≠－1))， 所以函数的定义域为[－4，－1)∪(－1，＋∞)． (2)由y＝f(x－1)的定义域是[－1,2]，则x－1∈[－2,1]，即f(x)的定义域是[－2,1]，令－2≤1－3x≤1，解得0≤x≤1，即y＝f(1－3x)的定义域为[0,1]． [答案]　(1)B　(2)C [变式训练] 1．函数f(x)＝eq \f(1,x)＋eq \r(1－x)的定义域是　_________　. 解析：因为f(x)＝eq \f(1,x)＋eq \r(1－x)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－x≥0,x≠0))， 解得x≤1且x≠0， 故函数的定义域为(－∞，0)∪(0,1]． 答案：(－∞，0)∪(0,1] 　求函数的解析式 　求函数解析式的题型与相应的解法 (1)已知形如f[g(x)]的解析式，求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法． (2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法． (3)含f(x)与f(－x)或f(x)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))，使用解方程组法． (4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法． 　(1)已知f(eq \r(x)－1)＝x－2eq \r(x)，则f(x)的解析式为　________　. (2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝　________　. (3)若f(x)对于任意实数x都有2f(x)－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝2x＋1，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝　________　. [解析]　(1)法一(换元法)　令t＝eq \r(x)－1，t≥－1，则x＝(t＋1)2，所以f(t)＝(t＋1)2－2(t＋1)＝t2－1(t≥－1)， 所以函数的解析式为f(x)＝x2－1(x≥－1)． 法二(配凑法)　f(eq \r(x)－1)＝x－2eq \r(x) ＝x－2eq \r(x)＋1－1＝(eq \r(x)－1)2－1. 因为eq \r(x)－1≥－1，所以函数的解析式为 f(x)＝x2－1(x≥－1)． (2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意可知f(0)＝c＝2，f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝ax2＋2ax＋a＋bx＋b＋c， 所以f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a＋b＝x－1， 由待定系数可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＝1,a＋b＝－1))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2),b＝－\f(3,2)))， 所以f(x)＝eq \f(1,2)x2－eq \f(3,2)x＋2. (3)因为f(x)对于任意实数x都有2f(x)－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝2x＋1， 所以2f(x)－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝2x＋1，2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))－f(x)＝eq \f(2,x)＋1，解得f(x)＝eq \f(4,3)x＋eq \f(2,3x)＋1，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq \f(4,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(2,3×\f(1,2))＋1＝3. [答案]　(1)f(x)＝x2－1(x≥－1)　(2)f(x)＝eq \f(1,2)x2－eq \f(3,2)x＋2　(3)3 [变式训练] 2．(1)已知f(x＋1)＝x2－5x＋4，则f(x)＝　________　； (2)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2， f(2)＝5，则该二次函数的解析式为　________　； (3)若3f(x－1)＋2f(1－x)＝2x，则f(x)的解析式为　________　. 解析：(1)令x＋1＝t， 则x＝t－1， 因为f(x＋1)＝x2－5x＋4， 所以f(t)＝(t－1)2－5(t－1)＋4＝t2－7t＋10， 所以f(x)＝x2－7x＋10. (2)设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(c＝1，,a＋b＋c＝2，,4a＋2b＋c＝5，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0，故fx＝x2＋1.,c＝1，)) (3)令t＝x－1，则x＝t＋1，t∈R， 原式变为3f(t)＋2f(－t)＝2(t＋1)，① 以－t代替t，①式变为3f(－t)＋2f(t)＝2(1－t)，② 由①②消去f(－t)，得f(t)＝2t＋eq \f(2,5)，故f(x)＝2x＋eq \f(2,5). 答案：(1)x2－7x＋10 (2)f(x)＝x2＋1 (3)f(x)＝2x＋eq \f(2,5) 　分段函数 1．求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现f[f(a)]的形式时，应从内到外依次求值． 2．已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验． 3．在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，再求它们的并集即可． 　设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\r(x)，0<x<1，,2x－1，x≥1.))若f(a)＝f(a＋1)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝(　　) A．2　　B．4　　　C．6　　　D．8 [解析]　C　[因为当0＜x＜1时，f(x)＝eq \r(x)为增函数，当x≥1时，f(x)＝2(x－1)为增函数，当0<a<1时，a＋1>1， f(a)＝eq \r(a)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，因为f(a)＝f(a＋1)， 所以eq \r(a)＝2a，解得a＝eq \f(1,4).所以f(eq \f(1,a))＝f(4)＝2×(4－1)＝6.] [变式训练] 3.根据如图所示的函数f(x)的图象，写出函数的解析式． 解：当－3≤x<－1时，函数f(x)的图象是一条线段(右端点除外)， 设f(x)＝ax＋b(a≠0)．将点(－3,1)， (－1，－2)代入， 可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－3a＋b＝1，,－a＋b＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－\f(3,2)，,b＝－\f(7,2)，)) 可得f(x)＝－eq \f(3,2)x－eq \f(7,2)； 当－1≤x<1时，可设f(x)＝cx＋d(c≠0)，将点(－1，－2)，(1,1)代入上式可求得c＝eq \f(3,2)，d＝－eq \f(1,2)， 所以f(x)＝eq \f(3,2)x－eq \f(1,2)； 当1≤x<2时，f(x)＝1. 综上所述，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)x－\f(7,2)，－3≤x<－1，,\f(3,2)x－\f(1,2)，－1≤x<1，,1，1≤x<2.)) 　函数的单调性与奇偶性 　函数单调性与奇偶性应用的常见题型 (1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性． (2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间． (3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式． (4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围． 　(1)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f(a)≤f(2)，则实数a的取值范围是(　　) A．a≤2 B．a≥－2 C．－2≤a≤2 D．a≤－2或a≥2 [解析]　D　[因为y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，所以y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，由f(a)≤f(2)，得f(|a|)≤f(2)，所以|a|≥2，得a≤－2或a≥2，故选D.] (2)已知f(x)＝eq \f(x,x－a)(x≠a)． ①若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增； ②若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围． [解]　①证明：∀x1<x2<－2， 则f(x1)－f(x2)＝eq \f(x1,x1＋2)－eq \f(x2,x2＋2)＝eq \f(2x1－x2,x1＋2x2＋2). 因为(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0， 所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(－∞，－2)内单调递增． ②∀x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝eq \f(x1,x1－a)－eq \f(x2,x2－a)＝eq \f(ax2－x1,x1－ax2－a). 因为a>0，x2－x1>0， 所以要使f(x1)－f(x2)>0， 只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，所以a≤1. 综上所述，a的取值范围是(0,1]． [变式训练] 4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x－3. (1)求f(x)的解析式； (2)求不等式f(x)≥1的解集． 解：(1)若x<0，则－x>0，因为当x>0时，f(x)＝x－3， 所以f(－x)＝－x－3.因为f(x)是奇函数， 所以f(x)＝－f(－x)＝x＋3.因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.故f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－3，x＞0，,0，x＝0，,x＋3，x＜0.)) (2)因为f(x)≥1，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＞0，,x－3≥1，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＜0，,x＋3≥1，)) 解得x≥4或－2≤x＜0. 　函数的图象及应用 　作函数图象的方法 (1)描点法——求定义域；化简；列表、描点、连线． (2)变换法——熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转． ①平移，y＝f(x)eq \o(――→,\s\up7(左加右减))y＝f(x±h)； y＝f(x)eq \o(――→,\s\up7(上加下减))y＝f(x)±k(其中h>0，k>0)． ②对称：y＝f(x) y＝f(x)y＝－f(x)； y＝f(x)y＝－f(－x)． 特别提醒：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图． 　已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x. (1)现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示，请把函数f(x)的图象补充完整，并根据图象写出函数f(x)的增区间； (2)写出函数f(x)的值域． [解]　(1)由f(x)为偶函数可知，其图象关于y轴对称，如图所示，作出已知图象关于y轴对称的图象，即得该函数的完整图象．由图可知，函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的增区间是(－1,0)，(1，＋∞)． (2)由题意知，当x≤0时，f(x)的最小值为f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)＝－1.由偶函数的性质可得f(x)≥－1，即函数的值域为[－1，＋∞)． [变式训练] 5．(1)已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是(　　) 解析：D　[因为a>b>c且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，f(1)＝0，则可知开口向上，排除A、C，然后根据f(0)＝c<0，可知函数图象与y轴的交点在x轴下方．] (2)对于函数f(x)＝x2－2|x|. ①判断其奇偶性，并指出图象的对称性； ②画此函数的图象，并指出单调区间和最小值． 解：①函数的定义域为R，关于原点对称， f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|. 则f(－x)＝f(x)， 所以f(x)是偶函数． 图象关于y轴对称． ②f(x)＝x2－2|x| ＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－2x＝x－12－1，x≥0，,x2＋2x＝x＋12－1，x<0.)) 画出图象如图所示， 根据图象知，函数f(x)的最小值是－1.单调递增区间是[－1,0]，[1，＋∞)；单调递减区间是(－∞，－1]，[0,1]． 　函数的应用 　在建立数学模型的过程中，要遵循以下基本原则： (1)简化原则：建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，可通过一些假设来减少系统中的变量个数，尽量建立较简单的模型，即在建立模型时，应采用尽可能简单的数学工具，但又必须能反映现实原型的本质特征和关系． (2)可推算原则：建立的数学模型一定要有意义，对其既能进行理论分析，又能计算和推理，且能推算出一些确定的结果．若建立的数学模型在数学上是不可推算的，得不出确定的可以应用于原型的结果，那这个模型就没有价值． (3)反映性原则：建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有一定的“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题． 　某工厂有214名工人，现要生产1 500件产品，每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成，每名工人加工5个A型零件与3个B型零件所需的时间相同．现将全部工人分成两组，分别加工A型零件与B型零件，且同时开工．设加工A型零件的工人有x名，单位时间内每名工人加工A型零件5k(k∈N＋)个，加工完A型零件所需的时间为g(x)，加工完B型零件所需的时间为h(x)． (1)试比较g(x)与h(x)的大小，并写出完成总任务所需时间的表达式； (2)怎样分组才能使完成总任务所需的时间最少？ [解]　(1)由已知A型零件需要生产4 500个，B型零件需要生产1 500个，加工B型零件的工人有(214－x)名，单位时间内每名工人加工B型零件3k个． 所以g(x)＝eq \f(4 500,5kx)＝eq \f(900,kx)，h(x)＝eq \f(1 500,3k214－x)＝eq \f(500,k214－x). 则g(x)－h(x)＝eq \f(900,kx)－eq \f(500,k214－x)＝eq \f(200,k)·eq \f(963－7x,x214－x). 因为0<x<214，且x∈N，k∈N*，所以当0<x≤137时，g(x)>h(x)， 当137<x<214时，g(x)<h(x)． 所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(900,kx)，0<x≤137，,\f(500,k214－x)，137<x<214，))其中x∈N. (2)因为当0<x≤137时， f(x)为减函数，当137<x<214时，f(x)为增函数，且eq \f(f137,f138)＝eq \f(900,137k)·eq \f(214－138k,500)，所以当x＝137时，f(x)的值最小，即安排137名工人加工A型零件，77名工人加工B型零件时，完成总任务所需时间最少． [变式训练] 6．为纪念重庆黑山谷晋升国家5A级景区五周发行黑山谷纪念邮票，从2017年11月1日起开始上市，经过市场调查，得到该纪念邮票在一周内每1张的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下： 上市时间x天 1 2 6 市场价y元 5 2 10 (1)分析上表数据，说明黑山谷纪念邮票的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的变化关系，并判断y与x满足下列哪种函数关系：①一次函数；②二次函数，并求出函数的解析式； (2)利用你选取的函数，求黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市天数及最低的价格． 解：(1)由于市场价y随上市时间x的增大先减小后增大， 而模型①为单调函数，不符合题意， 故选择二次函数模型②， 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由表中数据可知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝5，,4a＋2b＋c＝2，,36a＋6b＋c＝10，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－6，,c＝10，)) 所以f(x)＝x2－6x＋10(x≥0)， $$ 3．3　函数的应用 [学习目标] 1．理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要模型； 2．会利用已知的函数模型(或建立函数模型)解决实际问题． 随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工具．下面是某地一汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表： 年份 2019 2020 2021 销量/万辆 8 18 30 结合以上三年的销量及人们生活的需要，2022年初，该汽车销售公司的经理提出全年预售43万辆汽车的远大目标，经过全体员工的共同努力，2022年实际销售44万辆，圆满完成销售目标． [问题]　1.在实际生产生活中，对已收集到的样本数据常采用什么方式获取直观信息？ 2．如果我们分别将2019,2020,2021,2022年定义为第一、二、三、四年，现在有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，一次函数模型g(x)＝ax＋b(a≠0)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系？ 3．依照目前的形势分析，你能预测一下2023年，该公司预销售多少辆汽车吗？ 提示：1.建立函数模型． 2．通过计算二次函数能更好地反映该公司的年销量． 3．2023年，该公司预销售60万辆汽车． [知识点]　函数模型　 常见函数模型 名称 解析式 条件 一次函数模型 y＝kx＋b k≠0 二次函数模型 一般式：y＝ax2＋bx＋c 顶点式：y＝a2＋ a≠0 分段函数模型 一种比较复杂的函数模型，可以用来描述在不同区间上有不同变化规律的实际问题．或者将定义域上变化复杂的函数分成几段区间来研究，在每一段区间上函数有各自的变化规律，根据函数的具体变化，再分段选择相应的函数模型. 解决函数应用问题的基本步骤是什么？ 提示：利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行： (一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原． 这些步骤用框图表示如图： 1．一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系： 每间每天定价 20元 18元 16元 14元 住房率 65% 75% 85% 95% 要使收入每天达到最高，则每间应定价为(　　) A．20元　　　　　 B．18元 C．16元 D．14元 解析：C　[每天的收入在四种情况下分别为20×65%×100＝1 300(元)，18×75%×100＝1 350(元)，16×85%×100＝1 360(元)，14×95%×100＝1 330(元)．] 2.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是(　　) A．310元 B．300元 C．290元 D．280元 解析：B　[由题意可知，收入y是销售量x的一次函数，设y＝ax＋b(a≠0)，将(1,800)，(2,1 300)代入得a＝500，b＝300.故y＝500x＋300，当x＝0时，y＝300.] 3．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是　______________　. 解析：当0＜x≤100时，y＝0.5x，当x>100时，y＝0.4x＋10. 所以y＝. 答案：y＝ 4．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，且K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是　________　万元． 解析：L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2 000＝－Q2＋30Q－2 000＝－(Q－300)2＋2 500，当Q＝300时，L(Q)取得最大值，最大值为2 500万元． 答案：2 500 　一次函数模型的应用 　某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为　_________　. [解析]　设每件售价x元时，售出y件，设y＝kx＋b，k≠0， 因为x＝80，y＝30，所以30＝80k＋b①， 因为x＝120，y＝20，所以20＝120k＋b②， 解由①②组成的方程组得，k＝－，b＝50， 所以y＝－x＋50. 由y＝－x＋50＞0，x＜200. [答案]　y＝－x＋50，x∈(0,200) 1．一次函数模型解决实际问题的原则 一次函数模型的应用层次要求不高，一般情况下按照“问什么，设什么，列什么”的原则来处理，求解过程也比较简单． 2．一次函数模型解决问题的注意点 用一次函数模型解决实际问题时，对于给出图象的应用题可先结合图象利用待定系数法求出解析式．对于一次函数y＝ax＋b(a≠0)，当a>0时为增函数，当a<0时为减函数．另外，要结合题目理解(0，b)或这些特殊点的意义． [变式训练] 1．已知从甲地到乙地通话m min的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06×(0.5×[m]＋1)确定，其中m>0，[m]表示大于或等于m的最小整数(如[3]＝3，[3.8]＝4，[3.1]＝4)．若从甲地到乙地某次通话时间为5.5 min，则电话费为(　　) A．3.71元　　　　　　　 B．3.97元 C．4.24元 D．4.77元 解析：C　[由题设，知f(5.5)＝1.06×(0.5×[5.5]＋1)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24，故选C.] 　二次函数模型的应用 　某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． (1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ [解]　(1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)． (2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润． 所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N)． (3)因为w＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200，所以当x<60时，w随x的增大而增大． 又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125. 所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元． 二次函数模型解题思路 二次函数模型的解析式为g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．在函数建模中，它占有重要的地位．在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答． [变式训练] 2．随着新冠病毒在全球范围内爆发，口罩已成为人们日常生活中不可或缺的必备品．某商人将进货单价为8元的某种口罩按10元一个销售时，每天可卖出100个．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种口罩销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值． 解析：设每个提价x元(x≥0，x∈N)，利润为y元． 每天销售总额为(10＋x)(100－10x)元， 进货总额8(100－10x)元，显然100－10x>0， 即x<10， 则y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x)＝(2＋x)(100－10x) ＝－10(x－4)2＋360(0≤x<10，x∈N)． 当x＝4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元． 所以当售价定为14元时，可使每天所赚的利润最大，最大利润为360元． 　分段函数模型 　某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购1个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元． (1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？ (2)设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式． (3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)? [解]　(1)设每个零件的实际出厂单价恰好降为51元时，一次订购量为 x0个，则x0＝100＋＝550(个)，因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价格恰好降为51元． (2)当0＜x≤100时，P＝60； 当100＜x＜550时，P＝60－0.02(x－100) ＝62－；当x≥550时，P＝51. 所以P＝f(x)＝ (3)设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则L＝(P－40)x ＝ 当x＝500时，L＝6 000；当x＝1 000时，L＝11 000.因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果订购1 000个时，利润是11 000元． (1)现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数是刻画现实问题的重要模型． (2)分段函数的每一段自变量变化所遵循的规律不同，因此可以先将其看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值． [变式训练] 3．共享单车是城市慢行系统的一种模式创新，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元，根据初步测算，自行车厂生产新样式单车的总收益(单位：元)满足分段函数h(x)，其中h(x)＝ x是新样式单车的产量(单位：辆)，利润＝总收益－总成本． (1)试将自行车厂生产新样式单车的利润y(单位：元)表示为产量x的函数； (2)当产量为多少时，自行车厂生产新样式单车的利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)依题意，生产x辆新样式单车的总成本为(20 000＋100x)元， 则y＝ (2)当0<x≤400时，y＝－(x－300)2＋25 000， 则当x＝300时，ymax＝25 000； 当x>400时，y＝60 000－100x单调递减， 则y<60 000－100×400＝20 000， 所以当产量为300辆时，自行车厂生产新样式单车的利润最大，最大利润为25 000元． 1．一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x的函数解析式为(默认y>x)(　　) A．y＝10－x(0<x<5) B．y＝10－2x(0<x<10) C．y＝20－x(0<x<5) D．y＝20－2x(0<x<10) 解析：A　[由题意可知2y＋2x＝20，即y＝10－x，又10－x>x，所以0<x<5.所以函数解析式为y＝10－x(0＜x＜5)．] 2．某商品的进货价为每件40元，当售价为50元/件时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若该商品的单价每提高1元，则该商品一个月的销售量就会减少10件，为使销售该商品的月利润最高，商店应将每件商品定价为(　　) A．45元 B．55元 C．65元 D．70元 解析：D　[设在50元的基础上提高x元，每月的月利润为y，则y与x的函数关系式为y＝(500－10x)(50＋x－40)＝－10x2＋400x＋5 000，其图象的对称轴为直线x＝20，故每件商品的定价为70元时，月利润最高．] 3．图中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(min)之间的函数关系图象，根据图象填空：通话2 min，需付电话费　____________　元；通话5 min，需付电话费　__________　元；如果t≥3 min，电话费y(元)与通话时间t(min)之间的函数关系式是　________　. 解析：由题图知通话2 min，需付电话费3.6元； 通话5 min需付电话费6元； 当t≥3时，设y＝kx＋b， 则有 解得k＝1.2，b＝0， 所以y＝1.2t(t≥3)． 答案：3.6　6　y＝1.2t(t≥3) 4．通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间一段时间，学生保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力随时间t(min)的变化规律，f(t)越大，表明学生注意力越集中)，经实验分析得知： f(t)＝ (1)讲课开始多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？ (2)讲课开始后5 min与讲课开始后25 min比较，何时学生的注意力更集中？ (3)一道数学难题，需要讲解24 min，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需要的状态下讲完这道题目？ 解：(1)当0<t≤10时，f(t)＝－t2＋24t＋100是增函数，当20<t≤40时，f(t)＝－7t＋380是减函数，且f(10)＝f(20)＝240，所以讲课开始10 min，学生的注意力最集中，能持续10 min. (2)因为f(5)＝195，f(25)＝205， 所以讲课开始后25 min比讲课开始后5 min学生的注意力更集中． (3)当0<t≤10时，令f(t)＝－t2＋24t＋100＝180，得t＝4， 当20<t≤40时，令f(t)＝－7t＋380＝180，得t≈28.57，又28.57－4＝24.57>24， 所以经过适当的安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲完这道题目． 1．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是(　　) A．一次函数　　　　　　 B．二次函数 C．分段函数 D．无法确定 答案：C 2.甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲比乙先到达终点 D．甲、乙两人的速度相同 解析：C　[结合已知条件可知，甲、乙同时出发且跑的路程都为s0，故A、B错误；当甲、乙两人跑的路程为s0时，甲所用时间比乙少，故甲先到达终点且甲的速度较大，故C正确，D错误．故选C.] 3．某机器总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为(　　) A．30　B．40　　C．50　　D．60 解析：C　[设安排生产x台，则获得利润f(x)＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2 500. 故当x＝50台时，获利润最大．] 4．4个茶杯和5包茶叶的价格之和小于22元，6个茶杯和3包茶叶的价格之和大于24元，则2个茶杯和3包茶叶的价格比较(　　) A．2个茶杯贵 B．3包茶叶贵 C．两者相同 D．无法确定 解析：A　[设茶杯单价为x元，茶叶每包为y元，则4x＋5y<22且6x＋3y>24，则原问题可转化为比较t＝2x－3y与0的大小． 设4x＋5y＝m,6x＋3y＝n， 则2x＝，3y＝， 故t＝2x－3y＝>＝0， 所以2个茶杯贵．] 5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为(　　) A．13立方米 B．14立方米 C．18立方米 D．26立方米 解析：A　[设职工的用水量为x立方米，需要交纳的水费为f(x)元， 当0≤x≤10时，f(x)＝mx， 当x＞10时，f(x)＝10×m＋(x－10)×2m＝2mx－10m， 即函数的解析式为f(x)＝， 据此分类讨论： 当0≤x≤10时，mx＝16m，解得x＝16，不合题意，舍去； 当x＞10时，2mx－10m＝16m，解得x＝13，符合题意； 综上可得，该职工这个月实际用水为13立方米．] 6．若等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为　__________________　. 解析：由题意，得2x＋y＝20，所以y＝20－2x. 因为y>0，所以20－2x>0， 所以x<10.又因为三角形两边之和大于第三边， 所以解得x>5，所以5<x<10，故所求函数的解析式为y＝20－2x(5<x<10)． 答案：y＝20－2x(5<x<10) 7．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元/件)之间的关系满足一次函数：m＝162－3x.若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为　________　元/件． 解析：设每天获得的销售利润为y元，则y＝(x－30)·(162－3x)＝－3(x－42)2＋432，所以当x＝42时，获得的销售利润最大，故该商品的售价应定为42元/件． 答案：42 8.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公司的距离都是2 km，如图表示甲从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，其中甲在公园休息的时间是10 min，那么y＝f(x)的解析式为　________　. 解析：由题图知所求函数是一个分段函数，且各段均是直线，可用待定系数法求得 y＝f(x)＝ 答案：y＝f(x)＝ 9．现在有红豆、白豆各若干粒．甲、乙两人为了计算豆子的粒数，选用了这样的方法：第一轮甲每次取4粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当红豆取完时，白豆还剩10粒；第二轮，甲每次取1粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当白豆取完时，红豆还剩n(n∈N＋，16＜n＜20)粒．则红豆和白豆共有　________　粒． 解析：设红豆有x粒，白豆有y粒， 由第一轮结果可知＝， 整理可得x＝2y－20； 由第二轮结果可知＝x－n，整理可得y＝2x－2n； 当n＝17时，由，解得(舍)； 当n＝18时，由，解得(舍)； 当n＝19时，由，解得， 所以x＋y＝32＋26＝58，即红豆和白豆共有58粒． 答案：58 10．大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12 km 为止，温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12 km以上温度一定，保持在－55 ℃. (1)当地球表面大气的温度是a ℃时，在x km的上空为y ℃，求0≤x≤12时，a，x，y间的函数关系式； (2)当地球表面大气的温度是29 ℃时，3 km上空的温度是多少？ 解：(1)由题意知y－a＝kx(0≤x≤12，k＜0)， 即y＝a＋kx. 因为当x＝12时，y＝－55，所以－55＝a＋12k， 解得k＝－， 所以当0≤x≤12时，y＝a－x， 所以所求的函数关系式为 y＝a－x(0≤x≤12)． (2)当a＝29，x＝3时，y＝29－×3 ＝8(℃)， 即当地球表面大气的温度是29 ℃时，3 km上空的温度是8 ℃. 11．某公园要建造一个直径为20 m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心2 m处达到最高，最高的高度为8 m．另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此处汇合，则这个装饰物的高度应该为(　　) A．5 m B．3.5 m C．5.5 m D．7.5 m 解析：D　[根据题意易知，水柱上任意一个点距水池中心的水平距离为x，与此点的高度y之间的函数关系式是y＝a1(x＋2)2＋8(－10≤x≤0)或y＝a2(x－2)2＋8(0≤x≤10)，由x＝－10，y＝0，可得a1＝－；由x＝10，y＝0，可得a2＝－，于是，所求函数解析式是y＝－(x＋2)2＋8(－10≤x<0) 或y＝－(x－2)2＋8(0≤x≤10)．当x＝0时，y＝7.5，所以装饰物的高度为7.5 m．故选D.] 12．某数学练习册，定价为40元．若一次性购买超过9本，则每本优惠5元，并且赠送10元代金券；若一次性购买超过19本，则每本优惠10元，并且赠送20元代金券．某班购买x(x∈N*，x≤40)本，则总费用f(x)与x的函数关系式为　________　(代金券相当于等价金额)． 解析：当0<x<10时，f(x)＝40x；当10≤x<20时， f(x)＝35x－10；当20≤x≤40时，f(x)＝30x－20. 所以f(x)＝，(x∈N *)． 答案：f(x)＝，(x∈N *) 13．有甲、乙两种商品，经营销售这两种产品所能获得的利润依次是P和Q(万元)，它们与投入资金x(万元)的关系有经验方程式：P＝，Q＝.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？ 解：设对甲种商品投资x万元，则乙种商品投资(3－x)万元，总利润为y万元，据题意有y＝x＋(0≤x≤3)． 令＝t，则x＝3－t2,0≤t≤. 所以y＝(3－t2)＋t＝－2＋，t∈[0， ]． 当t＝时，ymax＝1.05，此时x＝0.75,3－x＝2.25. 由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，获得总利润为1.05万元． 14．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数． (1)当20≤x≤200时，求函数v(x)的表达式； (2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时)f(x)＝xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)﹒ 解：(1)当0≤x≤20时，v(x)＝60； 当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b， 由已知得解得， 故函数v(x)的表达式为v(x)＝ (2)依题意并由(1)可得f(x)＝ 当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200； 当20＜x≤200时，f(x)＝－[(x－100)2－10 000]，所以当x＝100时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值≈3 333，因为3 333＞1 200，所以当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时． 　求函数的定义域 求函数定义域的类型与方法 (1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合． (2)实际问题；求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义． (3)复合函数问题 ①若f(x)的定义域为[a，b]，f[g(x)]的定义域应由a≤g(x)≤b解出； ②若f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域． 注意：①f(x)中的x与f[g(x)]中的g(x)地位相同； ②定义域所指永远是自变量x的范围． 　(1)函数y＝＋的定义域为(　　) A．[－4，－1)　　　 B．[－4，－1)∪(－1，＋∞) C．(－1，＋∞) D．[－4，＋∞) (2)已知函数y＝f(x－1)的定义域是[－1,2]，则y＝f(1－3x)的定义域为(　　) A. B. C．[0,1] D. [解析]　(1) 依题意，解得， 所以函数的定义域为[－4，－1)∪(－1，＋∞)． (2)由y＝f(x－1)的定义域是[－1,2]，则x－1∈[－2,1]，即f(x)的定义域是[－2,1]，令－2≤1－3x≤1，解得0≤x≤1，即y＝f(1－3x)的定义域为[0,1]． [答案]　(1)B　(2)C [变式训练] 1．函数f(x)＝＋的定义域是　_________　. 解析：因为f(x)＝＋，所以， 解得x≤1且x≠0， 故函数的定义域为(－∞，0)∪(0,1]． 答案：(－∞，0)∪(0,1] 　求函数的解析式 　求函数解析式的题型与相应的解法 (1)已知形如f[g(x)]的解析式，求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法． (2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法． (3)含f(x)与f(－x)或f(x)与f，使用解方程组法． (4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法． 　(1)已知f(－1)＝x－2，则f(x)的解析式为　________　. (2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝　________　. (3)若f(x)对于任意实数x都有2f(x)－f＝2x＋1，则f＝　________　. [解析]　(1)法一(换元法)　令t＝－1，t≥－1，则x＝(t＋1)2，所以f(t)＝(t＋1)2－2(t＋1)＝t2－1(t≥－1)， 所以函数的解析式为f(x)＝x2－1(x≥－1)． 法二(配凑法)　f(－1)＝x－2 ＝x－2＋1－1＝(－1)2－1. 因为－1≥－1，所以函数的解析式为 f(x)＝x2－1(x≥－1)． (2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意可知f(0)＝c＝2，f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝ax2＋2ax＋a＋bx＋b＋c， 所以f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a＋b＝x－1， 由待定系数可知，解得， 所以f(x)＝x2－x＋2. (3)因为f(x)对于任意实数x都有2f(x)－f＝2x＋1， 所以2f(x)－f＝2x＋1， 2f－f(x)＝＋1，解得f(x)＝x＋＋1，所以f＝×＋＋1＝3. [答案]　(1)f(x)＝x2－1(x≥－1)　(2)f(x)＝x2－x＋2　(3)3 [变式训练] 2．(1)已知f(x＋1)＝x2－5x＋4，则f(x)＝　________　； (2)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2， f(2)＝5，则该二次函数的解析式为　________　； (3)若3f(x－1)＋2f(1－x)＝2x，则f(x)的解析式为　________　. 解析：(1)令x＋1＝t， 则x＝t－1， 因为f(x＋1)＝x2－5x＋4， 所以f(t)＝(t－1)2－5(t－1)＋4＝t2－7t＋10， 所以f(x)＝x2－7x＋10. (2)设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得 解得 (3)令t＝x－1，则x＝t＋1，t∈R， 原式变为3f(t)＋2f(－t)＝2(t＋1)，① 以－t代替t，①式变为3f(－t)＋2f(t)＝2(1－t)，② 由①②消去f(－t)，得f(t)＝2t＋， 故f(x)＝2x＋. 答案：(1)x2－7x＋10 (2)f(x)＝x2＋1 (3)f(x)＝2x＋ 　分段函数 1．求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现f[f(a)]的形式时，应从内到外依次求值． 2．已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验． 3．在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，再求它们的并集即可． 　设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝(　　) A．2　　B．4　　　C．6　　　D．8 [解析]　C　[因为当0＜x＜1时，f(x)＝为增函数，当x≥1时，f(x)＝2(x－1)为增函数，当0<a<1时，a＋1>1， f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a， 因为f(a)＝f(a＋1)， 所以＝2a，解得a＝. 所以f()＝f(4)＝2×(4－1)＝6.] [变式训练] 3.根据如图所示的函数f(x)的图象，写出函数的解析式． 解：当－3≤x<－1时，函数f(x)的图象是一条线段(右端点除外)， 设f(x)＝ax＋b(a≠0)．将点(－3,1)， (－1，－2)代入， 可得解得 可得f(x)＝－x－； 当－1≤x<1时，可设f(x)＝cx＋d(c≠0)，将点(－1，－2)，(1,1)代入上式可求得c＝，d＝－， 所以f(x)＝x－； 当1≤x<2时，f(x)＝1. 综上所述，f(x)＝ 　函数的单调性与奇偶性 　函数单调性与奇偶性应用的常见题型 (1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性． (2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间． (3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式． (4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围． 　(1)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f(a)≤f(2)，则实数a的取值范围是(　　) A．a≤2 B．a≥－2 C．－2≤a≤2 D．a≤－2或a≥2 [解析]　D　[因为y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，所以y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，由f(a)≤f(2)，得f(|a|)≤f(2)，所以|a|≥2，得a≤－2或a≥2，故选D.] (2)已知f(x)＝(x≠a)． ①若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增； ②若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围． [解]　①证明：∀x1<x2<－2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝. 因为(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0， 所以f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在(－∞，－2)内单调递增． ②∀x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝. 因为a>0，x2－x1>0， 所以要使f(x1)－f(x2)>0， 只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，所以a≤1. 综上所述，a的取值范围是(0,1]． [变式训练] 4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x－3. (1)求f(x)的解析式； (2)求不等式f(x)≥1的解集． 解：(1)若x<0，则－x>0， 因为当x>0时，f(x)＝x－3， 所以f(－x)＝－x－3. 因为f(x)是奇函数， 所以f(x)＝－f(－x)＝x＋3. 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0. 故f(x)＝ (2)因为f(x)≥1，所以或 解得x≥4或－2≤x＜0. 　函数的图象及应用 　作函数图象的方法 (1)描点法——求定义域；化简；列表、描点、连线． (2)变换法——熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转． ①平移，y＝f(x)y＝f(x±h)； y＝f(x)y＝f(x)±k(其中h>0，k>0)． ②对称：y＝f(x)y＝f(－x)； y＝f(x)y＝－f(x)； y＝f(x)y＝－f(－x)． 特别提醒：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图． 　已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x. (1)现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示，请把函数f(x)的图象补充完整，并根据图象写出函数f(x)的增区间； (2)写出函数f(x)的值域． [解]　(1)由f(x)为偶函数可知，其图象关于y轴对称，如图所示，作出已知图象关于y轴对称的图象，即得该函数的完整图象．由图可知，函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的增区间是(－1,0)，(1，＋∞)． (2)由题意知，当x≤0时，f(x)的最小值为f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)＝－1.由偶函数的性质可得f(x)≥－1，即函数的值域为[－1，＋∞)． [变式训练] 5．(1)已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是(　　) 解析：D　[因为a>b>c且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，f(1)＝0，则可知开口向上，排除A、C，然后根据f(0)＝c<0，可知函数图象与y轴的交点在x轴下方．] (2)对于函数f(x)＝x2－2|x|. ①判断其奇偶性，并指出图象的对称性； ②画此函数的图象，并指出单调区间和最小值． 解：①函数的定义域为R，关于原点对称， f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|. 则f(－x)＝f(x)， 所以f(x)是偶函数． 图象关于y轴对称． ②f(x)＝x2－2|x| ＝ 画出图象如图所示， 根据图象知，函数f(x)的最小值是－1.单调递增区间是[－1,0]，[1，＋∞)；单调递减区间是(－∞，－1]，[0,1]． 　函数的应用 　在建立数学模型的过程中，要遵循以下基本原则： (1)简化原则：建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，可通过一些假设来减少系统中的变量个数，尽量建立较简单的模型，即在建立模型时，应采用尽可能简单的数学工具，但又必须能反映现实原型的本质特征和关系． (2)可推算原则：建立的数学模型一定要有意义，对其既能进行理论分析，又能计算和推理，且能推算出一些确定的结果．若建立的数学模型在数学上是不可推算的，得不出确定的可以应用于原型的结果，那这个模型就没有价值． (3)反映性原则：建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有一定的“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题． 　某工厂有214名工人，现要生产1 500件产品，每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成，每名工人加工5个A型零件与3个B型零件所需的时间相同．现将全部工人分成两组，分别加工A型零件与B型零件，且同时开工．设加工A型零件的工人有x名，单位时间内每名工人加工A型零件5k(k∈N＋)个，加工完A型零件所需的时间为g(x)，加工完B型零件所需的时间为h(x)． (1)试比较g(x)与h(x)的大小，并写出完成总任务所需时间的表达式； (2)怎样分组才能使完成总任务所需的时间最少？ [解]　(1)由已知A型零件需要生产4 500个，B型零件需要生产1 500个，加工B型零件的工人有(214－x)名，单位时间内每名工人加工B型零件3k个． 所以g(x)＝＝， h(x)＝＝. 则g(x)－h(x)＝－＝·. 因为0<x<214，且x∈N，k∈N*，所以当0<x≤137时，g(x)>h(x)， 当137<x<214时，g(x)<h(x)． 所以f(x)＝其中x∈N. (2)因为当0<x≤137时， f(x)为减函数，当137<x<214时，f(x)为增函数，且＝·，所以当x＝137时，f(x)的值最小，即安排137名工人加工A型零件，77名工人加工B型零件时，完成总任务所需时间最少． [变式训练] 6．为纪念重庆黑山谷晋升国家5A级景区五周发行黑山谷纪念邮票，从2017年11月1日起开始上市，经过市场调查，得到该纪念邮票在一周内每1张的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下： 上市时间x天 1 2 6 市场价y元 5 2 10 (1)分析上表数据，说明黑山谷纪念邮票的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的变化关系，并判断y与x满足下列哪种函数关系：①一次函数；②二次函数，并求出函数的解析式； (2)利用你选取的函数，求黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市天数及最低的价格． 解：(1)由于市场价y随上市时间x的增大先减小后增大， 而模型①为单调函数，不符合题意， 故选择二次函数模型②， 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由表中数据可知 解得 所以f(x)＝x2－6x＋10(x≥0)， (2)由(1)知，f(x)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1， 所以当x＝3时，黑山谷纪念邮票市场价最低，最低为1元， 故黑山谷纪念邮票上市第3天时市场价最低，最低的价格为1元． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是(　　) A．一次函数　　　　　　 B．二次函数 C．分段函数 D．无法确定 答案：C 2.甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲比乙先到达终点 D．甲、乙两人的速度相同 解析：C　[结合已知条件可知，甲、乙同时出发且跑的路程都为s0，故A、B错误；当甲、乙两人跑的路程为s0时，甲所用时间比乙少，故甲先到达终点且甲的速度较大，故C正确，D错误．故选C.] 3．某机器总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为(　　) A．30　B．40　　C．50　　D．60 解析：C　[设安排生产x台，则获得利润f(x)＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2 500. 故当x＝50台时，获利润最大．] 4．4个茶杯和5包茶叶的价格之和小于22元，6个茶杯和3包茶叶的价格之和大于24元，则2个茶杯和3包茶叶的价格比较(　　) A．2个茶杯贵 B．3包茶叶贵 C．两者相同 D．无法确定 解析：A　[设茶杯单价为x元，茶叶每包为y元，则4x＋5y<22且6x＋3y>24，则原问题可转化为比较t＝2x－3y与0的大小． 设4x＋5y＝m,6x＋3y＝n， 则2x＝，3y＝， 故t＝2x－3y＝>＝0， 所以2个茶杯贵．] 5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为(　　) A．13立方米 B．14立方米 C．18立方米 D．26立方米 解析：A　[设职工的用水量为x立方米，需要交纳的水费为f(x)元， 当0≤x≤10时，f(x)＝mx， 当x＞10时，f(x)＝10×m＋(x－10)×2m＝2mx－10m， 即函数的解析式为f(x)＝， 据此分类讨论： 当0≤x≤10时，mx＝16m，解得x＝16，不合题意，舍去； 当x＞10时，2mx－10m＝16m，解得x＝13，符合题意； 综上可得，该职工这个月实际用水为13立方米．] 6．若等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为　__________________　. 解析：由题意，得2x＋y＝20，所以y＝20－2x. 因为y>0，所以20－2x>0， 所以x<10.又因为三角形两边之和大于第三边， 所以解得x>5，所以5<x<10，故所求函数的解析式为y＝20－2x(5<x<10)． 答案：y＝20－2x(5<x<10) 7．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元/件)之间的关系满足一次函数：m＝162－3x.若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为　________　元/件． 解析：设每天获得的销售利润为y元，则y＝(x－30)·(162－3x)＝－3(x－42)2＋432，所以当x＝42时，获得的销售利润最大，故该商品的售价应定为42元/件． 答案：42 8.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公司的距离都是2 km，如图表示甲从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，其中甲在公园休息的时间是10 min，那么y＝f(x)的解析式为　________　. 解析：由题图知所求函数是一个分段函数，且各段均是直线，可用待定系数法求得 y＝f(x)＝ 答案：y＝f(x)＝ 9．现在有红豆、白豆各若干粒．甲、乙两人为了计算豆子的粒数，选用了这样的方法：第一轮甲每次取4粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当红豆取完时，白豆还剩10粒；第二轮，甲每次取1粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当白豆取完时，红豆还剩n(n∈N＋，16＜n＜20)粒．则红豆和白豆共有　________　粒． 解析：设红豆有x粒，白豆有y粒， 由第一轮结果可知＝， 整理可得x＝2y－20； 由第二轮结果可知＝x－n，整理可得y＝2x－2n； 当n＝17时，由，解得(舍)； 当n＝18时，由，解得(舍)； 当n＝19时，由，解得， 所以x＋y＝32＋26＝58，即红豆和白豆共有58粒． 答案：58 10．大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12 km 为止，温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12 km以上温度一定，保持在－55 ℃. (1)当地球表面大气的温度是a ℃时，在x km的上空为y ℃，求0≤x≤12时，a，x，y间的函数关系式； (2)当地球表面大气的温度是29 ℃时，3 km上空的温度是多少？ 解：(1)由题意知y－a＝kx(0≤x≤12，k＜0)， 即y＝a＋kx. 因为当x＝12时，y＝－55，所以－55＝a＋12k， 解得k＝－， 所以当0≤x≤12时，y＝a－x， 所以所求的函数关系式为 y＝a－x(0≤x≤12)． (2)当a＝29，x＝3时，y＝29－×3 ＝8(℃)， 即当地球表面大气的温度是29 ℃时，3 km上空的温度是8 ℃. 11．某公园要建造一个直径为20 m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心2 m处达到最高，最高的高度为8 m．另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此处汇合，则这个装饰物的高度应该为(　　) A．5 m B．3.5 m C．5.5 m D．7.5 m 解析：D　[根据题意易知，水柱上任意一个点距水池中心的水平距离为x，与此点的高度y之间的函数关系式是y＝a1(x＋2)2＋8(－10≤x≤0)或y＝a2(x－2)2＋8(0≤x≤10)，由x＝－10，y＝0，可得a1＝－；由x＝10，y＝0，可得a2＝－，于是，所求函数解析式是y＝－(x＋2)2＋8(－10≤x<0) 或y＝－(x－2)2＋8(0≤x≤10)．当x＝0时，y＝7.5，所以装饰物的高度为7.5 m．故选D.] 12．某数学练习册，定价为40元．若一次性购买超过9本，则每本优惠5元，并且赠送10元代金券；若一次性购买超过19本，则每本优惠10元，并且赠送20元代金券．某班购买x(x∈N*，x≤40)本，则总费用f(x)与x的函数关系式为　________　(代金券相当于等价金额)． 解析：当0<x<10时，f(x)＝40x；当10≤x<20时， f(x)＝35x－10；当20≤x≤40时，f(x)＝30x－20. 所以f(x)＝，(x∈N *)． 答案：f(x)＝，(x∈N *) 13．有甲、乙两种商品，经营销售这两种产品所能获得的利润依次是P和Q(万元)，它们与投入资金x(万元)的关系有经验方程式：P＝，Q＝.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？ 解：设对甲种商品投资x万元，则乙种商品投资(3－x)万元，总利润为y万元，据题意有y＝x＋(0≤x≤3)． 令＝t，则x＝3－t2,0≤t≤. 所以y＝(3－t2)＋t＝－2＋，t∈[0， ]． 当t＝时，ymax＝1.05，此时x＝0.75,3－x＝2.25. 由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，获得总利润为1.05万元． 14．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数． (1)当20≤x≤200时，求函数v(x)的表达式； (2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时)f(x)＝xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)﹒ 解：(1)当0≤x≤20时，v(x)＝60； 当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b， 由已知得解得， 故函数v(x)的表达式为v(x)＝ (2)依题意并由(1)可得f(x)＝ 当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200； 当20＜x≤200时，f(x)＝－[(x－100)2－10 000]，所以当x＝100时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值≈3 333，因为3 333＞1 200，所以当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时． 学科网（北京）股份有限公司 $$